2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 組合數(shù)及其性質(zhì)第2課時 課件34張

課程標準1.能應用組合知識解決有關組合的簡單實際問題.2.能解決有限制條件的組合問題.基礎落實·必備知識全過關課程標準1.能應用組合知識解決有關組合的簡單實際問題.2.能解決有限制條件的組合問題.知識點

組合的有關概念

這n個元素不相同一般地,從n個不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)個元素為一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的所有組合的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的組合數(shù),記作

.

可用排列數(shù)公式表示

名師點睛過關自診1.[人教A版教材習題]壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張,一共可以組成多少種幣值?提示

因為四張人民幣的面值都不相同,組成的面值與順序無關,所以可以分為四類面值,分別由1張、2張、3張、4張人民幣組成,共有不同的面值2.[人教A版教材習題](1)空間中有8個點,其中任何4個點不共面,過每3個點作一個平面,可以作多少個平面?(2)空間中有10個點,其中任何4個點不共面,過每4個點為頂點作一個四面體,可以作多少個四面體?提示

(1)因為“三個不共線的點確定一個平面”,且所確定的平面與點的順序無關,所以共可確定的平面數(shù)是(2)因為四面體由四個頂點唯一確定,且與四個點的順序無關,所以共可確定的四面體個數(shù)是3.[人教A版教材習題]在一次考試的選做題部分,要求在第1題的4個小題中選做3個小題,在第2題的3個小題中選做2個小題,在第3題的2個小題中選做1個小題,有多少種不同的選法?提示

因為只要選出要做的題目即可,所以是組合問題.可以分三步分別從第1,2,3題中選題,因此由分步乘法計數(shù)原理得,不同的選法種數(shù)為重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一有限制條件的組合問題【例1】

現(xiàn)有男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)至少有1名女運動員;(3)既要有隊長,又要有女運動員.規(guī)律方法

有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類:有限制條件的選取問題類型處理方案注意事項含有“特殊元素”的問題先取出“特殊元素”,然后利用分步乘法計數(shù)原理分類時做到不重不漏含有“至多”與“至少”的問題方法一:直接分類法;方法二:間接法變式訓練1(1)某組織從4名男運動員、6名女運動員中各選一名運動員作為最佳運動員,不同的選法種數(shù)為(

)A.12 B.30 C.15 D.24D(2)從(1)中的4名男運動員、6名女運動員中選出3人參加某公益活動,則至多有2名男運動員的選法有

種.

116探究點二分組、分配問題角度1.不同元素分組、分配問題【例2】

有6本不同的書,按下列方式分組或分配,則共有多少種不同的方式?(1)分成三組,每組分別有1本,2本,3本;(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;(3)分成三組,每組都是2本;(4)分給甲、乙、丙三人,每人2本.規(guī)律方法

分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種:①完全均勻分組,每組的元素個數(shù)均相等;②部分均勻分組,應注意不要重復,若有n組均勻,最后必須除以n!;③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題.分配問題可以按要求逐個分配,也可以分組后再分配.變式訓練2某賓館安排A,B,C,D,E五人入住3個不同的房間,每個房間至少住1人,且A,B不能住同一房間,則不同的安排方法的種數(shù)為(

)A.24 B.48 C.96 D.114D角度2.相同元素分配問題【例3】

將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中,分別求下列要求下的放法的種數(shù).(1)每個盒子都不空;(2)恰有一個空盒子;(3)恰有兩個空盒子.解

(1)先把6個相同的小球排成一行,在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板,然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板,有

=10(種).規(guī)律方法

相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法,此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),有

種方法.可描述為(n-1)個空中插入(m-1)塊隔板.變式訓練3某同學有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有(

)A.4種 B.10種 C.18種

D.20種B解析

由于只剩一本書,且這些畫冊、集郵冊分別相同,可以從剩余的書的類別進行分析.又由于排列、組合針對的是不同的元素,應從4位朋友中進行選取.第一類:當剩余的一本是畫冊時,相當于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友,只有1位朋友得到畫冊.即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊,有1個元素的那隊分給畫冊,另一隊分給集郵冊,有

種分法.第二類:當剩余的一本是集郵冊時,相當于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友,有2位朋友得到畫冊,即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊,一隊分給畫冊,另一隊分給集郵冊,有

種分法.因此,滿足題意的贈送方法共有探究點三與幾何有關的組合應用題【例4】

如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個點C1,C2,…,C6,線段AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4.(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形?其中含C1點的有多少個?(2)以圖中的12個點(包括點A,B)中的4個點為頂點,可作出多少個四邊形?規(guī)律方法

1.圖形多少的問題通常是組合問題,要注意共點、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用間接法.2.把一個與幾何相關的問題轉(zhuǎn)化為組合問題,體現(xiàn)了數(shù)學抽象及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).變式訓練4空間中有10個點,其中有5個點在同一個平面內(nèi),其余點無三點共線,無四點共面,則以這些點為頂點,共可構成四面體的個數(shù)為(

)A.205 B.110

C.204

D .200A本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)有限制條件的組合問題:①特殊元素;②分配問題;③相同元素分配問題.(2)與幾何相關的應用題.2.核心素養(yǎng):分類討論、化歸、數(shù)學建模.3.常見誤區(qū):分類標準是否恰當,能否做到“不重不漏”,問題情境的轉(zhuǎn)化.成果驗收·課堂達標檢測123451.身高各不相同的7名同學排成一排照相,