中考熱點新定義問題訓練-中考數(shù)學復(fù)習題練習（教師版）

專題31中考熱點新定義問題專項訓練（解析版）

專題詮釋：新定義題型是近幾年來中考的熱點問題。它常集合數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，轉(zhuǎn)化思想，分類

討論思想，方程思想，函數(shù)思想于一體。常以壓軸題身份出現(xiàn)。本專題精選新定義問題共20條，歡迎下載

使用。

一.選擇題

1.（2021?河北模擬）對于實數(shù)X,y,我們定義符號機0r{x,y}的意義：當x2y時，max{x,y}=x,當XV

l

y時，max{x,y}=y??J?max{-1,-2}=-1,max{3fπ}=π,則關(guān)于X的函數(shù)y=〃?ax{3x,JI+2}的

圖象為（）

思路引領(lǐng):令3x=x+2,解得X=1,畫出直線y=3x和直線y=尤+2的圖象即可判斷.

解：令3x=%+2,解得尤=1,

直線y=3x和直線y=x+2的圖象如圖所示，它們的交點坐標為（1,3）,由圖象可知，XVl時，x+2>3x;

當x>l時，3x>x+2,

故關(guān)于X的函數(shù)y=3u?{3x,/2}的圖象是選項C中的圖象.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了函數(shù)的圖象，正確畫出函數(shù)圖象并得出交點坐標是解答本題的關(guān)鍵.

二.填空題

2.(2021?深圳模擬)用“?”“口”定義新運算：對于數(shù)4,b,都有“?6=α和α口6=4例如3?2=3,

3□2=2,貝IJ(2020□2021)?(2021□2020)=.

思路引領(lǐng)：根據(jù)的運算法則進行計算即可得解.

解：'：a?b=a,a□b=b,

Λ(2020□2021)?(2021□2020)

=2021?2020

=2021.

故答案為：2021.

總結(jié)提升：本題考查了有理數(shù)的混合運算，讀懂題目信息，理清新定義的運算方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?碑林區(qū)校級模擬)(正多邊形的每個內(nèi)角都相等)如圖，在正八邊形ABCE>EFGH中，對角線8p

的延長線與邊OE的延長線交于點則的大小為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)正求出多邊形的內(nèi)角和公式NOEF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出N

BFE,計算即可.

解：：八邊形A8CDEFGH是正八邊形，

"DEF=(8-2)×180o÷8=135°,

ΛZFEM-45°,

.?.NDEF=NEFG,

「BF平分/EFG,

1

：.NEFB=NBFG=*EPG=67.5°,

,：NBFE=NFEM-M,

：.∕M=∕BFE-NFEM,

ΛZΛ7=22.5o.

故答案為：22.5°.

總結(jié)提升：本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計算，掌握正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵.

4.(2019?福田區(qū)三模)對于m,我們定義運算(n-1)(n-2)(M-3)???(?-Cm-1)),

A73=7X6X5=2iO,請你計算A42=.

思路引領(lǐng)：將"=4,巾=2代入公式求解可得.

解：A42=4×(4-1)=12,

故答案為：12.

總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運算法則.

5.(2022春?塔城地區(qū)期末)在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“十”，其運算規(guī)則為：a?b=2a+3b.如：1十5

=2×1+3×5=I7.則不等式X十4>0的解集為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)新定義規(guī)定的運算規(guī)則列出不等式，解不等式即可求得.

解：不等式X十4>0化為：

2x+12>0,

2x>-12,

x>-6,

故答案為：x>-6.

總結(jié)提升：本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出關(guān)于X的不等式及解不等式

的步驟.

11

6.(2022秋?魏縣期中)若X是不等于1的實數(shù)，我們把L稱為X的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是一；=-1,

I-X1-2

-1的差倒數(shù)為3現(xiàn)已知Xi=黑Λ2是Xl的差倒數(shù)，X3是X2的差倒數(shù)，X4是X3的差倒數(shù)，…，

1-(-1)23

依此類推，則X2022的值為—.

思路引領(lǐng)：根據(jù)差倒數(shù)的定義，通過計算發(fā)現(xiàn)每3次運算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)一次，由此可得X2022=X3=-2.

解：Vx1=?,

x3,

?.x2=玲=矛=γq=-2,Λ4=τz^2)=3,……

???每3次運算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)?次，

V2022÷3=674,

/.X2022=X3=-2,

.?.JC2022的值為-2,

故答案為：-2.

