對(duì)角互補(bǔ)模型-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

模塊二常見模型專練

專題31對(duì)角互補(bǔ)模型

H（2021?安徽安慶?中考真題）如圖，點(diǎn)尸為定角NAo8的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),且NMPN

與NA05互補(bǔ)，若NMPN在繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與。4、OB相交于M、N兩

點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+0N的值不變；（3）四邊形PMON的面

積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.I

如圖，作尸E_LOA于2PF_LoB于E

；NPEO=NP/0=90。，

.?ZEPF+ZAOB=180o,

?/NMPN+/AOB=T8。。,

，ZEPF=ZMPNf

：.ZEPM=ZFPN,

YO尸平分NAO8,PEJ_OA于E,PFLOB^Ff

,PE=PF,

在APOE和APOb中，

OP=OP

PE=PF

J.∕?POE^∕?POF,

：.OE=OF,

在APEM和APFN中，

,NMPE=NNPF

<PE=PF

Z.PEM=NPFN

：.叢PEMm叢PFN,

：.EM=NF,PM=PN,故（1）正確，

,SXPEM=SAPNF,

:?S!V初形PMON=S四位形PEOF=定恒,故（3）正確，

"：0M+0N=0E+ME+0F-NF=20E=定值,故（2）正確，

MN的長度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，

故選：B.

甌（2022.貴州遵義.統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐

“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該

小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)8,D,連接AO,AB,BC,CD,如果NB=那么A,

B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

圖1

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的O,在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合）,連接AE,

CE則NAEC+NO=180。（依據(jù)1）

圖2

ZB=ND

.?.ZAEC+NB=180°

??.點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓)

點(diǎn)B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的。上(依據(jù)2)

，點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

(1)反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：；依據(jù)2：.

(2)圖3,在四邊形ABC。中，N1=N2,/3=45。，則N4的度數(shù)為

(3)拓展探究：如圖4,已知°ABC是等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)。在8C上(不與BC的中

點(diǎn)重合)，連接AO.作點(diǎn)C關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)E,連接￡?并延長交AO的延長線于F,連

接AE,DE.

圖4

①求證：A,D,B,E四點(diǎn)共圓；

②若AB=2√∑,AZλA尸的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理

由.

【答案】（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等

（2）45°

（3）①見解析；②不發(fā)生變化，值為8

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等作答即可；

（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求解；

（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明NAEz）=NABZ）即可得證；②證明aBAZA?E4jB,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）

如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,O的（O,在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重:合），連接AE,

CE則NAEC+/。=180。（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）

圖2

ZB=ZD

.?.ZAEC+Zfi=180°

???點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

，點(diǎn)8,。在點(diǎn)A,C,E所確定的。匕（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等）

點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等

（2）

，在線段CD同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,Z1=Z2

A,8,C,3四點(diǎn)共圓，

AD=AD

.?.Z4=Z3=45o

故答案為：45°

（3）

ΦVAB=AC,

:.ZABCZACB.

E點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AO時(shí)稱，

.?.ZACD=ZAED,

..ZAED=ZABD

.?.AR5,E四點(diǎn)共圓;

②AZ)?AF=8,理由如下，

如圖，AO民七四點(diǎn)共圓,

.?.NFBD=NDAE,

AE,AC關(guān)于AO對(duì)稱，

.?.ZDAE=ZDAC,

"DAC=/DBF,

ΛADC=ABDF,

:."=NACD,

AB=AC,

:.ΛABD=ZACD.

.?ZF=ZABD,

又NBAD=NFAB,

.「BADB,

,ABAD

*AF^AB,

.?.ADAF=AB2^

AB=Zyfi，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角相等，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似

三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

甌(2020.湖南益陽?統(tǒng)考中考真題)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，

且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱"直等補(bǔ)''四邊形,

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1,正方形ABC。中，E是Co上的點(diǎn)，將ΔBCE繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使8C與54重合，

此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在D4的延長線上，則四邊形BEo尸為"直等補(bǔ)''四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形ABQ)是“直等補(bǔ)”四邊形，AB^BC=5,CD=I,AD>AB,

B到直線AD的距離為BE.

①求BE的長.

②若M、N分別是A3、Ao邊上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔMNC周長的最小值.

12備用圖

【答案】（1）見解析；（2）①BE=4；②ΔMNC周長的最小值為80

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得∕F+∕BED=NBEC+NBED=180CJ,

NFBE=NABF+NABE=NCBE+NABE=90。,BF=BE,進(jìn)而可證得四邊形BEr）F為"直等補(bǔ)''四

邊形；

（2）如圖2,將AABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBF,可證得四邊形EBFD是正方形，

則有BE=FD,設(shè)BE=x,則FC=X-I,由勾股定理列方程解之即可；

（3）如圖3,延長CD至UP,使DP=CD=1,延長CB至IJT,使TB=BC=5,貝IJNP=NC,MT=MC,

由△MNC的周長=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，△MNC的

周長取得最小值PT，過P作PH_LBC交BC延長線于H,易證△BFCs∕?PHC,求得CH、

PH,進(jìn)而求得TH,在RtAPHT中，由勾股定理求得PT,即可求得周長的最小值.

