江西省上饒市2023屆高三第一次高考模擬考試數學（文）試題（解析版）

上饒市2023屆第一次高考模擬考試

數學（文科）試題卷

命題人：吳移東蔣麗玲張金裕董樂華

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，答題前，考生務必將自己的姓

名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每個小題K答案】后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的K答案U標

號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它K答案X標號，寫在本試卷上無效.

3.回答第∏卷時，將（答案』寫在答題卡上，答在本試卷上無效.

4.本試卷共22題，總分150分，考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1設集合A={x*一縱―6<。},8={T-2,0,2,4},則『3=（）

A.{0,2}B.{-2,0}C.{-2,0,2}D.{0,2,4）

K答案HD

R解析D

K樣解D求出集合A中元素范圍，然后求ACB即可.

K詳析?A=尤？-5x—6<θ}={x∣—1<X<6},又B={—4,—2,0,2,4},

.?.AB={0,2,4}.

故選：D.

2.若Z=2—3i'（i為虛數單位），則IZl=（）

A.√13B.5C.3D.1

K答案，A

K解析D

K祥解D求出Z的代數形式，然后求模即可.

K詳析』z=2-3i3=2+3i，

∣z∣=V22+32=V13.

故選：A.

2

z、Ix÷9,x≤O/z

3.若函數∕x=∣/Q八，則/"-2)=()

log2(x+3),x>0

A.4B.3C.2D.1

(答案UA

K解析』

K祥解D直接根據K解析》式求解函數值即可.

、%2+9,x≤0.、

K詳析D由函數/(%)=((八得α-2=4+9=13,

llog2(x+3),%>0

-??∕(∕(-2))=/(13)=Iog216=4.

故選：A.

4.某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫X(0C)之間的關系，隨機統(tǒng)計了四個工作日的用電量與

當天平均氣溫，并制作了對照表：由表中數據得到線性回歸方程y=-2x+α,當氣溫為-3°C時，預測用

電量為()

氣溫X(℃)1813IO-1

用電量y(度)24343864

A.68度B.66度C.28度D.12度

!［答案』B

K解析H

K祥解Il根據樣本中心滿足回歸方程9=-2x+d即可解決.

18+13+10-124+34+38+64,八

K詳析D由表中數據可知X=10,y=---------------二40,

44

所以回歸方程》=—2x+3過(10,40),得40=-2χl0+4,即4=60,

則回歸方程為y=-2x+60.

當X=-3時，y=-2χ(-3)+60=66,

故選：B.

5x-lly≥-22

5.已知X和y滿足約束條件（2x+3y≥9,則Z=IOX+1Oy的最大值是（）

2%≤11

A.70B.80C.90D.100

K答案UD

K解析』

R祥解Il畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再通過幾何意義平移直線,利用數形結合得解.

R詳析》畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖，

產

5x-?ly+22=0

5h

4l/?<A

2x+3y-9=O'^

21

\1

、5

^O\1234XX

x+1=O2x-ll=O

取Z=O得到直線χ+y=O,

由Z=IOX+IOy,可得>=一%+三，Z表示直線在y軸截距的io倍,

f5x-lly=-22X—5.5

聯(lián)立《c「，解得〈,即A(5.5,4.5),

2%=11>=4.5

ZmaX=IOX5.5+10x4.5=100.

故選：D.

6.直線自+y—l+4Z=0（ZeR）與圓（x+l>+（y+2）2=25的位置關系為（）

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

K答案HC

K解析，

K祥解W先求出直線過的定點，再通過定點和圓的位置關系來確定直線與圓的位置關系.

K詳析H由直線區(qū)+y-l+4左=O得Z(X+4)+y-l=0,

令x+4=(),y-l=(),得χ=-4,y=l,

故直線履+y—1+4%=0(A∈R)恒過點㈠,1),

又(一4+1>+(1+2)2=18<25,

即點(-4,1)在圓(χ+l)2+(y+2>=25內,

故直線日+yT+4Z=O(ZeR)與圓(x+l)2+(y+2)2=25的位置關系為相交.

