第10講 拋物線及其性質(zhì)【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（原卷版）

第10講拋物線及其性質(zhì)【人教A版2019】·模塊一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程·模塊二拋物線的幾何性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【考點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題】【例1.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,y到直線x=1的距離比它到定點(diǎn)-2,0的距離小1，則P的軌跡方程為（

A．y2=2x BC．y2=-4x D【例1.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足方程5x-12+y-2A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式1.1】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過點(diǎn)-1,0且垂直于x軸的直線l僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓C':x2+A．y2=12x B．y2=6x C．【變式1.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)圓O:x2+y2=4與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到A．x2=8y B．x2=16y C．【考點(diǎn)2利用拋物線的定義解題】【例2.1】（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)Px0,2在拋物線C：y2=4xA．4 B．3 C．2 D．1【例2.2】（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（A．78 B．1516 C．34【變式2.1】（2023秋·重慶渝中·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B3,0，若AF=A．1 B．2 C．4 D．2【變式2.2】（2023春·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若AF=3A．33 B．±33 C．3【考點(diǎn)3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【例3.1】（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知點(diǎn)1,4在拋物線y=ax2上，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【例3.2】（2023秋·重慶銅梁·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M4,y0為C上一點(diǎn)，若|MF|=2A．x=-2 B．y=-2 C．x=-3 D．y=-3【變式3.1】（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)P1,0，且ABA．y=-3 B．y=-2【變式3.2】（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)，直線y=1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AFB=120°，則拋物線CA．y=-23 BC．y=-13或y=-3【考點(diǎn)4拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例4.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（

）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=8x或y2【例4.2】（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）點(diǎn)M(5,3)到拋物線x2=ay的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x2=112yC．x2=12y或x2【變式4.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60°A．y2=8x BC．y2=2x D【變式4.2】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在C上，且FT=52，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1，且MF⊥MTA．y2=2x或y2=8x BC．y2=2x或y2=4x D【考點(diǎn)5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】【例5.1】（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，PF=2，∠PFO=π3A．1 B．32 C．2 D．【例5.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:(x+4)2+yA．5 B．4 C．3 D．2【變式5.1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為B．若△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2A．12 B．1 C．2 D．【變式5.2】（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知拋物線x2=2pyp>0上一點(diǎn)Ax0,3，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線AF交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B.且線段AB的中點(diǎn)為A．±3 B．±22 C．±33 D模塊二模塊二拋物線的幾何性質(zhì)1．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對(duì)稱軸y=0對(duì)稱軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.3．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【考點(diǎn)6拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用】【例6.1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)P是拋物線y=4x2上的點(diǎn)，則使得△OPA是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（A．2 B．4 C．6 D．8【例6.2】（2023·河南濮陽·濮陽一高?？寄M預(yù)測(cè)）焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2pxp>0上有一點(diǎn)P2,2p，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足MP=A．12,32 B．14,【變式6.1】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線W:y2=2px的焦點(diǎn)為F．點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A．若以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A且與W的兩個(gè)交點(diǎn)為B，CA．△BOC一定是鈍角三角形 B．△BOC可能是銳角三角形C．△ABC一定是鈍角三角形 D．△ABC可能是銳角三角形【變式6.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線C上，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為6，AF的垂直平分線與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFNA．932 B．934 C．【考點(diǎn)7與拋物線有關(guān)的最值問題】【例7.1】（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）點(diǎn)M為拋物線y2=8x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+y2-4x+3=0上任意一點(diǎn)，PA．2 B．2 C．3 D．2+【例7.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M3p,0A．2 B．4 C．25 D．【變式7.1】（2022秋·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）已知F為拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,3)，則△PMF周長(zhǎng)的最小值是（

）A．5+15 B．5+17 C．9 D【變式7.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C1:y2=12x，圓C2:(x-3)2+y2=1．若點(diǎn)PA．32 B．22 C．12模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離等于它到直線x+4=0的距離，則M點(diǎn)的軌跡方程是（A．x+4=0 B．x-4=0C．y2=8x D2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OM=5，F(xiàn)MA．2 B．4C．2或32 D．2或3．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓A:x24+yA．橢圓A的焦距是2B．橢圓A的離心率是1C．拋物線B的準(zhǔn)線方程是xD．拋物線B的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是44．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y=ax2的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-2．校門最高點(diǎn)到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（A．18米 B．21米 C．24米 D．27米5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線E:x2=4y，圓C:x2+y-32=1，P為EA．5 B．22-1 C．22 D6．（2023·天津?yàn)I海新·天津市?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以F1F2為直徑的圓與雙曲線的右支交于A．y2=122x B．y2=12x7．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，PF的最小值為1，且A,B是拋物線C上兩點(diǎn)，AF+BF=6，則線段A．4 B．3 C．2 D．58．（2023秋·貴州貴陽·高三?？计谀┮阎c(diǎn)A是拋物線y2=2pxp>0上的一點(diǎn)，若以拋物線的焦點(diǎn)F為圓心，以FA為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于B，C兩點(diǎn)，BF=BC，當(dāng)△ABC的面積為32A．2 B．22 C．4 D．9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P為拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，A2,4關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線x=-1,x=-3的距離分別d1，d2A．217+2 BC．17+2 D．10．（2023秋·山西運(yùn)城·高二?？计谀┮阎€C的拋物線y2=2x及拋物線y2=-2x組成，A1,2，B-1,2，M,N是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)（A,B,M,N四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)A．2+17 B．1+17 C．3 D11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點(diǎn)是F-3,012．（2023秋·上海浦東新·高二?？计谀┮阎c(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離等于它到直線x=-2的距離，(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若A(2,2)，求△PAF周長(zhǎng)的最小值.13．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB=10米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長(zhǎng)方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．(1)問船只能否順利通過該橋？(2)已知每增加一層貨箱，船體連貨物高度整體上升4cm；每減少一層貨箱，船體連貨物高度整體下降4cm．且貨物頂部與橋壁在豎直方向需留