西方經(jīng)濟學(xué)-微觀部分-第三章課后習(xí)題答案

第三章效用論

I.已知一件襯衫的價格為80元，一份肯德基快餐的價格為20元，在某消費者關(guān)于這

兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率MRS是多少？

解答：按照兩商品的邊際替代率MRS的定義公式，可以將一份肯德基快餐對襯衫的邊

際替代率寫成：

MRSχγ=-

其中，X表示肯德基快餐的份數(shù)；y表示襯衫的件數(shù)；MRSXy表示在維持效用水平不變

的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數(shù)量。

在該消費者實現(xiàn)關(guān)于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有

MRSXY=奈,

即有MRSXy=Il=O.25

它表明，在效用最大化的均衡點上，該消費者關(guān)于一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率

MRS為0.25。

2.假設(shè)某消費者的均衡如圖3—1(即教材中第96頁的圖3—22)所示。其中，橫軸OX∣

和縱軸0X2分別表示商品1和商品2的數(shù)量，線段AB為消費者的預(yù)算線，曲線

0102030

圖3—1某消費者的均衡

U為消費者的無差異曲線，E點為效用最大化的均衡點。已知商品1的價格P=2元。

(1)求消費者的收入；

(2)求商品2的價格P2;

(3)寫出預(yù)算線方程；

(4)求預(yù)算線的斜率；

(5)求E點的MRsI2的值。

解答：(1)圖中的橫截距表示消費者的收入全部購買商品1的數(shù)量為30單位，且已知Pl

=2元，所以，消費者的收入M=2元x30=60元。

(2)圖中的縱截距表示消費者的收入全部購買商品2的數(shù)量為20單位，且由(1)已知收入

M=60元，所以，商品2的價格尸2=告=$=3元。

(3)由于預(yù)算線方程的一般形式為

PtX↑+P2×2=M

所以，由(1)、(2)可將預(yù)算線方程具體寫為：2X∣+3X2=60.

(4)將(3)中的預(yù)算線方程進一步整理為X2=—,XI+20。很清楚，預(yù)算線的斜率為一|。

(5)在消費者效用最大化的均衡點E上，有MRSn=今，即無差異曲線斜率的絕對值即

MRS等于預(yù)算線斜率的絕對值之因此，MRSl2=今空。

尸23

3.請畫出以下各位消費者對兩種商品(咖啡和熱茶)的無差異曲線，同時請對(2)和(3)分別

寫出消費者B和消費者C的效用函數(shù)。

(1)消費者A喜歡喝咖啡，但對喝熱茶無所謂。他總是喜歡有更多杯的咖啡，而從不在

意有多少杯熱茶。

(2)消費者B喜歡一杯咖啡和一杯熱茶一起喝，他從來不喜歡單獨喝咖啡，或者單獨喝

熱茶.

(3)消費者C認為，在任何情況下，1杯咖啡和2杯熱茶是無差異的。

(4)消費者D喜歡喝熱茶，但厭惡喝咖啡。

解答：(1)根據(jù)題意，對消費者A而言，熱茶是中性商品，因此，熱茶的消費數(shù)量不會

影響消費者A的效用水平。消費者A的無差異曲線見圖3-2(a)o圖3-2中的箭頭均表示

效用水平增加的方向。

(2)根據(jù)題意，對消費者B而言，咖啡和熱茶是完全互補品，其效用函數(shù)是U=min{x∣,

及}。消費者B的無差異曲線見圖3—2(b)。

(3)根據(jù)題意，對消費者C而言，咖啡和熱茶是完全替代品，其效用函數(shù)是U=2X∣+X2.

