2023-2024學(xué)年天津市南開中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

南開中學(xué)2024屆高三第一次月檢測(cè)

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

考試時(shí)間：120分鐘

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，共150分.考試結(jié)束后，請(qǐng)交回答題卡.

第I卷

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

A-<x|x2-3.-0'B-：1,2,3,41則

1.已知集合；（6）（）

AB

A.B.{1,2,314

1,23,44

2.“sinx_0”是“c°sx1”的（D.

A充要條件充分不必要條件

必要不充分條件既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/⑴Tx|sin2%的部分圖象可能是（

A

2

,0,）/

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（上單調(diào)遞減的是（

sinx

A.y二2

C.y=1g'f.2x

28

5.計(jì)算：j°+*log2lflglO+lne+log4W<（）

A.0B.—C.2D.3

2

1（1A09i

6.已知a-sin-,,_.,c-—log9）

3⑴2則（

27

A.a^ccbB.a<b〈cC.b<a<cD.c-a-b

7.已知J^cos；”—；cos（i—,則sin[2u—'）

I6）3L6）（

第1頁(yè)/共5頁(yè)

8.將函數(shù)（/戶-3sm勿+展的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y且工

=（）一

,有

下列命題：

①函數(shù)g5的圖象關(guān)于直線兀

對(duì)稱

②函數(shù)g廂圖象關(guān)于點(diǎn)歷，0；對(duì)稱

③函數(shù)g腑]或，,上單調(diào)遞增

④函數(shù)g用10,23上恰有5個(gè)極值點(diǎn)

其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

,Inx-2,x>0

9.設(shè)函數(shù)/'（x）=!.：n1有7個(gè)不同的零點(diǎn),,則正實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

isin.（*）x4—-—，-兀[%二0

114）2

「1317）「1721、「49651；6573

AB

-[XT）-[TT）c./，可DTT

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.）

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)一3二2i的結(jié)果為______

1.21

11.在代數(shù)式’4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為—

2

12函數(shù)fX2sin（（■>%4（,）>0,——?”一；的部分圖象如圖所示，則1不=__________

?122/kJ/

第2頁(yè)/共5頁(yè)

13.在亞運(yùn)會(huì)女子十米跳臺(tái)決賽頒獎(jiǎng)禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺(tái)上，同一列上的第一排和

最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點(diǎn)和最后一排E點(diǎn)的距離為94米（如圖所示），

則旗桿的高度為米.

14.已知定義在［+，）上的函數(shù)（）,當(dāng)xc［0,2）時(shí)，（）_（|I）

0,fx，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)

1（x{*161x1

xw［2"一2,2""2）（〃-N,，〃三2（）=一廣一-1,若函數(shù)（g）冬（f>logflx

fx2{2i有且僅有

），Mt

五個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍_________.

15.記（）*nx+ax+耳（<7>0）在區(qū)間［+］（為正數(shù)）上的最大值為Mt（a,b）,若

fxt,t2

{b\Mr（a,b）>ln3^a}R,則實(shí)數(shù)/的最大值為.

三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.已知函數(shù)/（%）-23瓜一+x2sin（7i+x）cosx-旨

（1）求V制最小正周期及對(duì)稱軸方程;

兀兀

（2）當(dāng)無(wú)三—時(shí)，求（）的最大值和最小值.

-42J

17.在便43。中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,其中1,已知“ccos/1ZtzC0SjKC0SC

（1）求角B的大小;

（2）若》2+3,2=12—5。。，求了IBC面積的最大值.

18.如圖，在四棱錐PA3CD中，P4一底面ABC。，AD.AB,AB//DC,ADDC=AP2,

第3頁(yè)/共5頁(yè)

AB1,E為棱尸C的中點(diǎn).

(1)證明：BE//平面尸AD；

(2)求直線3E與平面尸3。所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)。到平面P3C的距離.

19.已知橢圓C:二，匚1。60的離心率為它，短軸長(zhǎng)為2J5.

ab,、、、2

(1)求C的方程；

k.k/0.

