（人教A版2019選擇性必修第一冊） 專題3.17 圓錐曲線的方程全章綜合測試卷（舉一反三）（原卷版+解析）

第三章圓錐曲線的方程全章綜合測試卷【人教A版2019選擇性必修第一冊】考試時間：90分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時90分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?鳩江區(qū)校級期中）若方程x29?k+A．k∈（1，9） B．橢圓C的焦距為22C．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈（1，5） D．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈（5，9）2．（5分）（2023秋?賓陽縣校級期中）雙曲線C：x2a2?y2bA．52 B．3 C．2 D．3．（5分）（2023秋?姜堰區(qū)校級期中）若拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點與橢圓y2A．y＝﹣1 B．y＝1 C．y＝﹣2 D．y＝24．（5分）（2023秋?密山市校級期中）已知雙曲線C：x216?y29=1的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，若|PF1|＝A．16 B．18 C．4或16 D．2或185．（5分）（2023秋?亭湖區(qū)校級期中）已知平行于x軸的一條直線與橢圓x2a2+y2b2=1(aA．105 B．55 C．53 6．（5分）（2023秋?遼寧期中）橢圓x28+y22=1A．?14 B．﹣4 C．?127．（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為e1，x2a2?y2A．1 B．2 C．12 D．8．（5分）（2023秋?重慶月考）雙曲線C：x24?y28=1，已知O是坐標原點，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線x=233的交點，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，D是線段OF的中點，若A．22?32 B．26?33 二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023秋?密山市校級期中）已知曲線C：x2mA．若m＞n＞0，則C是焦點在x軸上的橢圓 B．若m＝n（n＞0），則C是圓 C．若m＝﹣2，n＝6，則C是雙曲線，其漸近線方程為3x±y＝0 D．若m＝﹣2n，則C是雙曲線，其離心率為3或610．（5分）（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦點在圓O：x2+y2＝20上，圓O與雙曲線CA．雙曲線C的虛軸長為4 B．雙曲線的離心率為5 C．直線y=2x+111與雙曲線CD．△OMN的面積為811．（5分）（2023秋?沭陽縣期中）已知雙曲線C：x23?y2＝1，雙曲線C1與雙曲線C有相同的漸近線，拋物線C2以雙曲線CA．拋物線C2標準方程為y2＝﹣8x B．雙曲線C的焦點到雙曲線C的漸近線的距離為1 C．若雙曲線C1焦點在y軸，則雙曲線C1的離心率為23D．若雙曲線C與拋物線C2交于A、B兩點，則|AF|+|BF|=12．（5分）（2023秋?句容市期中）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點為F（c，0A．MF+NF＝2a B．|FMC．△MNF面積最大值為bc D．直線AM與直線AN的斜率之積是?三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?上海期末）已知雙曲線Γ1：x2?y2b2=1的左、右焦點分別為F1、F2，以O(shè)為頂點F2為焦點作拋物線Γ2，若雙曲線Γ1與拋物線Γ2交于點P，且∠PF1F2＝45°，則拋物線Γ2的準線方程是14．（5分）（2023秋?姜堰區(qū)校級期中）以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，稱它們互為共軛雙曲線．若焦點在x軸上的雙曲線C1：x2a2?y2b2=1，a＞0，b＞0的一條漸近線為2x?3y＝0，其共軛雙曲線為C2：y2b2?x2a2=1，a＞0，b＞15．（5分）（2023秋?浦城縣期中）拋物線C：y2＝4x，直線l繞P（﹣2，1）旋轉(zhuǎn)，若直線l與拋物線C有兩個交點．則直線l的斜率k的取值范圍是．16．（5分）（2023秋?