消費者C的無差異曲線見圖3—2(c)。

(4)根據(jù)題意，對消費者D而言，咖啡是厭惡品。消費者D的無差異曲線見圖3—2(d)。

熱茶

熱茶

圖3-2關(guān)于咖啡和熱茶的不同消費者的無差異曲線

4.對消費者實行補助有兩種方法：一種是發(fā)給消費者一定數(shù)量的實物補助，另一種是發(fā)

給消費者一筆現(xiàn)金補助,這筆現(xiàn)金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法,

說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。

圖3—3

解答：一般說來，發(fā)給消費者現(xiàn)金補助會使消費者獲得更大的效用。其原因在于：在現(xiàn)

金補助的t青況下，消費者可以按照自己的偏好來購買商品，以獲得盡可能大的效用。如圖

3—3所示。

在圖3-3中，直線AB是按實物補助折算的貨幣量構(gòu)成的現(xiàn)金補助情況下的預(yù)算線。

在現(xiàn)金補助的預(yù)算線AB上，消費者根據(jù)自己的偏好選擇商品I和商品2的購買量分別為

x；和X2,從而實現(xiàn)了最大的效用水平U2,即在圖3-3中表現(xiàn)為預(yù)算線AB和無差異曲線

S相切的均衡點E。

而在實物補助的情況下，則通常不會達到最大的效用水平U2O因為，譬如，當實物補

助的商品組合為F點(即兩商品數(shù)量分別為X1HX2I),或者為G點(即兩商品數(shù)量分別為X12

和X22)時，則消費者能獲得無差異曲線Ul所表示的效用水平，顯然，Ul<U2o

5.已知某消費者每年用于商品1和商品2的收入為540元，兩商品的價格分別為Pl=

20元和P2=30元，該消費者的效用函數(shù)為U=3X∣X%該消費者每年購買這兩種商品的數(shù)

量應(yīng)各是多少？每年從中獲得的總效用是多少？

解答：根據(jù)消費者的效用最大化的均衡條件

MU∣P∣

MU^=P?

其中，由U=3X∣X?可得

rτ∩ττZTvFT

友

MUI==3X3MU2=?G=6X∣X2

于是，有

?l整理得X2=乳⑴

將式(1)代入預(yù)算約束條件20X,+30X2=540,得

4

20Xι+30qXι=540解得X,=9

將Xi=9代入式(1)得X2=12

因此，該消費者每年購買這兩種商品的數(shù)量應(yīng)該為

{X∣=9X2=12

將以上最優(yōu)的商品組合代入效用函數(shù)，得

U*=3Xf(X2)2=3x9xl22=3888

它表明該消費者的最優(yōu)商品購買組合給他帶來的最大效用水平為3888。

6.假設(shè)某商品市場上只有A、B兩個消費者，他們的需求函數(shù)各自為Q?=20-4P和

Q?=30-5Pθ

(1)列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。

(2)根據(jù)(1),畫出這兩個消費者的需求曲線和市場需求曲線。

解答：(1)由消費者A的需求函數(shù)Q《=20—4P,可編制消費者4的需求表；由消費者B

的需求函數(shù)Q&=30—5P,可編制消費8的需求表。至于市場的需求表的編制可以使用兩種

方法，一種方法是利用已得到消費者A、8的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求

數(shù)量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者A和B的需求函數(shù)加總來求得市場

