湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期元月調(diào)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022~2023學(xué)年度高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符

合題目要求的.

1設(shè)集合A={x∣log2023∣X<°},B=Nr2+5χ+6>θ},則A§=()

A.(→o,6)B.(-6,1)C.(-l,0)U(0,l)D.(-∞,1)

K答案DC

K解析員

R祥解H首先求得集合AB的范圍，再求交集即可得解.

R詳析H對集合A:log2023國<0可得Iog2023W<Iog20231,

所以O(shè)<N<1,—1<x<()或O<x<l,

所以A={x∣-l<x<0或O<x<l},

又3={Λ∣-1<X<6},

所以A8={x[—l<x<O或O<x<l},

故選：C

2.i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(i—l)z=∣l+J司+3i,則Z的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

K答案，A

K解析U

K祥解》先利用模長公式和復(fù)數(shù)除法計算Z,再根據(jù)共物復(fù)數(shù)的定義即可知其對應(yīng)的點所在象限.

K詳析D因為|1+司=業(yè)+(6、=2,

所以「―2+3i(2+3i)(i+l)—l+5i—15

所'i-1(i-l)(i+l)-222,

-15

所以Z=—+—i,

22

所以Z的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第一象限，

故選：A

3.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、

掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺,如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單

位:em）,現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入9Ecm3（約285.9cn√）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（）Cm

A.2.8B.2.9C.3.0D.3.1

R答案DC

K解析D

K樣解》取圓臺的中軸面,補全為一個三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系,

根據(jù)圓臺體積為9Ecn?,列出等式,解出即可.

K詳析H解:由題知礦泉水的體積為91兀cπ√,

將圓臺的中軸面拿出,補全為一個三角形如圖所示:

加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為h,水平面半徑為J

由圖可知_A3C_AFG,

AB_BC

所以有IF=而'

即------

AB+66

解得AB=I2,

由，ABCADE,

ABBC

得zej——=—,

ADDE

124

即

18-〃-7

解得:〃=18—3r,

故加入礦泉水后圓臺的體積為:

V=%(18—3w62+6r+/)=91兀,

解得廠=亞石=5,

所以∕ι=18—3r=3.0.

故選：c

4.已知定義在R上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)且滿足/任τ]=∕(x),/(-2)=-3,則

/(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.3

K答案】B

K解析H

K祥解』由∕g-χ[=∕(χ)且/(χ)是奇函數(shù)可得3是/(χ)的一個周期，根據(jù)已知條件利用周期性和

奇偶性即可求解.

K詳析》因為/(χ)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(2)=—/(—2)=3,/(())=(),

且琨一'=一/U/⑴，_/(%_3)=/1_|)=_/(司，

即〃x)=∕(x-3),所以3是/(x)的一個周期,

所以/(2022)+/(2023)+/(2024)=∕(0+3x674)+∕(-2+3x675)+∕(2+3x674)

=/(0)+/(-2)+/(2)=0,

故選：B

5.已知々=730=88,C="，則。，b,C的大小關(guān)系為()

A.c<a<hB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

K答案ID

K解析《

K祥解』先構(gòu)造函數(shù)/(x)=(16-X)InX(7≤x≤9),求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，即可判斷”,b,c大小.

K詳析D令/(X)=(16-X)InX(7≤x≤9),

則f'(χ)=-lnx+(16-X)」=-InX+3-1,

XX

顯然當(dāng)7≤x≤9時，/(x)是減函數(shù)，

Pr,cIr16,9-71n7lne9-ln77

X∕(7)=-ln√+--1=---------=--------------,

e9-77<39-77<39-67=9?37-67=37(9-27)<0,即e9<77，

.?.lne9-ln77<0.即/'⑺<0,

???7≤x≤9時，f(x)<0,故/(χ)是減函數(shù)，

.?.∕(9)<∕(8)<∕(7),即71n9<81n8<91n7,

.?.ln97<In88<ln7%可得97<8ii<73即c<b<α?

故選：D.

