2023-2024學年山東省濱州市濱城區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年山東省濱州市濱城區(qū)八年級第一學期期中數(shù)學試

卷

一、選擇題。本大題共io個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的

選項選出來，用2B驗筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，每小題涂對得3分，滿分

30分。

1.2023年9.23-10.8日，19屆亞運會在杭州如火如荼地進行，運動健兒們摘金奪銀，全國

人民感受到一波強烈的民族自豪感.下列圖案表示的運動項目標志中，是軸對稱圖形的

c⑧）D叵）

2.如圖，在△ABC中，/A=60°,NB=48°,CD平分/AC8交AB于點則/BOC

的大小為（）

3.已知三角形的兩邊長分別為3、7,則第三邊”的取值范圍是（）

A.4<a<10B.4WaW10C.a>4D.a<10

4.下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是（）

A.NA=NB=NCB.AB=AC,ZB=60°

C.NA=60°,NB=60°D.AB=AC,且N8=NC

5.如圖，長方形ABC。沿著4E折疊，使。點落在BC邊上的尸點處.如果/8A尸=60°,

AB=3,則長方形48CD的面積是（)

A.12B.16C.18D.20

6.在下列條件：①/A：ZB：/C=l：2：3；②/A=/B=2/C；③NA+/B=/C；④

ZA=yZB4-ZC：中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.下列說法中，正確的有（）個.

①兩個全等的三角形一定關(guān)于某直線對稱:

②關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形，對稱點所連線段被對稱軸垂直平分；

③等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；

④到三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形三邊垂直平分線的交點;

⑤△ABC的三邊為a,b,c,且滿足關(guān)系（a-b）（b-c）（c-a）=0,則△ABC為等

邊三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖所示，C,。是直線/上任意兩點，AC=BC,AD=BD,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.NACD=/BCDB.CO平分AB但不垂直48

C.C￡)垂直平分ABD.S^ACD—S/^BCD

9.如圖，在平面直角坐標系中，點4在x軸的負半軸上，點B在第三象限，AAB。是等邊

三角形，點E在線段OA上，且AE=2,點尸是線段AB上的動點，點尸是y軸負半軸

上的動點，當EP+FP的值最小時，AF=7,則點A的坐標是（）

10.如圖，在△ABC中，NBAC=120°,點E,F分別是△ABC的邊AB、AC的中點，邊

BC分別與。E、OF相交于點H,G,KDEA.AB,DFLAC,連接A。、AG、AH,現(xiàn)在

下列四個結(jié)論：①NE￡）F=60°,②4。平分NGA",@ZB=ZADF,?GD=GH.則

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④

二、填空題。（共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.如圖，把手機放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，這是因為手機支架利用了三

角形的性，

12.點P（3,-4）關(guān)于x軸的對稱點P'的坐標是.

13.在△A8C中，若NB=/A+20°,NC=50°,則NB=.

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第

三個頂點在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多

為

B

15.如圖，ZVIBC中，AB=3,AC=2,A￡）是△ABC的角平分線，貝U5。：DC=

16.如圖，己知點8是AC邊上的動點（不與A,C重合），在AC的同側(cè)作等邊△43。和

等邊△8CE,連接AE,CD,下列結(jié)論正確的是.（填序號）

①△ABE四△O8C；

②NC8E=60°；

@GF//AC；

④△BFG是等邊三角形；

⑤HB平分乙4，C；

@AH^DH+BH；

⑦CH=BH+EH；

⑧NHGF=NHBF；

⑨NHFG=NGBH；

⑩圖中共有2對全等三角形.

17.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三

角形的頂點都在格點上）.

（1）ZVIBC的面積為

(2)在圖中作出AABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△48'C.

(3)在MN上找一點P,使得P8+PC的距離最短，在圖中作出P點的位置.

18.如圖，AB=AE,Nl=/2,NC=ND.求證:

(1)△ABC/ZXAED；

(2)Z1=ZDEC.

19.下面是證明三角形內(nèi)角和定理推論1的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

已知：如圖，△ABC,點。是8c延長線上一點.

求證：ZACD^ZA+ZB.