【詳解】（1）如圖1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZF=ZBEC,ZABF=ZCBE,BF=BE

?.?ZBEC+ZBED=180°,ZCBE+ZABE=90o,

ΛZF+ZBED=180o,

NABF+NABE=90。即ZFBE=90o,

故滿足“直等補(bǔ)'’四邊形的定義，

四邊形BEDF為"直等補(bǔ)''四邊形；

（2）???四邊形ABeD是“直等補(bǔ)”四邊形,AB=BC,

ΛZA+ZBCD=180o,ZABC=ZD=90o,

如圖2,將4ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBF,

則NF=∕AEB=90°,∕BCF+NBCD=180°,BF=BE

；.D、C、F共線，

二四邊形EBFD是正方形，

.?.BE=FD,

設(shè)BE=X,貝!JCF=X-1,

在RSBFC中，BC=5,

由勾股定理得：X2+(X-D2=25,BPX2-X-12=0,

解得：x=4或X=-3(舍去),

ΛBE=4

(3)如圖3,延長CD到P,使DP=CD=1,延長CB到T,使TB=BC=5,

則NP=NC,MT=MC,

Λ?MNC的周長=MC+MN+NC=MT+MN+NPNPT

當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，△MNC的周長取得最小值PT,

過P作PH_LBC,交BC延長線于H,

,.?ZF=ZPHC=90o,ZBCF=ZPCH.

；.△BCFs△PCH,

.BCBFCF

??543

即一=---=----,

2PHCH

解得：Cw=I,PH=*

在RsPHT中，TH=5+5+-=-,

55

PT=yjPH2+HT2=8√2-

AMNC周氏的最小值為80.

【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)的最值問題等知識(shí)，解

答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋找相關(guān)信息的聯(lián)系點(diǎn)，借用類比等解題方法確定解題思

路，進(jìn)而進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算.

厚命題自的

對(duì)角互補(bǔ)模型特指在四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

對(duì)角互補(bǔ)模型是經(jīng)典的幾何模型，其中會(huì)涉及到全等三角形的證明、倒角的計(jì)算、線段數(shù)量

關(guān)系的證明、旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造等綜合性較高的幾何知識(shí)，在校內(nèi)考試、中考中一直都是熱門考點(diǎn)。

對(duì)角互補(bǔ)模型在初二陸續(xù)就會(huì)出現(xiàn),一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結(jié)合起來，

既有選填壓軸的題型，也經(jīng)常會(huì)以簡(jiǎn)答題進(jìn)行考察。

常見的四邊形對(duì)角互補(bǔ)模型含90°-90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°-60°對(duì)角互補(bǔ)模型、2α-

(180-2a)對(duì)角互補(bǔ)模型。本文會(huì)分享對(duì)角互補(bǔ)模型常見的兩種處理策略：①過頂點(diǎn)做雙

垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等.

模型1:全等形——90°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型2：全等形—120°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型3：全等形一一任意角對(duì)角互補(bǔ)模型

模型4：相似形—90°對(duì)角互補(bǔ)模型

A

T?c

■容就叫緞

【變式1］（2022?江蘇常州,統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且

ΛΓ

ZBAC=ZDAC,AB=15,AD=12.過頂點(diǎn)C作CE_ZAB于E,則——的值為（）

A.√73B.9C.6D.7.2

【答案】B

【分析】要求黑的值,主要求出AE和BE的長即可,注意到AC是角平分線,于是作CF,AD

BE

交AO的延長線于點(diǎn)F,可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長，

從而解決問題.

【詳解】解：作CF_LA力交AO的延長線于點(diǎn)F,則/CTD=90。，

BC

'：CELAB,

：.ZCEB=90o,

：.NCFD=NCEB=90。,

,：ABAC=ΛDAC,

,AC平分NAAO,

CE=CF,

：四邊形ABCO對(duì)角互補(bǔ),

.,.NABC+NADC=180。，

又VZCDF+NADC=180°,

.?.ZCBE=ZCDF,

在4CBEWΔCOF中，

A?CEB?CFD

!?CBEICDF,

?CE^CF

MCBEWACDF(AAS),

：.BE=DF,

在AAEC和aAFC中，

i?A￡C?AFC

!?￡AC?FAC,

?AC=AC

：.ΛAEC^ΛAFC(AA5),

.?AE^AF,

設(shè)BE-a,則DF-a,

?"AB=?5,AD=?2,

,12+24=15,得α=1.5,

.".AC=12+?=13.5,BE=a=1.5,

.AE13.5C

..---=----=9,

BE1.5

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造

全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系.