(2)如圖，經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為()的直線/與。交于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)點(diǎn)尸為

線段A8的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于冗軸的對(duì)稱點(diǎn)為“，過點(diǎn)石作。尸(。為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直的直線交直線于

點(diǎn)且面積為巫，求上的值.

3

Inxa

20.已知函數(shù)()

X1X41

Fx

(I)設(shè)函數(shù)(。%(一x-l)F(x),當(dāng)〃—2時(shí)，證明：當(dāng)九二j

時(shí)，。XQ

(11)若尸(無(wú))、0恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

aa

()有兩個(gè)不同的零點(diǎn)而，沏，證明：2后—2a■：.|x2-x.I<e-e

(HI)若使px1211

第4頁(yè)/共5頁(yè)

南開中學(xué)2024屆高三第一次月檢測(cè)

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

考試時(shí)間：120分鐘

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，共150分.考試結(jié)束后，請(qǐng)交回答題卡.

第I卷

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知集合A-產(chǎn)，2》3、0,，B；1,2,3,4[，則（6）（）

AcB=

A.{}B.{1,2,3}C.{1{}

1,23,44

【答案】BD.

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由P2x-3.0,即（+）（）>0,解得x>3或登；-1'

x1x3

所以{2}

A-x|x-2x-30{x|x>1

所以6RA-；X|1<XL3；.,或

又B11,2,3,4[.m2"）B={1,2,3）.

故選：B

2.“sinx-0”是“c°s%i”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

5廨fmx-u,根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得8sx.士心^.如，

反之：若c°sx=L根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得sinx=±71-cos2x.0,

所以“smx0”是"cosxT”的必要不充分條件

故選：C.

3.函數(shù)f（x）-IxIsin2x的部分圖象可能是（）

第1頁(yè)洪21頁(yè)

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)“X)是奇函數(shù)，排除B,再取特殊值驗(yàn)證.

【詳解】因?yàn)?X-x)-1-x|sin(-2x)-|x|sin2x-/(x)

nJT[CZ*/兀J兀1(r?*

所以f(x)是奇函數(shù)，排除B,由廣，亍I-0,排除A,由九1一1，排除D.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在)上單調(diào)遞減的是()

2e

C.y-lg^4x+l-2x^D.y-

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性定義、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)：(力X2/(町，不是奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：f[x1Sin(X)--sin%.^fx,不是奇函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

-%-%X_()

c選項(xiàng)：因?yàn)?/)肉定義域?yàn)镽，

且八一?+/(%)=lg("^一)一)(22)()是奇函

+1+2x+lg4x+12x-1g4x-t-1-4x-Igl-0.fx

數(shù).設(shè)'丁2_i_2x-1——，"

.1,2%

因?yàn)椤?(。一

y一Igf在(0,一)

上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，()去X(+℃)上單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確;

0,

第2頁(yè)洪21頁(yè)

11x1

/U)--7P因?yàn)閥-e,y(+8)上都單調(diào)遞增，所以(虎￡蟲+，9,上單

0,

在

調(diào)遞增，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選：C.

5.計(jì)算:+em2-log21+lgl0Jne?+log/的值()

15

A.0B.——C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得;

315

110ln22

【詳解】-+e-log2UlglO+lne+log481-2-0U+2.|log22-

故選：B

1\0.91

D-

6.已知<7-sin-,—I,c=—log9)

33/2，則(

27

A.a.c.bB.abcC.bacD.c<a-b

【答案】A

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)得

c=L，構(gòu)造函數(shù)/'(X)=sin%-%,xu|0,4|sinx<x,xc0,—|,可

3I2人通過導(dǎo)數(shù)可證得I2)

得a、：c,而Z?-,—|c,從而可得答案.

【詳解】，一;l°g279-；“昌一；，|||一；

.71

設(shè)f(x)-sinx-；0,—，則有「(x)-COSX-0,f(x)單調(diào)遞減,

jr,故；即?

從而f(x)</(0)-0,所以sinxvX,xc'0,—sinac

[2

0.9]

而

b=f，—

>—Cf故有a?二c?b.