20.如圖，在△ABC中，AO與CE是△4BC的高.

(1)若AB=7cm,BC=lOc/n,CE=8cm,求A。；

(2)若AB=2,BC=3,△ABC的高AO與CE的比是多少？

21.如圖所示，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△A83是等邊三角形，于

是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊

的一半，交換命題的條件和結(jié)論，會得到一個新命題：在直角三角形

中，.請判斷此命題的真假，若為真命題，請給出證明：若為

假命題，請說明理由.

22.如圖，已知直角△ABC,ZB=90°,AB<BC,請用尺規(guī)作圖法，在4c邊上求作一點

P,使BPLAC.(保留作圖痕跡，不寫作法)

23.如圖，在AABC中，AB=AC,點。在AC上，且8O=BC=AQ,求:

(1)圖中有哪些等腰三角形？

(2)各角的度數(shù).

A

24.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90Q,NB=30°,Of是4B的垂直平分線，交AB、

BC于點、D、E連接C。、AE.求證:

(1)△AQC是等邊三角形；

(2)點E在線段C￡＞的垂直平分線上.

A

25.在平面直角坐標系中，點A(0,a),B(b,0),a、。滿足(a-2)2+|/7-4|=0,點

P在第一象限，PA=PB,且

(1)如圖1,點P的坐標為:

(2)如圖2,若A點運動到A位置，B點運動到自位置，保持求。田-

的值；

(3)如圖3,若Q是線段AB上一點，C為A。中點，作PR=PQ,PRLPQ,連8R,

判定線段BR與PC的關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

參考答案

一、選擇題。本大題共10個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的

選項選出來，用2B驗筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，每小題涂對得3分，滿分

30分。

1.2023年9.23-10.8日，19屆亞運會在杭州如火如荼地進行，運動健兒們摘金奪銀，全國

人民感受到一波強烈的民族自豪感.下列圖案表示的運動項目標志中，是軸對稱圖形的

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可.

解：4、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

。、不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2.如圖，在△ABC中，ZA=60°,ZB=48°,C￡>平分N4CB交48于點￡>,則NBDC

的大小為（)

A

A.72°B.90°C.96°D.108°

【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得NAC8=72°,再由角平分線的定義可求得

36°,利用三角形的外角性質(zhì)即可求NBOC的度數(shù).

解：VZA=60°,ZB=48°,

，NACB=180°-ZA-ZB=72°,

平分/ACB,

ZACD=—ZACB=36°,

2

：NBCC是△ACO的外角，

AZBDC=ZA+ZACD=96°.

故選：C.

【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記相

應(yīng)的知識并靈活運用.

3.已知三角形的兩邊長分別為3、7,則第三邊。的取值范圍是（）

A.4<6/<10B.4<aW10C.a>4D.a<10

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解.

解：：三角形的兩邊長分別為3、7,

工第三邊〃的取值范圍是則4<a<10.

故選：A.

【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

邊，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

4.下列推理中，不能判斷△A8C是等邊三角形的是（）

A.NA=NB=NCB.AB=AC,ZB=60°

C.ZA=60°,NB=60°D.AB=AC,且N8=NC

【分析】根據(jù)等邊三角形的定義、判定定理以及三角形內(nèi)角和定理進行判斷.

解：A、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本

選項不符合題意.

B、由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，

故本選項不符合題意.

C、由“NA=60°,NB=60°”可以得到“乙4=NB=NC=60°”，則由“三個角

都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意.

D、由“AB=AC,且/B=NC"只能判定△ABC是等腰三角形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題.

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

5.如圖，長方形ABC。沿著AE折疊，使。點落在8c邊上的尸點處.如果NB4F=60°,

AB=3,則長方形A8C￡＞的面積是（）

AD

BFC

A.12B.16C.18D.20

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AF=2A8=6,再由折疊的性質(zhì)可得AQ=AF=6,

即可求解.

解：在長方形4BCO中，NB=90°,

：NBA尸=60°,A8=3,

：.AF=2AB=6,

；長方形ABCD沿著AE折疊，使。點落在8C邊上的F點處，

：.AD=AF=6,

長方形ABC。的面積是ABXAD=3X6=18.

