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文檔簡介
第4講角平分線
號目標導(dǎo)航
1.掌握角平分線的性質(zhì),理解三角形的三條角平分線的性質(zhì).
2.掌握角平分線的判定及角平分線的畫法.
3.熟練運用角的平分線的性質(zhì)解決問題.
蜒知識精講
知識點Ol角的平分線的性質(zhì)
角的平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
要點詮釋:用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理:
若CD平分NADB,點P是CD上一點,且PEJ_AD于點E,PFLBD于點F,則PE=PF.
【知識拓展1](2021春?漳州期末)在正方形網(wǎng)格中,NAoB的位置如圖所示,到NAOB兩邊距離相等的
C.P點D.。點
【即學(xué)即練1】(2021秋?黔西南州期末)如圖,在RtZXABC中,NC=90°,8。是/ABC的平分線,DE
VAB于點E.若AC=10,DE=A,則AD的長為(
A.2B.4C.6D.8
【即學(xué)即練2】(2020秋?芝果區(qū)期末)如圖,點E是8C的中點,ABA.BC,DClBC,AE平分NBA£>,下
列結(jié)論:①∕AEO=90°;②/AOE=NCOE;③。E=BE;@AD=AB+CD,四個結(jié)論中成立的是()
A.①②④B.①②③C.②③④D.①③
【知識拓展2](2021秋?鹽池縣期末)如圖,在AABC中,ZC=90o,A。平分NBAC,AB=5,CD=2,
則aABO的面積是.
【即學(xué)即練1】(2021秋?朝陽期中)在RIAABC中,NA=90°,4B=3,AC=4,ZABC,NACB的平分
線交于尸點.PELBC于E點、,則PE的長是.
【即學(xué)即練2】(2021秋?東莞市期中)如圖,已知AO〃8C,/BAO與/ABC的平分線相交于點尸,過點P
作E凡LA。,交4。于點E,交BC于點兒EF=4cm,AB=5cm,則PB的面積為cm1.
【即學(xué)即練3】(2021秋?千山區(qū)期中)如圖,在aABC中,NACB=90°,BE平分NABC,DE±ABTD.如
果AC=IOC7",那么AE+f>E等于.
4
B
【知識拓展3】(2021秋?撫順縣期末)已知:在AABC中,ZABC=60o,NACB=40°,8。平分NA8C,
CD平分/ACB,
(1)如圖1,求/8。C的度數(shù);
(2)如圖2,連接AO,作OEJ_AB,DE=2,AC=4,求△40C的面積.
圖1圖2
【即學(xué)即練1】(2019秋?百色期末)如圖,∕?ABCΦ,AO平分NBAC,DG_LBC且平分BC,OEJ_AB于E,
DFVAC于F.
(1)說明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求4E、BE的長.
【即學(xué)即練2】(2021秋?龍門縣期中)如圖,在aABC中,NBAC=90°,A£>_LBC于點。,AE平分NOAC,
ZB=50°.
(1)求NAEC的度數(shù).
(2)OE=2,AC=6,求aACE的面積.
A
【即學(xué)即練3】如圖,已知BD為/ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM_LAD于M,PN_LCD于N,求證:
PM=PN.
【即學(xué)即練4]如圖,OC是NAOB的角平分線,P是OC上一點,PD,OA交于點D,PELOB交于點E,F是
OC上除點P、0外一點,連接DF、EF,則DF與EF的關(guān)系如何?證明你的結(jié)論.
知識點02角的平分線的逆定理
角平分線的判定:角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
要點詮釋:用符號語言表示角的平分線的判定:
若PE_LAD于點E,PF1.BD于點F,PE=PF,則PD平分NADB
【知識拓展1】已知,如圖,CE±AB,BD±AC,ZB=ZC,BF=CF.求證:AF為NBAC的平分線.
C
【即學(xué)即練1】如圖,在NAOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON,0D=0E,DN和EM相交于點C.求
證:點C在NAc)B的平分線上.
知識點03角的平分線的尺規(guī)作圖
角平分線的尺規(guī)作圖
(1)以0為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交OA于D,交OB于E.