青山湖區(qū)校級期中）拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過點F作直線AB與拋物線交于點A，B，B（x0，y0）在第四象限，連AO（O為C的頂點）并延長交l于點M，過B作BC垂直于x軸，垂足為C，若S△ABM﹣S△BOC＝22，則y0＝．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋?平羅縣校級期中）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程．（1）a＝4，c=15（2）過點P（﹣3，2），且與橢圓x218．（12分）（2023秋?順義區(qū)校級期中）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a（Ⅰ）直接寫出兩條漸近線方程及雙曲線C的離心率；（Ⅱ）若右焦點為F到漸近線的距離為2，求a．19．（12分）（2023秋?浙江期中）如圖，點A是拋物線y2＝2px（p＞0）上的動點，過點M（2，1）的直線AM與拋物線交于另一點B．（Ⅰ）當(dāng)A的坐標為（1，2）時，求點B的坐標；（Ⅱ）已知點P（2，0），若M為線段AB的中點，求△PAB面積的最大值．20．（12分）（2023秋?西城區(qū)校級期中）已知橢圓W：x24+y23=1的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線（Ⅰ）若橢圓W的左頂點A關(guān)于直線x+my﹣4＝0的對稱點在直線l1上，求m的值；（Ⅱ）過F的直線l2與橢圓W相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合），直線CB與直線l1相交于點M，求證：A，D，M三點共線．21．（12分）（2023秋?湖北月考）已知點A（﹣2，0），B（2，0），動點P滿足直線AP的斜率與直線BP的斜率乘積為e2﹣1．當(dāng)e=32時，點P的軌跡為C1；當(dāng)e=52時點P（1）求C1，C2的方程；（2）是否存在過C1右焦點的直線l，滿足直線l與C1交于C，D兩點，直線l與C2交于M，N兩點，且|MN|=3|CD|？若存在，求所有滿足條件的直線l22．（12分）（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，動點M到直線x＝4的距離等于點M到點D（1，0）的距離的2倍，記動點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）已知斜率為12的直線l與曲線C交于A、B兩個不同點，若直線l不過點P(1，32)，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為kPA、kPB，求k（3）設(shè)點Q為曲線C的上頂點，點E、F是C上異于點Q的任意兩點，以EF為直徑的圓恰過Q點，試判斷直線EF是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由．第三章圓錐曲線的方程全章綜合測試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?鳩江區(qū)校級期中）若方程x29?k+A．k∈（1，9） B．橢圓C的焦距為22C．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈（1，5） D．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈（5，9）【解題思路】利用方程表示橢圓，求出k的范圍，焦距，判斷焦點所在軸，判斷選項的正誤．【解答過程】解：當(dāng)焦點在x軸上時，9﹣k＞k﹣1＞0，解得k∈（1，5）；當(dāng)焦點在y軸時，可得k﹣1＞9﹣k＞0，解得k∈（5，9），所以C正確，D不正確；A不正確；焦點坐標在x軸時，焦距為：210?2k．焦點坐標在y軸時，22k?故選：C．2．（5分）（2023秋?賓陽縣校級期中）雙曲線C：x2a2?y2bA．52 B．3 C．2 D．【解題思路】求得雙曲線的漸近線方程，由雙曲線的漸近線方程，轉(zhuǎn)化求解離心率．【解答過程】解：雙曲線C：x2a2?y可得ba可得雙曲線的離心率e=c故選：A．3．（5分）（2023秋?姜堰區(qū)校級期中）若拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點與橢圓y2A．y＝﹣1 B．y＝1 C．y＝﹣2 D．y＝2【解題思路】由橢圓y29+x28=1的上焦點坐標為（0【解答過程】解：∵橢圓y29+x2∴拋物線的焦點坐標為（0，1），∴拋物線的準線方程為y＝﹣1．故選：A．4．（5分）（2023秋?密山市校級期中）已知雙曲線C：x216?y29=1的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，若|PF1|＝A．