總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計算探索出運算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

≡.解答題

7.(2021秋?漢陽區(qū)期中)對任意一個四位數(shù)”，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與個位上的數(shù)字

之和也為9,則稱〃為“極數(shù)

(1)請任意寫出兩個“極數(shù)”,；

(2)猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；

(3)如果一個正整數(shù)。是另一個正整數(shù)6的平方，則稱正整數(shù)“是完全平方數(shù).若四位數(shù)，〃為“極數(shù)”，

記O(相)=聶,則滿足力(m)是完全平方數(shù)的所有機的值是.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)“極數(shù)”的定義，任意寫出兩個“極數(shù)”即可；

(2)由“極數(shù)”的定義可得出〃=99(10a+?+l),進而可得出任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)；

(3)由(2)可得出OCm)=3(10x+y+l),由。(m)為完全平方數(shù)，可得出IOX+y+l=12,10x+y+l

=27,10x+y+l=48,10x+y+l=75,解之可得出x,y的值，進而可得出，〃的值，即可得出結(jié)論.

解：(1)由“極數(shù)”的定義得，1287,2376,

故答案為1287,2376；

(2)任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由如下：

設(shè)任意一個"極數(shù)”為礪—α)(9—b)(l≤α≤9,0≤?≤9,且。、人為整數(shù))，

則αb(9-α)(9-b)=IooOa+100b+10(9-a)+(9-?)=990α+99?+99=99(10α+?+l),

Vl≤a≤9,0W6W9,且。、6為整數(shù)，

Λ10α+fe+l是整數(shù)，

???任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù).

(3)設(shè)四位數(shù)"1為xy(9—x)(9—y)(IWXW9,OwyW9,且x、y為整數(shù))，

：四位數(shù)加為“極數(shù)”，D(M=蚩

；.D(m)=99嗎尸D=3(∣0χ+y+l).

VD(m)是完全平方數(shù)，1WXW9,0≤y≤9,且入、y為整數(shù),

.?.10x+y+l=3X4=12,10X+>H-1=3×9=27,1Ox+y+1=3×16=48,IOX+y+l=3X25=75,

?,,儼=1或儼=2或儼=45=7

(y=l^x(y=6僅Iy=7^[y=4,

.?.S可以為1188或2673或4752或7425.

總結(jié)提升：本題考查了完全平方數(shù)以及倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)“極數(shù)”的定義，任意寫出兩個

“極數(shù)”；(2)根據(jù)“極數(shù)”的定義，找出"=99(10α+6+l);(3)根據(jù)O(膽)是完全平方數(shù)，找出10x+y+I

的值.

8.(2022秋?膠州市期末)《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征.在

數(shù)的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、

偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等.現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)一一“純數(shù)”.

定義：對于自然數(shù)〃，在計算”+(n+∣)+(n+2)時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)〃為“純

數(shù)”.

例如：32是“純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24+25

時，個位產(chǎn)生了進位.

(1)判斷2022是否是“純數(shù)”?請說明理由；

(2)請直接寫出2023到2050之間的“純數(shù)”；

(3)不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)為.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)“純數(shù)”的定義判斷；

(2)根據(jù)“純數(shù)”的定義求解；

(3)根據(jù)“純數(shù)”的定義寫出數(shù)，再查個數(shù).

解：(1)Y計算2022+2023+2024時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，

.?.2022是“純數(shù)”;

(2)2023到2050之間的“純數(shù)”有：2030,2031,2032,：

(3)不大于100的“純數(shù)”有：0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,30,32,100共13個,

故答案為：13.

總結(jié)提升：本題考查了整式的加減，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?任城區(qū)二模)如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做“半

高三角形”.這條高稱為“半高”.如圖1,對于4ABC,BC邊上的高A。等于BC的一半，就是

“半高三角形”.此時，稱AABC是“BC邊半高三角形”，A。是“BC邊半高”；如圖2,對于aEFG,

EF邊上的高G”等于EF的一半，AEFG就是半高三角形，此時，稱aEFG是EF邊半高三角形，GH

是“E尸邊半高”.

(1)在RtZ?ABC中，NACB=90°,AB=?0cm,若ABC是“BC邊半高三角形"，則AC=cmi

(2)若一個三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長為2cm,則該等腰三角形底邊長的所

有可能值為.

(3)如圖3,平面直角坐標系內(nèi)，直線y=x+2與拋物線y=，交于R,S兩點，點P是拋物線y=/上

的一個動點，點。是坐標系內(nèi)一點，且使得ARSQ為“RS邊半高三角形當點P介于點R與點S之間，

且PQ取得最小值時，求點P的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)設(shè)AC=Zn則BC=2AC=2/?,由勾股定理即可求解；

(2)分“半高”是底邊上的高、“半高”是腰上的高兩種情況，分別求解即可；

(3)當點P介于點R與點S之間時，與RS平行且與拋物線只有一個交點P'時，P。取得最小值，叩

可求解.