6.雙曲線的中心為原點0,焦點在X軸上，兩條漸近線分別為∕∣,∣2,經(jīng)過右焦點尸垂直于∕∣的直線分別

交4，4于A,B兩點.已知|。4卜IA目、IOq成等差數(shù)列，且B尸與E4反向.則雙曲線的離心率為()

A.√5B.—C.旦D.√7

22

K答案，A

R解析』

K祥解》由題意,OAB為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率

K詳析H設(shè)∣Q4∣=/〃一⑷AB∣=/〃JoBl=+d,

由勾股定理可得：(∕77-j)2+m2=(∕w+√)2得：d=；m,

b(??IABI4

IanZAOF=-,tanZAOB=tan2-ZAOB=-=-,

aU)OA3

2xtan(LNAOB)/、

I2)4(1、1

由倍角公式------?=-------《=三，解得tan彳NAOB=不

1-tan2UZAOB3U72

且L∕AO8+NAOF=H,則tanNA0F=2,即-=2,

22a

則離心率e=∕7?=√5.

故選:A

兀

7.設(shè)g∣（f）和g2。）是函數(shù)y=sin（2x+°）在區(qū)間t,t+-上的兩個不同的值，當(dāng)g?）—g2（r）的值最

小時，g2（。=（）

√Σ2-√2

A.?B.r

222

K答案，c

K解析U

K祥解D函數(shù)y=sin（2x+e）的最小正周期T=§=兀，由題意，/,/+?是函數(shù)y=sin（2x+。）的單

乙i~T

調(diào)區(qū)間的子集，分類討論可得到g?）,g2。）的表達(dá)式，求得g（）-g?。）取得最小值時2/+。的值，進(jìn)

而可得g2?)的值.

K詳析》由一二+2加≤2x+*≤四+2kπ,(ZeZ),得一二-2+?π≤x≤'一史+?，(ZeZ),則

224,24,2

y=sin(2x+0)單調(diào)遞增區(qū)間為一，?—春+攵兀，^—春+E(kwZ)；

由色+2kπ≤2X÷￠9≤-+2kπ,(Z∈Z)∕^^-"+Zjι≤x≤^-2+for,(Z∈Z)4∣Jy=sin(2x+0)

224242

7T3兀

單調(diào)遞減區(qū)間為---?+k‰——+kπ(攵∈Z),

函數(shù)y=sin(2x+0)的最小正周期T=B=π,而區(qū)間t,t+^的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的;,

若g?）-g2（f）取得最小值，

π是單調(diào)區(qū)間一T一-+kπ,---+kπ.(ZeZ)或∣---+kπ,---+kπ(左∈Z)的子集,

則t,t+-

441乙tT4I乙I乙

ππ的子集時,

當(dāng)ΛZ÷-是單調(diào)遞增區(qū)間Z-^+kπ,^-^+kπ(AeZ)

4

兀

則gιQ)=sin(2r+°),^2(Z)=sin2r+-?+φ-cos(2f+夕),

sin(21+夕)-COS(2f+(P)=?p2,sinf2t+φ——

g,W-g2W=

則當(dāng)2f+e—巴=—巴+2E,即2f+e=-二+2Λπ,(%∈Z)時，g∣⑺—g?")取得最小值，

424

π…

則@2⑺=CoS⑵+°)=COS-----卜2kπ

I472

ππ-%E'*>E的子集時，

當(dāng)/,/+-是單調(diào)遞減區(qū)間-

44

則gi。)=Sin2,+(J+°=Cos

⑵+°),g2(r)=sin(2r+9?),

sinf2，+夕一；

gi⑺-g2⑺=cos(2f+^)-sin(2r+￠)=-√2

-TT-?TJ-??ττ"

則當(dāng)2/+夕一一=-+2E,即2，+C=二+2E,(ZeZ)時，g?)-g2?)取得最小值，

424

貝(

IJg2(r)=sin2z+??)=sinf+2kπ=7|

綜上，g式4=

故選：C.