(2)分別以D、E為圓心,大于LDE的長為半徑畫弧,兩弧在NAOB內(nèi)部交于點C.
2
(3)畫射線OC.
射線OC即為所求.
【知識拓展1](2021春?濟寧期末)如圖:已知04和兩條公路,以及C、。兩個村莊,建立一個車站
P,使車站到兩個村莊距離相等即PC=PD,且P到OA,OB兩條公路的距離相等.
知識點04軌跡
把符合某些條件的所有點的集合叫做點的軌跡.
和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.
在一個角的內(nèi)部(包括頂點)且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線.
到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心,定長為半徑的圓.
【知識拓展1]過已知點A且半徑為3厘米的圓的圓心的軌跡是.
U能力拓展
類型一、角的平分線的性質(zhì)及判定
1、(新洲區(qū)期末)如圖,在aABC中,/ABC的平分線與/ACB的外角的平分線相交于點P,連接AP.
(1)求證:PA平分NBAC的外角NCAM;
(2)過點C作CEj_AP,E是垂足,并延長CE交BM于點D.求證:CE=ED.
2.如圖,AD是/BAC的平分線,DElAB,交AB的延長線于點E,DFJ_AC于點F,且DB=De
求證:BE=CF.
E
3.如圖,AD是AABC的角平分線,DF±AB,垂足為F,DE=DG,Z?ADG和aAED的面積分別為50和39,則
ΔEDF的面積為:()
A.11B.5.5C.7D.3.5
A
4.如圖,AC=DB,4PAC與APBD的面積相等.求證:OP平分NAOB.
類型二、角的平分線的性質(zhì)綜合應(yīng)用
1.如圖,P為AABC的外角平分線上任一點.求證:PB+POAB+AC.
2.如圖,已知AD〃BC,DC±AD,/BAD的平分線交CD于點E,且點E是CD的中點.問:
(1)點E在/ABC的平分線上嗎?
(2)AD+BC與AB的大小關(guān)系怎樣?請證明.
類型三、點的軌跡
L到直線/的距離等于2的點的軌跡是()
A.半徑為2的圓
B.與/平行且到/的距離等于2的一條直線
C.與/平行且到/的距離等于2的兩條直線
D.與/垂直的一條直線
高分層提分
題組A基礎(chǔ)過關(guān)練
選擇題(共6小題)
1.(2021春?威寧縣期末)如圖,在AABC中,ZC=90o,AB=10,A。平分NBAC交邊BC于。點.若
CD=3,則AABO的面積為()
A.15B.30C.10D.20
2.(2021春?鐵西區(qū)期末)如圖,在RtZ?A8C中,/8=90°,4£>平分/BAC交BC于點。,DELAC,垂
足為點E,若80=2,則。E的長為()
2
3.(2021春?畢節(jié)市期末)如圖,在aABC中,ZACB=90o,BE平分NABC,E£>J_AB于O,DE=3cm,
那么CE等于()
A.?/?ewB.2cmC.3cmD.4cm
4.(2021秋?黔西南州期中)如圖,在AABC中,AI,BI,C7分別平分∕BAC,ZABC,ZACB,且〃>_L
BC,垂足為D若AABC的周長為18,/£>=3,則AABC的面積為()
A.27B.30C.24D.18
5.(2021秋?徐聞縣期中)如圖,在RtZViBC中,NC=90°,A。平分NBAC交BC于點。,若48=8,
∕?ABD的面積為16,則CD的長為()
A.2B.4C.6D.8
6.(2021秋?鐵東區(qū)期中)如圖,OP平分NAoB,PCLOA,點。是OB上的動點,若PC=3tro,則PD
的長為()
A.大于等于3CTMB.大于3cτn
C.小于等于3cmD.小于3cm
二.填空題(共6小題)
7.(2021春?丹東期末)如圖,在AABC中,ZACB=90o,AO平分NC43交BC于點。,且8O=2CD,
BC=9cm.則點。到AB的距離為
8.(2021?福建)如圖,AO是aABC的角平分線.若NB=90°,BD=M,則點。到AC的距離是
9.(2021?長沙)如圖,在AABC中,ZC=90°,AO平分NBAe交Be于點。,DEVAB,垂足為E,若
BC=4,DE=1.6,則的長為.
