分類變量與列聯(lián)表（教學(xué)設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.3.1分類變量與列聯(lián)表教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容分類變量的概念、2×2列聯(lián)表、等高條形圖課時教學(xué)目標(biāo)（1）了解分類變量與數(shù)值變量的區(qū)別.（2）了解回歸與相關(guān)的區(qū)別.（3）通過實例，理解通過比較相關(guān)比率，利用2×2列聯(lián)表或等高圖可以初步檢驗兩個隨機變量的獨立性.（4）通過對建立回歸分析模型步驟的回憶，獲得分析統(tǒng)計案例的一般性過程；能夠?qū)⒀芯拷y(tǒng)計案例的一般化步驟應(yīng)用到新的統(tǒng)計案例中.（5）理解通過比較相關(guān)比率判斷隨機變量獨立性得到的結(jié)果有可能會犯錯誤.教學(xué)重點、難點重點：通過實例理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義；難點：理解判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的方法.學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題飲用水的質(zhì)量是人類普遍關(guān)心的問題.根據(jù)統(tǒng)計，飲用優(yōu)質(zhì)水的518人中，身體狀況優(yōu)秀的有466人，飲用一般水的312人中，身體狀況優(yōu)秀的有218人.問題人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間有關(guān)系嗎？提示我們可以根據(jù)2×2列聯(lián)表來判斷人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間的關(guān)系.也就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.前面兩節(jié)所討論的變量，如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀錄和創(chuàng)紀錄的時間等，都是數(shù)值變量．?dāng)?shù)值變量的取值為實數(shù)，其大小和運算都有實際含義．在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題．例如，就讀不同學(xué)校是否對學(xué)生的成績有影響，不同班級學(xué)生用于體育鍛煉的時間是否有差別，吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險，等等．本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案．【師生活動】教師敘述本節(jié)內(nèi)容的知識背景，點明課題.【設(shè)計意圖】引入新課，并引出分類變量的概念.在討論上述問題時，為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量．問題1：請舉出2個有關(guān)分類變量的實例，并表示分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等．在很多時候，這些數(shù)值只作為編號使用，并沒有通常的大小和運算意義．本節(jié)我們主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問題．如何利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)判斷一對分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢？對于這樣的統(tǒng)計問題，有時可以利用普查數(shù)據(jù)，通過比較相關(guān)的比率給出問題的準(zhǔn)確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點和方法．我們先看下面的具體問題．【設(shè)計意圖】理解數(shù)值變量與分類變量的區(qū)別對理解回歸分析法與相關(guān)分析法的區(qū)別起著至關(guān)要的作用，概念解析1的設(shè)計意圖即是幫助理解回歸分析法與相關(guān)分析法的區(qū)別，為突破這一教學(xué)難點做鋪墊.問題2：為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查．全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉．你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？這是一個簡單的統(tǒng)計問題．最直接的解答方法是，比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率．為了方便，我們設(shè)，．那么，只要求出和的值，通過比較這兩個值的大小，就可以知道女生和男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異，由所給的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，．由可知，男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點，所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉．【設(shè)計意圖】給出本節(jié)課第一個重點，判斷兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的方法1—頻率分析法.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念上面的問題還可以通過建立一個古典概型，使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法．用表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，這是我們所關(guān)心的對象的總體．考慮以為樣本空間的古典概型，并定義一對分類變量X和Y如下：對于中的每一名學(xué)生，分別令．【設(shè)計意圖】給出本節(jié)課第二個重點，判斷兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系方法1的另外一種表述方法—使用條件概率的語言，給出解答.環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念我們希望通過比較條件概率和回答上面的問題．按照條件概率的直觀解釋，如果從該校女生和男生中各隨機選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是，而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是．因此，“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響”可以描述為；而“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為．為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如表8.3-1所示．表8.3-1單位：人性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計3208041124【設(shè)計意圖】給出本節(jié)課第三個重點，舉例說明什么是2×2列聯(lián)表.我們用表示事件和的積事件，用表示事件和的積事件．根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式，我們有，．由大于可以做出判斷，在該校的學(xué)生中，性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存．我們將如表8.3-1這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為列聯(lián)表(contingencytable)．列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．以表8.3-1為例，它包含了X和Y的如下信息：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件和中樣本點的個數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件和中樣本點的個數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分，給出了事件中樣本點的個數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù)．在上面問題的兩種解答中，使用了學(xué)校全部學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問題所需的比率和條件概率．然而，對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對象的數(shù)據(jù)，因此無法準(zhǔn)確計算出有關(guān)的比率或條件概率．在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點為我們提供了一個解決問題的思路．比較簡單的做法是利用隨機抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對問題答案作出推斷．將所關(guān)心的對象的體看成古典概型的樣本空間，就可以用概率的語言刻畫相關(guān)的問題，進而用頻率穩(wěn)定于概率的原理推斷問題的答案．很多統(tǒng)計方法都是基于這種思想建立起來的．將所關(guān)心的對象的全體看成古典概型的樣本空間，就可以用概率的語言刻畫相關(guān)的問題，進而用頻率穩(wěn)定于概率的原理推斷問題的答案．很多統(tǒng)計方法都是基于這種思相建立起來的．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀．試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異．解：用表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合．考慮以為樣本空間的古典概型．對于中每一名學(xué)生，定義分類變量和如下：我們將所給數(shù)據(jù)整理成表8.3-2．學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788表8.3-2是關(guān)于分類變量和的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是事件的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本容量．因此，甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為和．乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為和．【設(shè)計意圖】（1）鞏固判斷兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的方法1—頻率分析法.（2）引出判斷兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的方法1—圖形分析法.（3）由于頻率和概率之間存在誤差，所以此例題可以說明方法一的局限性，為引出第二節(jié)課，獨立性檢驗做鋪墊.我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果，如圖8.3-1所示．在圖8.3-1中，左邊的藍色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率；右邊的藍色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率．通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率．依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷．也就是說，如果從甲校和乙校各隨機選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率．因此，可以認為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高．【設(shè)計意圖】給出本節(jié)課重點，判斷兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的方法1—圖形分析法.思考：你認為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？事實上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的．有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的．這就是說，樣本的隨機性導(dǎo)致了兩個頻率間出現(xiàn)較大差異．在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯誤的．后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點圖．(3)正相關(guān)、負相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分，樣本相關(guān)系數(shù)絕對值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第127頁練習(xí)第4題.練習(xí)（第127頁）1．成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大“，即老師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián)．你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語嗎？1．【解析】例如：勤能補拙，水漲船高，登高望遠．2．例1中的隨機抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率？為什么？2．不能．因為隨機抽樣得到的樣本具有隨機性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的頻率也具有隨機性．在統(tǒng)計推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機性，這種推斷可能犯錯誤．因此，隨機抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率．3．根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．那么（1）吸煙是否對每位煙民一定會引發(fā)健康問題？（2）有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙．這種說法對嗎？3．【解析】（1）從已掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康．但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果．吸煙導(dǎo)致患病的案例非常普遍，但也可以找到長壽的吸煙者．因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計意義上講，吸煙會損害健康，但不一定會對每位煙民都引起健康問題．（2）這種說法不正確．雖然吸煙不一定會對每個人都引起健康問題，但根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對的．4．假設(shè)在本小節(jié)“問題”中，只是隨機抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表：單位：人性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344（