解：(1)設(shè)AC=/?,則3C=2AC=2∕j,

由勾股定理得：∣Γ+(2Λ)2=1()2,解得：∕Z=2√5,

故答案為2小

(2)①當“半高”是底邊上的高時,

如圖1,AD是“半高”，AB.AC為等腰三角形的腰,

圖1

由題意得：AD=2,BC=4:

②當“半高”是腰上的高時,

如下圖，底邊為8C、“半高”CO為腰上的高,

如圖2,當AABC為銳角三角形時，CD=2,AB=AC=4,

在RtAADC中，A。=√ΛC2-CD2=2√3,

在RtΔβCD中，BC=>JBD2+CD2=J(4-2√3)2+22=2√6-2√2;

如圖3,當AABC為鈍角三角形時，CD=2,AB=AC=A,

同理可得：BC=2√6+2√2;

故答案為：4或2乃+2夜或2Λ吊-2√Σ;

(3)將拋物線的表達式y(tǒng)=/與直線方程y=x+2聯(lián)立并解得：x=-1或2,

即：點RS的坐標分別為(-1,1)、(2,4),則RS=3√Σ,

則RS邊上的高為：I×3√2??,

則點。在于RS平行的上下兩條直線上，如下圖，

設(shè)直線RS與y軸交于點N,故點N作N。，TQ于點

則N。=挈則8=磊=3,

點T(0,5),則點M(0,5),點M于點7重合，

則點Q的直線方程為：y=x+5,

當該直線在直線RS的下方時，＞-=x-1,

故點Q所在的直線方程為：y=x+5或y=x-1；

如圖4,當點P介于點R與點S之間時，

設(shè)與RS平行且與拋物線只有一個交點P的直線方程為：y=x+d,

將該方程與拋物線方程聯(lián)立并整理得：/-X-d=0,

Δ=l+4J=0,解得：d—-?,

此時，X2-x+ξ=0,解得：X=

11

點戶'(--),此時，P(P)。取得最小值.

24

總結(jié)提升：本題主要考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、根的判別式、三角形有關(guān)計算等，

此類新定義型題目，通常按題設(shè)順序逐次求解.

10.(2022春?梁平區(qū)期末)在平面直角坐標系中，對于任意兩點ACa,b),B(c,d),若點T(x,y)滿

足X=竽，y=竽那么稱點7是點A,8的融合點.

例如：A=C-l,8),B=(4,-2),當點T(x,y)滿足1,γ=8+?ξ~?=2?,則點7(1,

2)是點4,B的融合點.

(1)已知點A(-1,5),B(7,7),C(2,4),請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.

(2)如圖，點。(3,0),點EG,2f+3)是直線/：y=2r+3上任意一點，點T(x,y)是點。，E的

融合點.

①試確定y與X的關(guān)系式.

②若直線ET交X軸于點H,當NTDH為直角時，求直線ET的解析式.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)點7是點4,B的融合點的定義判斷即可；

(2)①根據(jù)融合點的定義，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論；

②圖中，當NTDH=90°時，點八。橫坐標相同，再根據(jù)①中得到的橫縱坐標關(guān)系即可求出點T坐標,

再根據(jù)融合點定義求出點E坐標，求一次函數(shù)解析式即可.

解：(1)VA(-1,5),B(7,7),C(2,4),

Λx=?×(-1+7)=2,y=J×(5+7)=4,

??

...點C是點A、8的融合點；

(2)①；點T(x,y)是點O,E的融合點,

.'.X=?(3+r),V=?(0+2r+3).

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??y=2x-1；

②如圖，當NTDH=90°時，

.?.yτ=2χ-1=2X3-1=5,即T(3,5),

；點E(f,2/+3),點7(3,5),點力(3,0),且點T(x,y)是點E的融合點.

Λ3=∣(3+r),

.?.點E(6,15),

設(shè)直線ET的解析式為：y^kx+b,

把E(6,15),T(3,5).代入得：

(6k+b=15

l3fc+h=5'

"_10

解得：k=l",

Ib=-5

直線ET的解析式為：y=?-5.

?

總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，融合點的定義，一次函數(shù)的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

11.（2019?浙江）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4,邊OA,OC分別在X軸，y軸的

正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點.點P為拋物線y=-（X

-In）2+.+2的頂點.