I33

故選：A.

第3頁(yè)洪21頁(yè)

7.已知曲cos；“-三：—cos”一一，則sin|2a-K；-)

I6)3I6；(

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得正確答案.

______心r兀\2

【詳解】V3cos[ix-Jcosa--,

(/J1)2

I22)3

A/3.1.(7i\2

22I3

(jr\兀，71l"l

sin2a——；-cos—2cx--；'

I6)[26H

-cos!--2a]-cos7i-'2(x+—；!

(3)[I3〃

=-cos(2?-f-—j-2sin2|"+—j-1

=2x([2-j丫-1=--1.

故選：A

1兀兀

8.將函數(shù)(/,y/sin的圖象向右平移z個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為yg%

\O/o=()

,有

下列命題：

①函數(shù)g地圖象關(guān)于直線無(wú)一兀對(duì)稱

②函數(shù)g師圖象關(guān)于點(diǎn)1彳，°;對(duì)稱

△、「兀5兀1

③函數(shù)g用?五，五j|上單調(diào)遞增

第4頁(yè)/共21頁(yè)

④函數(shù)g概￡1。,2兀1上恰有5個(gè)極值點(diǎn)

其中正確的命題個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移變換的特點(diǎn)，利用正弦弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、最值，結(jié)合函數(shù)的極值點(diǎn)定

義逐項(xiàng)判斷即可求解.

I詳?shù)暮瘮?shù)(力廠3叫2口力的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

y--3sin2x3sinj2x\,

.兀5

對(duì)于①，當(dāng)X-兀時(shí)，g(7T)-3sin[2兀--j-不是函數(shù)yhg(x)的最值，故①錯(cuò)誤;

n

對(duì)于②，當(dāng)X―上時(shí),|展卜3sin2?3一0

123故②正確;

“工乙八上K5nc7131

對(duì)于③，當(dāng)工€24,24'^^2X^6i~14,4，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確;

對(duì)于④，令2x—+x」R」(k「Z)左一0,1,2,3

62{1,解得23，,，當(dāng)時(shí)，

兀5兀4兀11兀[八_I.A/-t-t-1,x-x,、r

x二一,—?——,,在0,2兀上有4個(gè)極值點(diǎn)，故④錯(cuò)灰.

3636

故選：B.

）叫|lnx|-2,x>0

設(shè)函數(shù)（）（

9.rx=1Ti\1有7個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)”'的取值范圍為(）

Lsin（j）x-f—!—?—，-兀二元三。

I4）2

「4965]?6573\

C[司司D.11r司

【答案】C

【解析】

【分析】分段函數(shù)分段處理，在0各有1個(gè)零點(diǎn)，所以兀WxWO有5個(gè)零點(diǎn)，利用三角

函數(shù)求出所有的零點(diǎn)，保證-兀WxW0之間有5個(gè)零點(diǎn)即可.

【詳解】由題，當(dāng)“之1時(shí)，/(x)_x+lnx2,顯然f(x)在U，+”>/(l)--l-0

上單調(diào)遞增，且，

第5頁(yè)洪21頁(yè)

()=2^1n2-2：0/(x)4(l,+x)

f2,此時(shí)在有一個(gè)零點(diǎn)；

1V()

當(dāng)。二%?1時(shí)，f(x)-X-Inx-2/'(%)-1',所以/⑴在(0』)上單調(diào)遞減,

=4+2-210,此時(shí)/X)在(0,1)上只有一個(gè)零點(diǎn);

e

/兀\1./兀1

所有當(dāng)一兀WxWf(x)=sin|1」——有5個(gè)零點(diǎn)，令(f~x，Q[Jsin,(■>%4—即

0時(shí)，\42k4j2

7171G7715兀-,.

(*)x-f-———?2&JI,或十一一---+2左兀，左匚Z,

4646

解得-『2航，或噌+2尿，kJ，

X=—-X=——--------

0J(!)