16 B．18 C．4或16 D．2或18【解題思路】判斷P所在位置，然后利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過程】解：雙曲線C：x216?y29=1，可知a＝4，b因為|PF1|＝10＞a+c＝9，所以，當(dāng)點P在該雙曲線左支上，則|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．當(dāng)點P在該雙曲線右支上，則|PF2|＝|PF1|﹣2a＝10﹣2×4＝2．故選：D．5．（5分）（2023秋?亭湖區(qū)校級期中）已知平行于x軸的一條直線與橢圓x2a2+y2b2=1(aA．105 B．55 C．53 【解題思路】求出Q的坐標，代入橢圓方程得到a2＝5b2，根據(jù)a，b，c的關(guān)系得到c2【解答過程】解：根據(jù)橢圓的對稱性得點P，Q關(guān)于y軸對稱，而|PQ|=1∴PO＝QO，∴POQ是等邊三角形，∴Q（14a，34a），將Q的坐標代入解得：a2＝5b2，又a2＝c2+b2，∴c2離心率e=c故選：D．6．（5分）（2023秋?遼寧期中）橢圓x28+y22=1A．?14 B．﹣4 C．?12【解題思路】設(shè)弦AB的端點為（x1，y1），（x2，y2），代入橢圓方程，運用點差法，結(jié)合直線的斜率公式和中點坐標公式，再由點斜式方程，即可得到所求方程．【解答過程】設(shè)弦AB的端點為（x1，y1），（x2，y2），即有x12+4y12＝8，x22+4y2兩式相減可得，（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，由中點坐標公式可得，x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入上式可得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）＝0，即kAB=y故選：C．7．（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為e1，x2a2?y2A．1 B．2 C．12 D．【解題思路】求解兩個雙曲線的離心率，化簡求解即可．【解答過程】解：雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0x2a2?y2b2=?1（a＞0則1e1故選：A．8．（5分）（2023秋?重慶月考）雙曲線C：x24?y28=1，已知O是坐標原點，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線x=233的交點，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，D是線段OF的中點，若A．22?32 B．26?33 【解題思路】利用雙曲線C：x24?y28=1求出漸近線方程為y=2x，再求出交點A【解答過程】解：由雙曲線C：x24?y28=1的方程知a∴a＝2，b=22，c=所以斜率為正的漸近線方程為y=2x，與直線x=233的交點點D的坐標為(3，0)，所以直線AD=(點B是圓x2+y2＝1的動點，當(dāng)點B到直線AD的距離最小時△ABD的面積的最小，又點B到直線AD的距離的最小值為(22)2所以△ABD的面積的最小值為S=1故選：A．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023秋?密山市校級期中）已知曲線C：x2mA．若m＞n＞0，則C是焦點在x軸上的橢圓 B．若m＝n（n＞0），則C是圓 C．若m＝﹣2，n＝6，則C是雙曲線，其漸近線方程為3x±y＝0 D．若m＝﹣2n，則C是雙曲線，其離心率為3或6【解題思路】利用曲線C：x2m+y2n【解答過程】解：曲線C：x2m若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在x軸上，故A正確；若m＝n＞0，方程化為x2+y2＝n，則C是圓，其半徑為n，故B正確；若m＝﹣2，n＝6，則C是雙曲線y26?x22=1，其漸近線方程為3x若m＝﹣2n，當(dāng)n＞0時，則C：y2n?x當(dāng)n＜0時，x2?2n?y2?n=1，離心率為：?3n故選：ABD．10．（5分）（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦點在圓O：x2+y2＝20上，圓O與雙曲線CA．雙曲線C的虛軸長為4 B．雙曲線的離心率為5 C．直線y=2x+111與雙曲線CD．△OMN的面積為8【解題思路】先求出c的值，然后將雙曲線的漸近線與圓的方程聯(lián)立，求出點M，N，利用向量垂直的坐標表示，得到a2﹣b2﹣3b＝0，又a2+b2＝20，即可求出a，b，由此依次判斷四個選項即可．