【變式2](2022?廣東佛山?佛山市華英學(xué)校?？家荒?定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)

的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.例：如圖1,四邊形內(nèi)接于。O,AB=AD.則四邊形ABCD是

等補(bǔ)四邊形.

探究與運(yùn)用：如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角NE4。的平分線交C。的

延長線于點(diǎn)凡若CD=I0,AF=5,則。尸的長為_.

圖1圖2

【答案】5√2-5

【分析】思路引領(lǐng)：連接AC,先證ZEAO=NBCD,推出ZFCA=NMD,再證

ΔACF^∕?DAF,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求。尸的長.

【詳解】如圖所示，連接AC,

Y四邊形ABC。是等補(bǔ)四邊形，

NBA。+/BCZ)=I80。，

又N8A0+∕EA0=18O°,

INEAD=NBCD,

尸平分/E4O,

.".ZFAD=-ZEAD,

2

Y四邊形A8CZ)是等補(bǔ)四邊形，

ΛA,B,C,。四點(diǎn)共圓，

'：AB=AD,

?*?AB=AD，

：?ZACD-ZACBf

：.ZFCA=-^BCD,

2

.,.ZFCA=ZFAD,

又∕AFC=ND∕?,

.?.?4CF^?DAF,

.AFCF

"~DF~~AF'

即且=空當(dāng)

DF5

DF=5√2-5.

故答案為：5√2-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判

定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等.

【變式3］（2021?浙江金華??？既＃┤鐖D，點(diǎn)尸為定角NAoB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，

且/MPN與NAoB互補(bǔ)，若NMPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與04、OB相交于

M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（I）PM=PN恒成立；（2）0M-ON的值不變；（3）△OMN

的周長不變；（4）四邊形PMoN的面積不變，其中正確的序號(hào)為.

【分析】如圖作PE_Le）A于E,PF_Lc）B于F.只要證明△POE絲Z?P0F,△PEM^ΔPFN,

即可一一判斷.

【詳解】解：如圖作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

ΛZEPF+ZAOB=180°,

MPN+/AoB=I80°,

ΛZEPF=ZMPN,

ΛZEPM=ZFPN,

：OP平分/AOB,PE1OATE,PF_LOB于F,

PE=PF,

在4Pe)E和^POF中，

?OP=OP

?PE=PF

ΛRtΔPOE^RtΔPOF(HL),

ΛOE=OF,

在4PEM和叢PFN中,

NMPE=ZNPF

PE=PF

Z.PEM=乙PFN

ΛΔPEM^ΔPFN(ASA),

ΛEM=NF,PM=PN,故(1)正確,

SAPEM=SAPNF,

?'?S四邊杉PMON=Sl?S杉PEOF=定值，故(4)正確,

；OM-C)N=OE+EM-(OF-FN)=2EM,不是定值，故(2)錯(cuò)誤，

,.?OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，

在旋轉(zhuǎn)過程中，APMN是等腰三角形，形狀是相似的，因?yàn)镻M的長度是變化的，所以MN

的長度是變化的，所以AOMN的周長是變化的，故(3)錯(cuò)誤，

故答案為：(I)(4).

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

【變式4](2022?浙江寧波??？既?【基礎(chǔ)鞏固】

A

Af--------------7乙K____________7,D/\-------刁D

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AD/∕BC,ZACD=NB,求證：ABC^DCA；

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形A68中，點(diǎn)E在BC上，NAEz)與NC互補(bǔ)，

BE=2,EC=4,求AE的長；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCo中，E為其內(nèi)部一點(diǎn)，與NC互補(bǔ)，點(diǎn)F在CO

上，EF//AD,且AD=2EF,AE=3,CF=I,求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)2√3

(3)6-√2

【分析】(1)由AD〃BC,可得NACB=NC4￡>,再利用NB=NA8,即可得出

ABCSdca.

(2)根據(jù)兩組角相等可求得A48ESZ?0E4,可得4E2=BE?A∕),進(jìn)而可求得AE的值；

(3)延長FE交AB于G,則四邊形AGFD是平行四邊形，AD=GF,由AZ)=2所得

AEADDE

AD=GF=2EF=2GE,ill(2)可得.∕?ABE^∕?DEA—=—=—,可得

GEAEAG

AE2=GE-AD=^-,即空=當(dāng)=&,ΛD=√2AE=3√2,根據(jù)菱形48C。得

2AGAE

AB=CD=AD=3舊則AG=D尸=3√Σ-1，即可求解.

【詳解】(1)證明：YAP〃BC,

:、ZACB=ZCAD,

乂，：/B=ZACD,

：.￡ABC^,DCA；

(2)解：???四邊形ABCQ是平行四邊形，

.,.AD//BC,AB//CD.AD=BC,

ΛZDAE=ZAEB,NC+NB=180。，

,.?ZAED+ZC=180°,

：,ZAED=ZB,

∕?ABE^∕?DEA，

.BEAE

??---=---，

AEAD

?>?AE2=BEADf

'：BE=2,EC=4,

JAD=BC=G,

AE?=BE?AD=2義6=12,

：.AE=2√J；

(3)解：延長在交A5于G,

??四邊形48CQ是菱形，

?AB//CD9AB=CD=ADf

:EF//AD,

??四邊形AGFD是平行四邊形,

,

.AD=GF9AG=DF,

：AD=IEF,

?.AD=GF=2EF=2GE,

.AD

?GE=-----?

