第4講 角平分線八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義（北師大版）

第4講角平分線

號目標導(dǎo)航

1.掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì).

2.掌握角平分線的判定及角平分線的畫法.

3.熟練運用角的平分線的性質(zhì)解決問題.

蜒知識精講

知識點Ol角的平分線的性質(zhì)

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點詮釋：用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分NADB,點P是CD上一點，且PEJ_AD于點E,PFLBD于點F,則PE=PF.

【知識拓展1］（2021春?漳州期末）在正方形網(wǎng)格中，NAoB的位置如圖所示，到NAOB兩邊距離相等的

C.P點D.。點

【即學(xué)即練1】（2021秋?黔西南州期末）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,8。是/ABC的平分線，DE

VAB于點E.若AC=10,DE=A,則AD的長為（

A.2B.4C.6D.8

【即學(xué)即練2】（2020秋?芝果區(qū)期末）如圖，點E是8C的中點，ABA.BC,DClBC,AE平分NBA￡>,下

列結(jié)論：①∕AEO=90°；②/AOE=NCOE；③。E=BE；@AD=AB+CD,四個結(jié)論中成立的是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③

【知識拓展2］（2021秋?鹽池縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90o,A。平分NBAC,AB=5,CD=2,

則aABO的面積是.

【即學(xué)即練1】（2021秋?朝陽期中）在RIAABC中，NA=90°,4B=3,AC=4,ZABC,NACB的平分

線交于尸點.PELBC于E點、,則PE的長是.

【即學(xué)即練2】（2021秋?東莞市期中）如圖，已知AO〃8C,/BAO與/ABC的平分線相交于點尸，過點P

作E凡LA。，交4。于點E,交BC于點兒EF=4cm,AB=5cm,則PB的面積為cm1.

【即學(xué)即練3】（2021秋?千山區(qū)期中）如圖,在aABC中,NACB=90°,BE平分NABC,DE±ABTD.如

果AC=IOC7"，那么AE+f>E等于.

4

B

【知識拓展3】(2021秋?撫順縣期末)已知：在AABC中，ZABC=60o,NACB=40°,8。平分NA8C,

CD平分/ACB,

(1)如圖1,求/8。C的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AO,作OEJ_AB,DE=2,AC=4,求△40C的面積.

圖1圖2

【即學(xué)即練1】(2019秋?百色期末)如圖，∕?ABCΦ,AO平分NBAC,DG_LBC且平分BC,OEJ_AB于E,

DFVAC于F.

(1)說明BE=CF的理由;

(2)如果AB=5,AC=3,求4E、BE的長.

【即學(xué)即練2】(2021秋?龍門縣期中)如圖，在aABC中，NBAC=90°,A￡>_LBC于點。，AE平分NOAC,

ZB=50°.

(1)求NAEC的度數(shù).

(2)OE=2,AC=6,求aACE的面積.

A

【即學(xué)即練3】如圖，已知BD為/ABC的平分線，AB=BC,點P在BD上，PM_LAD于M,PN_LCD于N,求證:

PM=PN.

【即學(xué)即練4］如圖，OC是NAOB的角平分線，P是OC上一點，PD,OA交于點D,PELOB交于點E,F是

OC上除點P、0外一點，連接DF、EF,則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論.

知識點02角的平分線的逆定理

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

要點詮釋：用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點E,PF1.BD于點F,PE=PF,則PD平分NADB

【知識拓展1】已知，如圖，CE±AB,BD±AC,ZB=ZC,BF=CF.求證：AF為NBAC的平分線.

C

【即學(xué)即練1】如圖，在NAOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON,0D=0E,DN和EM相交于點C.求

證：點C在NAc)B的平分線上.

知識點03角的平分線的尺規(guī)作圖

角平分線的尺規(guī)作圖

(1)以0為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D,交OB于E.

(2)分別以D、E為圓心，大于LDE的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點C.

2

(3)畫射線OC.

射線OC即為所求.

【知識拓展1](2021春?濟寧期末)如圖：已知04和兩條公路，以及C、。兩個村莊，建立一個車站

P,使車站到兩個村莊距離相等即PC=PD,且P到OA,OB兩條公路的距離相等.

知識點04軌跡

把符合某些條件的所有點的集合叫做點的軌跡.

和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.

在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線.

到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心，定長為半徑的圓.

【知識拓展1］過已知點A且半徑為3厘米的圓的圓心的軌跡是.

U能力拓展

類型一、角的平分線的性質(zhì)及判定

1、（新洲區(qū)期末）如圖，在aABC中，/ABC的平分線與/ACB的外角的平分線相交于點P,連接AP.

（1）求證：PA平分NBAC的外角NCAM；

（2）過點C作CEj_AP,E是垂足，并延長CE交BM于點D.求證：CE=ED.

2.如圖，AD是/BAC的平分線，DElAB,交AB的延長線于點E,DFJ_AC于點F,且DB=De

求證：BE=CF.

E

3.如圖，AD是AABC的角平分線，DF±AB,垂足為F,DE=DG,Z?ADG和aAED的面積分別為50和39,則

ΔEDF的面積為：（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

A

4.如圖，AC=DB,4PAC與APBD的面積相等.求證：OP平分NAOB.

類型二、角的平分線的性質(zhì)綜合應(yīng)用

1.如圖，P為AABC的外角平分線上任一點.求證：PB+POAB+AC.

2.如圖，已知AD〃BC,DC±AD,/BAD的平分線交CD于點E,且點E是CD的中點.問:

(1)點E在/ABC的平分線上嗎？

(2)AD+BC與AB的大小關(guān)系怎樣？請證明.