需求函數(shù)，即市場需求函數(shù)。z=0(+級=(20—4P)+(30—5P)=50—9P,然后運用所得到

的市場需求函數(shù)0z=5O-9P來編制市場需求表。這兩種方法所得到的市場需求表是相同的。

按以上方法編制的3張需求表如下所示。

消費者A的需求表

PQA

020

116

212

38

44一

50

消費者B的需求表

PQA

030

]25

220

315

410

55

60

,市場的需求表

Qd=Qeq\o\al(d,)+Qeq

PA

_________?o?al(d,B)___________

()50

41

232

323

414

55

60

(2)由(1)中的3張需求表，所畫出的消費者A和B各自的需求曲線以及市場的需求曲

線如圖3—4所示。

消費者A的需求曲線消費者B的需求曲線市場需求曲線

圖37

在此，需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發(fā)生在價格P=5和需求量

Qd=5的坐標點位置。關(guān)于市場需求曲線的這一特征，可以從兩個角度來解釋：一個角度是

從圖形來理解，市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在PW5的范圍，

市場需求曲線由兩個消費者需求曲線水平加總得到；而當P>5時，只有消費者B的需求曲

線發(fā)生作用，所以，他的需求曲線就是市場需求曲線。另一個角度是從需求函數(shù)看，在PW5

的范圍，市場需求函數(shù)Qd=Qeq?o?al(d,A)+Qeq?o?al(d,β)=50—9P成立；而當

d

P>5時，只有消費者B的需求函數(shù)才構(gòu)成市場需求函數(shù)，即Qd=Qeq?o?al(,β)=30

-5Po

7.假定某消費者的效用函數(shù)為U=Xeq?f(3,8)lxeq?f(5,8)2，兩商品的價格

分別為P,P2.消費者的收入為M。分別求該消費者關(guān)于商品I和商品2的需求函數(shù)。

解答：根據(jù)消費者效用最大化的均衡條件

eqXf(MUhMU2)eq?f(P∣,P2)

其中，由已知的效用函數(shù)U=Xeq?f(3,8)ixeq?f(5,8)∣可得

MUI=eq?f(√ΓU,dx∣)=eq?f(3,8)χ-eq?f(5,8)∣xeq?f(5,8)2

MU2=eq?f("U,dx2)=eq?f(5,8)Xeq?f(3,8)1χ-eq?f(3,8)2

于是，有

eq?f(?f(3,8)χ一?f(5,8)∣x?f(5,8)2,?f(5,8)x?f(3⑻∣χ-?f(3,8)2)=eq?f(P∣,P2)

整理得eq?f(3x2,5xι)=eq?f(P∣,P2)

即有X2=eq?f(5P1x∣,3P2)(I)

將式(I)代入約束條件Px∣+P2X2=M,有

P∣X1+P2?eq?f(5P∣x∣,3P2)=M

解得Xeq?o?al(*,∣)=eq?f(3M,8P∣)

代入式⑴得Xeq?o?al(*,2)=eq?f(5M,8P2)。

所以，該消費者關(guān)于兩商品的需求函數(shù)為

eq?b?lc?{?rc?(?a?vs4?al?co1(x?o?al(*,?)=?f(3M,8Pι)

x?o?al(,,2)=?f(5M,8P2)))

8.令某消費者的收入為M,兩商品的價格為Pi、P2o假定該消費者的無差異曲線是線

性的，且斜率為一a。求該消費者的最優(yōu)商品消費組合。

解答：由于無差異曲線是一條直線，且其斜率的絕對值MRSi2=-eq?f(Jx2√Xι)

=a,又由于預(yù)算線總是一條直線，且其斜率為一eq?f(P1,P2)，所以，該消費者的最優(yōu)

商品組合有以下三種情況，其中第一、二種情況屬于邊角解，如圖3—5所示。

第一種情況：當MRSl2>eq?f(P∣,P2)，即a>eq?f(Pl,P2)時，如圖3—5(?)所

示,效用最大化的均衡點E位于橫軸,它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解,即Xeq?o?al(,l)

=eq?f(M,P1),Xeq?o?al(*,2)=0。也就是說，消費者將全部收入都購買商品1,

并由此達到最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該

效用水平高于在既定的預(yù)算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平,例如那些用

虛線表示的無差異曲線的效用水平。

第二種情況：當MRS∣2<eq?f(Pl,P2),即a<eq?f(Pl,P2)時，如圖3—5S)所

示,效用最大化的均衡點E位于縱軸,它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解,即Xeq?o?al(,l)