由(2)可得.?ABE^>ADEA,

.AEADDE

''~GE~~AE~~AG

ΔΓ)2

：.AE2=GE-AD=——，

2

???AD=近AE=3曰匹=絲=逑=

AGAE3

：?AB=CD=AD=3及，

?*?AG=DF=3五-1，

DE=正,

3√2-l

；?DE=6-√2.

【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問

題的關(guān)鍵.

【變式5](2022.江西南昌.模擬預(yù)測(cè))【模型建立】

圖1

(1)如圖1,在正方形ABeD中，E,尸分別是邊8C,CQ上的點(diǎn)，且ZfXF=45。，探究圖

中線段EF,BE,￡>F之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的探究思路如下：延長CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接4G,先證明.4。尸與ΛBG,

再證明戶絲ZVlEG.

①EF,BE,OF之間的數(shù)量關(guān)系為；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里ABG可以由4ADF經(jīng)過一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種圖形變換的過

程.像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相

等的幾何模型稱為半角模型.

【類比探究】

(2)如圖2,在四邊形ABCn中，AB=AD,//WC與NT)互補(bǔ)，E,尸分別是邊BC,CD

上的點(diǎn)，且NE4F=gN8AO,試問線段EF,BE,。尸之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說

明理由.

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,在矩形ABCO中，點(diǎn)E在邊BC上，AD=6,AB=4,ZCAE=45°,求CE的

長.

［答案】⑴①BE+DF=EF,②將△ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

⑵EF=DF+BE,理由見詳解

(3)5.2

【分析】(1)①沿著小明的思路，先證ZkACF也ZsABG,再證△AE尸絲zλAEG,即可得出

結(jié)論；②在①的基礎(chǔ)上，證明NGA∕?90。即可得解：

(2)延長CB至點(diǎn)、M,使得BM=DF,連接AM,先證△ABM^?ADF,再證△MAE^∕?FAE,

即可得出結(jié)論；

(3)過E點(diǎn)作EN_LAC于N點(diǎn)，設(shè)EC=x,則有x<6,即BE=6-x,分別在Rr△ABE和RtAADC

中，表示出和求出AG再證AAfN是等腰直角三角形，即可得力E2=2AN=2EN2,

ΛRΛΓ

則有2硒2=42+(6-尤)2,再證Rr△ABCsRdENC,即有^~,進(jìn)而有

ENEC

ABXEC414

EN=AC=和,則可得一元二次方程2'彩/=42+(6—幻2,解方程就可求出CE

(1)

①B￡+￡>F=E/，理由如下：

沿著小明的思路進(jìn)行證明，

在正方形48CT)中，有4O=A8,No=/A8C=90。，

即有NABG=90°,

VBG=DF,AD=AB,ZD=ZAβG≈90o,

?ADF^?ABG,

.?AF^AG,NDAF=NBAG,

VZBAD=90o,NEAF=45°,

二NBAE+NDAF=45°,

.?.ZBAE+ZBAG=45°=ZEAF,

"：AF=AG,AE=AE,

：.ΛAEF^ΛAEG,

：.EG=EF,

?,EG=BG+BE,BG=DF,

.?EF=BE+DF,結(jié)論得證；

②將△ADF^.A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到4ABG.

理由如下：

在①已經(jīng)證得△ADF^ΔABG,并得至IJN84E+ZBAG=45°=NE4凡

/.NG4F=NE4G+NEAG45o+450=9()o,

.,J?ΔAQ尸繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到aABG；

故答案為：①BE+DF=EF,②將P繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。；

(2)

EF=DF+BE,理由如下：

延長GB至點(diǎn)M,使得BM=QR連接AM,如圖，

圖2

?.βNABC與NO互補(bǔ)，

ΛZD÷ZΛBC=180o,

Y∕ABC+NABM=180。，

ZABM=ZD.

t

:AB=AD9BM=DF,

：.ΔΔADF,

：.ADAF=ABAM,AM=AF,

t

:ZEAF=^ZBAD1

：.ZBAE+ZFAD=^NBAD,

，ZBAE+ZFAD=ZEAFf

'：NDAF=NBAM,

.?NBAM+NBAE=NEAF,

：.AMAE=ΛEAF,

λ

:AM=AF,AE=AE9

Λ?MAE^?ME,

：.ME=EF,

?：ME=BE+MB,MB=DF,

LEF=DF+BE,結(jié)論得證；

(3)

過E點(diǎn)作ENLAC于N點(diǎn)，如圖,

VAD=6,48=4,

???在矩形48CD中，AD=BC=6,AB=Oe=4,ZZ>ZB=90o,

???設(shè)ECK,則有χV6,

：?BE=BC-EC=6-x,

在放ZkABE中，AE2=AB-+BE2=42+(6-x)2,

在mZkAOC中，AC=^ADL+DC2=√62+42=2√13

0

VZCAE=45,ENlAC9

：.NANE=90。=NENC,

.*.NAEN=45。,

???△AEN是等腰直角三角形，

?*?AE=OAN=CEN，

JAE2=2AN2=2EN?

