2023年高考數(shù)學(xué)十年高考數(shù)學(xué)15立體幾何多選填空題

1.（2023年全國(guó)甲卷理科?第15題）在正方體ABC?！狝4G2中，E,F分別為AB,G。1的中點(diǎn)，以

EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

2.（2020年高考課標(biāo)III卷理科?第15題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的

球的體積為.

3.（2019?全國(guó)II?理?第16題）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為

長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是

由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半

正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有一個(gè)

面，其棱長(zhǎng)為（本題第一空2分，第二空3分）.

圖1圖2

4.（2017年高考數(shù)學(xué)上海（文理科）?第11題）如圖，以長(zhǎng)方體ABCD-4gCR的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過(guò)。的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為（4,3,2）,則AG的坐標(biāo)為

5.（2015高考數(shù)學(xué)江蘇文理?第9題）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高

為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積和高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一

個(gè)，則新的底面半徑為.

二、多選題

1.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容

器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

4,

2.（2021年新高考I卷?第12題）在正三棱柱ABC-A用G中，=A4,=1,點(diǎn)尸滿足=+,

其中2e[0,1],〃e[0,l],則（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，△48/的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐A8c的體積為定值

C.當(dāng)％=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得APLBP

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得48,平面44P

題型二：立體幾何三視圖

1.（2021年高考全國(guó)乙卷理科?第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視

圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即

可）.

圖④

2.（2019?北京?理?第11題）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果

網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為

3.（2017年高考數(shù)學(xué)上海（文理科）?第8題）已知球的體積為36不，則該球主視圖的面積等于.

4.（2017年高考數(shù)學(xué)山東理科?第13題）由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)q圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下圖,則

4

該幾何體的體積為.

題型三：立體幾何的表面積與體積

1.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第14題）在正四棱臺(tái)ABC?！?4Goi中，AB=2，A4=1,A&=0,

則該棱臺(tái)的體積為.

2.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第14題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底

面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

3.（2020年新高考全國(guó)I卷（山東）?第15題）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如

圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的

3

切點(diǎn)，四邊形OEFG為矩形，BCLDG,垂足為C,tanZODC=-,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直

線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

4.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)（海南）?第13題）已知正方體ABCD/iBiGDi的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為

BBi、的中點(diǎn)，則三棱錐4MM。1的體積為

5.（2020天津高考?第15題）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=6Q°,AB=3,BC=6,且

3

AD=ABC,ADAB=--,則實(shí)數(shù)4的值為,若M,N是線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,貝U

DM-DN的最小值為.

6.（2020江蘇高考?第9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的

底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

7.（2019?天津?理?第11題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為行的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為君.若圓柱的一

個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積

為.

8.（2019?全國(guó)m?理?第16題）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)

方體ABCD-ABIGD挖去四棱錐。—班6”后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,H分

別為所在棱的中點(diǎn)48=5。=6?11,441=4311,3。打印所用原料密度為0.9g/cn?,不考慮打印損耗,

制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

9.（2019?江蘇?第9題）如圖，長(zhǎng)方體ABC。-A4GA的體積是120，E是CG的中點(diǎn)，則三棱椎瓦38

的體積是.

10.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第10題）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面

體的體積為.

（第10題）

11.（2018年高考數(shù)學(xué)天津（理）?第11題）已知正方體ABC?！狝4GB的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外,

該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn),G,H,M（如圖），則四棱錐的體積為.

12.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（理）?第16題）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,S3所成角的余弦值為工，

8

SA與圓錐底面所成角為45。，若的面積為5厲，則該圓錐的側(cè)面積為

13.如圖，在正三棱柱ABC—A51cl中，AB=1.若二面角C-AB—G的大小為60，則點(diǎn)C1到直線AB

的距離為.

B

14.（2014高考數(shù)學(xué)天津理科?第10題）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積

俯視圖

15.（2014高考數(shù)學(xué)山東理科?第13題）三棱錐尸—A5C中，D,E分別為P6,PC的中點(diǎn)，記三棱錐

￡>—A5石的體積為匕，尸—A6C的體積為匕，則匕=_________一

匕

16.（2014高考數(shù)學(xué)江蘇?第8題）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面分別為邑，體積分別為匕，匕，若它們的

側(cè)面積相等，且叢=?,則匕的值是

S24V2--------

17.（2015高考數(shù)學(xué)天津理科?第10題）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為

18.（2015高考數(shù)學(xué)上海理科?第4題）若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為166，則.=-

19.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第6題）如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下面及母

線均相切.記圓柱。1，。2的體積為匕，球。的體積為匕，則乜的值是.

（第6題）

20.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第14題）如圖，在AA5c中，AB=BC=2,ZABC=120.若平面A5C外的

點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足==則四面體尸BCD的體積的最大值是-

（第14題圖）

21.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第11題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是

cm2,體積是cn?.

2.2

：2

側(cè)視圖

俯視圖

22.（2016高考數(shù)學(xué)天津理科?第11題）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所

m3.

俯視圖

23.（2016高考數(shù)學(xué)四川理科?第13題）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正

視圖如圖所示，則三棱錐的體積為

二、多選題

1.（2022新高考全國(guó)II卷?第11題）如圖，四邊形ABCD為正方形，即，平面

FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—ACD,F-ABC,尸—ACE的體積分別為匕匕,匕,

則)

F

B.%=K

c.匕=匕+匕D.2匕=3、

題型四：立體幾何中的球的問(wèn)題

1.（2020年新高考全國(guó)I卷（山東）?第16題）已知直四棱柱ABCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)均為2,ZBAD=60a.以

2為球心，75為半徑的球面與側(cè)面BCCiBi的交線長(zhǎng)為.

2.（2017年高考數(shù)學(xué)天津理科?第10題）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面

積為18,則這個(gè)球的體積為.

題型五：立體幾何線面位置關(guān)系

1.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第16題）設(shè)有下列四個(gè)命題：

Pi：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/<=平面a,直線m_L平面a,則mJJ.

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

①P]△P4②PlA02③VP3④「P3V「P&

2.（2019?北京?理?第12題）已知/,比是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/J_ni；②m//a；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

13.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第14題）名，是兩個(gè)平面，加，〃是兩條直線，有下列四個(gè)命題:

（1）如果〃z_L〃，m±a,n/Ip,那么

（2）如果nlla,那么〃z_L〃.

（3）如果a//，，mua,那么

（4）如果加//〃，aII[3,那么加與a所成的角和〃與夕所成的角相等.

其中正確的命題有」（填寫所有正確命題的編號(hào)）

二、多選題

1.（2021年新高考全國(guó)II卷?第10題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為

正方體的頂點(diǎn).則滿足尸的是)

題型六：立體幾何中的角度與距離

1.（2014高考數(shù)學(xué)上海理科?第6題）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為

.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

2.（2015高考數(shù)學(xué)浙江理科?第13題）如圖,三棱錐A—BCD中，ABACBD=CD=3,AD=BC^2,

點(diǎn)V,N分別是的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是-

3.（2015高考數(shù)學(xué)四川理科?第14題）如圖，四邊形A6CD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面相互

垂直，動(dòng)點(diǎn)/在線段PQ上，E,尸分別為A3,中點(diǎn)，設(shè)異面直線石河與”所成的角為。，則cos。

的最大值為

QMP

BF乙

4.（2015高考數(shù)學(xué)上海理科?第6題）若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面積面積之比為2萬(wàn)，則其母線與軸的夾

角的大小為_(kāi)________一

5.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第16題）。力為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC

的直角邊A