=0,Xeq?o?al(,2)=eq?f(M,P2)。也就是說，消費者將全部收入都購買商品2,

并由此達到最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該

效用水平高于在既定的預(yù)算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平,例如那些用

虛線表示的無差異曲線的效用水平。

第三種情況：當MRS∣2=eq?f(P∣,P2)，即a=eq?f(P∣,P2)時，如圖3—5(C)所

示，無差異曲線與預(yù)算線重疊，效用最大化的均衡點可以是預(yù)算線上任何一點的商品組合，

即最優(yōu)解為Xeq?o?al(,ι)》0,Xeq?o?al(,2)20,且滿足Pιx∣+P2X2=M0此時

所達到的最大效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出，顯然，該效用水平高于其他

任何一條在既定預(yù)算約束條件下可以實現(xiàn)的用虛線表示的無差異曲線的效用水平。

9.假定某消費者的效用函數(shù)為U=qθs+3M,其中，q為某商品的消費量，M為收入。

求：

(1)該消費者的需求函數(shù)：

(2)該消費者的反需求函數(shù)；

(3)當P=eq?f(l,12),q=4時的消費者剩余。

解答：(1)由題意可得，商品的邊際效用為

MU=eq?f(δU,δq)=0.5q05

貨幣的邊際效用為

λ=eq?f(5U,5M)=3

于是，根據(jù)消費者均衡條件eq?f(MU,p)=λ,有

eq?f(0.5q-05,p)=3

整理得需求函數(shù)為q=eq?f(l,36p2)。

(2)由需求函數(shù)q=eq?f(l,36p2),可得反需求函數(shù)為

P=eq?f(l,6?r(q))

(3)由反需求函數(shù)P=eq?f(l,6?r(q)),可得消費者剩余為

CS=Jeq?o?al(,,o)eq?b?lc?(?rc?)(?a?vs4?al?co1(?f(1,6?r(<?))))dq~pq=eq

?f(l,3)qeq?f(l,2)eq?o?al(9,o)-pq=eq?f(l,3)qeq?f(l,2)—pq

將P=eq?f(l,12),q=4代入上式，則有消費者剩余

CS=eq?f(l,3)×4eq?f(l,2)—eq?f(I,I2)×4=eq?f(l,3)

10.設(shè)某消費者的效用函數(shù)為柯布道格拉斯類型的，即U=Xy,商品X和商品y的價

格分別為Px和Py,消費者的收入為例，α和△為常數(shù)，且α+S=l?

(1)求該消費者關(guān)于商品X和商品y的需求函數(shù)。

(2)證明當商品X和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品

的需求關(guān)系維持不變。

(3)證明消費者效用函數(shù)中的參數(shù)α和￡分別為商品X和商品y的消費支出占消費者收

入的份額。

解答：(1)由消費者的效用函數(shù)u=yyj,算得

als

eq?b?lc??rc?(?a?vs4?al?co?(MUx=?f(?U,?x)=axγ

,,fi

MUy=?f(?U,8y)=βxy~?))

消費者的預(yù)算約束方程為

Pxx+Pvy=M(l)

根據(jù)消費者效用最大化的均衡條件

eq?b?lc?{?rc?(?a?vs4?al?col(?f(Mt∕,v,Λ∕t∕v)=?f(Λ,Λ)

Pxx+Pyy^M))(2)

alβ,y1

得eq?b?lc?{?rc?(?a?vs4?al?co1(?f(<xry,y9xy)=Xf(PvjPv)

Pxx+Pyy=M))(3)

Px

解方程組(3),可得

x=αΛ∕∕Pχ(4)

y=MPy⑸

式(4)和式(5)即為消費者關(guān)于商品X和商品y的需求函數(shù)。

上述需求函數(shù)的圖形如圖3-6所示。

(2)商品X和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例，相當于消費者的預(yù)算線變

為

λPxx+λPyy=λM(6)

其中2為一非零常數(shù)。

此時消費者效用最大化的均衡條件變?yōu)?/p>

eq?b?lc?{?rc?(?a?vs4?al?co1(?f(αxn''yfi,βxayβ~?)≈?f(Λ,Λ)