即：ZEN?=42+(6-X)2

Y∕ENC=9∕=∕B,ZACB=ZECN1

:.RMABCsRmENC,

.ABAC

,,fiV^EC,

VΛβ=4,AC=2√13,EC=X,

LZAB×EC4x

EN=——=—7=,

AC2√13

.?.EM=土χ2,

13

?/IEN2=42+(6-X)2,

4->OO

.*.2×-X2=4'+(6-x),

工結(jié)合XV6,解得X=5.2,

ΛCE=5.2.

【點(diǎn)睛】本題考了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

知識(shí)、等腰宜角三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，做輔助線構(gòu)造

TB優(yōu)練習(xí)］

,112O22秋?福建廈門?九年級(jí)廈門市第五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，ZAOB=a（α是常量）.點(diǎn)

P在/AOB的平分線上，且0P=2,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的NMPN繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的

過程中，NTWPN的兩邊分別與OB,Q4相交于M,N兩點(diǎn)，若/MPN始終與NAOB互補(bǔ),

則以下四個(gè)結(jié)論：?PM=PN;②OM+ON的值不變；③四邊形PMaV的面積不變；④點(diǎn)

M與點(diǎn)N的距離保持不變.其中正確的為（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】B

【分析】如圖作PE?LO4于點(diǎn)￡P(guān)FLOB于?點(diǎn)F,只要證明心PEo&RrPEO,

RtPEN"RtPFM即可——判斷.

【詳解】解：如圖所示：作PELOA于點(diǎn)E,PhOB于點(diǎn)、F,

APEO=ZPFO=90°,

.?.NEP產(chǎn)+NAOB=180°,

ZMPN+ZAOB=180°,

.?.ZEPF=ZMPN,

.ZEPF=AEPN+ZNPF,ZMPN=/MPF+ZNPF,

4EPN=乙MPF,

OP平分/AOB,PELOA,PFLOB.

.?.PE=PF,

在WPEO^WRtPF0ψ,

PO=PO

PE=PF

:.RtpEgRtPFo〈HL），

.?OE=OF,

在4PEN和M中，

ZEPN=ZFPM

?PE=PF,

ZPEN=NPFM

Rt.PEN^RtPFM（ASA）,

.?.EN=FM,PN=PM,故①正確，

,?SAPKN=S&PFM'

?■^VSitlKPMON~S四邊物＞EOF=定值，故③正確,

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值,故②正確，

M、N的位置是變化的，

：.M,N之間的距離也是變化的，故④錯(cuò)誤：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

2.（2021?山西?九年級(jí)專題練習(xí)）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形，如圖，

在互補(bǔ)四邊形紙片ABCD中，BA=BC,AD=CD,/A=NC=90。，ZADC=30°.將紙

片先沿直線BD對(duì)折，再將對(duì)折后的紙片從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，把剪開的紙片打開后

鋪平，若鋪平后的紙片中有一個(gè)面積為4的平行四邊形，則CD的長為

【答案】2屈+4近或α+2歷.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合裁剪的方法得出符合題意的圖形有兩個(gè)，分別利用菱形的判定與性質(zhì)

以及勾股定理得出CD的長.

【詳解】解：如圖1所示：從頂點(diǎn)A（或C）剪開紙片，四邊形ABCE是平行四邊形，

A

根據(jù)題意可知：

VBA=BC,AD=CD,ZA=ZC=90o

Λ?ABD^?CBD(SAS)

ΛZABD=ZCBD=75o,

四邊形ABCE是面積為4的平行四邊形，AB=CB

ABCE是菱形，

Λ?BCE的面積為2,CB=CE=AB,

NBCE=30。，

作BGJ_CE于點(diǎn)G,

BC=2BG,

.?.CE=2BG,

SABCE=TCE?BG=2

.?.BG2=2,

?*?BO-5/2，CE-2-^/2，

ΛCG=√3BG=√6,

.?.CF=CG+GF=CG+AB=CG+CE="+2&.

VZADC=30o,NCFD=90°

ΛCD=2CF=2√6+4√2.

如圖2,從頂點(diǎn)B剪開紙片，當(dāng)四邊形BEDF是平行四邊形時(shí),

??.平行四邊形BEDF是菱形,

：/A=/C=90°,ZB=150o,

ΛZADB=ZBDC=150,

VBE=DE,

.*.NAEB=30。，

設(shè)AB=y,則BE=2y,AE=√3y>

ΛDE=2y,

Y四邊形BEDF面積為4,

ΛAB×DE=4,

即2y2=4,

解得：y=&,

故AE=〃，DE=2√2，

則CD=AD=#+2近，

綜上所述：CD的值為：2瓜+46,或娓+2近.