故選：C.

7.函數/(X)=XCOSX的部分圖象大致為()

K解析D

K樣解》根據函數的奇偶性以及特殊區(qū)間上的正負即可結合圖象，利用排除法求解.

K詳析》由/(x)=XCOSX得/(-X)=TCOS(-x)=-xcosx=-∕(x),所以/(x)為奇函數，故排除

B,又當尤時，x>0,cosx>0,故/(x)>0,此時排除A,

當XGlq'與)時'X>°，COSX<0,故f(χ)<O,此時排除D,

故選：C

8.雙曲線C：/-^2=4的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過外作垂直于X軸的直線交雙曲線于A，B西點,

則片45的內切圓半徑等于()

A.?B.旦C.√2D.2

22

K答案UC

R解析H

K祥解』由已知求出C的值，找出AB的坐標，即可求出∣M∣,∣3K∣,∣AB∣,由等面積法即可求出內切

圓的半徑.

K詳析H由雙曲線C:Y—y2=4,知/=〃=4，

所以￠2=/+/=8,

所以B(2√Σ,0),忻用=2c=40

所以過工作垂直于X軸的直線為X=2加，

代入C中，解出4(2夜,2),川2夜,—2),Z*(-2√2,θ),

所以IA娟=忸6I=J40『+22=6,IABl=4,

設,《AB的內切圓半徑為r，在4AK6中，由等面積法得：

1|4周+忸制+∣AB∣)?r=;IA即閨用

所以g(6+6+4)?r=gχ4χ4V^,

解得：r-????-V2-

8

故選：C.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果s=l+'+'++」一，則判斷框中填入的條件可以為()

352023

A.z≤2023B.z≤1013C.∕≤1011D.Z≤1012

K答案HD

K解析U

K樣解Il根據給定的程序框圖，逐次循環(huán)計算，結合輸出結果進行判定，即可求解.

K詳析D框圖首先給累加變量S賦值O,給循環(huán)變量i賦值1,

判斷框中的條件滿足，執(zhí)行s=O+l,i=l+l=2;

判斷框中的條件滿足，執(zhí)行s=O+l+?L/=2+1=3；

3

判斷框中的條件滿足，執(zhí)行s=O+l+'+?L/=3+1=4；

35

依次類推,令2023=21—1,知I=Io12,

判斷框中的條件滿足，執(zhí)行l(wèi)+』+,+K+—1—,7=1013

352023

此時不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內應填入的條件是VW1012?”

故選：D.

10.設函數/(x)=ACOSfυx(A>0,<υ>0),若對Vxe[6,7],/(χ)≤0,則①的最大值為()

3ππ9π1lπ

A.—B.-C.—D.----

1421414

K答案XD

R解析工

K祥解Il由條件求公丫的范圍，結合余弦函數的性質列不等式求0的最大值.

K詳析D由6≤x≤7,可得O<6<υ≤0xW7<υ,

6CD≥—F2kτt

2

由余弦性質可得：；,Z∈N,

lω<-+2kπ.

2

/π

069≥—

27r3Jr

取攵=O可得，解得2≤3≤C

_‘3兀'1214

∕ω≤—

2

66υ≥-

2,5π7π

取Z=I可得，,解得一≤ω<—

7π,1214

769≤—

2

N、9兀

069>——

29Ti1ITT

取Z=2可得，,解得'≤3≤——

,1lπ1214

lω<----

2

/、?！?4?π

6G≥—+2Λπω≥---------

212

取A≥3可得，〈,解得<

3π+4E

7ω≤-+2kπω<----------

214

l,、，π+4kπ3π+4kπ7π+2Skπ-18π-24kπ_4Aπ-l1兀

因為-------

12-1484-—84^

所以吐幽3π+4fot

>----------

14

所以滿足條件的切不存在,

所以。的最大值為H

故K答案》為：D.