兀7兀工兀

--2712

當(dāng)左—0時(shí)，x12，元12；當(dāng)“］時(shí)，x

1---------2---------312嗔12

兀/兀

71_-

當(dāng)上一2時(shí)，x-12-r_12

5,46-

(!)(1)

71

4A兀

12—3

由題可得-兀WxWo區(qū)間內(nèi)的5個(gè)零點(diǎn),(!)

7兀A

-----4兀

-1--2-------JL77r

竺,即3.竺竺)

解得——(O

1212[1212A

故選：C.

【點(diǎn)睛】分段函數(shù)的零點(diǎn)問題點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)分別考慮函數(shù)在每段區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在

性定理，得到每一段區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得出函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

第II卷

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.)

3-2i

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)一二的結(jié)果為____________

1?21

1Q

【答案】_l_2i

55

【解析】

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.

第6頁(yè)洪21頁(yè)

，、*即、2

3-2i(3-2i)(l2i)3-6i-2i+4i3—8i.418

［詳解］----------------------------------5----------------------——i.

2

l+2i(l+2i)(l-2i)l-4i1+455

1Q

故答案為：--i.

55

11.在代數(shù)式1&--I的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為____________.

I%/

2

【答案】-5

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，使得x的指數(shù)募為0,即可求得左的值.

【詳解】〔口丫的展開式的通項(xiàng)為：［f-4)qx^(-iy

\x))\X)

5-5r,(1\5

令三一-0,解得廠1，所以72」-￡(-1)--5,|?-丁;的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-5.

2

故答案為：-5

兀兀、I兀

12.函數(shù)f12s叫…叫"。,一萬(wàn)的部分圖象如圖所示，則f步---------

【答案】V3

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)(y的圖象結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，再代入求值即可.

/<l3T57r(兀\3兀1-).(12兀2

【詳解】由函數(shù)()的圖象可知，—------—丁，貝I=71,

412I314(.)

■kn3兀i\c3兀兀ci-r-；兀兀二匚［、1兀

把行()，則2■■—+3—7+24兀'M-----<?--->所以9二-工,

12fx122223

代入(一

所以-2sin2龍,

第7頁(yè)/共21頁(yè)

=2sin2-

所以f7)iJ|'r2sin1^V3

故答案為：73.

13.在亞運(yùn)會(huì)女子十米跳臺(tái)決賽頒獎(jiǎng)禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺(tái)上，同一列上的第一排和

最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點(diǎn)和最后一排E點(diǎn)的距離為9a米（如圖所示），

則旗桿的高度為米.

c

第一排

【答案】27

【解析】

【分析】根據(jù)已知可得EC430。，在4cAC，再利用Rt^ABC中計(jì)算可得答

中由正弦定理可得

【詳解】由圖可得，ECA-360。.90?！?0?！?0。J0。，

“ACEA

在AEAC中,由正弦定理可得sin（3075。）無(wú)而,

即.345。舄^與9限2=183

在RdABC中，.CA3-60。，可得3c一AC.sin60。一189,由一27米.

故答案為：27.

14.已知定義在[十/）上的函數(shù)（），當(dāng)xc[0,2）時(shí)，（）=（-I-I）

0,fx，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)

1/fx161%1

工€[2"-2,2'"一2）（〃，N*,〃三2（）一一1,若函數(shù)（g）法（/?林logflx

fx212i有且僅有

），都有'

五個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍__________.

【解析】

第8頁(yè)洪21頁(yè)

【分析】寫出了(x)的解析式并畫出了(x)的圖象，結(jié)合已知條件將問題轉(zhuǎn)化為y=/(x)圖象與1

圖象

(0,+，，)上有且僅有5個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析即可求得結(jié)果.