故答案為25/6+45/2或α+2y∣2-

【點(diǎn)睛】此題主要考查了剪紙問題以及勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定等

知識(shí)，根據(jù)題意畫出正確圖形是解題關(guān)鍵.

3.(2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等,

且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱"直等補(bǔ)'’四邊

形.根據(jù)以上定義，解決下列問題：

圖2

(1)如圖1,正方形ABCD中，E是CO上的點(diǎn)，將一BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與的重合，此

時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在D4的延長線上，則四邊形下為"直等補(bǔ)''四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形A3CZ)是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5,CD=I,Ar)>AB,點(diǎn)8

到直線AD的距離為BE,求BE的長.

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】（I）根據(jù)“直等補(bǔ)”四邊形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)證明即可得出結(jié)論；

（2）如圖（見解析），過C作CF_LM于點(diǎn)尸，首先證明四邊形CDEF是矩形，則Z）E=B,

EF=CD=L再證明A4BE="CF,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得BE=CRAE=BF,

等量代換即可得8E=￡>￡,由AE=8F,EF=CD=I可得AE=BE-1,設(shè)BE=X,根據(jù)勾股定理解

出X的值即可；

【詳解】（1）；四邊形ABa）是正方形，

ZABC=NBAD=NC=No=90°,

：將BCE繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),使8C與84重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在ZM的延長線上，

.,.BE=BF,NCBE=ZABF,

：.NEBF=AABC=90°,

NEBF+ND=180°,

???四邊形BEDF為"直等補(bǔ)''四邊形：

（2）過C作CVJ/于點(diǎn)片如圖，

則NeFE=90。，

Y四邊形月Ba)是“直等補(bǔ)"四邊形，AB=BC=5,CD=I,AD>AB,

.?.ZABC=90。，NABC+NO=180。，

.-.ZD=90°

,/BFLAD,

：.ZDEF=90°,

四邊形COEF是矩形，

EF=CD=I,

'：ZABE+ZA=ZCBE+ZABE=90°.

：.ZA=NCBF,

?：NAEB=NBFC=90。,AB=BC=5,

:.ABE^.BCF(AAS),

..BE=CF,

設(shè)BE=CF=X,則BF=X-1,

,/CE2+BF2=BC2,

X2+(?-l)2=52,

解得，x=4,或X=-3(舍)，

/.BE=4.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合，涉及新定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方

形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，有一定難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并綜合運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

4.(2022秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))定義：一組對(duì)角互補(bǔ)，且對(duì)角線平分其中一個(gè)內(nèi)角，

稱四邊形為余缺四邊形.

如圖1,四邊形ABCO,ZD+ZB=180o,AC平分ND48,則四邊形ABa)為余缺四邊形.

【概念理解】

(1)用(填序號(hào))一定可以拼成余缺四邊形.

①兩個(gè)全等的直角三角形，②兩個(gè)全等的等邊三角形；

(2)如圖1,余缺四邊形ABC。，AC平分NZM6,若A￡>=6,AB=2,則

S4ADC：SAABC=；

【初步應(yīng)用】

如圖2,已知A4BC,/B4C的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點(diǎn)，連接尸8、PC.

(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；

(4)若AB=9,AC=5,則PT_P4的值為.

【遷移應(yīng)用】

(5)如圖3,ZMAN=90°,等腰用的B、C兩點(diǎn)分別在射線AM、AN.1.,且斜邊

BC=IOcm(P、A在BC兩側(cè))，若B、C兩點(diǎn)在射線40、AN上滑動(dòng)時(shí)，四邊形APBC的

面積是否發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)說明理由：若變化，直接寫出面積的最大的值.

圖3

【答案】⑴①

(2)3

(3)見詳解

(4)45

(5)變化：最大值是50

【分析】(1)依題意畫出圖形分析是否滿足條件即可得到答案；

(2)利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)，可得AAQC與，ABC等高，然后運(yùn)用面

積比等于底邊長的比得到答案；

(3)利用A尸是角平分線構(gòu)造全等一角形證明Z4BP+NACP=180。即可；

(4)運(yùn)用勾股定理可得尸*=AG?+PG?,PB-=BG-+PG-,然后運(yùn)用圖中等量關(guān)系將AG

和BG轉(zhuǎn)化為AB與AC即可；

(5)當(dāng)AC=BC時(shí)面積取得最大值.

