函數(shù)概念及其性質(zhì)-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考）（解析版）

專題05函數(shù)概念及其性質(zhì)

函數(shù)概念及其性質(zhì)

視

忽

點(diǎn)

使

用

零

分

段搞不

元

在

存

換

函

數(shù)

忽

定

性清復(fù)

法

的

單

新

理

和徐使合函

調(diào)

性

視

一

用

范數(shù)自

4換元法求解彳勺數(shù)值域時(shí)，≡力入新變量的￡.攵錯(cuò)；

國

，、-變量

圍

■.l,l,?.,Il高端≡fr

司區(qū)間、判斷i禺性時(shí)，容易.?范勺定義域致錯(cuò);

點(diǎn)值致錯(cuò)

錯(cuò)

錯(cuò)致

3.研究分段函數(shù)的」致錯(cuò)容易忽略端JJ、致錯(cuò)；

4.求定義域中有零f罩析式時(shí)，容易忽略自變量0的函數(shù)fL

5.處理函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，容易忽略混淆“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”而致錯(cuò);

6.有關(guān)復(fù)合函數(shù)的問題，弄不清自變量而致錯(cuò)；

易磊合折

一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間忽視定義域致錯(cuò)

1.函數(shù)y=d=+3x的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

3

2'+∞

C.[0,÷∞）D.（―8,—3]

【錯(cuò)解】選A令f=r+3χ,y=Yx2+3x是由y=3與f=∕+3x復(fù)合而成,又外層函數(shù)y

=3在[0,+8）上單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)-Λ2+3X在（一8,—上單調(diào)遞減，在[―5，+o°）

上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可知，函數(shù)y=d<+根的單調(diào)遞減區(qū)間為

（?]

【錯(cuò)因】沒有考慮函數(shù)y=后3的定義域，

【正解】選D由題意，Λ2+3X≥0,可得入?W-3或函數(shù)y=?/+3x的定義域?yàn)?/p>

（—8,—3]U[O,÷o°）.令∕=jr2÷3x,則外層函數(shù)y=W在[0,+8）上單調(diào)遞增，內(nèi)層函

數(shù)

/=∕+3X在（-8,—3]上單調(diào)遞減，在[0,+8）上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)y=Λ∕x2+3x的單

調(diào)遞減區(qū)間為（-8,—3].

二、判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域致錯(cuò)

2.判斷函數(shù)/ω=∣x+ι∣?∕M的奇偶性：

【錯(cuò)解】?.?/(%)=k+1∣JW=Jk+fE=/1+")2￡=

.,./(-%)=?/l-(-?)2=Vl-x2=f(x)，所以函數(shù)凡*)=∣x+1|

數(shù)。

【錯(cuò)因】沒有考慮函數(shù)Xx)=

【正解】因?yàn)?U)有意義，則滿足M2o,所以一ι<xWi,所以yu)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，

所以火X)為非奇非偶函數(shù).

三、有關(guān)分段函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯(cuò)

f(x+l)2,x<l,

3.設(shè)函數(shù)yu)=J_r-則使得yu),ι的自變量X的取值范圍為.

【錯(cuò)解】由已知及7U)21可得,(冗+1)221或4一5一121,

由(x+l)2>l0XW—2或x20,由4一山一121,即出一1W3,所以IWXWI0.

綜上所述，X∈[L1O].

(x÷1)2,x<l,

【錯(cuò)因】沒有考慮函數(shù)/》)=(4_尸(,x>i,的定義域，

【正解】因?yàn)?(X)是分段函數(shù)，所以人幻與I應(yīng)分段求解.

當(dāng)x<l時(shí)，y(x)》In(X+1)2'InXW-2或x20,所以xW-2或0Wx<l.

當(dāng)x2l時(shí)，y(x)>1=>4-^?∣χ-1>1,即出—IW3,所以l≤x<10.

綜上所述，Λ∈(-∞,-2]U[0,10].