（1）當，〃=0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù).

（2）當機=3時，求該拋物線上的好點坐標.

（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求的取值范圍.

思路引領(lǐng)：（1）如圖1中，當機=O時，二次函數(shù)的表達式），=-/+2,畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決

問題即可.

（2）如圖2中，當m=3時，二次函數(shù)解析式為y=-（%-3）2+5,如圖2,結(jié)合圖象即可解決問題.

（3）如圖3中，：拋物線的頂點P（機，M+2）,推出拋物線的頂點P在直線y=x+2上，由點尸在正方

形內(nèi)部，則0＜加＜2,如圖3中，E（2,1）,F（2,2）,觀察圖象可知，當點P在正方形。4BC內(nèi)部，

該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點尸除外），求出拋物線經(jīng)

過點E或點尸時〃?的值，即可判斷.

解：（1）如圖1中，當加=O時，二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=-Λ?2+2,函數(shù)圖象如圖1所示.

拋物線經(jīng)過點（0,2）和（1,1）,

觀察圖象可知：好點有：（O,O）,（0,1）,（0,2）,（1,0）,（1,1）,共5個.

(2)如圖2中，當加=3時，二次函數(shù)解析式為y=-(X-3)2+5.如圖2.

當X=I時，，y=l,當x=2時，y=4,當x=4時，y—4,

拋物線經(jīng)過(1,1),(2,4),(4,4),

根據(jù)圖象可知，拋物線上存在好點，坐標分別為(1,1),(2,4),(4,4).

(3)由于0VmV2,取W=I開始，發(fā)現(xiàn)拋物線內(nèi)有IO個好點，不符合意思,所以拋物線向下并向左

移動，可得如圖3中,

;拋物線的頂點/("3"7+2),

拋物線的頂點P在直線y=x+2上,

:點P在正方形內(nèi)部，則0<m<2,

如圖3中，E(2,1),F(2,2),觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內(nèi)部,該拋物線下方(包括邊

界)恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點(點F除外)，

當拋物線經(jīng)過點E時，-(2-M2+w7+2=l,

解得m=殳道或二園(舍棄)，

乙2

當拋物線經(jīng)過點F時，-（22+.+2=2,

解得m-?或4（舍棄），

當一^―≤∕n<l時，頂點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點.

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點的定義等知識，解

題的關(guān)鍵是理解題意，學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學會利用特殊點解決問題，屬于中考

壓軸題.

12.（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為

鄰余線.

（I）如圖1,在AABC中，AB=AC,4。是AABC的角平分線，E,F分別是80,AO上的點.

求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形.

（2）如圖2,在5X4的方格紙中，A,B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形A8EF,使A8

是鄰余線，E,尸在格點上.

（3）如圖3,在（1）的條件下，取E尸中點M,連接DM并延長交AB于點Q,延長EF交AC于點M若

N為AC的中點，DE=4BE,QB=G,求鄰余線AB的長.

圖1圖2圖3

思路引領(lǐng)：（1）由等腰三角形的“三線合一''性質(zhì)可得ADLBC,則可得NOAB與NoBA互余，即/碼B

與NEBA互余,從而可得答案；

（2）畫出圖形即可.

（3）先由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得8力=8、DM=ME,再判定AOBQS^ECN,從而列出

比例式，將已知線段的長代入即可得解.

解：（1）?：AB=AC,Ao是AABC的角平分線,

.?AD1BC,

：.ZADB=90°,

.?ZDAB+ZDBA=90o,

：.ZFAB與NEBA互余，

.,.四邊形ABEF是鄰余四邊形;

（2）如圖所示（答案不唯一）,

四邊形AFEB為所求；

（3）VAB=AC,A。是aABC的角平分線,

：.BD=CD,

,

?DE=ABEf

：?BD=CD=5BE,

：?CE=CD+DE=9BE,

TNED/=90°,點M是E尸的中點,

：.DM=ME1

：?NMDE=NMED,

9：AB=AC.

JNB=NC

:?∕?DBQs∕?ECN,

βQBBD5

"/VC~CE~9

?：QB=6,

"C=考54，

*：AN=CN9

.?.AC=2CN=粵

.?.A8=AC=嚶

總結(jié)提升：本題考查了四邊形的新定義，綜合考查了等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)等知識點，讀懂定義并明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

13.(2021?南豐縣模擬)如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形，一個是等邊三角形，另一個

是該對角線所對的角為60°的三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線，這個四邊形稱

為理想四邊形.