8.已知圓錐的底面圓半徑為，圓錐內(nèi)部放有半徑為1的球,球與圓錐的側(cè)面和底面都相切,若@≤r≤Jd,

2

則圓錐體積的取值范圍是（）

8乃244巴,16萬8乃25乃

A.,B.C.D.[16%,25司

~T~5~6T,^6-

K答案》A

R解析』

K祥解D作出圓錐軸截面截得內(nèi)切球大圓，利用相似形把高〃用，?表示，然后求得體積關(guān)于〃的表達(dá)式，

換元后利用勾形函數(shù)單調(diào)性得范圍.

K詳析》作圓錐的軸截面，如圖，截球得大圓為圓錐軸截面等腰ABC的內(nèi)切圓，圓心。在高AZ）中，E

是腰上的切點，OE=I,設(shè)圓錐高為/?,

,OEAO1h-l2產(chǎn)

由Rt?AOERtA4CD得=，即-=,,，h———,

222

CDACr√∕z+rr-l

1,2r4r4-l+l=產(chǎn)+1+」

V--πr^^h--π?

222

33r-lr-lr-lr^-

令f=產(chǎn)—1，<r<?/e=>?≤Z≤5>

24

-^=「［"I=產(chǎn)+1+—~="+2,由勾形函數(shù)性質(zhì)知y=f+l在己」）上單調(diào)遞減，在（1,5］上

r2-lr2-lr2-ltt4

單調(diào)遞增，

所以r=l時，/+-+2取得最小值4,

rIz.1171261,,?.≈36

又f=一時，t+-=一，f=5時，t+-=一，r因r此1t+-+2的最ξ大值是一,

4t4t5t5

所以翌≤V≤幽.

35

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知正方體ABa）-ABCQl,點P是BG上一點（不包括端點），則（）

A.直線BP與四。所成的角為90。B.直線BF與CR所成的角為90。

C.直線A尸與4。所成的角為90。D.直線A尸與平面ACA所成的角為90。

R答案』AC

K解析D

K祥解D以。為原點，以D4,OC,QA邊分別為x,yz軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的

棱長為1，結(jié)合空間向量與法向量的坐標(biāo)運算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

根據(jù)題意，以。為原點，以D4,OC,邊分別為X,yZ軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體

的棱長為1，

則3(1,1,0),G(0,1,1),0(0,0,()),A(0,0,1),4(1,1,1),C(0,1,0),4(1,0,1),A(l,0,0)

即BG=(—1,0,1),設(shè)BP=4BG=(-40,∕l),其中/le(0,l)

所以P(I—Zi")

對于A,因為5尸=(-/1,0,4),βlD=(-l,-l,-l),且3P?4O=∕l-2=0,

即BP_L耳。，故正確；

對于B,因為CA=(O,—1,1),則3P?CR=∕IHO,即BP與CDl不垂直，故錯誤；

對于c,因為AP=(—4/,％—1),BID=(-I,-I,-I),則AP?4Z)=x-1+1—2=0,

即故正確；

對于D,因為AC=(TJO),CD1=(0,-1,1)

設(shè)平面AC2的法向量為"=(χ,y,z),

n?AC=-Λ+y=0

則〈，解得X=V=Z,令X=1,則y=z=l

n?CDl=-y+z=O

所以平面ACA的一個法向量為”=(1,1,1)

且4尸=(—ZLX—i)，因為一)χ!χ?yL,即〃與AP不共線，故錯誤.

故選:AC

10.等比數(shù)列｛4｝的前n項和為7；,前〃項的積K“，且(>K,>0,Kb=K1>Kii>0,則下列選項中

成立的是()

A.對任意正整數(shù)〃，片+。：+2〉2。3B.a?=I

C?數(shù)列｛第”+2-t“｝一定是等比數(shù)列D.Kg>K5

K答案DABC

K解析H

K祥解》設(shè)公比為夕，首項為4,依題意可得％>1，。7=1，即可得到qw(0,l),從而判斷數(shù)列的單調(diào)

性，即可判斷BD,再根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式及等比數(shù)列的定義判斷C,最后根據(jù)等比中項及作差法判

斷A.

K詳析D解：設(shè)公比為4,首項為4,因為K6>∕?>0,所以4=3>1,

K5

又長6=仁>4>0,所以《7=與=1,所以4=&e(0,l),

A6a6

所以數(shù)列｛為｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列且qe(0,l),所以數(shù)列｛凡｝單調(diào)遞減，則故B正確，D

錯誤；

(q2n+2-q2"+4

q(∕"2-∕"+4)

"621-qU”

T2ll+2-T2n6(廣―鏟-2)q2,y+2

1一4

PTT"W-力2z1?