【解答過程】解：圓O：x2+y2＝20，令y＝0，解得x=±因為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a所以c=25雙曲線的漸近線為y=±bax與圓O：x2+y2＝20聯(lián)立方程組，y=±baxx2+y2=20因為點E（0，3）滿足ME⊥ON，則ME→所以a2﹣b2﹣3b＝0，又a2+b2＝20，解得b＝4，a＝2，所以虛軸長為8，故選項A錯誤；離心率e=ca=漸近線方程為y＝±2x，因為直線y=2x+1所以直線y=2x+111與雙曲線C有一個交點，故選項S△OMN=1故選：BD．11．（5分）（2023秋?沭陽縣期中）已知雙曲線C：x23?y2＝1，雙曲線C1與雙曲線C有相同的漸近線，拋物線C2以雙曲線CA．拋物線C2標準方程為y2＝﹣8x B．雙曲線C的焦點到雙曲線C的漸近線的距離為1 C．若雙曲線C1焦點在y軸，則雙曲線C1的離心率為23D．若雙曲線C與拋物線C2交于A、B兩點，則|AF|+|BF|=【解題思路】對于選項A，雙曲線C的左焦點F為（﹣2，0），從而寫出拋物線C2標準方程；對于選項B，結(jié)合圖象求距離即可；對于選項C，由題意得在雙曲線C：x23?y2＝1中ba=1對于選項D，由題意得x23?y2=1y2=?8x，化簡得x2+24x﹣3＝0，從而求得x＝﹣12﹣【解答過程】解：對于選項A，雙曲線C的左焦點F為（﹣2，0），故拋物線C2標準方程為y2＝﹣8x，故正確；對于選項B，雙曲線C：x23?y2＝1的漸近線方程為x＝±則焦點到雙曲線C的漸近線的距離為2?sin30°＝1，故正確；對于選項C，∵在雙曲線C：x23?y2＝1又∵雙曲線C1焦點在y軸，與雙曲線C有相同的漸近線，∴雙曲線C1滿足ba=3，故e對于選項D，設(shè)A（x1，y1），B（x1，﹣y1），聯(lián)立x23?y2=1y2=?8x化簡得，解方程得，x＝﹣12+73（舍去）或x＝﹣12﹣73，故|AF|+|BF|＝2|AF|＝2(＝2(x1?2)2=2×|﹣12﹣7故選：AB．12．（5分）（2023秋?句容市期中）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點為F（c，0A．MF+NF＝2a B．|FMC．△MNF面積最大值為bc D．直線AM與直線AN的斜率之積是?【解題思路】由橢圓的對稱性知MF+NF＝MF1+MF＝2a可判斷A；M，N關(guān)于原點對稱，F(xiàn)M→+FN→=2FO→，求出設(shè)M（m，n），S△MFN＝S△MFO+S△NFO=12c×+12×c×=c×，可知SkMA?kNA=n?0m+a×?n?0?m+a=?n【解答過程】解：設(shè)橢圓左焦點為F1，由橢圓的對稱性知，NF＝MF1，所以MF+NF＝MF1+MF＝2a；故A正確；因為直線l過原點且與橢圓交于M，N兩點，所以M，N關(guān)于原點對稱，所以O(shè)為MN的中點，所以FM→+FN→=2FO→，所以設(shè)M（m，n），則N（﹣m，﹣n），S△MFN＝S△MFO+S△NFO=12c×+12當(dāng)M在橢圓的短軸的兩端點時最大，最大值為b，所以S△MFN的最大值為bc；故C正確；因為A（﹣a，0），所以kMA?kNA=n?0又點M在橢圓上，所以m2a2+n2b2所以kMA?kNA=?n2故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?上海期末）已知雙曲線Γ1：x2?y2b2=1的左、右焦點分別為F1、F2，以O(shè)為頂點F2為焦點作拋物線Γ2，若雙曲線Γ1與拋物線Γ2交于點P，且∠PF1F2＝45°，則拋物線Γ2的準線方程是x【解題思路】直線PF2的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得P點的坐標，判斷出PF2⊥F1F2，結(jié)合雙曲線定義求得c，由此求得拋物線的準線方程．【解答過程】解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則拋物線方程為y2＝4cx，直線PF1的方程為y＝x+c，聯(lián)立y=x+cy2=4cx，解得P（c，所以PF2⊥F1F2，且|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝22c，根據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，22c﹣2c＝2，解得c=2+所以拋物線的準線方程為x＝﹣c=?2故答案為：?2?14．（5分）（2023秋?姜堰區(qū)校級期中）以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，稱它們互為共軛雙曲線．