(1)如圖1,在RtZvWC中，NACB=90°,N8=30°,CDVAB,E為BC中點，連接DE.求證：

四邊形A。EC為理想四邊形；

(2)如圖2,4ABQ是等邊三角形，若8。為理想對角線，為使四邊形A8C。為理想四邊形，小明同學

給出了他的設(shè)計圖(見設(shè)計后的圖)，其中圓心角/2。。=120°；請你解釋他這樣設(shè)計的合理性.

(3)在(2)的條件下，

①若aBCO為直角三角形，BC=3,求力C的長度；

②如圖3,若CD=X,8C=y,AC=z,請直接寫出x,y,Z之間的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計后的圖

思路引領(lǐng)：(1)證明^ACBS∕?AOC,推出/AOC=/ACB=90°,再證明ACOE是等邊三角形即可.

(2)如設(shè)計后的圖中，BD是等邊三角形，當點C在玩力上時，ZDCB=^ZDOB=60o,滿足條件.

(3)①分兩種情形：如圖3中，當NCE>B=90°時，如圖4中，當∕CBO=90°時，分別利用勾股定理

求解即可.

②以CO為邊作等邊AECQ,連接8E,作EFLBC交BC的延長線于F.利用全等三角形的性質(zhì)以及勾

股定理可得結(jié)論.

解：(1)如圖1,VZACB=90°,NB=30°,

.?.∕A=60°,

'：CDLAB,

：.ZBDC=90°,

.'.ZBCD=°-NB=90°-30°=60°,

為8C中點，

.".DE=CE,

...△CDE是等邊三角形，

/.四邊形ADEC為理想四邊形；

(2)如設(shè)計后的圖中，Z?A8O是等邊三角形，OD=OB，ZBOD=120°,

當點C在E而上時，ZDCB=DOB=60°,故四邊形ABCD為理想四邊形.

(3)①當NCD8=90°時，如圖3中，

:NCDB=90°,ZBCD=60o,BC=3,

.?.8r>=BC?sin60=芋，NCBo=30°,

???△A3。是等邊三角形，

：.AB=BD=^-,NAB￡>=60。，

二NABC=90°,

.,.AC=y∕AB2+BC2=j(?)2+32=挈:

22

當NC80=90°時，如圖4中，同法可得AC=7AD2+CD2=(3√3)+6=3√7i

綜上所述，AC的值為？或3位.

②如圖5中，結(jié)論：Λ2+Λ>j+y2=z2.

理由如下：以CQ為邊作等邊AECQ,連接8E,作EFj。交3C的延長線于F.

VZEDC=ZADB=60o,

"EDB=NCDA,

YED=CD,BD=AD,

:./XEDB絲ACDA(SAS),

JAC=BE=Z,

?：/ECD=NDCB=60°,CD=CE=X9

工NECF=60°,NCEF=30°,

.,.CF=^EC=??.EF=WCF=%.

在RtAEFB中，-.?B￡2=EF2+BF2,

22

H=(τχ)÷(y+iχ).

圖4

圖1

總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了理想四邊形的定義，解直角三角形，全等三角形的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解并運用新定義“理想四邊形”和“理想對

角線”，學會用分類討論的思想思考問題.

14.(2020?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標系XOy中，點4(60),B(f+2,0),C(n,1),若射線Oe上

存在點P,使得aABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點P為線段AB關(guān)于射線。C的等腰點.

斗

1-

Illl____I___i]].

O(A)1BX

(1)如圖，f=0,

①若〃=0,則線段4B關(guān)于射線。C的等腰點的坐標是；

②若〃<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的縱坐標小于1,求〃的取值范圍；

(2)若〃=空，且射線OC上只存在一個線段AB關(guān)于射線。C的等腰點，貝h的取值范圍是.

思路引領(lǐng)：(1)①根據(jù)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的定義可知OP=AB=2,由此即可解決問題.

②如圖2中，當OP=AB時，作PH_Lr軸于H?求出點P的橫坐標，利用圖象法即可解決問題.

(2)如圖3-1中，作CHLy軸于H.分別以A,8為圓心，AB為半徑作。A,QB.首先證明/COH

=30°,由射線OC上只存在一個線段AB關(guān)于射線OC的等腰點，推出射線。C與0A,OB只有一

個交點，求出幾種特殊位置,的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可.

解：(1)①如圖1中，由題意A(0,0),B(2,0),C(0,1),

圖1

；點P是線段AB關(guān)于射線OC的等腰點,

ΛOP=AB^2,

：.P(0,2).

故答案為(0,2).