又看一石=-：------=%?q(1+4)，

「q

所以數(shù)列｛(“+2一豈”｝是以q?d(1+4)為首項，d為公比的等比數(shù)列，故C正確；

因為<1=%α,,+2，所以U+嫌2-2<,=a；+嫌2-2α,,%+2=(4-4+2『>。，

aa

即n+n+2〉2匕1，故A正確；

故選：ABC

11.設(shè)函數(shù)/(%)=5皿(8+1?3>0),若/(x)在［0,2,有且僅有5個零點，則()

A./(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點B./(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點

C./(x)在(0,?)單調(diào)遞增D.0的取值范圍是K一，一)

1036

K答案HAD

工解析D

π

R祥解》由［0,24］求得。X+1的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得。的范圍，判斷D,利用正弦函數(shù)的極大值、

極小值判斷ABC.

K詳析Dω>0,0≤x≤2萬時，一≤0x+-≤2<υ乃+—,

333

/(%)在Ko,2/有且僅有5個零點，則5%〈2/乃十乙<6%，-<ω<-,D正確；

336

JrTTSτrOTT

此時3X+生=生，"，二時，F(xiàn)(X)取得極大值，A正確；

3222

Cπ??π31,,3117.π3>π1π??π.,,.....

2ωπ+-≥---,ω≥一，即rr一<ω<一時，ωx+-=—,——,----時，F(xiàn)(X)均取得極小值，B錯；

32121263222

.?兀、，nTT(0兀兀、7-.Cι)τvTr17TrTr....兀、■.、*.

x∈(0,一)時，ωx+-≡(z―,——+一),ω≥-,l則1----F—>----->—,因此/(χ)在(0zx,一)上不遞增v,

1033103310330210

C錯.

故選：AD.

12.已知函數(shù)"x)=k-3|-eA'+a,則下列選項正確的是()

A.卜=/(%)在(2,3)上單調(diào)遞減

B.y=∕(x)恰有一個極大值和一個極小值

C.當(dāng)α≥0或α<γ2時，/(x)=0有一個實數(shù)解

D.當(dāng)α=()時，/(/(x))=0有一個實數(shù)解

K答案HAB

K解析H

K樣解》按絕對值的定義分類討論去掉絕對值稱號后，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，在確定方程的根的

個數(shù)時，注意函數(shù)值的變化趨勢.

K詳析Ux<3時,f(x)=(3-x)ex+a,∕,(x)=(2-x)ex,

x<2時，∕,(Λ)>0,2<x<3時，f?x)<0,

/(χ)在(-8,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，A正確；

x>3時，f(x)=(x-3)ex+a,/'(X)=(X-2)e*>0,/㈤在(3,TYQ)上單調(diào)遞增,

由上討論知χ=2是/(χ)的極大值點，x=3是/*)的極小值點，B正確；

/(2)=e2+π,/(3)=α,》<2時，/(%)=,一3歸'+。>。，所以α>()時，/(x)=0無實數(shù)解，C錯

誤；

。=0時，/(x)=|x-3|e\由以上討論知∕Q)=O=r=3,/(x)=3有3個實數(shù)解，所以/(/⑶)=0有

3個實數(shù)解，D錯誤.

故選:AB.

火點石成金口方法「點石成金上函數(shù)方程根的個數(shù)問題，可利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而確

定函數(shù)的變化趨勢，然后結(jié)合函數(shù)圖象，把根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在紅一3)4(指+“’的展開式中，Vy3的系數(shù)為.

K答案H-600

K解析H

工祥解Il根據(jù)乘積形式分別求出V、V對應(yīng)系數(shù)，然后相乘即可得∕y3的系數(shù).

R詳析力由(x-3)4中對應(yīng)/系數(shù)為-3?c]

?(√5+y)’中對應(yīng)y3系數(shù)為5C,

所以x>3的系數(shù)為一3?Ctχ5?C=—600.

