2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 基本計數(shù)原理的簡單 課件（39張）

知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題:第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日開幕,某志愿者從濟南前往北京參加志愿者活動,他有兩類快捷途徑可供選擇:一是乘飛機,二是乘高鐵.假如這天飛機有3個航班可乘,高鐵有4個班次可乘.那么該志愿者從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢?提示:該志愿者共有3+4=7種快捷途徑可選.1.分類加法計數(shù)原理完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=

種方法.(也稱“加法原理”)2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么,完成這件事共有N=

種方法.(也稱“乘法原理”)思考:應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的關鍵是什么?提示:應用分類加法計數(shù)原理的關鍵是分類,且每一類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事;應用分步乘法計數(shù)原理的關鍵是分步,且每一步都不能完成這件事情,只有每一步都完成了,才能完成這件事情.m1+m2+…+mnm1·m2·…·mn師生互動·合作探究探究點一分類加法計數(shù)原理A.6個 B.8個 C.12個 D.16個解析:(1)因為橢圓的焦點在x軸上,所以m>n.當m=4時,n=1,2,3;當m=3時,n=1,2;當m=2時,n=1,即所求的橢圓共有3+2+1=6個.故選A.(2)(2021·甘肅靜寧期中)如圖所示,在A,B間有四個焊接點1,2,3,4,若焊接點脫落導致斷路,則電路不通,則焊接點脫落的不通情況有(

)A.9種

B.11種 C.13種

D.15種解析:(2)按照可能脫落的個數(shù)分類討論,若脫落1個,則有1,4兩種情況,若脫落2個,則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況,若脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4種情況,若脫落4個,則有(1,2,3,4)共1種情況.綜上,共有2+6+4+1=13種情況.故選C.A.6個

B.8個

C.12個

D.16個解析:因為雙曲線的焦點在x軸上,所以m>0,n>0,當m=1時,n=1,2,3,4;當m=2時,n=1,2,3,4;當m=3時,n=1,2,3,4;當m=4時,n=1,2,3,4.即所求的雙曲線共有4+4+4+4=16個.故選D.方法總結(1)分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準,然后在這個標準下分類,要做到分類“不重不漏”.(2)利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程.探究點二分步乘法計數(shù)原理[例2](1)若m,n均為非負整數(shù),在做m+n的加法時各位均不進位(例如:2019+100=2119),則稱(m,n)為“簡單的”有序?qū)?而m+n稱為有序?qū)?m,n)的值,那么值為2019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是(

)A.100 B.96 C.60 D.30解析:(1)由題意可知,只要確定了m,n即可確定一個有序數(shù)對(m,n),則對于數(shù)m,利用分步乘法計數(shù)原理,第一位取法有3種:0,1,2;第二位取法有1種:0;第三位取法有2種:0,1;第四位取法有10種:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;所以值為2019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是3×1×2×10=60.故選C.(2)(2021·江蘇蘇州中學高二期中)某校文創(chuàng)社團近期設計了兩款明信片,借此展示學校的文化底蘊和春天美景,一經(jīng)推出,廣受歡迎.為了支持慈善事業(yè),校志愿者社團派出甲、乙等5人幫助文創(chuàng)社團售賣此兩款明信片,5人分兩組,每組售賣同一款明信片.若甲和乙必須售賣同一款明信片,且每款明信片至少由兩名志愿者售賣,則不同的售賣方案種數(shù)為(

)A.8 B.10C.12D.14解析:(2)根據(jù)題意,分2步進行分析:①將5人分為3,2的兩組,要求甲和乙在同一組,若甲和乙2人一組,有1種分組方法,若甲和乙和其他1人組成一組,有3種分組方法,則有1+3=4種分組方法;②將分好的兩組安排售賣兩款明信片,有4×2=8種安排方法.故選A.方法總結利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意點及解題思路(1)應用分步乘法計數(shù)原理時,完成這件事情要分幾個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事情,每個步驟缺一不可.(2)利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路:①分步:將完成這件事的過程分成若干步;②計數(shù):求出每一步中的方法數(shù);③結論:將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果.[針對訓練](1)(2021·北京豐臺高二期末)某校開展某體育活動,共設踢毽、跳繩、拔河、推火車、多人多足五個集體比賽項目,各比賽項目逐一進行.為了增強比賽的趣味性,在安排比賽順序時,多人多足不排在第一場,拔河排在最后一場,則不同的安排方法種數(shù)為(