.?.OH=?∕OP2-PH2=√22-I2=√3,

觀察圖象可知：若〃<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的縱坐標小于1時，〃V-√5.

(3)如圖3-1中，作CHLy軸于H.分別以A,3為圓心，AB為半徑作。A,QB.

圖3-1

*√3

由題意C(三^,1),

：.CH=辛OH=

?*/MUCH√3

??tanZ-COH==-?-t

.,.ZCOH=30c,,

當08經(jīng)過原點時，5(-2,0),此時f=-4,

；射線OC上只存在一個線段AB關(guān)于射線OC的等腰點,

二射線OC與OA,只有一個交點，觀察圖象可知當-4<f≤-2時，滿足條件,

如圖3-2中，當點A在原點時，：/尸。8=60°,此時兩圓的交點尸在射線OC上，滿足條件，此時r

=0,

如圖3-3中，當OB與OC相切于P時，連接8尸.

.,?。<7是。8的切線,

.,.OPLBP,

：.NOPB=90°,

?；BP=2,∕PO8=60°，

?-PB_4乃4√3?

--n0βB~COS60°~~,止L時‘一丁一~

如圖3-4中，當OA與OC相切時，同法可得OA=竽，止匕時U竽，此時符合題意.

圖37

如圖3-5中，當。A經(jīng)過原點時，A(2,0),此時/=2,

圖3-5

4√3

觀察圖形可知，滿足條件的，的值為:--2<r≤2,

3

綜上所述，滿足條件t的值為-4<f≤-2或f=0或竽-2<∕≤2或f=崢

3?

故答案為：-4<W-2或f=0或色色一2<W2或/=摯.

總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的

定義，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用輔助圓解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬

于中考壓軸題.

15.(2022?房山區(qū)模擬)對于平面直角坐標系xθy中的圖形Wl和圖形的，給出如下定義：在圖形Wl上存

在兩點A,8(點4B可以重合)，在圖形W2上存在兩點M,N(點M,N可以重合)使得AM=2BN,

則稱圖形Wl和圖形W2滿足限距關(guān)系.

(1)如圖1,點C(√3,0),D(0,-1),E(0,1),點P在線段CE上運動(點P可以與點C,E重

合)，連接。P,DP.

①線段OP的最小值為—，最大值為—；線段OP的取值范圍是一；

②在點。，點。中，點與線段。E滿足限距關(guān)系；

(2)在(1)的條件下，如圖2,G)O的半徑為1,線段尸G與X軸、y軸正半軸分別交于點凡G,且

FG//EC,若線段FG與。。滿足限距關(guān)系，求點F橫坐標的取值范圍;

(3)。0的半徑為r(r>0),點H,K是C)O上的兩個點，分別以H,K為圓心，2為半徑作圓得到

思路引領(lǐng)：(1)①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP，OP的最大值，最小值即可解決問題;

②根據(jù)限距關(guān)系的定義判斷即可;

(2)根據(jù)兩直線平行&相等計算設(shè)尸G的解析式為：)，=一冬什兒得G(O,b),F(√3?,0),分三種

情形：①線段FG在。。內(nèi)部，②線段FG與。。有交點，③線段FG與。。沒有交點，分別構(gòu)建不等

式求解即可；

(3)如圖3-1中，不妨設(shè)OK,0H的圓心在X軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)?！ê?K都滿足限距關(guān)系，

構(gòu)建不等式求解即可.

.?.OE=1,OC=√3,

.".EC=2,NEeo=30°,

當OP_L￡C時，OP的值最小，當P與C重合時，OP的值最大是6,

RtAOPC中，OP=∣OC=?,即OP的最小值是日；

RtZXQEP中，NoEC=60°,

.?ZEDP=30o,

VD￡=2,

Λcos30o=囂，

.DP√3

??=*

22

：.DP=√3,

當尸與E重合時，Z)P的值最大，Z)P的最大值是2,

線段。尸的取值范圍是：√3≤DP≤2;

/?

故答案為：—.√3,√3≤DP≤2;

2

②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段OE上存在兩點M,M滿足OM=20M如圖3,

根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段OE上存在兩點例，N,滿足。例=2ON,如圖3,

故答案為：。和Q；

(2)*.?點C(√3,O),E(O,1),

.?.設(shè)直線CE的解析式為：y^kx+m,

(,√3

+m=°,解得:fe=^T.