若焦點在x軸上的雙曲線C1：x2a2?y2b2=1，a＞0，b＞0的一條漸近線為2x?3y＝0，其共軛雙曲線為C2：y2b2?x2a2=1，a＞0，b＞【解題思路】利用雙曲線的漸近線方程求出a，b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線經(jīng)過的點，求解雙曲線方程即可．【解答過程】解：焦點在x軸上的雙曲線C1：x2a2?y2b2=1，a＞0，b＞可得ba=23，共軛雙曲線為C2：y2b2?x2a2=1可得274a2?4所以C2方程為3y2故答案為：y215．（5分）（2023秋?浦城縣期中）拋物線C：y2＝4x，直線l繞P（﹣2，1）旋轉(zhuǎn)，若直線l與拋物線C有兩個交點．則直線l的斜率k的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，12）【解題思路】分直線與x軸垂直和存在斜率兩種情況，給出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，使得方程組有兩組解，最終利用判別式法求解．【解答過程】解：當(dāng)l與x軸垂直時，方程為x＝﹣2，顯然與拋物線無公共點；當(dāng)l不與x軸垂直時，設(shè)l：y﹣1＝k（x+2），即y＝kx+2k+1，代入拋物線C：y2＝4x整理后得k2x2+[2k（2k+1）﹣4]x+（2k+1）2＝0，顯然k≠0，若直線l與拋物線C有兩個交點，只需Δ＝[2k（2k+1）﹣4]2﹣4k2?（2k+1）2＞0，即[2×2k（2k+1）﹣4][2k（2k+1）﹣4﹣2k（2k+1）]＞0，化簡得2k2+k﹣1＜0，解得?1＜k＜1故答案為：（﹣1，0）∪（0，1216．（5分）（2023秋?青山湖區(qū)校級期中）拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過點F作直線AB與拋物線交于點A，B，B（x0，y0）在第四象限，連AO（O為C的頂點）并延長交l于點M，過B作BC垂直于x軸，垂足為C，若S△ABM﹣S△BOC＝22，則y0＝?2【解題思路】由過焦點的直線與拋物線兩交點的縱坐標和積為﹣p2，得A（4y02，?4y0），進而得直線OA方程，解出M的坐標，表示出三角形ABM的面積【解答過程】解：過點F作直線AB與拋物線交于點A，B，B（x0，y0），所以A（4y02，?4y0），直線OA的方程為AO與準線l交點M的坐標（﹣1，y0），所以直線MB平行于x軸，所以S△ABM=1又S△BOC=12×x0=?12x0y012(x0+1)×(?4又x0=y02故答案為：?2四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋?平羅縣校級期中）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程．（1）a＝4，c=15（2）過點P（﹣3，2），且與橢圓x2【解題思路】（1）求出b，然后求解橢圓方程．（2）求出橢圓的焦點坐標，利用橢圓的定義求解a，推出b，即可得到橢圓方程．【解答過程】解：（1）因為a＝4，c=15，所以b＝1所以橢圓方程為：x216+（2）橢圓x29+y24=1的焦點坐標（±橢圓經(jīng)過點P（﹣3，2），可得2a=(?3+5)2+(2?0)2+(?3?所求橢圓方程為：x218．（12分）（2023秋?順義區(qū)校級期中）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a（Ⅰ）直接寫出兩條漸近線方程及雙曲線C的離心率；（Ⅱ）若右焦點為F到漸近線的距離為2，求a．【解題思路】（Ⅰ）由雙曲線的特征直接寫出答案即可；（Ⅱ）利用點到直線的距離公式求解即可．【解答過程】解：（Ⅰ）雙曲線C：x2a2所以兩條漸近線方程為y＝±x，其離心率為2．（Ⅱ）因為右焦點F到漸近線的距離為2，所以c2=2，所以c=22，所以a19．（12分）（2023秋?浙江期中）如圖，點A是拋物線y2＝2px（p＞0）上的動點，過點M（2，1）的直線AM與拋物線交于另一點B．（Ⅰ）當(dāng)A的坐標為（1，2）時，求點B的坐標；（Ⅱ）已知點P（2，0），若M為線段AB的中點，求△PAB面積的最大值．【解題思路】（Ⅰ）由A，M的坐標，求出直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出B的坐標；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程，由題意可得AB的縱坐標之和，與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長|AB|的表達式，再求P到直線AB的距離d，代入三角形的面積公式，由二次函數(shù)的最值的方法求出面積的最大值．