)A.3 B.18C.21D.24解析:(1)根據(jù)題意,多人多足不排在第一場,拔河排在最后一場,則多人多足有3種安排方法,將踢毽、跳繩、推火車安排在剩下的3個位置,有3×2×1=6種安排方法,則有3×6=18種安排方法.故選B.(2)(2021·山東臨沂一中月考)如圖所示是望樓傳遞信息的一種方式,在九宮格中,每個小方格可以在白色和紫色(此處以陰影代表紫色)之間變換,從而一共可以有512種不同的顏色組合,即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行、每一列上有且只有1個紫色小方格(如圖所示即滿足要求),則一共可以傳遞的不同信息種數(shù)是(

)A.14 B.12 C.9 D.6解析:(2)根據(jù)每行中紫色小方格的位置,可分三步:第一步,在第一行中,有且只有1個紫色小方格,有3種情況;第二步,在第二行的3個方格中,要求每列有且只有1個紫色小方格,則第二行有2種情況;第三步,在第三行,只有1種情況.則一共可以傳遞的信息種數(shù)是3×2×1=6.故選D.探究點三兩個原理的簡單應用[例3]某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人,二班有優(yōu)秀團員10人,三班有優(yōu)秀團員6人,學校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.(1)推選1人為總負責人,有多少種不同的選法?解:(1)分3類,第1類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,共有8種不同的選法;第2類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,共有10種不同的選法;第3類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,共有6種不同的選法.由分類加法計數(shù)原理可得,共有N=8+10+6=24種不同的選法.[例3]某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人,二班有優(yōu)秀團員10人,三班有優(yōu)秀團員6人,學校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.(2)每班選1人為小組長,有多少種不同的選法?解:(2)分3步,第1步,從一班的8名優(yōu)秀團員中選1名組長,共有8種不同的選法;第2步,從二班的10名優(yōu)秀團員中選1名組長,共有10種不同的選法;第3步,從三班的6名優(yōu)秀團員中選1名組長,共有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理可得,共有N=8×10×6=480種不同的選法.[例3]某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人,二班有優(yōu)秀團員10人,三班有優(yōu)秀團員6人,學校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.(3)從他們中選出2個人管理生活,要求這2個人不同班,有多少種不同的選法?解:(3)分3類,每1類又分2步,第1類是從一班、二班的優(yōu)秀團員中各選1人,有8×10種不同的選法;第2類是從二班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人,有10×6種不同的選法;第3類是從一班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人,有8×6種不同的選法.因此,共有N=8×10+10×6+8×6=188種不同的選法.方法總結(1)運用兩個原理的關鍵在于正確區(qū)分“分類”與“分步”,分類就是能“一步到位”,即任何一類中任何一種方法,都能完成這件事;而分步只能是“局部到位”,即任何一步中任何一種方法只能完成事件中的某一部分.(2)在既有分類又有分步的題型中,一般先分類,然后在每一類中再分步.[針對訓練](2021·江西九江期中)現(xiàn)有高二四個班學生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學課外小組.(1)選其中1人為負責人,有多少種不同的選法?解:(1)根據(jù)題意,四個班共34人,要求從34人中,選其中1人為負責人,則有34種選法.(2)每班選1名組長,有多少種不同的選法?解:(2)根據(jù)題意,分析可得,從一班選1名組長,有7種情況,從二班選1名組長,有8種情況,從三班選1名組長,有9種情況,從四班選1名組長,有10種情況,所以每班選1名組長,不同的選法共有7×8×9×10=5040種.[針對訓練](2021·江西九江期中)現(xiàn)有高二四個班學生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學課外小組.(3)推選2人作中心發(fā)言,這2人需來自不同的班級,有多少種不同的選法?解:(3)根據(jù)題意,分六種情況討論,①從一、二班學生中各選1人,有7×8種不同的選法;②從一、三班學生中各選1人,有7×9種不同的選法;③從一、四班學生中各選1人,有7×10種不同的選法;④從二、三班學生中各選1人,有8×9種不同的選法;⑤從二、四班學生中各選1人,有8×10種不同的選法;⑥從三、四班學生中各選1人,有9×10種不同的選法.所以不同的選法共有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431種.探究點四兩個原理的綜合應用角度1組數(shù)問題(1)銀行存折的四位密碼?解:(1)分步解決.第1步:選取左邊第一個位置上的數(shù)字,有6種選取方法;第2步:選取左邊第二個位置上的數(shù)字,有5種選取方法;第3步:選取左邊第三個位置上的數(shù)字,有4種選取方法;第4步:選取左邊第四個位置上的數(shù)字,有3種選取方法.由分步乘法計數(shù)原理知,可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3=360個.[例4]用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的:(2)四位整數(shù)?解:(2)分步解決.第1步:首位數(shù)字有5種選取方法;第2步:百位數(shù)字有5種選取方法;第3步:十位數(shù)字有4種選取方法;第4步:個位數(shù)字有3種選取方法.由分步乘法計數(shù)原理知,可組成的四位整數(shù)有5×5×4×3=300個.[例4]用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的:(3)比2000大的四位偶數(shù)?解:(3)法一按末位是0,2,4分為三類:第1類:末位是0的有4×4×3=48個;第2類:末位是2的有3×4×3=36個;第3類:末位是4的有3×4×3=36個.則由分類加法計數(shù)原理有N=48+36+36=120個.[例4]用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的:法二按千位是2,3,4,5分四類:第1類:千位是2的有2×4×3=24個;第2類:千位是3的有3×4×3=36個;第3類:千位是4的有2×4×3=24個;第4類:千位是5的有3×4×3=36個.則由分類加法計數(shù)原理有N=24+36+24+36=120個.法三用0,1,2,3,4,5可以組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類:第1類:末位是0的有5×4×3=60個;第2類:末位是2或4的有2×4×4×3=96個.共有60+96=156個.其中比2000小的有:千位是1的共有3×4×3=36個,所以符合條件的四位偶數(shù)共有156-36=120個.方法總結(1)對于組數(shù)問題,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領分類,分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法從反面求解.(2)解決組數(shù)問題,應特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘.排數(shù)時,要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.[針對訓練](1)(2021·北京八十中期中)將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列,記第i個數(shù)為ai(i=1,2,3,4,5,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,且a1<a3<a5,則不同的排列方法種數(shù)為(

