4.4.1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念（解析版）

4.4.1《對(duì)數(shù)函數(shù)的概念》分層練習(xí)考查題型一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1．下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C2．若函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知：函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)所以或，又且所以故選：B3．已知函數(shù)，則.【答案】-2【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：-24．已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則．【答案】2【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的圖象如圖所示，該圖象由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)“拼接”而成．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意得，解得，所以．（2）由得，解得，∴取值范圍為．考查題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域1．函數(shù)的定義域（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)要有意義，需滿足，解得，且，故函數(shù)定義域?yàn)椋?，故選：B2．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻坑深}，.故答案為：3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的取值范?【答案】【詳解】由題意知的解集為.當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，不恒為正，因此的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域．解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立.考查題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用1．體檢時(shí)使用的“標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表”發(fā)明者是我國(guó)已故眼科專家繆天榮教授.體檢者的視力分別有“小數(shù)記錄”和“五分記錄”兩種方式，例如表中左側(cè)最下方的49是“五分記錄”，0.8是“小數(shù)記錄”，用、分別表示“五分記錄”和“小數(shù)記錄”，則兩者之間的關(guān)系是（

）（參考數(shù)據(jù)）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意：當(dāng)時(shí)，，則排除C、D兩個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，而由題意，故排除A選項(xiàng)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算確定對(duì)數(shù)型函數(shù)，是基礎(chǔ)題.2．人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：）滿足.一般兩人正常交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為60dB，燃放煙花爆竹時(shí)聲音的等級(jí)約為150dB，那么燃放煙花爆竹時(shí)聲音強(qiáng)度約為兩人正常交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【詳解】分別記正常交談和燃放煙花爆竹時(shí)的聲音強(qiáng)度分別為，則有，解得，則.故選：C3．某地去年的GDP（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）為3000億元人民幣，預(yù)計(jì)未來5年的平均增長(zhǎng)率為6.8%.（1）設(shè)經(jīng)過年達(dá)到的年GDP為億元，試寫出未來5年內(nèi)，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）經(jīng)過幾年該地GDP能達(dá)到3900億元人民幣？【答案】（1）；（2）約經(jīng)過4年該地GDP能達(dá)到3900億元人民幣.【詳解】（1）由題意.（2）令，得，∴約經(jīng)過4年該地GDP能達(dá)到3900億元人民幣.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用．在指數(shù)式中已知冪要求指數(shù)時(shí)，可取對(duì)數(shù)計(jì)算．4．2022年6月5日神舟十四號(hào)載人飛船在長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭的托舉下點(diǎn)火升空，成功進(jìn)入預(yù)定軌道．我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的巨大成就，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．根據(jù)火箭理想速度公式，可以計(jì)算理想狀態(tài)下火箭的最大速度v（單位：），其中（單位：）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，應(yīng)稱為總質(zhì)比．已知A型火箭噴流相對(duì)速度為，根據(jù)以上信息：（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為；（2）若經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到原來的2倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼模粢够鸺淖畲笏俣戎辽僭黾?，則在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為．（所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)3129；(2)68.【詳解】（1）當(dāng)總質(zhì)比為50時(shí)，A型火箭的最大速度為：；（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比為，要使火箭的最大速度至少增加，則，即，即，即，所以，所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小值為68.故答案為:3129；68.1．若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【詳解】解：由已知得，所以，解得：，故選：A．2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，滿足對(duì)任意的都有，所以，則是周期為的周期函數(shù)，則，，又由為定義在上的奇函數(shù)，則，又由時(shí)，，則，則，，則故答案為：3．已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)設(shè)函數(shù)，若，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；（2）由（1）得，則，令，則，令，解得，要使，恒成立，只需要函數(shù)的值域是的子集即可，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，則，解得，綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將，恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是不等式的解集的子集，是解決本題的關(guān)鍵.4．2021年04月17日，在“實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、碳中和，企業(yè)何為”論壇上，中華環(huán)保聯(lián)合公副主席楊朝飛表示：“環(huán)境污染實(shí)際上就是資源的浪費(fèi)，不管什么污染物，原本都是資源.因?yàn)闆]有充分利用，排放出去，進(jìn)入到水、空氣、土壤中，變成了污染源.”這就要求企業(yè)主動(dòng)升級(jí).為此，某化工企業(yè)積極探索先進(jìn)技術(shù)，來減少排放的廢氣中所含有的污染物的濃度.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物濃度為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物濃度為，則第次改良工藝后所排放的廢氣中的污染物濃度可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù).已知改良工藝前排放的廢氣中污染物濃度為的（單位：），第一次改良工藝后排放的廢氣中污染物濃度為（單位：）.(1)求的值并寫出改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物濃度的函數(shù)模型；(2)依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求，企業(yè)所排放廢氣中含有的污染物濃度不能超過0.08，（單位：）試問至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物濃度達(dá)標(biāo).（參考數(shù)據(jù)：取