故選：C.

【點評】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三

角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.在下列條件：①/A：NB：ZC=1：2：3；②NA=/8=2NC；③/A+/8=/C；④

ZA=yZB4-ZC；中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】①②④根據(jù)各小題給出的比先設(shè)出三角形各角的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和

定理得方程，求解后判斷得結(jié)論；

③可利用直角三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

解：@VZA：ZB：ZC=1：2：3,

.?.設(shè),則NB=2x°,ZC=3x°.

由于乙4+/B+NC=180°,

/.x+2x+3x=180°,

Ax=30.

：.3x=90°.

AZC=90°.

故條件①能判斷AA5c為直角三角形.

②；ZA=ZB=2ZC,

?,?設(shè)NC=x°,則NA=NB=2x°.

由于NA+N8+NC=180°,

.,.x+2x+2x=180°,

???元=36.

：.2x=72°.

AZA=ZB=12°.

故條件②不能判斷AABC為直角三角形.

③?.,NA+N3=NC,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=90°.

故條件③能判斷△ABC為直角三角形.

?,?*Z^A=~ZB^"ZC>

.,.設(shè)NA=x°,則/B=2x°,NC=3x°.

由于NA+N3+NC=180°,

，x+2x+3x=180°,

...x=30.

；.3x=90°.

AZC=90°.

故條件④能判斷△ABC為直角三角形.

故選：B.

【點評】本題考查了直角三角形，掌握直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理是解決

本題的關(guān)鍵.

7.下列說法中，正確的有()個.

①兩個全等的三角形一定關(guān)于某直線對稱；

②關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形，對稱點所連線段被對稱軸垂直平分；

③等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；

④到三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形三邊垂直平分線的交點；

⑤△ABC的三邊為a,b,c,且滿足關(guān)系(a-b)(b-c)(c-a)=0,則4ABC為等

邊三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)分別判斷后即可確

定正確的選項.

解：①兩個全等三角形不一定關(guān)于某條直線對稱，故①錯誤；

②關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形，對稱點所連線段被對稱軸垂直平分，故②正確；

③等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線互相重合，故③錯誤；

④到三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形三邊垂直平分線的交點，故④正確；

⑤△A8C的三邊為a,b,c,且滿足關(guān)系(a-b)(b-c)(c-a)=0,則aABC為等

腰三角形，故⑤錯誤；

.?.正確的有2個.

故選：B.

【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段

垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

8.如圖所示，C,。是直線/上任意兩點，AC^BC,AD=BD,則下列結(jié)論錯誤的是()

4

AB

A.ZACD=ZBCDB.CD平分AB但不垂直AB

C.CO垂直平分ABD.S^ACD—S^BCD

【分析】證明△AC。之△BCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ACQ=/BCD,再根據(jù)線

段垂直平分線的判定定理判斷即可.

解：A、在△AC。和△BCD中，

AC=BC

*AD=BD>

CD=CD

:.△ACDQXBCD（SAS）,

AZACD=ZBCD,本選項結(jié)論正確，不符合題意；

B、'：AC=BC,AD=BD,

?,.CD是線段A8的垂直平分線，故本選項結(jié)論錯誤，符合題意；

C、\'AC=BC,AD=BD,

是線段AB的垂直平分線，本選項結(jié)論正確，不符合題意；

D、由（A）可知：S&ACD=S&BCD,本選項結(jié)論正確，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等.

9.如圖，在平面直角坐標系中，點4在x軸的負半軸上，點B在第三象限，△ABO是等邊

三角形，點E在線段04上，且AE=2,點尸是線段A8上的動點，點P是y軸負半軸

上的動點，當EP+FP的值最小時，AF=7,則點A的坐標是（）

C.(-9,0)D.(-10,0)

【分析】作點E關(guān)于），軸的對稱點E',過點E'作E'交y軸于點P,進而得出

EP+FP的值最小的情況，然后根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半進而得出答案.