[詳解]當(dāng)XCLU⑷,/Wio”IX-1|；

當(dāng)〃一2時(shí)，x^[2,6),止匕時(shí)巳-1.[0,2),則/1)-16(1|--21)8(1|--2|),

222222

當(dāng)時(shí)，xe[6,14),此時(shí)二-lc[2,6),則/"(x)-!/'(三一1)一1?8(1-|三-1|)-4(1-|--1|)-

22224242

當(dāng)〃=4時(shí),xw"叫此時(shí)土]叵14),則

2

上/、1q/X八1..XII..,XII,、

f(x)-I)=—,4(Z1I|——I)-2(I|——|),

2228484

因?yàn)間(x)-/(x)-log.x有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

所以y=/(x)圖象與1一1°&尤圖象在(0,U)上eH墳刊

5個(gè)交點(diǎn),

如圖所示，

由圖可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(10,4)時(shí)，兩函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)3(22,2)時(shí)，兩函數(shù)圖象有

6個(gè)交點(diǎn)，

所以當(dāng)y“X)圖象與k2gM圖象在5個(gè)交點(diǎn)時(shí)，貝IJ

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al

'logfl104,解得1年.4夕.

?log。22：-2

故答案為：(10；,/5.

15.記()41nx+ax+4(a：.0)在區(qū)間[+](為正數(shù))上的最大值為M(a，"，若

fxt.t2

[b\Mt(a,b)>ln3^a}-R,則實(shí)數(shù)/的最大值為.

【答案】1##0.25

4

【解析】

【分析】由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)及圖象變換可畫出了(X)的圖象，進(jìn)而可得Afr(a,6)=/?),結(jié)合已知條件可知

由/'⑺=加+2)b皿/'④，＞'2".1),

只需只/)ln3+a,即一(ln」+R+b)ln3+a

可得-2

聯(lián)立兩者進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)g(x)-Inx+ax+b,(a--0)'定義域?yàn)?o,(y)

由單調(diào)性性質(zhì)可知，g(x)在(0,"—

當(dāng)X趨近于0時(shí)，g(x)趨近于，X+，時(shí),g(x)+了

;當(dāng)趨近于趨近于

設(shè)g(沏)=0,則g(x)的圖象如圖所示，

,/(?),/(?)>/(/-1-2)

則由圖象可知，〃蟲-max2)L,仙,劣］⑺、加，2)

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所以跖(。))三/⑺，

當(dāng)f⑺一十2)時(shí)，有-(ln/十點(diǎn)十Z?)1口?+2)十〃?十2)十/?

9

Dln(r+2)+In/卜2a(t+1)

則----------------------,?

-2

又因?yàn)?陷八。，"兄K

所以f(t);-ln3+a,即一(In[+成+6);ln3+a

所以史mrs皿a，②

小gc/口InQ?2)+In?+2a(tt1),,

由①②得—---------------——--一In"R-ln3o-a，

2

整理得ln?+2)2ln/+21n3」n%,即“"",

所以仁-.

4

1

t—.

故的最大值為4

故答案為：-

4

【點(diǎn)睛】恒成立問題解題方法指導(dǎo)：

方法1：分離參數(shù)法求最值.

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

⑵a/(x)恒成立u>aj/(x)；

max

a</(x)恒成立=a=/(x)；

min

a-于(x)能成立oa>/(x)min；

a</(x)能成立oas/(x).

max

方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求

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解.

三、解答題(本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.已知函數(shù)/(x)-23qGs2；-t-x2sin(7i+x)cosx出

12

(1)求《》的最小正周期及對(duì)稱軸方程;

7C71

(2)當(dāng)時(shí)，求()的最大值和最小值.

4,2

fx

5兀wzj

【答案】(1)T—兀，X--+2k

(2)Win,丁5=2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期公式、對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解;

(2)由x的取值范圍求出整體角的取值范圍，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖像及性質(zhì)得出結(jié)果.

【小問1詳解】

廠「(n廠

f(x)2yJ3cos|—(+),V3

-<2)\2sin7ixcos%

-2VW'xi2sinxcosx-A/3-73(1cos2x)+sin2x-^3

sin2x/cos2%2sin2x-

故周期為丁二絲二兀，

2

令2%-三一三十E,左,Z,解得工一色+色"Z)

32122

對(duì)稱軸方程》二區(qū).