11.蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的

球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物

質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四

個點A,B,C,P,AClBC,AC=BC=A,PC=6,則該鞠（球）被平面出8所截的截面圓面積為

（）

,“23CC25

A.7兀B.—TtC.8TiD.—TC

33

（答案》D

K解析D

K祥解D將三棱錐尸一43C放入如圖所示長方體，設長方體的另一棱長為。，由2火=6="7T不二7

求出“，即可求出PAPB,再由余弦定理和正弦定理求出,∕?g的外接圓的半徑為r,即可求出該鞠（球）

被平面所截的截面圓面積

K詳析力因為三棱錐P—ABC的外接球的半徑為3,而PC=6,

所以PC為外接球的直徑，如圖，將三棱錐ABC放入如圖所示的長方體,

則AC=BC=4,設長方體的另一棱長為“，

所以2H=6=+4?+片,解得：α=2,即PZ)=2,

設外接球的球心為。，所以PA=PB=J2?+7=26，AB=√42+42=4√2>

取，的外接圓的半徑為r,

PA1+AB2-PB232√iδ

則COSNPAB=

2PAAB2×2√5×4√2^5

廠2一PB_2非—IoGr

則SinNPAB=所以'sinZPABJl53>貝IJr=

5-—3

5

25

所以該鞠(球)被平面以8所截的截面圓面積：5=πr2=π—π.

3

12.已知函數/(x)=sin2x+2sinx-1,則/(x)在x∈[0,2023τι]上的零點個數是()

A.2023B.2024C.2025D.2026

K答案，B

K解析D

K祥解』先證明函數/(χ)為周期函數，再利用導數研究函數/(χ)在一個周期內的零點個數，由此可得

結論.

R詳析》因為/(x+2τι)=Sin2(x+2π)+2sin(x+2π)-l=Sin2x+2SinX-I=/(x),

所以函數〃x)=sin2x+2sinx—1是周期為2π的周期函數,

又f<x)-2cos2x+2cosX=2(2cosx—l)(∞sx÷l),

當x∈[θ,2π]時,令f,(x)=2(2cosX-l)(cosx+1)=0,

可得x=2或X=型或X=兀

33

當0≤x<二時，r(x)≥0,當且僅當尤=T時，/'(X)=O

33

函數/(x)在Xeθ,?上單調遞增，

因為/(o)=τ,/怎)=￥一1>°，所以函數/(%)在%

存在一個零點;

當W<χ<乎時，rατ°'當且僅當χ=π時，/'(力=°，

Ijr5冗?

所以函數/(X)在Xe7J上單調遞減，

因為/(1)=孚一1>0,/(兀)=一1<0，

所以函數/(x)在pπ存在一個零點;

13/

STr(5兀

當號<x<2兀時，用x)>0,所以函數/(x)在x∈l—,2π上單調遞增,

因為/[可J=—罟一1<0，/(2兀)=一1<°,

(5-

所以函數/(x)在5π,2π不存在零點；

所以當xe[(),2τφ寸，函數/")有兩個零點，且零點位于區(qū)間(0,π)內，

所以/S)在％∈[0,2023π]上共有2x1012=2024個零點.

故選：B.

Kr點石成金』》對于具有周期性的函數的性質的研究一般先確定函數的周期，再研究函數在一個周期性質，

由此解決問題.

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩個部分.第(13)題一第(21)題為必考題，每個考生都必須作答.

第(22)題一第(23)題為選考題，考生根據要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把K答案X填在答題卡上.

13.已知向量A8=(3,m-3),BC=(2,4).若AB,C三點共線，則m=.

K答案，9

R解析y

K祥解』由三點共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標運算得(答案》

K詳析》?,ABC三點共線,

.?,AB與BC共線,

.,.3×4=2(m-3),解得〃?=9.

故K答案Il為：9.

14.2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學習宣傳貫徹黨推動全面貫徹實施憲法”,

某校由學生會同學制作了憲法學習問卷，收獲了有效答卷2000份，先對其得分情況進行了統(tǒng)計，按照

[50,60),[60,70).......[90,100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中X=.