解：作點E關(guān)于y軸的對稱點E',過點E'作E'尸，AB交y軸于點P,如圖：

則此時EP+FP的值最小,

：△43。是等邊三角形，

二乙4=60°,

VZAFE'=90°,

：.4E'=30°,

：.AE'=2AF=2X7=14,

：AE=2,

14-2

，OA=8,

.?.點4的坐標為（-8,0）,

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路徑以及含30°的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出

EP+FP的值最小時的情況是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在△ABC中，NBAC=120。，點E,尸分別是△ABC的邊AB、AC的中點，邊

BC分別與。E、OF相交于點H,G,KDE1AB,DFLAC,連接AO、AG、AH,現(xiàn)在

下列四個結(jié)論：①/E￡>B=60°,②4。平分NGAH,@ZB=ZADF,?GD=GH.則

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②④

【分析】①四邊形AGOH中，由四邊形的內(nèi)角和求NEO尸即可；

②由題意可知QE是AB的垂直平分線，DF是AC的垂直平分線，連接BD,CD,推導

出ZDAG=ZDCG,再由/￡>2C=NQCB,即可證明AO是NHAG的

角平分線；

③先求出N/MO=ND4G=30°,再推導出ND4尸=90°-NB,在直角△D4F中，Z

A￡>F=90°-NDAF=NB；

④由題意可知N￡>HG=N8HE=90°-ZB,NDGH=NCGF=90°-ZC,又由當A8

WAC時，NBWNC,可知△OHG不是等邊三角形，則GDWG”.

解：'：DELAB,

:.NDEA=90°,

'JDFLAC,

：.ZDFA=90°,

：/BAC=120°,

AZ￡DF=360°-90°-90°-120°=60°,

故①符合題意；

連接BD,CD,

是AB的中點，EDLAB,

是A8的垂直平分線，

?.?尸是AC的中點,DFLAC,

二。尸是AC的垂直平分線，

：.AD=BD=CD,BH=AH,AG=CG,

：.ZDBA=ZDABfNHBA=NHAB,ND4C=NOCA,ZGAC=ZGCA9

：.ZDBH=/DAH,ZDAG=/DCG,

?:BD=CD,

：.NDBC=NDCB,

:?/DAH=NDAG,

???4。平分N”AG,

故②符合題意；

?：BH=HA,

:?/HBA=NHAB,

u

\ZGAC=ZGCAf

：./B+NC=ZHAB+ZGAC,

VZBAC=120°,

AZB+ZC=ZHAB+ZGAC=60°,

?「AD平分NHAG,

：.ZHAD=ZDAG=30°,

：.ZDAF=30°+60°-NB=900-ZB,

*：ZDFA=90°,

AZADF=9Q°-/DAF=NB,

故③符合題意；

VEDIAB,DFA,BC,

.?.NDHG=NBHE=90°-ZB,/DGH=/CGF=90°-ZC,

當ABW4c時，/BW/C,

/DHGW/DGH,

:?DHRDG,

9：ZHDG=60°,

**?4DHG不是等邊三角形，

:?GD￥GH,

故④不符合題意；

故選：C.

D

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，

線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題。(共6小題，每小題3分，滿分18分)

11.如圖，把手機放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，這是因為手機支架利用了三

角形的穩(wěn)定性.

【分析】利用三角形的穩(wěn)定性的性質(zhì)直接回答即可.

解：三角形的支架很牢固，這是利用了三角形的穩(wěn)定性，

故答案為：穩(wěn)定.

【點評】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是能夠了解三角形具有穩(wěn)定性，屬于

基礎(chǔ)題，難度不大.

12.點P(3,-4)關(guān)于x軸的對稱點尸'的坐標是(3,4).

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征，“橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)”，求

解即可.

解：點P(3,-4)關(guān)于x軸的對稱點P的坐標是(3,4),

故答案為：(3,4).

【點評】本題主要考查直角坐標系里的軸對稱問題，關(guān)鍵是利用關(guān)于x軸對稱的點，橫

坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)：關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；

關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

13.在aABC中，若/8=NA+20°，ZC=50°，則NB=75°.

【分析】由：ZB=ZA+20°,ZC=50°,ZA+ZB+ZC=180°,可得出NA+/4+20。

+50°=180°，求得NA=55。，最后求得/B=180°-ZA-ZC=180°-55°-50°

=75°.