故K答案H為：-600

14.已知正八邊形A5CE>E尸G〃的邊長為2,P是正八邊形45CDEFG”邊上任意一點，則∕??尸B的最

大值為.

K答案，12+80

K解析》

K祥解D不妨設(shè)A(l,0),B(-l,0),P(x,y),對抬?PB作幾何解釋即可求解.

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(l,0),B(T,0),P(x,y),則R4?PB=(1一χ,-y)?(一1一y一3；)=爐+產(chǎn)一1，

即是求正八邊形邊上的點到原點的最大距離，顯然當(dāng)P點與E或尸點重合時最大,

連接AF,過H,G分別作AF的垂線，垂足為MM,則MFG和AANH都是等腰直角三角形,

.?.∣AF∣=2√2+2,在A"G中，ZAGF為鈍角，.?.AE>4G,顯然E和F點到原點的距離最大,

22

IOEl2=(2√2+2)+l=13+8√2,(∕??PBI=13+8√2-l=12+8√2；

max

故K答案》為：12+8&-

15.已知拋物線C:V=4x的焦點為F,過點F的直線/與C相交于A、8兩點(點A位于第一象限)，I

與。的準(zhǔn)線交于。點，R為線段A。的中點，過拋物線上點M的直線與拋物線相切，且與直線/平行，則

ΛMAB的面積是.

K答案F處8

9

R解析H

R祥解》根據(jù)中點坐標(biāo)公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、拋物線定義、平行線間距離公式進(jìn)行求

解即可.

K詳析D由題意可知：F(1,O),準(zhǔn)線方程為尤=一1,設(shè)A(2,χ)(χ>0),。點的橫坐標(biāo)為-1,

Λ-ι

因為尸為線段AO的中點，所以42∏。6，即4(3,2r6)，

=1Inyl=12=X=2√3

于是有A=漢I=G,因為過拋物線上點M的直線與拋物線相切，且與直線/平行,

'3-1

所以過M的切線方程為y=JIx+Z?,代入方程V=4x中，

得3f+χ(2√?—4)+〃=00(2麻一4)2—12〃=On/,=;,

y=?Λx+弓=y∕3x-y+^-=0

直線/的方程為y=JJ(x-l),代入代入方程/=4x中，得

2

3X-10X+3=0.設(shè)3(工2，%)，所以有3?x2=Inx2=g,

?[6

∣AB∣=3—(—1)+——(—1)=—,由y=?/?(?-l)=>?/??—y—?∣3=O

BT_6)

點M到直線/的距離為過M的切線與直線/的距離，即3_26，

√3+l—3

因此4M48的面積是LX拽X3=3走，

2339

故K答案】為：蛆叵

9

鹿點石成金9關(guān)鍵r點石成金』：利用拋物線的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

16.對任意正實數(shù)記函數(shù)/(x)=∣IgXI在［α,+∞)上的最小值為〃%,函數(shù)g(x)=sin.在［0間上的

最大值為K,,若M“-砥=g,則〃的所有可能值_____.

K答案D；或Jid

(解析】

K祥解X根據(jù)/(x)和g(x)函數(shù)圖像，對“分類討論求解即可.

R詳析》/(x)和g(x)圖像如圖:

.aπ.aπ11

=sin——,/.Mλλ-m.=sin——二—Q=一;

2zf223

當(dāng)口≥1時，=∣lga?=Iga,Ma1,/.Ma-Ana=I-IgQ=5,Q=Jl0

故K答案』為：?或廂.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知ABC中，/A,NB,/C的對邊4，b,c成等比數(shù)列，2cos(A—C)—2cosB=l,延長BC

至點。，使BD=5.求:

(1)的大小;

(2)4C?CD的取值范圍?

π

K答案》(1)T

(2)吟

R解析2

首先根據(jù)三角形內(nèi)角和180，COS(A-C)+CoS(A+C)=；,化簡得CoSA?cosC=:,

K祥解】(1)

又/??=ac?則sin?B=Sini4?sinC,利用兩角和公式即可得解;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論CoS(A—C)=z+sin2jβ=l,ZA=ZC,故一ABC為等邊三角形，設(shè)ABC的邊

長為X，AC?CO=∣AC∣Ia)ICoS60。JX(5—x),結(jié)合X的范圍即可得解.