K解析H

K祥解D根據頻率分布直方圖的性質列方程求X即可.

K詳析H由頻率分布直方圖的性質可得(0?005+x+0.035+0.030+0.010)χl0=l,

X—0.020,

故K答案X為：0.020

A4八廠…,2cosAcosBcosC

15.已知.ABC的內角A,8,C所對的邊分別為α,"c,----------=---------+---------，則角A=.

beabac

K答案Dy##60

K解析》

K祥解》先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.

"、工3依j2cosAcosBCoSCVlLH-F

K詳析X將等式------=------+-----兩邊同時乘以仁歷得

beabac

2acosA=c∞sB+bcosC,

由正弦定理得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=Sin(B+C)=SinA,

又在中A∈(0,兀)，得sinA≠O

/.cosA=—

2

π

.?.A

3

故K答案11為：一.

3

16.在正方體ABe。一ABeOl中，點P滿足CP=∕LCD+-CC∣,其中4?0』］，4?0』］,則下列結

論正確的是.

①當4=〃=1時，BPj_平面Age；

②當；I=〃時，BxP與平面CCQQ所成角的最小值為-；

4

③當4+〃=1時，過點％、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；

④滿足到直線AA的距離與到直線CG的距離相等的點尸恰有兩個.

K答案》①②③

R解析D

K祥解Il建立空間直角坐標系，當％=〃=1時，利用向量方法證明4耳_1_BP,BPI.AC,結合線面垂直

判定定理證明BP_L平面AB0,判斷①；求九=〃時直線Bf的方向向量和平面CG2。的法向量，根據

向量夾角公式求線面角的正弦值及其最小值，判斷②；由彳+〃=1可得P,G三點共線，討論點P的位置，

確定截面形狀，判斷③；證明點P到直線4。的距離為根據拋物線定義確定點P的軌跡判斷④.