Tn=I

直線CE的解析式為：尸-字.計1,

'CFG//EC,

設(shè)FG的解析式為：y=-^?x+b,

：.G(0,h),F(√3?,0),

ΛOG=b,OF=Wb,

當0<6∕><l時，如圖5,線段FG在。。內(nèi)部，與。。無公共點,

此時OO上的點到線段FG的最小距離為1一b,最大距離為1+66

?.?線段尸G與。。滿足限距關(guān)系，

Λl+√3?≥2(l-√3ft),

解得百后

〃的取值范圍為］≤√3?<h

當1≤√56W6時，線段FG與。。有公共點，線段FG與。。滿足限距關(guān)系,

當百3>6時，如圖6,線段尸G在OO的外部，與OO沒有公共點，

此時O。上的點到線段FG的最小距離為百人-I,最大距離為6加1,

：線段FG與。。滿足限距關(guān)系，

Λ√3fo+1?2(√3?-1),

而百6+122(√3?-1)總成立，

Λ√3?>6W，線段FG與Oo滿足限距關(guān)系，

綜上所述，點尸橫坐標的取值范圍是：√3?≥|；

(3)如圖3-1中，不妨設(shè)OK,OH的圓心在X軸上位于y軸的兩側(cè),

兩圓的距離的最小值為2r-4,最大值為2什4,

?.?OH和OK都滿足限距關(guān)系，

Λ2r+4≥2(2r-4),

解得rW6,

故r的取值范圍為0<r≤6.

總結(jié)提升：本題屬于圓綜合題，考查了解直角三角形，垂線段最短，直線與圓的位置關(guān)系，限距關(guān)系的

定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型.

16.(2022?西城區(qū)校級模擬)點P(XI,yι),Q(x2,”)是平面直角坐標系中不同的兩個點，且XlrX2.若

存在一個正數(shù)4,使點P,。的坐標滿足M-”1=版1-X2∣,則稱P,。為一對“限斜點”，女叫做點P,

。的“限斜系數(shù)”，記作％(P,。).由定義可知，k(P,Q)=k(Q,P).

1111

例：若尸(1,O),Q(3,-),有IO-WI=m1-31，所以點P,Q為一對“限斜點”，且“限斜系數(shù)”為丁

已知點A(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,?).

2

(1)在點A,B,C,。中，找出一對“限斜點”：,它們的“限斜系數(shù)”為；

(2)若存在點E,使得點E,A是一對“限斜點”，點E,8也是一對“限斜點”，且它們的“限斜系數(shù)”

均為1.求點E的坐標；

(3)。。半徑為3,點M為。。上一點，滿足MT=I的所有點T,都與點C是一對“限斜點”，且都滿

足k(T,C)21,直接寫出點M的橫坐標XM的取值范圍.

2

D

瓦［B_

-3-2-10123x

-1

JC

-3

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)定義通過計算求解即可；

(2)設(shè)E(X,)，)，由題意可得Iyl=Ix-1|,Iyl=IX-2],求解方程即可求點E的坐標;

(3)由題意可知C點在直線y=-X上，T點在以例為圓心1為半徑的圓上，M點在以O(shè)為圓心3為半

徑的圓上，則T點在以。為圓心2為半徑的圓上或以。為圓心4為半徑的圓上，當7點在直線y=-X

上時，k=l,再由左(T,C)可知T點在直線y=-X的上方，T點在直線y=-X的上方，直線y

=X-4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部.

解：(I)A(1,0),C(2,-2),有∣0+2∣=2∣l-2|,

；.A、C為一對“限斜點”，且“限斜系數(shù)”為2；

1.11

A(1,O),D(2,-),有IO-守=扣-2|,

2ZZ

.'.A,。為一對“限斜點”，且“限斜系數(shù)”為士

1

故答案為：A、C或4D,2或亍

(2)設(shè)ECx9y),

.?.∣yl=∣χ-H,Iyl=IX-2∣,

Λ∣χ-l∣=∣χ-2∣,

解得X=∣,

1

Λy=÷-?,

J2

3131

??E(一,一)或(一，一亍)；

2222

(3)VC(2,-2),

???C點在直線y=-X上，

VMΓ=1,

???7點在以M為圓心I為半徑的圓上，

TM點在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，

??.7的軌跡是半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)，

當7點在直線y=-X上時，設(shè)7(m,-m)f

Λ∣-m+2?=k?m-2\,

.?k=]f

Vk(T,C)≥l,

JT點在直線y=-工的上方，直線y=χ-4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，如

圖所示，

?**—￡V∑≤ΛΛ∕≤4.

總結(jié)提升：本題考查圓的綜合應(yīng)用，弄清定義，熟練掌握圓與直線的關(guān)系，絕對值方程的解法，數(shù)形結(jié)

合解題是關(guān)鍵?