四、有關(guān)抽象函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯(cuò)

4.設(shè)“CR,己知函數(shù)尸本)是定義在[-4,4]上的減函數(shù)，且√(α+l)?2α),則α的取值范

圍是()

A.[-4,1)B.(1,4]C.(1,2JD.C.(1,+∞)

【錯(cuò)解】?.j=1")是定義在[-4,4]上的減函數(shù),且加+1)次2α),.?.α+l<2α,解得l<o,選

D.

【錯(cuò)因】沒有考慮函數(shù)y=〃x)的定義域，

【正解】：函數(shù)y=Ax)是定義在[-4,4]上的減函數(shù)，且加+l)=√(2α),.?.-4Wα+l<2.W4,

解得l<a≤2,故選C.

五、有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題忽視端點(diǎn)值致錯(cuò)

x+1,x<?,

5.已知函數(shù)4X)=,、在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為________.

X—2cιx,x?^1

【錯(cuò)解】要使yu)在R上單調(diào)遞增，必須滿足：.*x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，外幻

在(1,+8)上單調(diào)遞增：又》21時(shí)，?(?)=X2-2ax+a2-cr-(x-a)2-a^,

作出大致圖象如圖所示.結(jié)合圖象可知αWl,故實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8,1].

【錯(cuò)因】沒有考慮端點(diǎn)值2與1_勿的大小關(guān)系,

【正解】要使./U)在R上單調(diào)遞增，必須滿足三條：第一條：/U)在(一8,1)上單調(diào)遞增;

第二條：<x)在(1,+8)上單調(diào)遞增；第三條：(χ2-2ax)h=i2(x+l)k=i.—J

aWl,1Λ

作出大致圖象如圖所示.結(jié)合圖象可知解得“W-5.-Z-i—

.1—2心2,R71

故實(shí)數(shù)”的取值范圍為(一8,—?.

六、有關(guān)奇函數(shù)的解析式忽視自變量O的函數(shù)值致錯(cuò)

6.己知定義在R上的奇函數(shù)y(x),當(dāng)x>0時(shí),y(x)=∕+χ-l,則函數(shù)凡r)的解析式為

【錯(cuò)解】設(shè)x<0,則一x>0,由題意可知,穴—x)=(-^x)2-?χ^-1=x2-χ^-1,

因?yàn)?(x)是R上的奇函數(shù)，所以y(x)=~/(-x)=—x2+x+I.

Λ2+x-l,x>O

綜上所述，f(χ)=?

—x~+X+1,X<0

【錯(cuò)因】沒有考慮自變量0的函數(shù)值，

【正解】設(shè)JVV0,則一X>0,由題意可知/(—x)=(—x)2—五一1=/一1—1,

因?yàn)镠X)是R上的奇函數(shù)，所以yu)=~/(—x)=—/+χ+1,且負(fù)0)=0.

Λ2+Λ-1,Λ>0,

綜上所述，危)=<0,X=O9

x2÷x+l,XV0.

七、使用換元法忽視新變量的取值范圍致錯(cuò)

7.若|2*)=4*—2，，則貝X)=.

【錯(cuò)解】由題意，y(2x)=4'-?2'=(2')2-2?v,設(shè)f=2',則√(f)=r2-f,所以HX)=/—X.

【錯(cuò)因】沒有考慮2'的取值范圍，因?yàn)?'(大于零，所以f大于零，

【正解】由題意，∕2,)=4*—2'=(2x)2—2*,設(shè)r=2'>0,則式f)=>-j,00,所以述X)=X2-χ,

.v>0.

八、忽視零點(diǎn)存在性定理前提條件而致錯(cuò)

8.對(duì)于函數(shù)段)，若4—1/3)<0,則()

A.方程40=0一定有實(shí)數(shù)解B.方程KX)=O一定無實(shí)數(shù)解

C.方程KX)=O一定有兩實(shí)根D.方程兀V)=O可能無實(shí)數(shù)解

【錯(cuò)解】因?yàn)椤?1次3)<0,由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)y(x)在(-1,3)上必有零點(diǎn)，

故方程T(X)=O一定有實(shí)數(shù)解，所以選A。

【錯(cuò)因】零點(diǎn)存在性定理要求7U)的圖象在區(qū)間[a,0上連續(xù)。

【正解】選D因?yàn)楹瘮?shù)“r)的圖象在(-1,3)上未必連續(xù)，所以盡管人一1加3)<0,

但方程段)=0在(-1,3)上可能無實(shí)數(shù)解.