類型三、點的軌跡

L到直線/的距離等于2的點的軌跡是（）

A.半徑為2的圓

B.與/平行且到/的距離等于2的一條直線

C.與/平行且到/的距離等于2的兩條直線

D.與/垂直的一條直線

高分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

選擇題（共6小題）

1.（2021春?威寧縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90o,AB=10,A。平分NBAC交邊BC于。點.若

CD=3,則AABO的面積為（）

A.15B.30C.10D.20

2.（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，在RtZ?A8C中，/8=90°,4￡＞平分/BAC交BC于點。，DELAC,垂

足為點E,若80=2,則。E的長為（）

2

3.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在aABC中，ZACB=90o,BE平分NABC,E￡>J_AB于O,DE=3cm,

那么CE等于（）

A.?/?ewB.2cmC.3cmD.4cm

4.（2021秋?黔西南州期中）如圖，在AABC中，AI,BI,C7分別平分∕BAC,ZABC,ZACB,且〃>_L

BC,垂足為D若AABC的周長為18,/￡>=3,則AABC的面積為（）

A.27B.30C.24D.18

5.（2021秋?徐聞縣期中）如圖，在RtZViBC中，NC=90°,A。平分NBAC交BC于點。，若48=8,

∕?ABD的面積為16,則CD的長為（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2021秋?鐵東區(qū)期中）如圖，OP平分NAoB,PCLOA,點。是OB上的動點，若PC=3tro,則PD

的長為（）

A.大于等于3CTMB.大于3cτn

C.小于等于3cmD.小于3cm

二.填空題（共6小題）

7.（2021春?丹東期末）如圖，在AABC中，ZACB=90o,AO平分NC43交BC于點。，且8O=2CD,

BC=9cm.則點。到AB的距離為

8.（2021?福建）如圖，AO是aABC的角平分線.若NB=90°,BD=M,則點。到AC的距離是

9.（2021?長沙）如圖，在AABC中，ZC=90°,AO平分NBAe交Be于點。，DEVAB,垂足為E,若

BC=4,DE=1.6,則的長為.

10.（2021秋?越秀區(qū)期末）如圖，在aABC中，ZC=90o,8。是aABC的角平分線，已知AC=3,BC

=4,AB=S,則CD的長為.

11.（2021?鞍山二模）如圖，在4A8C中，AO為AABC的角平分線，DELAB,垂足為E,DFlAC,垂足

為凡若AB=5,AC=3,DF=2,則AABC的面積為.

A

E

BD

12.（2021春?大埔縣期末）如圖，Z?ABC中，AB=5cm,AC^?2cm,BC^?3cm,NABC與NACB的角平

分線相交于點P,過點P作PDVBC,垂足為點D,則線段PD的長為cm.

三.解答題（共4小題）

13.（2018秋?白云區(qū)期末）如圖，在直線MN上求作一點P,使點P到射線OA和03的距離相等.（要求

用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明過程）

14.（2020秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，點P是NMoN中一點，以，OM于點4,PBLoN于點、B,連接AB,Z

PAB=ZPBA.求證：OP平分/MON.

15.（2019秋?武清區(qū)期中）如圖，點B,C分別在NA的兩邊上，點。是NA內(nèi)一點，DEVAB,DF±AC,

垂足分別為E，F(xiàn),且AB=4C,DE=DF.求證：BD^CD.

BE

題組B能力提升練

選擇題（共3小題）

1.（2020秋?花都區(qū)期末）如圖，。。平分NAQB,DELAO于點E,DE=4,點、F是射線OB上的任意一

點，則力尸的最小值是（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2020秋?中山市期末）如圖，在四邊形A3C。中，NA=90°,AO=6,連接3Q,BD.LCD,ZADB=

ZC.若尸是BC邊上一動點，則。P長的最小值為（)

A.4B.6C.3D.12

3.（2021秋?鐵西區(qū)期中）如圖，Z?ABC中，NACRNEAC的角平分線CRAP交于點P,延長54、BC,

PMYBE,PNLBF.則下列結(jié)論中正確的個數(shù)()

o

①8尸平分NABC；(2)ZABC+2ZAPC=180；@ZCAB^2ZCPB；?S^PAC=SΔMAP+SΛNCP.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二.填空題（共3小題）

4.（2021春?威寧縣期末）在RtZ^A8C中，NC=90°,A。平分NBAe,CQ=4c"?,則。到AB的距離是cm.

5.（2021春?織金縣期末）如圖，AABC的三邊A8、BC、C4的長分別為30,40,50,其三條角平分線交

于點O,則S?ABO:SABCO:SACAO=.

6.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8尸和C尸分別平分NABC和∕OC8,過點尸，且與AB垂直.若

AQ=8,則點P到BC的距離是.

7.（2021?章丘區(qū)模擬）如圖，BO平分NABC交AC于點Q,DELABE,DFLBC于F,AB=6,BC=8,

若SAABC=28,求DE的長.

BC

8.（2021秋?東莞市期中）如圖，在aABC中，。是Be的中點，LAB于E,OFL4C于點凡且NBDE

=NCDF.求證：AO平分NBAC

9.（2020秋?費縣期末）NB=NC=90°,EB=EC,OE平分NAOC,求證：AE是/D48平分線.

題組C培優(yōu)拔尖練

一.選擇題（共1小題）

1.（2020春?崇川區(qū)校級期末）如圖，四邊形48。C中，對角線A。平分NBAC,ZACD=136°,ZBCD

A.54oB.50oC.48oD.46°

二.填空題（共1小題）

2.（2021秋?高郵市期中）如圖，在RtZXABC中，ZABC