17.(2020?密云區(qū)一模)對于平面直角坐標系x。)，中的任意一點P,給出如下定義：經(jīng)過點P且平行于兩

坐標軸夾角平分線的直線，叫做點尸的“特征線”.

例如：點M(1,3)的特征線是y=x+2和y=-x+4；

(1)若點。的其中一條特征線是y=x+l,則在Qi(2,2)、D2(-1,0)、D3(-3,4)三個點中，可

能是點D的點有必；

(2)己知點P(-l,2)的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與X軸相交于點A,直線y=h+b

(ZWO)經(jīng)過點P,且與X軸交于點B.若使ABBA的面積不小于6,求Z的取值范圍；

(3)已知點C(2,0),T(n0),且OT的半徑為1.當OT與點C的特征線存在交點時，直接寫出r

的取值范圍.

5-

4-

3-

2-

1-

Illll___________11111?

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

-4^

思路引領(lǐng)：(1)畫出圖形，根據(jù)點的特征線的定義解決問題即可.

(2)過點P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為)，=-χ+b,求出△/?B的面積為6時點B

的坐標，再利用待定系數(shù)法求直線PB的解析式，結(jié)合圖形即可解決問題.

(3)如圖3中，由題意點C的特征線的解析式為y=χ-2或y=-χ+2,設(shè)當OT與直線y=-x+2相切

于點M時，當與直線y=χ-2相切于點N時，分別求出OT,OT'結(jié)合圖象即可解決問題.

解：(1)如圖1中，觀察圖象可知，點Z>2的特征線是y=x+l?

圖1

故答案為￡>2.

(2)如圖2中,

設(shè)過點尸平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y=-x+b,

Λl+?=2,

Λ?=l,

???過點P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y=-x+?t

/.A(1,0),

1

當aBRl的面積=6時，-?A3?2=6,

2

.?.A5=6,

：?B(-5,0)或(7,0),

當y=kx+b,經(jīng)過P(-I,2),8(-5,0)時，

｛二建;藍解得G

當直線y=H+∕√經(jīng)過戶(-1,2),B(7,0)時,

｛言憶;,解得T

觀察圖形可知滿足條件的k的值為一J4A≤JFlAW0.

zrL

(3)如圖3中，由題意點C的特征線的解析式為y=χ-2或y=-χ+2,

圖3

當。7與直線y=-χ+2相切于點M時，連接TM,

在RtZ?TCM中，VZ7MC=90o,ZMCT=45°,

.,.MT=MC=I,

：.TC=√277W=√2,

ΛOT=2-√2,此時f=2-√Σ

當。7'與直線y=x-2相切于點N時，同理可得OT'=2+√2,此時f=2+√Σ,

結(jié)合圖象可知滿足條件的t的值為：2-√I≤r≤2+√2.

總結(jié)提升：本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，點P的

“特征線”的定義，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用特殊位置解決問題，屬于

中考壓軸題.

18.(2022秋?西城區(qū)校級期中)已知函數(shù))，=∕+bx+c(X22)的圖象過點A(2,1),B(5,4).

(1)直接寫出y=∕+fec+C(Λ>2)的解析式；

(2)如圖，請補全分段函數(shù)丁=(一：2+2*+1"<2)的圖象(不要求列表).

U2+bx+c(x≥2)

并回答以下問題：

①寫出此分段函數(shù)的一條性質(zhì)：:

②若此分段函數(shù)的圖象與直線y=m有三個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出實數(shù)m的取值范圍；

(3)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，記(2)中函數(shù)的圖象與直線y=4x-I圍成的封閉區(qū)域(不

含邊界)為“W區(qū)域”，請直接寫出區(qū)域內(nèi)所有整點的坐標.

(2)①根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)即可；②由圖象可求出〃?的取值范圍;

(3)根據(jù)圖象求整點坐標即可.

解：(I)把A(2,I),B(5,4)代入解析式得：二1〃

125÷5Z?+c=4

??y=x1+bx+c(x≥2)的解析式為y=x2-6支+9；

①性質(zhì)：拋物線關(guān)于點(2,1)成中心對稱，

故答案為：拋物線關(guān)于點(2,1)成中心對稱;

②由圖象可得：實數(shù)，”的取值范圍為0V，/<2；

(3)如圖:

由函數(shù)圖象可得："W區(qū)域”內(nèi)所有整點的坐標為(0,0),(1,1).

總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的掌握和運用.

19.(2021春?豐臺區(qū)校級月考)在