K詳析D由己知A41?LAB,AA_LAD,A3_LAO,

以點A為原點，以A3,AT),AA∣為羽乂z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

設AB=I,則C(l,1,0),D(OJO)Q(OJl),A(0,0,0),B,(1,O,1),C,(1,1,1),B(1,O,O),

所以CD=(—1,0,0),CCl=(0,0,1),AB1=(1,0,1),AC=(1,1,0),

因為CP=λCD+//CC1,所以CP=(一2,0,M),

對于選項A,因為;1=〃=1,所以CP=(To,1),BC=(0,1,0),

所以BP=BC+CP=(—1,1,1),

所以ABiBP=—1+0+1=0,BP?AC=-1+1+O≈O-

所以_AC,

所以A3∣?BP,BPLAC,

又ABlAC=A,Ag,ACu平面ABC,

所以成，平面AB。；①對,

對于選項B,因為之=〃，所以CP=(—4,0,4),

BlP=BlC+CP=(0,l,-l)+(-Λ0,A)=(-Λl,∕l-l),

向量〃=(0,1,0)為平面CGAo的一個法向量，

所以"辦粉百十衣

設BlP與平面CeA。所成角為氏則

sinθ=/其中2€[0,1],

√2Λ2-22+2

當；1=0或4=1時，,2/12_2/1+2取最大值，

sinθ=/1-------≥——,θ∈

√2Λ2-2λ+22嗚

對于選項C,由CP=28+∕zC￡,義+〃=1可得,

(4+〃)CP=λCD+)J,CCχ1

所以；IP。+"PC；=0,所以P,D,G三點共線，

記G。與DC的交點為。,

當點尸與點D重合時,

因為C4〃D4,所以過點A、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形CD4∣8∣,

當點P與點G重合時，

因為AC"AC,所以過點A、p、C的平面截正方體所得截面為四邊形ACG4,

當點P與點。重合時，

因為C?！?，所以過點4、P、C的平面截正方體所得截面為四邊形AACB,

當點P在線段DQ上時（不含端點），連接CP并延長交OA于點E，在線段8片上取點F,使得BF=DE,

在線段44∣上取點H,使得AH=DE,

則HEHAD,HE=AD,所以四邊形BCEH為平行四邊形，

所以CEIlBH,CE=BH,

因為BF∕∕HAl,BF=HA，所以四邊形8X4/為平行四邊形，

所以8"“E41,6"=E41,

所以CE〃EVCE=EV所以C,E,A,F四點共面，

故過點A、尸、C的平面截正方體所得截面為四邊形CEAF，

同理可得，當點尸在線段GQ上時（不含端點），過點A、P、C的平面截正方體所得截面為下圖中的四邊

形CMAM

即當，+〃=1時，過點4、P、C的平面截正方體所得截面均為四邊形；③正確;

由己知點尸為正方形co。G內一點，含邊界，連接P2,過點尸作PK，CG，垂足為κ,則點尸到直

線CG的距離為尸κ，

因為42J_平面CE）AG,APU平面co。G，

所以qP_L4。，所以點P到直線ADl的距離為D1P,

由己知。IP=PK,

所以點尸到點Q的距離與點P到直線CCl的距離相等,

故點P的軌跡為平面C￡?。G內，以點，為焦點，Ca為準線的拋物線的一部分，如下圖所示，故④錯誤.

故K答案H為：①②③.

Kr點石成金』』本題為考查線面垂直的判定，直線與平面的夾角，正方體的截面和空間圖形中的軌跡問題,

是一道綜合程度較高的試題，需要學生具有扎實的基礎知識.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群

會伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時間個體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2—6周左右能恢

復.某興趣小組為進一步了解新型冠狀病毒恢復所需時間，隨機抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其

中有男性100名，女性100名）進行調查，得到數據如下表所示：

痊

愈周數1周2周3周4周5周6周大于6周

性別

男性4502412622

女性24022161064

若新型冠狀病毒患者在3周內（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.

（1）分別估計男、女新型冠狀病毒患者"痊愈快''的概率？

（2）完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關？

痊愈快慢

痊愈快痊愈慢總計

性別

男性

女性

總計

(α+?)(c+J)(α+c)(?+

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

K答案Il（I）男、女新型冠狀病毒患者"痊愈快''的概率分別為：0?78,0.64

（2）二聯(lián)表見K解析％有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關

K解析R

K祥解》（1）根據表中數據的統(tǒng)計，結合古典概型的概率公式即可求解，

（2）根據數據統(tǒng)計完成二聯(lián)表，即可計算K?，進行判斷.

K小問1詳析』

由表中數據可知：男性患者在三周以及以內康復的人有4+50+24=78,女性患者在三周以及以內康復的

78

人有2+40+22=64,故男性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為一=0.78,女性新型冠狀病毒患者

100

64

“痊愈快”的概率為——=0.64

100

R小問2詳析》

二聯(lián)表如下表：

痊愈快慢

痊愈快痊愈慢總計

性別

男性7822100

女性6436100

總計14258200

故片=200x(78x36-64x2嘰ES,]

142×58×100×100

故有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關

18.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，q=2,生=4,且S>2-2S,,+∣+S,,=2.

⑴證明：數列｛4｝是等差數列，并求&｝的通項公式；

⑵若等比數列也｝滿足，仇=1,h2+b3=0,求數列｛a,,。｝的前2〃項和(“.

K答案Il(I)證明見R解析％4=2〃

(2)-2/2

K解析D

K樣解Il(I)利用a“=S“-S,ι變形可得2+2-4川=2,進而可證明等差數列并求通項公式；

(2)設等比數列｛〃｝的公比為夕，先通過條件列方程求出夕，進而可求出再利用并項求和法求和.