9.若函數(shù)y=Λx)在區(qū)間俗，6]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是()

A.若幾2求份>0,則不存在實(shí)數(shù)c∈[a,句，使得火C)=O

B.若加皿0<0,則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈俗，/?],使得火C)=O

C.若仙跟)>0,則可能存在實(shí)數(shù)c∈[a,句，使得<c)=0

D.若先幽V0,則可能不存在實(shí)數(shù)c∈[a,切，使得7(c)=0

【錯(cuò)解】選A,因?yàn)樨?2求2)>0,與零點(diǎn)存在性定理火4次力<0不符，所以不存在實(shí)數(shù)

C∈[.3,自，使得.c)=0o

【錯(cuò)因】零點(diǎn)存在性定理是T(X)在區(qū)間[a,夕上存在零點(diǎn)的充分不必要條件。

【正解】選C,取y(x)=x2—1,區(qū)間取為[-2,2],滿足負(fù)-2加2)>0,但是式X)在[-2,2]內(nèi)存

在兩個(gè)零點(diǎn)一1,1,故A說法錯(cuò)誤，C說法正確；取y(x)=sinx,區(qū)間取為去?],滿足信)

.產(chǎn)得)=：義(一；)=—(<0,但是,(r)在等]內(nèi)存在三個(gè)零點(diǎn)兀，2π,3π,故B說法錯(cuò)誤：

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，D說法錯(cuò)誤.

九、搞不清復(fù)合函數(shù)的自變量而致錯(cuò)

10.已知大犬2一[)的定義域?yàn)閇0,3],則y(2χ-l)的定義域是()

【錯(cuò)解】選C（X2一］）的定義域?yàn)椋?,3］,,?.0≤Λ≤3,ΛO≤X2-1≤3,Λ1≤Λ-2≤4,

.?.1WXW2或一2WXW-1,所以1W2X-1W2或一2W2x—1W-1,

3.1則火2χ-l)的定義域是1,∣1∪-?,θ

所以1≤x≤—或一一≤x≤0,

22

【錯(cuò)因】搞不清復(fù)合函數(shù)的自變量是哪個(gè)，f(x2-l)的定義域?yàn)椤?],是說0≤xW3.

【正解】選B?.√(χ2一])的定義域?yàn)镼3],Λ0≤x≤3,Λ-1≤Λ2-1≤8,即./U)的定義域

為

9「91

[-1,8].；.在y(2χ-1)中一l≤2χ一l≤8,Λ0≤x≤2,即函數(shù)4入-1)的定義域?yàn)閇θ,爹.

十、搞不清函數(shù)圖象左右平移規(guī)則而致錯(cuò)

10.將函數(shù))，=大一X)的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.

【錯(cuò)解】y=A—X)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，根據(jù)左加右減的原則，可知得到函數(shù)—

x—1)的圖象。故答案為y=A-χ-l)

【錯(cuò)因】函數(shù)圖象左加右減變換針對(duì)的是自變量X,

【正解】N=K-X)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，根據(jù)左加右減的原則，可知得到函數(shù)

/[—(x-l)]=∕(-x+l)的圖象，故答案為y-√i-.t+l)

易命敗遹關(guān)

1.已知函數(shù)y(x)=ev-er+χ3+3,若加)=5,則_/(-“)=()

A.2B.IC.-2D.-5

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=Λx)-3=et-e-jr+x3,則g(-χ)=e~jc-et-χ3=-(ex-e-x+x3)=—g(x),

所以g(x)是奇函數(shù).因?yàn)間(α)=7(α)-3=2,所以g(一4)=/(—“)一3=—2,則>/(一“)=1.