)A.15 B.30 C.45 D.60解析:(1)由題意可知分兩步:①先排a1,a3,a5,當a1=2時,a3=4,a5=6或a3=5,a5=6有2種,當a1=3時,a3=4,a5=6或a3=5,a5=6有2種,當a1=4時,a3=5,a5=6有1種,共5種;②再排a2,a4,a6,共有3×2×1=6種,所以不同的排列方法種數(shù)為5×6=30.故選B.(2)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有(

)A.18個

B.15個

C.12個 D.9個解析:(2)依題意,這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個數(shù),分別為400,040,004;由3,1,0組成6個數(shù),分別為310,301,130,103,013,031;由2,2,0組成3個數(shù),分別為220,202,022;由2,1,1組成3個數(shù),分別為211,121,112.共有3+6+3+3=15個.故選B.角度2涂色(種植)問題[例5](1)(2021·北京人大附中高二期末)現(xiàn)有甲、乙、丙三種樹苗可供選擇,分別種在一排五個坑中,要求相同的樹苗不能相鄰,第一個和第五個坑內(nèi)只能種甲種樹苗,則不同的種法共有(

)A.4種

B.5種 C.6種

D.7種解析:(1)因為同種樹苗不相鄰且第一個和第五個坑內(nèi)只能種甲種樹苗,所以只有中間三個坑需要選擇樹苗.①當中間一個坑種甲時,第二個和第四個坑都有兩種選法,共有4種選法.②當中間一個坑不種甲時,則中間一個坑種乙或丙.當中間這個坑種乙時,第二個和第四個坑種丙;當中間這個坑種丙時,第二個和第四個坑種乙.故共有6種種法.故選C.(2)(2021·河南南陽期中)2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標如圖所示,會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計而得,顏色的明暗使它看上去像一個風車.現(xiàn)給圖中5個區(qū)域(見圖2)著色,要求相鄰的區(qū)域不能使用同一種顏色,有6種顏色可供選擇,則不同的著色方案的種數(shù)為(