【解答過程】解：（1）當(dāng)A的坐標為（1，2）時，則22＝2p?1，所以2p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝4x，由題意可得直線AM的方程為：y﹣2=2?11?2（x﹣即x＝﹣y+3，代入拋物線的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，代入拋物線的方程可得y=?6x=9所以B（9，﹣6）；（2）設(shè)直線AB的方程：x＝my+n，因為M在直線AB上，所以m+n＝2，P到直線AB的距離d=|2?n|1+m2=|m|1+m2，設(shè)A（x1，y1由M（2，1）是AB的中點可得，y1+y2＝2×1＝2，聯(lián)立y2=2pxx=my+n，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，|AB|=1+m2|y1﹣y1|=所以S△PAB=12|AB|?d=12?1+m將pm＝1代入，S△PAB=4m?m所以當(dāng)m＝2時，取等號，所以△PAB面積的最大值為2．20．（12分）（2023秋?西城區(qū)校級期中）已知橢圓W：x24+y23=1的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線（Ⅰ）若橢圓W的左頂點A關(guān)于直線x+my﹣4＝0的對稱點在直線l1上，求m的值；（Ⅱ）過F的直線l2與橢圓W相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合），直線CB與直線l1相交于點M，求證：A，D，M三點共線．【解題思路】（I）設(shè)點A關(guān)于直線對稱的點為A1（4，n），根據(jù)題意可得AA1的中點（1，n2）在直線上且AA1⊥l3（II）對直線斜率是否存在分類討論，當(dāng)直線CD斜率不存在時，求出點A，M，C，D坐標．利用kDM＝kAD，可證得A，D，M三點共線，當(dāng)直線CD斜率存在時，設(shè)直線l2：y＝k（x﹣1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，將kAM，kAD表示為含k的式子，得出kAM＝kAD即可．【解答過程】解：（I）由題意知A（﹣2，0），B（2，0），直線l3：x+my﹣4＝0的斜率存在，且斜率為k3=?設(shè)點A關(guān)于直線對稱的點為A1（4，n），則AA1⊥l3，所以線段AA1的中點（1，n2）在直線l3上，又kAA1=n所以?1m×n6所以m＝±1；（II）由已知有F（1，0）當(dāng)直線l2的斜率不存在時，l2：x＝1，此時C（1，?32），D（1，有kCB=0+322?1=32，所以直線lCB：y=32（x﹣2），當(dāng)x＝4時，y所以kDM=3?324?1=12，kAD=32?01+2=1當(dāng)直線l2的斜率存在時，設(shè)直線l2：y＝k（x﹣1）（k≠0），則x24+y23=1y=k(x?1)，得（4k2+3）x2﹣8k2xΔ＝（﹣8k2）2﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144k2+144＞0，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），x1+x2=8k24k2+3直線BC的方程為y=y1x1?2（x﹣2），令x＝4，得M所以直線AD，AM的斜率分別為kAD=y2x2+2kAD﹣kAM=y上式分子3y2（x1﹣2）﹣y1（x2+2）＝3k（x2﹣1）（x1﹣1）﹣k（x1﹣1）（x2+2）＝2kx1x2﹣5k（x1+x2）+8k＝2k?4k2?124k2+3?5所以kAD﹣kAM＝0，即A，D，M三點共線；綜上：A，D，M三點共線；21．（12分）（2023秋?湖北月考）已知點A（﹣2，0），B（2，0），動點P滿足直線AP的斜率與直線BP的斜率乘積為e2﹣1．當(dāng)e=32時，點P的軌跡為C1；當(dāng)e=52時點P（1）求C1，C2的方程；（2）是否存在過C1右焦點的直線l，滿足直線l與C1交于C，D兩點，直線l與C2交于M，N兩點，且|MN|=3|CD|？若存在，求所有滿足條件的直線l【解題思路】（1）設(shè)出動點P的坐標，根據(jù)題干條件直接求解求軌跡方程，注意x≠±2的范圍限制；（2）用弦長公式分別表達出CD與MN的長度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求出所有滿足條件的直線l的斜率，求解斜率之積．【解答過程】解：（1）設(shè)P（xP，yP），xP≠±2．對于C1，由題可得yP整理得xP故C1的方程為x2對于C2，由題可得yP整理得xP故C2的方程為x2（2）由（1）可得C1：xC1的右焦點為(3，0)