8.2.1 隨機(jī)變量及其分布列（解析版）

8.2.1隨機(jī)變量及其分布列一、隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量1、隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.2、離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨機(jī)變量；通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如x，y，z.【注意】離散型隨機(jī)變量的特征：（1）可以用數(shù)值表示；（2）試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值；（3）試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．3、“三步法”判定離散型隨機(jī)變量（1）明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（2）將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；（3）確定實(shí)驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是。二、離散型隨機(jī)變量的分布列1、定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為，我們稱X取每一個(gè)的概率，為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格表示：X…P…2、離散型隨機(jī)變量分布列的意義和作用（1）離散隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一個(gè)值的概率的大小，從而反映出隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)量特征的基礎(chǔ)。（2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和。3、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）；（2）三、0-1分布1、定義：對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么X的分布列如表所示．X01我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．【注意】隨機(jī)變量X只取0和1，才是兩點(diǎn)分布，否則不是．2、兩點(diǎn)分布的適用范圍（1）研究只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布規(guī)律；（2）研究某一隨機(jī)事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律。如抽取的彩票是否中獎(jiǎng)；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)研究。題型一隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量【例1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（）A．至少取到1個(gè)白球B．取到白球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)白球D．取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是個(gè)，ACD錯(cuò)誤；故選：B.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）一副撲克牌共有54張牌，其中52張是正牌，另2張是副牌（大王和小王），從中任取4張，則隨機(jī)變量可能為（）A．所取牌數(shù)B．所取正牌和大王的總數(shù)C．這副牌中正牌數(shù)D．取出的副牌的個(gè)數(shù)【答案】BD【解析】對(duì)于A，所取牌數(shù)為4，是一個(gè)常數(shù)，不是隨機(jī)變量，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，4張牌中所取正牌和大王的總數(shù)可能為3，4，所以是隨機(jī)變量，所以B正確，對(duì)于C，這副牌中正牌數(shù)為52，是一個(gè)常數(shù)，不是隨機(jī)變量，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，4張牌中所取出的副牌的個(gè)數(shù)可能為0，1，2，所以是隨機(jī)變量，所以D正確，故選：BD【變式1-3】（2022春·河北唐山·高二?？计谥校┙o出下列各量：①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量；②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某同學(xué)離開自己學(xué)校的距離；④將要舉行的繪畫比賽中某同學(xué)獲得的名次；⑤體積為8的正方體的棱長(zhǎng).其中是離散型隨機(jī)變量的是（）A．①②④B．①②③C．③④⑤D．②③④【答案】A【解析】由題意，①②④是離散型隨機(jī)變量，③是連續(xù)型隨機(jī)變量，⑤中體積為8的正方體的棱長(zhǎng)是一個(gè)常量，不是隨機(jī)變量.故選：A.【變式1-4】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）袋中裝有除顏色外其余均相同的10個(gè)紅球，5個(gè)黑球，每次任取一球，若取到黑球，則放入袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為，則表示“放回4個(gè)球”的事件為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，若取到黑球，則將黑球放回，然后繼續(xù)抽取，若取到紅球，則停止抽取，所以“放回4個(gè)球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了紅球，故.故選：B.題型二分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例2】（2023春·河南商丘·高二商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量的分布列為01則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意：，可得：.故選：D.【變式2-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為則等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，解得（大于，舍去）或.故選：C【變式2-2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）隨機(jī)變量的分布列為，其中是常數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，，，則，解得，所以，，所以.故選：A【變式2-3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為：X1234Pm則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，即事件的對(duì)立事件是的事件，所以.故選：C題型三求離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期中）從甲?乙?丙等10人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，求次傳球后球在甲手中的概率．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）依題意，可能取值為，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則有，所以即，所以，且所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以，所以即次傳球后球在甲手中的概率是.【變式3-1】（2023春·重慶·高二校聯(lián)考期中）某班舉行“黨史知識(shí)”競(jìng)賽，共12個(gè)填空題，每題5分，滿分60分.李明參加該競(jìng)賽，其中前9個(gè)題能答對(duì)，后3個(gè)題能答對(duì)的概率分別為，，.（1）求李明最終獲得滿分的概率；（2）設(shè)李明的最終得分為，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）李明最終獲得滿分的概率為.（2）前個(gè)題得分分；后個(gè)題，得分可能是，所以的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：【變式3-2】（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）紅旗中學(xué)某班級(jí)元旦節(jié)舉行娛樂小游戲.游戲規(guī)則：將班級(jí)同學(xué)分為若干游戲小組，每一游戲小組都由3人組成，規(guī)定一局游戲，“每個(gè)人按編排好的順序各擲一枚質(zhì)量均勻的骰子一次，若骰子向上的面是1或6時(shí)，則得分（為3人的順序編號(hào)，，2，3，若得分為負(fù)值時(shí)即為扣分），否則，得分，各人擲骰子的結(jié)果相互獨(dú)立”.記游戲小組一局游戲所得分?jǐn)?shù)之和為.（1）求的分布列；（2）若游戲小組進(jìn)行兩局游戲，各局相互獨(dú)立，求至少一局得分的概率.【答案】（1）分布列見解析；（2）【解析】（1）由條件可知：當(dāng)一組中三人都擲出1或6面向上時(shí)的取值為當(dāng)一組中兩人擲出1或6面向上時(shí)的取值為當(dāng)一組中一人擲出1或6面向上時(shí)的取值為當(dāng)一組中都沒有擲出1或6面向上時(shí)的取值為擲一次骰子，向上的面是1或6的概率為，向上的面不是1或6的概率為.∴，，，.∴的分布列為03060（2）由（1）可知，游戲小組一局游戲.記“游戲小組兩局游戲，至少一局游戲得分”為事件.則.故答案為：【變式3-3】（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，甲組研究新產(chǎn)品成功的概率為，乙組研究新產(chǎn)品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．（1）求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)120萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損50萬(wàn)元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤(rùn)100萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損40萬(wàn)元，求該企業(yè)獲利萬(wàn)元的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析.【解析】（1）因?yàn)榧?、乙兩個(gè)研發(fā)小組研究新產(chǎn)品成功的概率分別為為和，且相互獨(dú)立，所以，恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值有.，所以分布列為：【變式3-4】（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）袋中裝有4個(gè)大小相同的小球，編號(hào)為，現(xiàn)從袋中有放回地取球2次.（1）求2次都取得3號(hào)球的概率；（2）記這兩次取得球的號(hào)碼的最大值為，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）由題意從袋中有放回地取球2次，每次取到3號(hào)球概率為，故2次都取得3號(hào)球的概率.（2）隨機(jī)變量的取值為，則，，，所以的分布列為：1234題型四兩點(diǎn)分布的判斷及應(yīng)用【例4】（2022春·山東菏澤·高二曹縣一中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（）A．拋擲一枚均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)為B．某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，命中得1分，不中得0分，為罰球一次的得分C．從裝有大小完全相同的5個(gè)紅球、3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，D．從含有3件次品的100件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，為抽到的次品件數(shù)【答案】BCD【解析】由兩點(diǎn)分布的定義可知：對(duì)于A，X=1，2，3，4，5，6，所以不屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于B，X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于C，X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于D，抽取一次，則或?yàn)檎坊驗(yàn)榇纹?，故X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；故選：BCD.【變式4-1】（2022春·河南·高二校聯(lián)考期中）設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的3倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】由已知得的所有可能取值為0，1，且，代入，得，所以，故選:D．【變式