K小問1詳析》

由SSm+S,=2得Sn+2-S-S")=2,

?'.an+2-an+i=2,又七一卬=4—2=2,

??.數列｛%｝是以2為首項，2為公差的等差數列；

all=2n；

R小問2詳析]

設等比數列也｝公比為夕，q≠0

則4+4=4+/=0,

.?.q=-1,

.他KT)"'

???%?4=2"?(T)"T>

二%“=2-4+6-8++2(2n-1)?(-1)2"^2-2(2n)■(-1)2"^'

二(2-4)+(6-8)++[2(2∏-1)?(-I)2n^2-2(2n)?(-1)2"^']

=—2+(—2)÷÷(—2)=—2n

19.如圖，在ABC中，AB=BC=26，NABC=I20°,O是線段AC上靠近點A的三等分點，現(xiàn)將

△ABD沿直線BD折成∕?PBD，且使得平面PBD，平面CBD.

(1)證明：平面PBD，平面PCB；

(2)求點B到平面PCD的距離.

R答案II(I)證明見R解析》

(2)^??

5

K解析H

K樣解Il(I)根據三角形中的邊角關系由余弦定理可求解AC,BD的長度，進而可得垂直關系，由面面垂

直的性質即可求解，

(2)利用等體積法即可求解.

K小問1詳析』

在.ABC中，由余弦定理得

AC=√AB2+BC2-2AB-BCcos120=^12+12-2×2√3×2√3×^-∣j=6,故

AD=-AC=2,CD=-AC=4,

33

在ΛB。中，ZA=30,AO=2,A8=2√5,所以

BD=yJλD2+AB2-2ADABcos30=^4+12-2×2×2χΛ×2^-=2>

由于BO=2,CO=4,8C=26,故所以BC上BD,

由于平面PBDJ_平面CBD,平面PBE>∩平面CBD=BD,BCc=平面CBD,所以BCl平面PBD,

又3Cu平面PCB,所以平面PBD，平面PCB,

K小問2詳析)

由BC工平面PBD,BPU平面PBD所以BCI.PB,

所以PC=y]PB2+BC2=^(2√3)2+(2√3)2=2√6,

岫yon.PD2+CD2-PC24+16-24則

故在—PCD中，cosZPDC=----------------------=--------------L

2PDCD2×2×44

sinNPDC=√l-cos2ZPDC=叵

4

故Spnr=-PDCDsinZPDC=?×2×4×-=√15,

pdc224

Spiid=-PD-PBs?n30='x2x2G」=百

pbd222

V

設B到平面PCD的距離為h，則由等體積法得VB-PCD=C-PBD，即

SPBDBCg義2乖>_2后

SPCDh=SBC=>A=

PBDS.PCDΛ∕155

20.已知函數F(X)=OX+αlnx.

(1)當α=l時，求過點(0,0)且與曲線y=∕(x)相切的直線的方程;

(2)若方程/(x)=xe'有兩個不相等的實根，求實數。的取值范圍.

K答案[(1)y=[l+，卜；

(2)α的取值范圍為(e,+oo).

K解析H

K祥解I)(I)設切點為(%,Λ0+ln/),根據導數的幾何意義列方程求修,由此可得切線方程；

(2)由已知L=X+J7”有兩個解,利用導數分析函數g(x)=讓坐(x>0)的性質作函數g(x)的圖象結合

cixcXe

圖象確定”的取值范圍.

R小問1詳析T

當α=l時，/(x)=x+Inx,則尸(X)=I+，，

設過點(0,0)的曲線y=∕(x)的切線的斜率為3切點為伉,Λ0+lnι0),

則々=∕'(x0)=l+L,又z=?l?=ι+g,

???

所以1+」-=1+3

??

所以玉)=e,k=l-?—,

e

所以所求直線方程為y=[1+J)χ；

K小問2詳析?