λPxx+λP^λM))(7)

由于存0,故方程組(7)化為

aβat,

eq?b?lc?{?rc?(?a?vs4?al?col(?f(ax'y,βxy')=?f(Px,Py)

Pxx+Pyy=M))(8)

顯然，方程組(8)就是方程組(3),故其解就是式(4)和式(5)。

這表明，消費者在這種情況下對兩商品的需求關(guān)系維持不變。

(3)由消費者的需求函數(shù)式(4)和式(5),可得

CI=PΛX∕M⑼

β=Pyy∕M(?0)

關(guān)系式(9)的右邊正是商品X的消費支出占消費者收入的份額。關(guān)系式(10)的右邊正是商

品y的消費支出占消費者收入的份額。故結(jié)論被證實。

IL已知某消費者的效用函數(shù)為U=XlX2,兩商品的價格分別為P∣=4,尸2=2,消費者

的收入是M=80。現(xiàn)在假定商品1的價格下降為P=2。

求：(1)由商品1的價格Pl下降所導(dǎo)致的總效應(yīng)，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生

多少變化？

(2)由商品1的價格Pl下降所導(dǎo)致的替代效應(yīng)，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生多

少變化？

(3)由商品1的價格P下降所導(dǎo)致的收入效應(yīng)，使得該消費者對商品1的購買量發(fā)生多

少變化？

解答：利用圖3—7解答此題。在圖3—7中，當P∣=4,P2=2時，消費者的預(yù)算線為

AB,效用最大化的均衡點為或當P=2,P2=2時，消費者的預(yù)算線為AQ,效用最大化的

均衡點為瓦

?B

20

圖3—7

(1)先考慮均衡點a。根據(jù)效用最大化的均衡條件MRSn=eq?f(P1,P2),其中，MRS∣2

=eq?f(MU∣,MU2)=eq?f(X2,X∣)，eq?f(P∣,P2)=eq?f(4,2)=2,于是

有eq?f(X2,X∣)=2,XI=eq?f(l,2)X2。將XI=eq?f(l,2)X2代入預(yù)算約束

等式4Xι+2X2=80,有

4?eq?f(l,2)X2+2X2=80

解得X2=20

進一步得Xl=IO

則最優(yōu)效用水平為

U∣=X∣X2=10×20=200

再考慮均衡點b。當商品1的價格下降為P∣=2時，與上面同理，根據(jù)效用最大化的均

衡條件MRS12=eq?f(P∣,P2),有eq?f(X2,Xι)=eq?f(2,2),X,=X2o將X1

=X2代入預(yù)算約束等式2X∣+2X2=80,解得X∣=20,X2=20o

從a點到b點商品1的數(shù)量變化為∕X∣=20—10=10,這就是Pl變化引起的商品1消

費量變化的總效應(yīng)。

(2)為了分析替代效應(yīng)，作一條平行于預(yù)算線AB，且相切于無差異曲線U1的補償預(yù)算線

FG,切點為C點。

在均衡點C,根據(jù)MRSl2=eq?f(P1,P2)的均衡條件,有eq?f(X2,Xι)=eq?f(2,2)

,Xl=X20將X1=X2代入效用約束等式UI=XlX2=200,解得Xι=14,X2=14(保留整

從a點到C點的商品1的數(shù)量變化為∕X∣=14-10=4,這就是Pl變化引起的商品1消

費量變化的替代效應(yīng)。

(3)至此可得，從C點到b點的商品1的數(shù)量變化為ZIXl=20—14=6,這就是P變化引

起的商品1消費量變化的收入效應(yīng)。當然，由于總效應(yīng)=替代效應(yīng)+收入效應(yīng)，故收入效應(yīng)