【詳解】(1)如圖4,將兩個(gè)全等的直角三角形沿斜邊拼在一起組成一個(gè)新的四邊形，則

此四邊形滿足對(duì)角線平分一組對(duì)角：且一組對(duì)角互補(bǔ)

兩個(gè)全等的直角三角形一定能拼成余缺四邊形；

如圖5,將兩個(gè)全等的等邊三角形拼在一起組成一個(gè)新的四邊形，此四邊形的一組對(duì)角相加

等于120°

???兩個(gè)全等的等邊三角形無法拼成余缺四邊形；

故答案為：①

圖5

(2)如圖6,過C點(diǎn)分別作AB,AO的垂線，垂足為E,F

.AC平分/B4C,

'.CE=CF

S4ADC:SAABC={AD?CF)<AB?CE)=AD:AB=6:2=3

E,

(3)如圖7,過點(diǎn)尸作尸GLA3,PHLAC,垂足為G,H

4P平分/BACPGLAB,PH±AC

..PG=PH

?點(diǎn)。在BC的垂直平分線上

..BP=CP

??在心PBGfllRtAPCH'^

?PB=PC

[PG=PH

.△PBG必PCH(HL)

:.NPCH=ZPBG

.?.ZPBA+ZPCA=ZPCH+ZPCA=180°

"平分/BAC,

.?.A8PC是余缺四邊形.

(4)由勾股定理可知，PA2=AG2+PCr>PB2=BG2+PG2

:.PA2-PB1

=(AG2+PG2)-(BG2+PG2)

=AG2-BG2

=(AG+BG)(AG-BG)

=AB(AH-CH)

=AB?AC=9x5=45

(5)如圖8,取8C中。，連接。4,作AQLBC于點(diǎn)Q,

則在8C運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有：AQ≤OA

??sA8C是直角三角形，OA是斜邊上的中線，

.?.OA=-BC=S

2

AQ<0A=5

???%BC=；8CAQ*X10X5=25；

.78C是等腰直角三角形

.?.BC2=PB2+PC2=2PB2

：.PB2=-BC2=-×?02=50

22

2

SΔPBC=^PB=^×50=25

SABPC=S4ABC÷S4PBC≤25÷25=50.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握全等三角形

的構(gòu)造與相關(guān)證明方法是本題的解題關(guān)鍵.

5.(2022秋.江蘇南通.八年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí))如圖1,我們定義：在四邊形

ABCDψ,若AO=BC,且∕AOB+NBCA=180。，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形.

(1)如圖2,在等邊AABE中，D、C分別是邊AE、BE的中點(diǎn)，連接8,問四邊形ABC。是

互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)如圖3,在等腰AABE中，四邊形ABCO是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：NABD=NBAC=

?ZAEB.

2

(3)如圖4,在非等腰AABE中，若四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，試問NABO=NBAC

=INAEB是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

2

【答案】(1)四邊形ABCO是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，理由見解析

(2)見解析

(3)仍然成立，證明見解析

【分析】(1)先判斷出AE=BE,再判斷出ZΛDB=90o,即可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)等邊對(duì)等角可得NEAB=/E8A,根據(jù)四邊形ABC。是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，可得

AD=BC,根據(jù)SAS可證AABO絲Z?84C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/A8Z>=/BAC,再根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

(3)仍然成立；理由如卜：如圖所示：過點(diǎn)A、8分別作BZ)的延長線與AC的垂線，垂足

分別為G、F,證明AAGQ0ZX8FC,得至IJAG=BF,又AB=BA,所以4A8CgZ?BAF,得到

ZABD^ZBAC,根據(jù)乙4D8+NBCA=180°,得到/EDB+/ECA=I80°,進(jìn)而得到

ZAEB+ZDHC=ISO0,由/。4C+NB”C=180。，所以NAEB=N8"C.因?yàn)?/p>

NBHC=NBAC+NABD,NABD=NBAC,f)↑IikZABD=ZBAC=ZAEB.

(1)

解：四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，

理由：如圖2,

YZXABE是等邊三角形，

：.AE=BE,

連接AC,BD,

丫點(diǎn)。是AE的中點(diǎn)，

/.BDlAE,

：.NAftB=90。，

同理：ZBCA=90o,

：.AD=BC,NAOB+NBCA=180。，

???四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形.

(2)

解：'：AE=BE,

：.NEAB=NEBA,

V四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形,

：.AD=BC,

在△48￡＞和4BAC中，

AD=BC

■NDAB=/CBA,

AB=BA

：.ΛABD^∕?BAC(SAS),

.?.ZADB^ZBCA,

又；ZΛDB+ZBCA=180°,

ZADB=ΛBCA=90o,

,,180o-ZAEJB1

在ΔABE中l(wèi)，VZEAB=ZEBA=--------------------=90Λ°--ZAEB,

22

ZABD=90o-ZEAB=90o-(90°--NAEB)=LZAEB,

22

同理：NBAC=LNAEB,

2

：.NABD=NBAC=L/AEB；

2

(3)