由題意，方程”(x+lnx)=xe*,顯然x>0,a≠0,

.,,...T1?+lnX

方1程πλ等λ價于一=———,

axe

l/、x+lnx,八、mιl,/、(X+1)(1-X-1ΠΛ)

記g(x)=———(x>0),則P,(X)=?----------------------L,

2

xeχe'

令g'(x)=0,可得I-X-InX=0,

設〃(X)=I-X-InX,

因為函數〃(X)=I-X-InX在(0,+⑹上單調遞減，且〃(I)=0,

所以X=I時，g'(x)=0,

當0<x<I時，g'(x)>0,函數g(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，

當x>l時，g'(x)<O,函數g(χ)在區(qū)間。，+8)上單調遞減，

又g⑴=L

e

當x>l時，g(x)>O,

當χ→+8時?，與一次函數和對數函數相比，指數函數e戈的呈爆炸性增長,

從而葉學→0,g'(x)<O,且(x+l)(l-x-lnx)

Xex2ejr>

當x→0時，g(x)→γo,g'(x)→+∞,

根據以上信息作出函數g(x)的大致圖象如下:

方程J.=匕學的解的個數為函數g(χ)=±羋(χ>O)的圖象與直線),=J.的交點的個數,

axeXea

V+1πγi

由已知函數g(x)=土半α>°)的圖象與直線y=?L的交點的個數為2,

XQa

所以O<L<J,所以a>e,

ae

所以α的取值范圍為(e,+8).

Kr點石成金/關鍵點『點石成金人本題第二小間解決的關鍵在于將方程的解的問題轉化為函數的圖象的

關系的問題，再通過利用導數分析函數的單調性，作出函數的圖象.

22

21.已知橢圓G=+￡=l(a>b>0)過點A(2,θ),且橢圓上任意一點到右焦點的距離的最大值為

2+√3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C交不同于點A的P、Q兩點，以線段P。為直徑的圓經過A,過點A作線段PQ的垂

線，垂足為“，求點”的軌跡方程.

2

K答案］(1)—+/?l

4-

(2)點”的軌跡方程為：［%—?∣)+y2=［,除去點A(2,0).

K解析工

a=2

K樣解II(I)由題意可得｛α+c?=2+百，解方程即可得出K答案》.

a2^b2+c2

(2)則不妨設直線/的方程為x=my+f(?≠2),聯(lián)立直線與橢圓的方程由韋達定理結合AP?AQ=O,化

簡可得即可求出直線/恒過點M(g,O)?則由題知〃在以A〃為直徑的圓周上，即可求出求點”的

軌跡方程.

R小問1詳析］

α=2a=2

由題意可得(α+c=2+G,解得｛8=1,

222

a^h+cc=√3

2

所以橢圓方程為工+y2=ι.

4-

K小問2詳析工

由題意知，直線/的斜率不為0,

則不妨設直線/的方程為x=my+t(t≠2),

2

土+2-J

聯(lián)立《一消去X得(∕√+4)y2+2加)+/-4=0,

X=my+1

?=4∕w2r2-4仇2+4)(r2-4)>0,化簡整理得加2+4>/,

*一4

設P(Xl,yl),Q(χ2,y2)>則y+%=一方”，M%

m+4m2+4

因為以線段PQ為直徑的圓經過A,所以AP?AQ=0,

得(N-2)(?-2)+j1y2=0,

將x1=myx+t,x2^my2+1代入上式，

得(，加2+ι).2^Ξ±+mQ-2).≡^L+(f-2)2=0,

''/W+4m~+4

解得，=4或f=2(舍去).所以直線/的方程為x=my+?,

則直線/恒過點M(1,0)?

因為過點A做PQ的垂線，垂足為H,所以，在以AAf為直徑的圓周上，

所以點”的軌跡方程為：(X—|)+/=［，除去點4(2,0).

請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.注

意所做題目必須與所涂題目一致，并在答題卡選答區(qū)域指定位置答題.如果多做，則按所做的

第一題計分.

K選修4一4：坐標系與參數方程Il

X——\/3+y∕3t

22.在直角坐標系XOy中，直線/的參數方程為《C為參數)，以坐標原點O為極點，X軸正

y=-2+t

半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為psin26=4cos6.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

(2)已知點P的直角坐標為(2,0),過點P作直線/的垂線交曲線C于。、E兩點(。在X軸上方)，求

11

兩十同的值.

K答案R(I)直線/的普通方程為x-