2.若函數(shù)y=∕(x)的定義域是⑹2],則函數(shù)g(x)=售的定義域是()

A.[0,1]B.[0,1)

C.[0,l)U(1,4]D.(0,1)

【答案】B

H2χ)[0≤2x≤2,

【解析】根據(jù)已知可得函數(shù)g(x)=I的定義域需滿足解得0Wx<l,即函數(shù)

Ll[x≠l,

的定義域是[0,1).

3.函數(shù)y=lg(x+l)-l的圖象可以由函數(shù)y=lgx的圖象()

A.上移1個(gè)單位再左移1個(gè)單位得到B.下移1個(gè)單位再左移1個(gè)單位得到

C.上移1個(gè)單位再右移1個(gè)單位得到D.下移1個(gè)單位再右移1個(gè)單位得到

【答案】B

【解析】令火X)=IgX,則有/(x+l)-I=Iga+1)-1.明顯地,對(duì)于函數(shù)y=lg(x+l)-l的圖

象，可以由函數(shù)y=lgx的圖象向下移一個(gè)單位再向左移一個(gè)單位得到，故選B.

4.若a<b<c,則函數(shù)7U)=(χ-α)(χ-i>)+(χ-6)(X—c)+(χ-c)(χ-“)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)

間()

A.(?,b)和(6,C)內(nèi)B.(—8,α)和(α,Z?)內(nèi)

C.(?>C)和(c,+8)內(nèi)D.(—8,q)和(c,÷∞)

【答案】A

"

【解析】'.a<b<c,.*.∕(a)=(a~b)(a~c)>0,fib)=(b-c)(b—?)<0,J(c)=(kc~a)(c~b)>0,由

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(α,b),(b,C)內(nèi)分別存在零點(diǎn).又函數(shù)./U)是二次函數(shù)，

最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)兀￥)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(“，〃)，S,C')內(nèi).

5.函數(shù)OX)=Λ∕3+2X-/的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-∞,I]B.[1,+∞)

C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】D

【解析】設(shè)z=3÷2χ-X2,則y=S，由3+2x—/20,解得一∣w%≤3,由于z=3+2χ-

X2在［一Ll］上單調(diào)遞增，在(1,3］上單調(diào)遞減，又y=/在定義域上單調(diào)遞增，可得/U)=

、3+2x—X2的單調(diào)遞增區(qū)間為［一LU.

6.已知"x)=8+2r-昌若g(χ)=42-/2),則g(∕)()

A.在區(qū)間(一1,0)內(nèi)是減函數(shù)B.在區(qū)間((U)內(nèi)是減函數(shù)

C.在區(qū)間(一2,0)內(nèi)是增函數(shù)D.在區(qū)間(0,2)內(nèi)是增函數(shù)

【答案】A

【解析】?r)=8+2x—X2在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

/=2一/在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)χ∈(-8,—1)時(shí)，∕∈(-∞,1),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)x∈(-10)時(shí)，f∈(l,2),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,l)時(shí),r∈(l,2),函數(shù)g(x)單調(diào)

遞增：

當(dāng)x∈(l,+∞)B+,r∈(-∞,I),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

fx÷1,x20,

7.已知函數(shù)y(x)=則函數(shù)∕u+2x)的圖象是()

Lx,Λ<0,

土小4、

ABCD

【答案】B

【解析】由題意得，當(dāng)1+2x20,即x2一g時(shí)，Λ1+2X)=2+2Λ

當(dāng)1+2ΛV0,

〔2x+2,X

即XV-T時(shí)，y(l+2x)=-2χ-l,所以川+Ze)=，

?故選B.

［-2Λ-1,

x<-2'

UOgd,0<x<l,

8.已知函數(shù)T(X)=L滿足對(duì)任意即≠X2,都淮叫羨與成立'則實(shí)

［(44I)X十2。,X31

數(shù)”的取值范圍是()

A(O,￡)B(O,IC(O,￡jD.(I,+∞)

【答案】B

X?—X2

O<α<l,

所以函數(shù)Kr)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，4。一1<0,解得0<aw?.