解：仍然成立；

理由如下：如圖4所示：

圖4

過點(diǎn)A、8分別作8。的延長線與AC的垂線，垂足分別為G、F,

V四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，

：.AD=BC,ZADB+ZBCA=ISOo,

又NAQB+AQG=180°,

：.ZBCA=AADC,

y.'：AG.LBD,BFA.AC,

：.ZAGD=ZBFC=90°,

在4AGO和ABFC中,

'NAGD=NBFC

■ZBCA=ZADC,

AD=BC

：.?AGD^ABFC(AAS),

：.AG=BF,

在Rt?ABG和Rt?BAF中，

?AB=BA

[AG=BF'

ΛRt?ABG^RtΔBAF(HL),

.?.ZABD=ZBAC,

,：ZADB+ZBCA=?S0o,

ΛZEDB+ZECA=180o,

ZΛEB+ZDHC=180o,

?：NDHC+NBHC=18C,

，ZAEB=ZBHC.

YNBHC=NBAC+NABD,ZABD=ZBACf

：.NABD=NBAC=LNAEB.

2

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三

角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，判斷出AABO絲△區(qū)4C是解本題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?湖南長沙?九年級(jí)長沙市怡雅中學(xué)?？茧A段練習(xí))新定義：有一組鄰邊相等且

對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.如圖1,在四邊形ABCZ)中，AD=CD,

圖1圖2圖3

(1)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，怡怡小組對(duì)等補(bǔ)四邊形ABCO進(jìn)一步探究，發(fā)現(xiàn)3。平分NABC.怡怡

小組提供的解題思路是：如圖2,過點(diǎn)。分別作DEJ.BC于E,。尸_L84交84的延長線于

F,通過證明ZXADF=aCDE,得DF=DE,再根據(jù)“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)

在角的平分線上''得到Bo平分NABC.請(qǐng)你寫出怡怡小組的完整證明過程；

(2汝口圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在X軸上，以A8為直徑的。仞交》軸于點(diǎn)C、D,

點(diǎn)尸為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與3、C重合).

①求證：四邊形ACPz)始終是一個(gè)等補(bǔ)四邊形；

②在圖3中，若A(T0),8(3,0),連接小,PB,的值是否會(huì)隨著點(diǎn)尸的移動(dòng)

而變化？若不變化，請(qǐng)求出該定值；若變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；②PZ)JPU的值不變,等于√L見解析

PA-PB

【分析】(1)過點(diǎn)。分別作Z)E_L8C于E,Z)Fl.54交54的延長線于F,通過證明

ΛADF=∕?CDE,得D尸=。E即可.

(2)①根據(jù)垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明即可.

②過點(diǎn)4作AnLPD,4E_LPC,交PC的延長線于點(diǎn)E,結(jié)論變形為土二空=4χ空X組,

PA-PBABAB

利用全等，相似、三角函數(shù)計(jì)算即可.

(1)

如圖，過點(diǎn)。分別作。Ej_8C于E,。尸_LSA交NA的延長線于F,

所以ZAFD=ZCE。=90°,

因?yàn)樗倪呅蜛8C。是等補(bǔ)四邊形，

所以AD=CD,ZBAD+ZBCD=180°,

因?yàn)閆BAD+ZDAF=180°,

所以NDAF=NDCE,

所以AADF三ACDE,

所以O(shè)F=DE,

所以Bo平分NABC.

(2)

①因?yàn)锳B是圓的直徑，且ABLCD,

所以O(shè)C=OD,

所以直線AB是線段CD的垂直平分線,

因?yàn)樗倪呅蜛CPD是OM的內(nèi)接四邊形，

所以/ACP+ZADP=180°,

所以四邊形ACPO始終是一個(gè)等補(bǔ)四邊形.

②〃D--/，C的值不變,等于百，理由如下:

PAPB

如圖，過點(diǎn)A作AFj_P。，AELPC,交PC的延長線于點(diǎn)￡,

因?yàn)锳C=A。，

所以NAPE=/APF,

所以AE=A尸，

因?yàn)锳P=AP,

所以△力PE空AAPF,?AEC^?AFD,

所以PE=FF,EC=FD.

因?yàn)锳B是直徑，

所以NAPB=ZAFD=90o,

因?yàn)镹A。F=NAB尸，

所以△川￡)/S“BP,

所嘮啜

因?yàn)镻D+PC=PC+PF+DF=PC+EC+PF=PE+PF=2PF,PD-PC=PF+DF-PC=

PE+DF-PC=EC+DF=2DF,

,PD2-PC2(PDtPC)(PD-PC)2PF×2DFPFDF

所c7rs以κ--------------=-------------------------=----------------=4λ×——×——

PAPBPA-PBPAPBPAPB

因?yàn)镹APD=NA5D,

所以cosZAPD=CosZABD,

由aPFBD

所以Tr布

PD2-PC-BDAD

所以=4λ×----×-----

PA-PBABAB

因?yàn)锳(TO),B(3,0),

所以AB=4,圓的半徑為2即AM=2,

所以AO=OM=1,

所以。。=在二適=相，

所以Az)=J(G尸+『=2,

連接