遼寧省大連市一零三中學2024年高考數(shù)學四模試卷含解析_第1頁
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遼寧省大連市一零三中學2024年高考數(shù)學四模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知定點,,是圓上的任意一點,點關于點的對稱點為,線段的垂直平分線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓3.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.4.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.5.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.6.已知圓與拋物線的準線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.47.已知雙曲線的左,右焦點分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點P,以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切,切點為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.8.若函數(shù)在時取得最小值,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應的極大值為,則的值為()A. B. C. D.10.已知點在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.12.已知實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_____.14.已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.15.已知的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,則展開式所有項系數(shù)之和為______.16.已知一個圓錐的底面積和側面積分別為和,則該圓錐的體積為________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.18.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點,以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.19.(12分)[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的圖像在點處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求證:.20.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.21.(12分)在△ABC中,分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.22.(10分)在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,設與交于、兩點,中點為,的垂直平分線交于、.以為坐標原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.(1)求的直角坐標方程與點的直角坐標;(2)求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點,如下圖所示:所以有,而是中點,連接,故,因此當在如下圖所示位置時有,所以有,而是中點,連接,故,因此,綜上所述:有,所以點的軌跡是雙曲線.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.3、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.4、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉化為乘法運算.5、D【解析】

由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數(shù)學運算能力,屬于基礎題.6、B【解析】

因為圓與拋物線的準線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請在此輸入詳解!7、A【解析】

在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題,處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立三者間的關系,本題是一道中檔題.8、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時的值.【詳解】解:,其中,,,故當,即時,函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應用,屬于基礎題.9、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知,當時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應極大值,分組求和即得【詳解】當時,,顯然當時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題10、C【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長,進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實軸,所以,得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念,屬于基礎題.11、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關鍵在于正確理解題意,屬于基礎題.12、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎,注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運算,考查了計算能力,屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)等差中項性質(zhì),結合等比數(shù)列通項公式即可求得公比;代入表達式,結合對數(shù)式的化簡即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項公式可知,所以,解得或(舍),所以由對數(shù)式運算性質(zhì)可得,故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應用,等比數(shù)列通項公式的用法,對數(shù)式的化簡運算,屬于中檔題.15、64【解析】

由題意先求得的值,再令求出展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,,,由兩式可組成方程組,解得或,令,求得展開式中所有的系數(shù)之和為.故答案為:64【點睛】本題考查了二項式定理,考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和,屬于基礎題.16、【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c睛】本題主要考查圓錐的底面積、側面積和體積公式的應用。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.18、(1).(2).【解析】

(1)先根據(jù)空間直角坐標系,求得向量和向量的坐標,再利用線線角的向量方法求解.(2)分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量,再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答(1)因為AB=1,AA1=2,則F(0,0,0),A,C,B,E,所以=(-1,0,0),=記異面直線AC和BE所成角為α,則cosα=|cos〈〉|==,所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.(2)設平面BFC1的法向量為=(x1,y1,z1).因為=,=,則取x1=4,得平面BFC1的一個法向量為=(4,0,1).設平面BCC1的法向量為=(x2,y2,z2).因為=,=(0,0,2),則取x2=得平面BCC1的一個法向量為=(,-1,0),所以cos〈〉==根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,面面角的求法,還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)(2)見解析【解析】試題分析:(1)分別求得和,由點斜式可得切線方程;(2)由已知條件可得有兩個相異實根,,進而再求導可得,結合函數(shù)的單調(diào)性可得,從而得證.試題解析:(1)由已知條件,,當時,,,當時,,所以所求切線方程為(2)由已知條件可得有兩個相異實根,,令,則,1)若,則,單調(diào)遞增,不可能有兩根;2)若,令得,可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令解得,由有,由有,從而時函數(shù)有兩個極值點,當變化時,,的變化情況如下表單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因為,所以,在區(qū)間上單調(diào)遞增,.另解:由已知可得,則,令,則,可知函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,若有兩個根,則可得,當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當時,,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當時,.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用,屬于基礎題21、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉化思想及化簡能力,屬于基礎題.22、(1),;(2)見解析.【解析】

(1)將曲線的極坐標方程變形為,再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程

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