.logα15≈(4a-l)?l+2<7,

9.設(shè)函數(shù)y="r)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=y(χ-3)與函數(shù)y=y(l—x)的圖象關(guān)于()

A.直線y=l對(duì)稱B.直線X=I對(duì)稱

C.直線y=2對(duì)稱D.直線x=2對(duì)稱

【答案】D

【解析】設(shè)函數(shù)y=_/U—3)的圖象上任意一點(diǎn)P(X0,和)，則yo=∕(xo-3),且P(X°,泗)關(guān)于直

線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q(4—Xo,yo).又函數(shù)y=∕(l-X)中，當(dāng)x=4一超時(shí)，j'=∕[l-(4—X))]=

J(xo-3),所以。(4一的，州)在y=∕(l—?χ)的圖象上.故函數(shù)y=y(χ-3)與函數(shù)了=火1—x)的圖

象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故選D.

3e-χ≤0,

10.已知函數(shù)y(x)=；、'八若Ha2-3)利-2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

—4x÷3,x>0,

A.(-∞,1]B.(~∞,-3]U[I,+∞)

C.(-∞,1]U[3,+∞)D.[-3,1]

【答案】D

【解析】當(dāng)XWO時(shí)，於)=31*單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，貝》)=—4x+3單調(diào)遞減.

又3e0=-4X0+3,則函數(shù)y=?x)在R上連續(xù)，則函數(shù)y=Λχ)在R上單調(diào)遞減.

由式。2—3)至/(—2a),可得“2—3W—2a,即/+2a—3W0,

解得一3WaWL因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3』.

11.已知函數(shù)加v)=P°g"'°："’、滿足對(duì)任意X1≠X2,都有曲上也<0成立，則實(shí)

[(4a-l)x+2a,Gl制一及

數(shù)a的取值范圍是()

A(O,?)B(O,IC(O,￡)D.(I,+∞)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意由#X2,都有蚱黑<。成立,

?0<a<?f

所以函數(shù)兀r)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以卜a-l<0,解得0<a].

l∣ogdl≥(4^-1)1+2?,

12.已知函數(shù)yu)=5一則不等式y(tǒng)(2%2)+y(x—D>O的解集是()

A.(-8,—i)u&+ooJB.f—1)C.(-8,—￡)U(1,+∞)D.(-1,T

【答案】D

【解析L/U)的定義域?yàn)镽,且—X)=5=-yu),所以XX)為奇函數(shù).由于“>1,所以

"r)在R上遞減.由NZr2)+Kr-I)>0,得√(2x2)>-/(X-I)=?l-χ),所以2r2<l-χ,即2/

÷χ-1=(2χ-1)(x÷1)<0,解得一所以不等式的解集是(一1,；).

13.某單位計(jì)劃建一矩形場地，現(xiàn)有總長度為IOOm的可作為圍墻的材料，則場地的面積

S(單位：πf)與場地的長x(單位：m)的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】S=Λ(50-X)(0<Λ<50)

【解析】由于場地的長為Xm,則寬為(50—x)m,由題意得S=x(50-x).易知x>0,50-x

>0,所以自變量X的取值范圍為0<x<50.故所求函數(shù)的關(guān)系式為S=Λ(50-X)(0

<Λ<50).

14.已知函數(shù)_/U)=/—2辦+人是定義在區(qū)間[—2238—1]上的偶函數(shù)，則函數(shù)I幻的值域?yàn)?/p>

【答案】[L5]

【解析】??7(χ)為偶函數(shù)，.?A-χ)=Aχ),即4=0.又Tu)的定義域?yàn)閇一26,3/7-1],

：.-2?+3?-1=0,解得?=l.Λ∕x)=x2+l,x∈[-2,2],Λ函數(shù)貝x)的值域?yàn)榭冖?

15.已知函數(shù)T(X)滿足D+.(W^9=l+χ,其中XeR且XW0,則函數(shù)>(χ)的解析式為

【答案】y(χ)=∣-