2

K小問1詳析》

cos(A-C)-cosβ=-=≡≥cos(A-C)+COS(A+C)=耳≡→*cosA.?cosɑ=—.①

又b?=ac，則sin?3=sinA?sinC②

故;一Sin23=cosA?cosC-sinAsinC=cos(A+C)=-cosB

137Γ7Γ

=>4cos?6+4cos8-3=0=>cos8=—或CoSB=-二(舍去).又O<NB<一,從而，ZB--.

2223

R小問2詳析］

由(1)結(jié)論，①+②得COS(A-C)=∕+si∏2B=1

則NA=NC,故JIBC為等邊三角形.

設(shè)一ABC的邊長為X.則0<x<5.

故ACCO=|AC/Ucos6()o=gx(5_x)=_g(X-I)-y

當(dāng)且僅當(dāng)X=g時，上式等號成立.故ACCD的取值范圍是

18.在數(shù)列｛%｝,圾｝中，4=4=1,對任意〃∈N*,an+l=(√2-1)y∣a,,an+i+√2on,等差數(shù)列｛4｝

及正整數(shù)加（根22）滿足偽=1,bιn=2,且J+白++—^—=3

bn,-k,

（1）求數(shù)列｛4｝，也｝的通項公式；

（2）令C”=|62+49一%|，求｛C"｝前〃項和S,,.

/74-S

K答案，(O4=2"T,瓦=--

6

13∏-H2_

----------,n≤7

2

(2)Sn=，

n2-Bn+84、。

---------------,n≥8

2

K解析U

K祥解Il（I）數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系變形得數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，從而可得其通項公式，等差數(shù)列｛2｝的

己知式用裂項相消法求和得公差d,從而易得其通項公式；

（2）求出C,,根據(jù)絕對值的定義分類討論求和.

K小問1詳析》

由題意知4>0，因為凡+]=（、歷一1）師二^+04,所以（揚二+國）（JZ]一厄二）=0?

因為%>0,所以向7+JZ≠0,所以國二一國=0，所以工強=正，即％1=2,

yja,ι為

所以｛%｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以α,,=2"T（"eN*）.

]

設(shè)數(shù)列｛b?公差為d>則-

電bbbb

23m-?,n

1,n÷5

一,Dn=----

6f16

K小問2詳析』

7-72,∏≤7,

因為?！?觸〃+瓦一%|二|〃一7],所以CA=V

〃-7,〃>7,

1-?2

所以當(dāng)〃≤7時，數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=6+5+（7—〃

。八°IJ"6)(B7)n2-13n+84

當(dāng)〃>7時，數(shù)列{%}的前n項和S,,=S7+[1+2+(-7)]=21+-----------------=----------------

+z222

13n-∕72

,H≤7

2

所以S,,=<

√-13n+84

-----------------,rt≥8

2

19.袋中有大小形狀完全相同的3個白球，2個黃球，1個紅球.現(xiàn)從袋中有放回的取球，每次隨機取一個,

直到紅球出現(xiàn)3次，則停止取球，用X表示取球停止時取球的次數(shù).

(1)求P(X=3)和P(X=Z)；

(2)設(shè)Y=min{max{X,4},5},求數(shù)學(xué)期望E(Y).

(?-l)(?-2)?5t^3

K答案X(1)-k≥3

2162?6t

2153

(2)

432

K解析』

K祥解》（1）根據(jù)條件，結(jié)合概率的計算公式，代入計算即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)條件，分別求得P（Y=4）與尸（y=5）,然后由期望的計算公式，即可得到結(jié)果.

K小問1詳析』

當(dāng)上次才停止時，必有第攵次取出的是紅球，前&-1中有2次取出紅球，Z-3次取出的是其它顏色球.所以

P(X=HCm廣(J)(Z_2>5"3

,k≥3.