122''

【小問2詳解】

jrI

f(X}2sin2x」

3,

兀兀.*。兀兀2兀

—.x<—,??/=2x——七—

4―2363

?兀1if?r1

當(dāng)‘三時(shí)，即X=￡時(shí),Sin/min-sin——,此時(shí)yI,

6462min

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止r■?？?nn3兀I.I.兀i。

當(dāng)—時(shí)，即x—時(shí)，sin.%max-sin—1,此時(shí)ymax―2.

2122

17.在“WC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,其中三，已知"ccos/1"cosbcosc

2

(1)求角B的大??；

(2)若。2.3°2—12.5。。，求遇與。面積的最大值.

【答案】(1)*

(2)

8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角或余弦定理化簡(jiǎn)原式，根據(jù)°’所以cosC,0或

2

〃2序_21

――化簡(jiǎn)即可得出COS3即可得出答案；

2b2

(1)根據(jù)余弦定理結(jié)合第一問得出的角8的大小得出片十02.b?=ac,結(jié)合已知“2+3°2-12一5公

得出4GCT4c2=12,根據(jù)基本不等式得出4c212<_,即可由三角形

面積公式得出答案；或?qū)?+4ac-4c212化簡(jiǎn)為(a+2c產(chǎn)1Z,由三角形面積公式結(jié)合基本不等式得

出AABC的面積SLacsinB一Bac一好a.2c、：”，即可得出答案?

2488I2J8

【小問1詳解】

萬(wàn)法一：由根據(jù)正弦定理邊化角得：sinB-sinCcosA2sinAcosBcosC,

即sin(A+C)-sinCcosA-2sinAcosBcosC,

匚Ui、〕sin/icosczsin/icos^cosc

所以，

因?yàn)镃'L,所以COsCrO,

2

sin/i：-uma1

又，所以cosDB--,

2

又0.B71,所以3

3

方法二：由〃"OSAztzcos^cosc根據(jù)余弦定理：

,,Z?*23+c2-a-a-rb--c2

得B一c----------2acosB-----------,

2bclab

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22222

pn-C+aa+b-c

即---------------2cos3

2b2b

r7T在［、］a?ib2c2

因?yàn)橐?，所?----------r0

22b,

所以cosB」，又03；兀B

2，得3

【小問2詳解】

a24.c2~b21

方法一：由（1）及余弦定理知cosB-------------—，

2ac2

所以。2十，62QC,

因?yàn)椤?3c之125ac,

222

所以/+C-（12-3C-5ac）-ac,化簡(jiǎn)得"14ac-,4c=12,

因?yàn)閃U'C”,

所以4c2.124ac-2-a-2c,

所以ac三:，當(dāng)且僅當(dāng)。一2c一3即a-/,c-9時(shí)取等號(hào)，

，2

所以AABC的面積s-1acsinB-6-ac＜上行，

248

所以AABC面積的最大值為之目.

8

方法二：由（1）及余弦定理知C0S5---------上，

2ac2

所以a，，-〃-ac.

因?yàn)椤?43c2_125ac,

所以后+。2_02—3。2一5。。）-ac,化簡(jiǎn)得。2+4ac.4c2r2,即（a+2c產(chǎn)12

]小

所以△ABC的面積S--acsinB--etc-

28

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當(dāng)且僅當(dāng)a-2c-JI,即a-曲,c-g時(shí)取等號(hào),

所以AABC面積的最大值為任，

8

18.如圖，在四棱錐「ABCD中，P4一底面ABC。，AD.AB,AB//DC，ADDC=AP2,

AB1,E為棱尸C的中點(diǎn).

(1)證明：3E//平面PAD；

(2)求直線BE與平面所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)。到平面PBC的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵g

(3)迪

3

【解析】

【分析】(1)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行；

(2)求出平面尸皮＞的一個(gè)法向量，再由向量法求解；

⑶求出平面P3C的法向量式-(XI，M，Z).

一1,再由向量法求解

【小問1詳解】

解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

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可得41,0,0),C(2,2,01,q0,2,0),C0,0,2),由助棱PC的中點(diǎn)，得(E1,1,1),

向量BK（0,1,1），AB（1,0,0）

i^B