利用隔板法巧解排列、組合問題上課講義

利用隔板法巧解排

列、組合問題利用隔板法巧解排列、組合題河南省盧氏縣第一高級中學(xué)，孫仕卿472200隔板法是將相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的個(gè)數(shù)不限，求不同方法種數(shù)的一種解題方法。利用隔板法能夠巧解許多排列、組合問題。一、放球問題。例1、把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同方法？解：取3塊相同隔板，連同8個(gè)相同的小球排成一排，共11個(gè)位置。由隔板法知，在11個(gè)位置中任取3個(gè)位置排上隔板，共有C131種排法。311109C131= =165（種）11321所以，把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有165種不同方法。點(diǎn)評：相同的球放入不同的盒子，每個(gè)盒子放球數(shù)不限，適合隔板法。隔板的塊數(shù)要比盒子數(shù)少1。一、指標(biāo)分配問題。例2、某校召開學(xué)生會(huì)議，要將10個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級的6個(gè)班中，若每班至少1個(gè)名額，又有多少種不同分法？解：名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，這樣，把10相同的名額分配到6個(gè)不同的班級中，適合隔板法。將10個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級的6個(gè)班中，每班至少1個(gè)名額，可分以下兩步完成。第一步：每班先給1個(gè)名額，僅有1種給法；第二步：將剩余的4個(gè)名額分到這6個(gè)班里，由隔板法知，此時(shí)，有C95種不同分法。由分步計(jì)數(shù)原理知，共有C59種不同分法。549876C95=C49= =126（種）。994321答：某校召開學(xué)生會(huì)議，要將10個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級的6個(gè)班中，若每班至少1個(gè)名額，有126種不同分法.點(diǎn)評：名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，故適合隔板法。二、求n項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)。例3、求(x1x2 x5)10展開式中共有多少項(xiàng)？解：用10個(gè)相同的小球代表冪指數(shù)10,用5個(gè)標(biāo)有x1、x2、?、x5的5個(gè)不同的盒子表示數(shù)x1、x2、?、x5，將10個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子中，把標(biāo)有xi(i=1,2,?,5)每個(gè)盒子得到的小球數(shù)ki(i=1，2，?，5;kiN)，記作xi的ki次方。這樣，將10個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子中的每一種放法，就對應(yīng)著展開式中的每一項(xiàng)。由隔板法知，這樣的放法共有 C144種，故(x1x2 x5)10的展開式中共有C144項(xiàng)。414131211C144= =1001(種)。144321所以，(x1x2 x5)10展開式中共有1001項(xiàng)。點(diǎn)評：準(zhǔn)確理解隔板法的使用條件，是使用隔板法求(x1x2 x5)10展開式中的項(xiàng)數(shù)的理論依據(jù)。四、求n元一次方程組的非負(fù)整數(shù)解。例4、求方程x1+x2+?+x5=7的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：用7個(gè)相同的小球代表數(shù)7,用5個(gè)標(biāo)有x1、x2、?、x5的5個(gè)不同的盒子表示未知數(shù)x1、x2、?、x5，要得到方程x1+x2+?+x5=7的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可分以下兩步完成。第一步：從7個(gè)相同的小球中任取5個(gè)放入5個(gè)不同的盒子中，僅有1種放法；第二步：把剩余的2個(gè)小球放入5個(gè)不同的盒中，由隔板法知，此時(shí)有C64種放法。由分步計(jì)數(shù)原理知，共有C64種不同放法。我們把標(biāo)有xi（i=1,2,?,5）的每個(gè)盒子得到的小球數(shù)ki（i=1，2，?，5;kiN），記作：xi=ki。這樣，將7個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子中的每一種放法，就對應(yīng)著方程x1+x2+?+x5=7的每一組解（k1，k2，?，k5）。C64=C62=65=15（個(gè)）6621所以，方程x1+x