內(nèi)蒙古包頭市回民中學2024屆高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

內(nèi)蒙古包頭市回民中學2024屆高三最后一卷數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．2．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．3．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．5．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．9．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．10．已知雙曲線：的左、右兩個焦點分別為，，若存在點滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．511．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．12．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.14．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為____．15．已知向量，，，若，則______.16．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_____；最長棱的長度是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當時，；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年的相關數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）2345671011該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488部分計算結果：，，，，注：年返修率=（1）從該公司年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤（百萬元）關于年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.19．（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關于k的函數(shù)關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求m的值.22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圓的方程；（2）設直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結論.【詳解】由題意，設，則，即小正六邊形的邊長為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．2、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關鍵，屬于基礎題.3、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.4、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)5、C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.6、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．7、A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，構造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，構造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.8、A【解析】

根據(jù)向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關系，屬于中檔題.9、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關系式.11、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎題.12、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數(shù)的解析式，易可得到目標函數(shù)的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.14、【解析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達到最大,即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個三角形面積是，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個面相切，連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.【點睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關鍵是判斷在什么情況下，其體積達到最大，考查運算求解能力.15、-1【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得結論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．【點睛】本題考查向量垂直的坐標運算．掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．16、【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長棱的長度．【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，則該幾何體的體積為，，，因此，該棱錐的最長棱的長度為.故答案為：；.【點睛】本題考查由三視圖求體積、棱長，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個根，可轉(zhuǎn)化為有3個根，即與有3個不同交點，利用導數(shù)作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個零點，即有3個根，顯然0不是其根，所以有3個根，令，則，當時，，當時，，當時，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先判斷得到隨機變量的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計算得到相應的概率，進而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值，可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出；然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程．【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，，，，，五個年份考核優(yōu)秀．由題意的所有可能取值為，，，，，，，．故的分布列為：所以．（2）因為，所以去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值，所以．又去掉年的數(shù)據(jù)之后，所以，從而回歸方程為：．【點睛】求線性回歸方程時要涉及到大量的計算，所以在解題時要注意運算的合理性和正確性，對于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用．本題考查概率和統(tǒng)計的結合，這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎題．19、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】

（1）設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進而由可得到p關于k的函數(shù)關系式；（ii）由可得,推導出,設（）,利用導函數(shù)判斷的單調(diào)性,由單調(diào)性可求出的最大值【詳解】（1）設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,則,∴恰好經(jīng)過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關于k的函數(shù)關系式為（,且）（ii）由題意知,得,,,,設（）,則,令,則,∴當時,,即在上單調(diào)增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應用,考查隨機變量及其分布,考查利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性20、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數(shù)，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為，∴曲線的普通方程為，即.（2）設為曲線上一點，則點到曲線的圓心的距離.∵，∴當時，d有最大值.又∵P，Q分別為曲線，曲線上動點，∴的最大值為.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求導，再對m分類討論，求出的單調(diào)性；（2）對m分三種情況討論求