)A.1080 B.1200C.1440D.1560解析:(2)由題得,1號顏色與其他均不相同.①若2和4顏色相同,3和5顏色相同,則共需要三種顏色,分別涂在1;2,4;3,5上,則有6×5×4=120種情況;②若2和4,3和5中只有一組顏色相同,則共需要四種顏色,分別涂在四個位置,則有2×6×5×4×3=720種情況;③若所有顏色都不同,則有6×5×4×3×2=720種情況.綜上,共有120+720+720=1560種情況.故選D.方法總結求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解,常用方法有(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析;(2)以顏色(種植作物)為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”問題,用分類加法計數(shù)原理分析;(3)對于涂色問題可將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.[針對訓練](1)(2021·浙江麗水期中)從紅、黃、藍三種顏色中選出若干種顏色,給如圖所示的四個相連的正方形染色,若每種顏色只能涂一個正方形或兩個正方形,且相鄰兩個正方形所涂顏色不能相同,則不同的涂色方案的種數(shù)是(

)A.12 B.18 C.24 D.36解析:(1)正方形從左到右依次標號1,2,3,4.若使用2種顏色,則顏色的取法有3種,故正方形1,3顏色相同,2,4顏色相同,有2種方案,共有3×2=6種方案;若使用3種顏色,則顏色的取法有1種,故四個正方形有兩個不相鄰必須同色,即1,3顏色相同,或者1,4顏色相同,或者2,4顏色相同,有3種方案,然后先涂相同色,再涂其余2個,共有3×2×1=6種方案,故共有1×3×6=18種方案.綜上,符合要求的不同涂色方案有6+18=24種.故選C.(2)(2021·山東兗州期中)如圖所示,積木拼盤由A,B,C,D,E五塊積木組成,若每塊積木都要涂一種顏色,且為了體現(xiàn)拼盤的特色,相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如:A與B為相鄰區(qū)域,A與D為不相鄰區(qū)域),現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選,則不同的涂色方法的種數(shù)為(

)A.780 B.840 C.900 D.960解析:(2)先涂A,則A有5種涂法,再涂B,因為B與A相鄰,所以B的顏色只要與A不同即可,有4種涂法,同理C有3種涂法,D有4種涂法,E有4種涂法,由分步乘法計數(shù)原理,可知不同的涂色方法種數(shù)為5×4×3×4×4=960.故選D.角度3抽取與分配問題[例6](1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐,其中甲工廠必須有班級去,每班去何工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(

)A.360種B.420種

C.369種

D.396種解析:(1)法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類,共分為四類:第一類,四個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種;第二類,有三個班級去甲工廠,剩下的一個班級去另外四個工廠,其分配方案共有4×4=16種;第三類,有兩個班級去甲工廠,另外兩個班級去其他四個工廠,其分配方案共有6×4×4=96種;第四類,有一個班級去甲工廠,其他三個班級去另外四個工廠,其分配方案有4×4×4×4=256種.綜上所述,不同的分配方案有1+16+96+256=369種.故選C.法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù),再扣除甲工廠無人去的情況,即共有5×5×5×5-4×4×4×4=369種不同的分配方案.故選C.答案:(1)C

(2)甲、乙、丙三人各寫一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己的賀卡,則不同取法的種數(shù)有

.

解析:(2)不妨由甲先來取,共2種取法,而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取,余下來的人,都只有一種選擇,所以不同取法共有2×1×1=2種.答案:(2)2變式探究:本例(2)中,若將“甲、乙、丙三人”改為“甲、乙、丙、丁四人”,其他條件不變,則有多少種不同的取法?解:不妨由甲先來取,共3種取法,而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取,共3種取法,余下來的人,都只有一種選擇,所以不同的取法共有3×3×1×1=9種.方法總結求解抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種方法.①直接法:直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.②間接法:去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.當堂檢測D1.(2021·浙江金華期末)已知a∈{3,4,5},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},則方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同的圓有(

)A.3個 B.4個 C.9個 D.24個解析:第一步:從{3,4,5}中任取一個數(shù),有3種取法;第二步:從{1,2,7,8}