10.(2021秋?越秀區(qū)期末)如圖,在aABC中,ZC=90o,8。是aABC的角平分線,已知AC=3,BC
=4,AB=S,則CD的長為.
11.(2021?鞍山二模)如圖,在4A8C中,AO為AABC的角平分線,DELAB,垂足為E,DFlAC,垂足
為凡若AB=5,AC=3,DF=2,則AABC的面積為.
A
E
BD
12.(2021春?大埔縣期末)如圖,Z?ABC中,AB=5cm,AC^?2cm,BC^?3cm,NABC與NACB的角平
分線相交于點P,過點P作PDVBC,垂足為點D,則線段PD的長為cm.
三.解答題(共4小題)
13.(2018秋?白云區(qū)期末)如圖,在直線MN上求作一點P,使點P到射線OA和03的距離相等.(要求
用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫作法和證明過程)
14.(2020秋?金鄉(xiāng)縣期中)如圖,點P是NMoN中一點,以,OM于點4,PBLoN于點、B,連接AB,Z
PAB=ZPBA.求證:OP平分/MON.
15.(2019秋?武清區(qū)期中)如圖,點B,C分別在NA的兩邊上,點。是NA內(nèi)一點,DEVAB,DF±AC,
垂足分別為E,F(xiàn),且AB=4C,DE=DF.求證:BD^CD.
BE
題組B能力提升練
選擇題(共3小題)
1.(2020秋?花都區(qū)期末)如圖,。。平分NAQB,DELAO于點E,DE=4,點、F是射線OB上的任意一
點,則力尸的最小值是()
A.6B.5C.4D.3
2.(2020秋?中山市期末)如圖,在四邊形A3C。中,NA=90°,AO=6,連接3Q,BD.LCD,ZADB=
ZC.若尸是BC邊上一動點,則。P長的最小值為()
A.4B.6C.3D.12
3.(2021秋?鐵西區(qū)期中)如圖,Z?ABC中,NACRNEAC的角平分線CRAP交于點P,延長54、BC,
PMYBE,PNLBF.則下列結(jié)論中正確的個數(shù)()
o
①8尸平分NABC;(2)ZABC+2ZAPC=180;@ZCAB^2ZCPB;?S^PAC=SΔMAP+SΛNCP.
A.1個B.2個C.3個D.4個
二.填空題(共3小題)
4.(2021春?威寧縣期末)在RtZ^A8C中,NC=90°,A。平分NBAe,CQ=4c"?,則。到AB的距離是cm.
5.(2021春?織金縣期末)如圖,AABC的三邊A8、BC、C4的長分別為30,40,50,其三條角平分線交
于點O,則S?ABO:SABCO:SACAO=.
6.(2021春?株洲期末)如圖,AB//CD,8尸和C尸分別平分NABC和∕OC8,過點尸,且與AB垂直.若
AQ=8,則點P到BC的距離是.
7.(2021?章丘區(qū)模擬)如圖,BO平分NABC交AC于點Q,DELABE,DFLBC于F,AB=6,BC=8,
若SAABC=28,求DE的長.
BC
8.(2021秋?東莞市期中)如圖,在aABC中,。是Be的中點,LAB于E,OFL4C于點凡且NBDE
=NCDF.求證:AO平分NBAC
9.(2020秋?費縣期末)NB=NC=90°,EB=EC,OE平分NAOC,求證:AE是/D48平分線.
題組C培優(yōu)拔尖練
一.選擇題(共1小題)
1.(2020春?崇川區(qū)校級期末)如圖,四邊形48。C中,對角線A。平分NBAC,ZACD=136°,ZBCD
A.54oB.50oC.48oD.46°
二.填空題(共1小題)
2.(2021秋?高郵市期中)如圖,在RtZXABC中,ZABC
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