解：'：ZB=ZA+20°,ZC=50°,

又?.?/A+NB+NC=180°,

/.ZA+ZA+200+50°=180°,

NA=55°,

.\ZB=180°-ZA-ZC=180°-55°-50°=75°.

故答案為:75°.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,以AABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第

三個頂點在AABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為7個.

【分析】①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交48于點。，△BCD就是等腰三角形;

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E,AACE就是等腰三角形；

③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點凡△2CF就是等腰三角形；

④以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交A8于點K,4BCK就是等腰三角形；

⑤作48的垂直平分線交4c于G,則△AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分線交AB于I,則△BC/和△&<2/是等腰三角形.

解：如圖：可以畫出7個等腰三角形；

C國6B

故答案為7.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學生的理解能力和動手操作能

力.

15.如圖，ZVIBC中，AB=3,AC=2,是△ABC的角平分線，則B￡＞：DC=3：2.

［分析］過點D作DE±AB于點E,DF±AC于點F,過點A作AMLBC于點M,根據(jù)

角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DF,再利用△ABD和△ACC的面積即可得出結(jié)論.

解：過點。作。E_LAB于點E,。尸，AC于點凡過點A作AMLBC于點M,

?.?AQ是△ABC的角平分線，

：.DE=DF,

：A8=3,AC=2,

../△ABD二家叩￡二杷§

.&ACD1AC.DFACT

...SZIABCJD,

?S/kACD1al.AMCD'

.BDJ.

"CD

故答案為：3：2.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是

解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點8是AC邊上的動點(不與A,C重合)，在AC的同側(cè)作等邊△48。和

等邊△BCE,連接4E,CD,下列結(jié)論正確的是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨.(填序號)

①△ABEmADBC；

②NC2E=60°；

?GF//AC；

④△BPG是等邊三角形；

⑤平分/AHC；

⑥AH=DH+BH；

?CH=BH+EH；

⑧NHGF=NHBF；

⑨NHFG=NGBH；

⑩圖中共有2對全等三角形.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE=BC,N4BO=NCBE=60°,則可

根據(jù)“SAS”判定△ABE絲△OBC,可對①②進行判斷；證明ABG尸為等邊三角形得到/

BGF=60°,則/ABG=NBGF,所以GF〃AC,從而可對③、④進行判斷.利用△ABE

得到AE和DC邊上的高相等，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理逆定理可對⑤進行

判斷，在4E上截取AN=OH,連接BN,由“SAS”可證△A8N絲可得BN=BH,

/ABN=/DBH,可得A”=Q4+B4,可判斷⑥，同⑥可判斷⑦；根據(jù)三角形外角的性

質(zhì)可判斷⑧⑨；證明△ABG絲△￡>“(SAS),△BCFQ4BEG(ASA),可判斷⑩；即

可求解.

解：,:XABD、△BCE為等邊三角形，

：.AB=DB,NABD=NCBE=60°,BE=BC,

:.NDBE=60°,

ZABE=ZDBC,

在△ABE和△OBC中,

AB=DB

-ZABE=ZDBC.

BE=BC

(SAS),故①@正確;

/BAE=NBDC,NBCD=/BEA,

在AAGB和△OFB中，

，ZBAE=ZBDC

*AB=DB，

ZABG=ZDBF=60"