也可由總效應(yīng)∕x∣=10減去替代效應(yīng)Z1X1=4得到，仍為6。

12.某消費者是一個風險回避者，他面臨是否參與一場賭博的選擇：如果他參與這場賭

博，他將以5%的概率獲得10OOO元，以95%的概率獲得10元；如果他不參與這場賭博,

他將擁有509.5元。那么，他會參與這場賭博嗎？為什么？

解答：該風險回避的消費者不會參與這場賭博。因為如果該消費者不參與這場賭博，那

么，在無風險條件下，他可擁有一筆確定的貨幣財富量509.5元，其數(shù)額剛好等于風險條件

下的財富量的期望值IoOoOX5%+10x95%=509.5元。由于他是一個風險回避者，所以在他

看來，作為無風險條件下的一筆確定收入509.5元的效用水平，一定大于風險條件下這場賭

博所帶來的期望效用。

13.基數(shù)效用論者是如何推導(dǎo)需求曲線的？

解答：要點如下：

⑴基數(shù)效而論者提出的商品的邊際效用遞減規(guī)律是其推導(dǎo)需求曲線的基礎(chǔ)。他們指出，

在其他條件不變的前提下，隨著消費者對某商品消費數(shù)量的連續(xù)增加，該商品的邊際效用是

遞減的，所以，消費者對每增加一單位商品所愿意支付的最高價格(即需求價格)也是遞減的，

即消費者對該商品的需求曲線是向右下方傾斜的。

(2)在只考慮一種商品的前提下，消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡條件是eq?f(MU,P)

=λ.由此均衡條件出發(fā)，可以計算出需求價格，并推導(dǎo)與理解(1)中的消費者的向右下方

傾斜的需求曲線。

14.用圖說明序數(shù)效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此基礎(chǔ)上對需求曲線的推

導(dǎo)。

解答：要點如下：

(1)本題涉發(fā)的兩個基本分析工具是無差異曲線和預(yù)算線。無差異曲線是用來表示消費

者偏好相同的兩種商品的全部組合的，其斜率的絕對值可以用商品的邊際替代率MRS來表

示。預(yù)算線表示在消費者收入和商品價格給定的條件下，消費者全部收入所能購買到的兩種

商品的全部組合，其斜率為一eq?f(P1,P2)。

(2)消費者效用最大化的均衡點發(fā)生在一條給定的預(yù)算線與無數(shù)條無差異曲線中的一條

相切的切點上，于是，消費者效用最大化的均衡條件為：MRSi2-eq?f(P∣,P2),或者

eq?f(MU1,P∣)=eq?f(MU2,P2)。

(3)在(2)的基礎(chǔ)上進行比較靜態(tài)分析，即令一種商品的價格發(fā)生變化，便可以得到該商

品的價格一消費曲線。價格一消費曲線是在其他條件不變的前提下，與某一種商品的不同價

格水平相聯(lián)系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。如圖3—83)所示。

圖3—8

(4)在(3)的基礎(chǔ)上，將一種商品的不同價格水平和相應(yīng)的最優(yōu)消費量即需求量之間的一

一對應(yīng)關(guān)系描繪在同一坐標平面上，就可以得到需求曲線，如圖3—8(b)所示。顯然有：需

求曲線一般斜率為負，表示商品的價格和需求量成反方向變化；而且，在需求曲線上與每一

價格水平相對應(yīng)的需求量都是可以在該價格水平給消費者帶來最大效用的最優(yōu)消費數(shù)量。

15.分別用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，并進一步說

明這三類物品的需求曲線的特征。

解答：要點如下：

(1)當一種蓍品的價格發(fā)生變化時所引起的該商品需求量的變化可以分解為兩個部分，

它們分別是替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。替代效應(yīng)是指僅考慮商品相對價格變化所導(dǎo)致的該商品需

求量的變化，而不考慮實際收入水平(即效用水平)變化對需求量的影響。收入效應(yīng)則相反，

它僅考慮實際收入水平(即效用水平)變化導(dǎo)致的該商品需求量的變化，而不考慮相對價格變

化對需求量的影響。