2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　排列（一） 課件（31張）

核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解并掌握排列的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解并掌握排列數(shù)的概念及排列數(shù)公式,能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思三人站成一排照相,能有多少種排列方法?知識(shí)點(diǎn)撥一、排列的定義一般地,從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.名師點(diǎn)析在定義中“一定的順序”就是說(shuō)與位置有關(guān),在實(shí)際問題中,究竟何時(shí)有關(guān),何時(shí)無(wú)關(guān),要由具體問題的性質(zhì)和條件來(lái)決定,這一點(diǎn)要特別注意,這也是與后面將要學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.微判斷(1)a,b,c與b,a,c是同一個(gè)排列.(

)(2)同一個(gè)排列中,同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).(

)√×二、排列數(shù)的定義把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作名師點(diǎn)析(1)“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念.“排列”是指“按照一定的順序排成一列”,所謂排成一列,是指與順序有關(guān),例如排列AB與排列BA是不同的,可以把一個(gè)排列看成一個(gè)類似點(diǎn)坐標(biāo)的有序數(shù)對(duì),它不是一個(gè)數(shù),而是完成一件事的方法.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).如A,B,C三名同學(xué)站成一排照相,他們的排列有以下6種形式:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.這里的每一種形式都是一個(gè)排列,而排列數(shù)是6.(2)符號(hào)

中,總是要求n和m都是自然數(shù),且m≤n,以后不再聲明.微練習(xí)已知

=132,則n等于多少?解

=n(n-1)=132,解得n=12或n=-11(舍去).三、排列數(shù)公式從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]種,所以

=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].上述這個(gè)公式叫作排列數(shù)公式.微練習(xí)1若

=9×10×11×12,則m的值為(

)A.3

B.4

C.5

D.6答案

B解析

9到12共4個(gè)數(shù),由排列數(shù)公式得m=4.微練習(xí)2從1,2,3,4中任取兩個(gè)數(shù)字組成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則組成不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.4 C.12 D.24答案

C解析

本題相當(dāng)于從4個(gè)元素中取2個(gè)元素的排列,即

=12.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一排列的概念例1下列問題是排列問題的為

.(填序號(hào))

①?gòu)?個(gè)小組中選2個(gè)小組分別去植樹和種菜,有多少種選法?②從5個(gè)小組中選2個(gè)小組去種菜,有多少種選法?③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信,共發(fā)了多少條短信?④從1,2,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)字相除,有多少種結(jié)果?⑤有10個(gè)汽車站,則站與站之間有多少種車票?答案

①③④⑤

解析

①植樹和種菜是不同的工作,存在順序問題,是排列問題;②不存在順序問題,不是排列問題;③存在順序問題,是排列問題;④兩個(gè)數(shù)相除與這兩個(gè)數(shù)的順序有關(guān),是排列問題;⑤車票使用時(shí)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分,故車票的使用是有順序的,是排列問題.反思感悟

判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路

變式訓(xùn)練1判斷下列問題是否為排列問題.(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位,要求選出3個(gè)座位,有多少種方法?若選出3個(gè)座位安排三位客人,又有多少種方法?(3)平面上有5個(gè)點(diǎn),其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線,這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線?可確定多少條射線?解

(1)第一問不是排列問題,第二問是排列問題.“入座”問題與“排隊(duì)”問題一樣,與順序有關(guān),故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.(3)確定直線不是排列問題,確定射線是排列問題.探究二排列數(shù)及其應(yīng)用命題角度1

由排列數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值例2(1)4×5×6×…×(n-1)×n等于(

)(3)化簡(jiǎn):1!+2×2!+3×3!+…+n×n!=

.

答案

(1)D

(2)1

(3)(n+1)!-1解析

(1)從4,5,…到n共n-4+1=(n-3)個(gè)數(shù),所以根據(jù)排列數(shù)公式知,(3)∵n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)!-n!,∴原式=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.反思感悟

(1)排列數(shù)公式的逆用:連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù),其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù),而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù).(2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式.當(dāng)

中m已知且較小時(shí)用連乘形式,當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式.(3)應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明,化簡(jiǎn)的過(guò)程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形,并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,解題時(shí)要靈活地運(yùn)用如下變式:變式訓(xùn)練2(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55)=

;

解析

(1)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15個(gè)元素,命題角度2

與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解

解

根據(jù)題意,原方程等價(jià)于

反思感悟

利用排列數(shù)公式展開即得到關(guān)于x的方程(或不等式),但由于x存在于排列數(shù)中,故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約,避免出現(xiàn)增根.由排列數(shù)公式,原不等式可化為(2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)<140x(x-1)(x-2),因?yàn)閤∈N+,所以x=4或x=5.所以不等式的解集為{4,5}.探究三排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4用排列數(shù)表示下列問題.(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù),其商的個(gè)數(shù);(2)由0,1,2,3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù);(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí),若每家單位至多招1名新員工,每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí),且這4名大學(xué)生全部被分配完畢,其分配方案的個(gè)數(shù).解

(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù),分別作為商的分子和分母,其排列數(shù)為(2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除,所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”,故確定此四位數(shù),只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可,其排列數(shù)為(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位,分別把4名大學(xué)生安排到4家單位,其排列數(shù)為反思感悟

首先分析問題是不是排列問題,若是排列問題,則利用定義解題.變式訓(xùn)練4某高速鐵路自北京南站至上海虹橋站,雙線鐵路全長(zhǎng)1318公里,途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市,設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站,計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票?解

對(duì)于兩個(gè)火車站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同,因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站.因此,結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中,每次取出2個(gè)不同元素的排列數(shù)

=21×20=420(種).所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票.素養(yǎng)形成易錯(cuò)題探因

混淆排列問題和分步問題典例10個(gè)人走進(jìn)只有6把不同椅子的屋子,若每把椅子必須且只能坐一人,共有多少種不同的坐法?解

坐在椅子上的6個(gè)人是走進(jìn)屋子的10個(gè)人中的任意6個(gè)人,若把人抽象地看成元素,將6把不同的椅子當(dāng)成不同的位置,則原問題抽象為從10個(gè)元素中取6個(gè)元素占據(jù)6個(gè)不同的位置,顯然是從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素的排列問題,從而,坐法共有

=151

200(種).易錯(cuò)探因本題容易得到如下錯(cuò)解:10個(gè)人坐6把不同的椅子,每個(gè)人有6種選擇,故有610種不同的坐法.事實(shí)上,本題是排列問題,元素是不能重復(fù)選取的.誤區(qū)警示排列問題中元素不能重復(fù)選取,而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解