.?.△AGB空△。尸B(ASA),

：.BG=BF,

又；NDBF=60°,

是等邊三角形，故④正確，

:.NBGF=60°=NABD,

J.GF//AC,故③正確，

/\ABE^/\DBC,

和。。邊上的高相等，

即B點到AE和DC的距離相等，

.??8〃平分乙4HC,所以⑤正確；

如圖，在AE上截取AN=OH,連接BN,

如圖，在4E上截取連接BN,

在AABN和△DBH中,

'AN=DH

>NBAN=/BDH，

AB=DB

.二△ABN絲△OB”(SAS),

：.BN=BH,NABN=NDBH,

：.ZABN+ZDBN=NDBH+NDBN=ZNBH=/A8￡)=60°,

.?.△BNH是等邊三角形,

:.BH=NH,

：.AH=AN+NH=DH+BH,故⑥正確，

在△ABN和△08”中，

ZAN=DH

</BAN二NBDH，

AB=DB

:./\ABNq4DBH(SAS),

:.BN=BH,/ABN=NDBH,

：.ZABN+ZDBN=/DBHMDBN=NNBH=ZABD=60°,

是等邊三角形，

：.BH=NH,

:.AH=AN+NH=DH+BH,故⑥正確，

如圖，在CQ上截取CM=3"，連接

,?ZCHE=NBAE+NBCD,

：.ZCHE=ZBDC+ZBCD=NABD=60°,

平分

:?/BHG=/BHF=60°,

:./BEH+NEBH=/BCH+/ECM=60°,

9：ZBCD=ZBEA,

:?/EBH=/ECM,

同理得(SAS),

:?EM=MH,NCEM=NBEH,

：.ZBEH+ZBEM=ZCEM+ZBEM=ZBEC=60°,

:?△EM〃是等邊三角形，

:?EH=MH,

:.CH=CM+MH=BH+EH,故⑦正確，

■:NBHG=NBFG=60°,

ZBEH+ZHBF=ZBEH+ZHGF=60°,

:./HGF=4HBF,故⑧正確；

NEHC=NHFG+NHGF=NGBH+NHBF=60°,

：.ZHFG=ZGBH,故⑨正確；

⑩在aANG和△OBF中，

'AB=DB

-NABG=NDBF=60°，

BG=BF

:AABGdDBF(SAS),

在△BCF和△BEG中，

,ZBCF=ZBEG

<BC=BE，

ZCBF=ZEBG=60°

:ABCF必BEG(ASA),

AABE會/XDBC,

圖中不只有2對全等三角形，故⑩錯誤.

故答案為：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等

邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題。(本大題共11個小題，滿分65分。解答時請寫出必要的演推過程)

17.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點△ABC(即三

角形的頂點都在格點上).

(1)ZiABC的面積為5.5.

(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線的對稱圖形△4B'C.

(3)在MN上找一點P,使得PB+PC的距離最短，在圖中作出P點的位置.

A

B1

/

\/

\

\1

c

N

【分析】(1)利用矩形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可;

(2)分別作出各點關(guān)于直線MN的對稱點，再順次連接即可；

(3)連接BC'交直線于點P,則點P即為所求點.

解：(1)5AAC=3X4--X3X2-—X1X4-X1X3=12-3-2-1.5=55

822

故答案為：5.5；

(2)如圖，B'C即為所求;

IV

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題,凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮

線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學軸對稱變換來解決,多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

18.如圖，AB=AE,Nl=/2,NC=ND.求證:

(1)/\ABC^/\AED；

(2)Z1=ZDEC.

【分析】(1)先求出NBAC=NE4O,再利用A4S證明即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)得到/ABC=/AE/),再利用三角形外角性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)=

：.Z1+ZEAC=-Z2+ZEAC,

即NBAC=NE4。，

在△ABC和△AEQ中，

2C=ND

>ZBAC=ZEAD，

AB=AE

A/\ABC^/\AED(A45)；

(2)V/\ABC^/\AED,

：.NB=NAED,

'：Z1+ZB=ZAEC=NDEC+NAED,

：.Z\=ADEC.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.下面是證明三角形內(nèi)角和定理推論1的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

已知：如圖，△A8C,點。是BC延長線上一點.

求證：ZACD-ZA+ZB.

方法一：利用三角形的內(nèi)角和定理進行證明方法二：構(gòu)造平行線進行證明

證明:證明:

【分析】分別利用三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)即可證明.

【解答】證明:

方法一：VZA+ZB+ZACB=180°,

：.180°-(ZA+ZB).

又：NACB+/ACD=180°,

.?.NACB=180°-ZACD.

.?.180°-(ZA+ZB)=180°-ZACD,

：.ZACD^ZA+ZB.

過點C作CE//AB.

：.ZACE=ZA,NECD=NB,

：.ZACD^ZACE+ZECD=ZA+ZB.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)，比較簡單，要牢牢掌握該知識點,

并能靈活運用.