2?6”

K小問2詳析』

I57

當(dāng)y=4時，有X=3,4,故尸(y=4)=P(X=3)+P(X=4)=——+——=——

v7v7v7216432432

425

當(dāng)y=5時，有XN5,故P(y=5)=P(X≥5)=l-(P(X=3)+P(X=4))=h

2153

于是可得E(y)=4∕3(y=4)+5P(y=5)

^432^

20.在如圖所示的多面體中，四邊形ABCO為正方形，A,E,B,尸四點共面，且ABE和AABF均

為等腰直角三角形，NBAE=Z4ES=90°.平面ABC平面AEM,AB=2.

(1)求多面體AEBFCD體積；

(2)若點P在直線。E上，求ΛP與平面BCf'所成角的最大值.

K答案，(1)4(2)-

4

K解析工

K祥解》⑴多面體分成兩個四棱錐E-ABCD和尸一ABCD,然后由體積公式計算(注意找到棱錐的高)；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求出線面的正弦值，利用函數(shù)性質(zhì)得最大值.

K小問1詳析H

在四邊形4￡B尸中，?.?ABE和AABF均為等腰直角三角形，且NB4E=NAEB=90°,

：.ABAF=ZABE=45°,：.AF//BE，：四邊形ABCr)為正方形，，_D4_LAB，

又?；平面A881平面4ΞBF,DAU平面ABCD,平面ABCDC平面AEB尸=AB,

D4_L平面ΛE8b,同理AEJ_平面ABCD,

取A5中點G,連接尸G,則FGIA5,FG=^AB=If又同理可得尸G，平面ABCO,

11I9I7

V=^E-ABCD+VF-ABCD=?SABCD'胡+?^ABCD/G=~×2×2+~×2×1=4;

K小問2詳析》

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)P((M,2-2),則8(2,0,0),C(2,0,2),尸(1,-1,0),A(0,0,0),.?.BC=(0,0,2),BF=(-1,-1,O),

/、小BC=Of2z=0

設(shè)平面BCR的一個法向量為n=(x,y,z),則〈，即《八，

'[n-BF=0[τ-y=0

令X=1,則“=(1,—1,0),設(shè)與平面BCE所成角為氏又AP=(0,42-/1),

夜風(fēng)

2√2Λ2-4Λ+4

“一L囚一一1I1一叵I1<72

要使Sine最大,λ≠0,

（Λ=2時等號成立）,

77TT

即AP與平面所成角的最大值為“

22

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系，已知耳，入分別：?+?=l(o>?>0)左，右焦點.設(shè)點。。,0)為線

段。月的中點?

(1)若。為長軸AB的三等分點，求橢圓方程；

(2)直線MN(不與X軸重合)過點片且與橢圓C交于M,N兩點，延長MD,ND與橢圓C交于P,

。兩點，設(shè)直線MN,尸。的斜率存在且分別為占，k2,請將g表示成關(guān)于。的函數(shù)，即/(")=與，

ΛC∣rC∣

求/(α)的值域.

K答案II(I)—+??l

95

(2)(1,3)

K解析D

K祥解》(1)利用o(ι,o)的位置以及>2=/一。2即可求解；

(2)設(shè)點M(Al,y),N(A2,%)，P(XP,%)，Q(XQ,幾)，由M，N,K三點共線可得

-?=一三一ZM=2(必一%)，聯(lián)立橢圓C:=+3=1與直線MD:y=-?(χτ)可得

22Xy-L

M+2x2+2ah

RQ坐標(biāo)，然后利用斜率公式進(jìn)行求解即可

小問1詳析》

因為點0(1,0)為線段OQ的中點，所以6(2,0),故c=2,

因為D為長軸AB的三等分點，所以AB=308即(2α,O)=3(α-1,0),

所以2α=3α—3,解得。=3,

所以〃=a2-c2=5,

22

所以橢圓方程為土+匕=1

95

K小問2詳析』

設(shè)點M(Xl,y),N(x2,y2),P(xp,yp),Q(XQ,北)，耳(一2,0),6(2,0),

由于M,N,耳三點共線，則十rU?n%%ry=2(Xf),

直線加3的方程為y==?(χ-1),

Xj—1

X2?2/＞；(XT)2

聯(lián)