20.如圖，在△4BC中，與CE是aABC的高.

(1)若AB=7cm,BC—lOcm,CE—Scm,求A。；

(2)若A8=2,BC=3,△ABC的高AD與CE的比是多少？

【分析】(1)利用三角形面積公式Sa虻cEAB.CEn/BOAD，即可求解;

（2）利用三角形面積公式s△處c=^_AB?CE=/BC?AD求解即可.

解：（I）VSAABC^-AB-CE=JBC-AD?

?■--^-X7X8=yX10XAD>

…28

??AD=^-cn；

（2）VSAABC=yAB?CE=^-BC-AD>

???yX2XCE=yX3XAD.

.他上

,*CE

【點評】本題考查三角形的面積，利用同一個三角形的面積的兩種表示列方程是解題的

關(guān)鍵.

21.如圖所示，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△A3。是等邊三角形，于

是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊

的一半，交換命題的條件和結(jié)論，會得到一個新命題：在直角三角形中，一條直角邊

等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°,?請判斷此命題的真假，若為真

命題，請給出證明：若為假命題，請說明理由.

【分析】延長BC至點O,使CD=BC,連接AO,證明△ABD是等邊三角形，得到NBA。

=60°,根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可.

解：在直角三角形中，一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°,

故答案為：一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°；

此命題是真命題，理由如下：

已知：在△ABC中，NC=90",

求證：/A=30°.

證明：延長BC至點￡>,使CO=BC,連接AD,

VZACB=90°,CD=BC,

???AC是線段3。的垂直平分線,

：.AB=AD

BC[AB，

：.BD=AB,

.?.△ABD是等邊三角形，

AZBAD=60°,

?：ACLBD,

???ZBAC=yZBAD=30°?

故答案為：一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°.

【點評】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，熟練掌

握等邊三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)健.

22.如圖，已知直角△ABC,ZB=90°,AB<BC,請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點

P,使BPLAC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】：以B為圓心，大于8到4C的距離為半徑作圓交4c于。，E,作OE的垂直

平分線交AC于尸，點P即為所求.

解：以B為圓心，大于8到AC的距離為半徑作圓交AC于。，E,作OE的垂直平分線

交AC于尸，如圖：

點尸即為所求.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖

方法.

23.如圖，在AABC中，AB=AC,點。在AC上，且求：

(1)圖中有哪些等腰三角形？

(2)ZVIBC各角的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)已知和等腰三角形的定義，即可解答；

(2)設(shè)NA=x°,利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA=N4BO=x。，從而利用三角形的外

角性質(zhì)可得/83C=2x°,然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=NC=NBOC=

2x0,最后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答.

解：(1)圖中的等腰三角形有：△ABC,△AB。，ABCD,

?；48=AC,BD=BC=AD,

.?.△ABC,△AB。，△BCQ都是等腰三角形；

(2)設(shè)NA=x°,

'：AD=DB,

NA—ZABD=x0,

*：ZBDC是△ABO的一個外角,

AZBDC=ZA+ZABD=2x°,

?：BD=BC,

：.ZBDC=ZC=2x°,

t：AB=AC,

：.ZABC=ZC=2x0,

VZA+ZABC+ZC=180°,

.\x+2x+2x=180,

解得：x=36,

.??/A=36°,NABC=/C=72°,

???△ABC各角的度數(shù)分別為36°,72°,72°.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，準確熟練地進行計

算是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在Rl^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,OE是A8的垂直平分線，交A8、

8C于點。、E連接CO、AE.求證：

（1）△ADC是等邊三角形；

（2）點E在線段CQ的垂直平分線上.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得N3AC=60°,根據(jù)含30度角的直

角三角形的性質(zhì)可得ACJAB，根據(jù)力E是AB的垂直平分線，可得AD=DB=￡AB，即可

證明△AOC是等邊三角形；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=8E,進而可得AE平分NBAC,根據(jù)角平分線的

性質(zhì)可得。E=OC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得4O=AC,即可得證.

【解答】（1）證明：在RtZXABC中，ZACB=90°