高等代數(shù)期末復(fù)習(xí)試題

./數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》期末考試試卷年級(jí)專業(yè)學(xué)號(hào)XX注：考試時(shí)間120分鐘,試卷滿分100分。題號(hào)一二三四五總分簽名得分裝訂線一裝訂線得分閱卷教師一．判斷題〔正確的在題后的括號(hào)內(nèi)打"√"；錯(cuò)誤的在題后的括號(hào)內(nèi)打"×".每小題2分,共18分〕1．向量空間一定含有無(wú)窮多個(gè)向量.<>2．若向量空間的維數(shù),則沒(méi)有真子空間.<>3.維向量空間中由一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣必為可逆矩陣.<>4．線性變換把線性無(wú)關(guān)的向量組映成線性無(wú)關(guān)的向量組.<>5．每一個(gè)線性變換都有本征值.<>6．若向量是線性變換的屬于本征值的本征向量,則由生成的子空間為的不變子空間.<>7．保持向量間夾角不變的線性變換是正交變換.<>8．兩個(gè)復(fù)二次型等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的秩.<>9.若兩個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣均正定,則它們的和也正定.<>二得分閱卷教師二．單項(xiàng)選擇題〔在每小題的四個(gè)備選答案中,選出一個(gè)正確的答案,并將其填在題目的括號(hào)內(nèi).每小題2分,共10分〕1.下列命題不正確的是<>.A.若向量組線性無(wú)關(guān),則它的任意一部分向量所成的向量組也線性無(wú)關(guān)；B.若向量組線性相關(guān),則其中每一個(gè)向量都是其余向量的線性組合；C.若向量組線性無(wú)關(guān),且每一可由向量線性表示,則；D.維向量空間的任意兩個(gè)基彼此等價(jià).2.下列關(guān)于同構(gòu)的命題中,錯(cuò)誤的是<>.A．向量空間的可逆線性變換是到的同構(gòu)映射；B．?dāng)?shù)域上的維向量空間的全體線性變換所成向量空間與數(shù)域上的所有階矩陣所成向量空間同構(gòu)；C．若是數(shù)域上向量空間到的同構(gòu)映射,則是到的同構(gòu)映射；D．向量空間不能與它的某一個(gè)非平凡子空間同構(gòu).3．階矩陣有個(gè)不同的特征根是與對(duì)角矩陣相似的<>.A．充分而非必要條件；B．必要而非充分條件；C．充分必要條件；D.既非充分也非必要條件．4．二次型的矩陣是<>.A．；B．；C．；D．5.實(shí)二次型正定的充分且必要條件是<>.A．；B．秩為3；C．合同于三階單位矩陣；D．對(duì)某一有.三得分閱卷教師三．填空題〔每小題2分,共10分,把答案填在題中橫線上〕1.復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間,它的一個(gè)基是________.2.設(shè)是數(shù)域上元行空間,對(duì)任意,定義,則是一個(gè)線性變換,且的核的維數(shù)等于______.3.若是一個(gè)正交矩陣,則的行列式=________.4.在歐氏空間中向量與的夾角=______.5.實(shí)數(shù)域Ｒ上元二次型可分為_(kāi)______類,屬于同一類的二次型彼此等價(jià),屬于不同類的二次型互不等價(jià).四得分閱卷教師計(jì)算題〔每小題14分,共42分〕1．求齊次線性方程組的解空間的一個(gè)基,再進(jìn)一步實(shí)施正交化,求出規(guī)X正交基．2．設(shè),求的特征根與對(duì)應(yīng)的特征向量.問(wèn)是否可以對(duì)角化？若可以,則求一可逆矩陣,使為對(duì)角形.3．寫出3元二次型的矩陣．試用非奇異的線性變換,將此二次型變?yōu)橹缓兞康钠椒巾?xiàng).五得分閱卷教師五．證明題〔每小題10分,共20分〕1．設(shè)為階矩陣的屬于不同特征根,分別是的屬于的特征向量,證明不是的特征向量.2．設(shè)是維歐氏空間的正交變換,且為單位變換,是關(guān)于的某一規(guī)X正交基的矩陣,證明為對(duì)稱矩陣．?dāng)?shù)學(xué)系《高等代數(shù)》期末考試試卷〔A卷〕年級(jí)專業(yè)學(xué)號(hào)XX注：考試時(shí)間120分鐘,試卷滿分100分。題號(hào)一二三四五總分簽名得分裝訂線一裝訂線得分閱卷教師一．判斷題〔正確的在題后的括號(hào)內(nèi)打"√"；錯(cuò)誤的在題后的括號(hào)內(nèi)打"×".每小題2分,共18分〕1．任意數(shù)域可以看成是它自身上的向量空間.<>2．歐氏空間的兩個(gè)子空間的并還是子空間．<>3.一個(gè)向量組存在兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組,它們所含向量的個(gè)數(shù)不相同.<>4．兩個(gè)向量空間之間的同構(gòu)映射的逆映射還是同構(gòu)映射.<>5．若數(shù)域上的兩個(gè)階矩陣、相似,則、合同.<>6．任何一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣都相似且合同于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣.<>7．兩個(gè)復(fù)二次型等價(jià)的充要條件是它們有相同的秩.<>8．向量空間的可逆線性變換的核是空集.<>9．兩個(gè)階正交矩陣、的和還是正交矩陣.<>二得分閱卷教師二．單項(xiàng)選擇題〔在每小題的四個(gè)備選答案中,選出一個(gè)正確的答案,并將其填在題目的括號(hào)內(nèi).每小題2分,共10分〕1.下列命題正確的是<>.A.線性變換保持向量長(zhǎng)度不變；B.對(duì)稱變換保持向量的內(nèi)積不變；C.正交變換保持向量夾角不變；D.線性變換保持向量的線性無(wú)關(guān)性.2．兩個(gè)n元實(shí)二次型等價(jià)的充要條件是<>.A．它們的秩相等；B．它們的慣性指標(biāo)相等；C．它們的符號(hào)差相同；D．它們有相同的秩和符號(hào)差.3．?dāng)?shù)域F上所有對(duì)稱矩陣的全體關(guān)于矩陣的加法與數(shù)乘所成的向量空間的維數(shù)是<>.A.；B.；C.；D..4.向量空間中的下列變換,只有<>不是的線性變換.A.；B.；C.；D.5．設(shè)是一個(gè)階酉矩陣,則<>.A.的行列式等于；B.的特征根的模為；C.的行列式的模等于或；D.的特征根為或.三得分閱卷教師三．填空題〔每小題2分,共10分,把答案填在題中橫線上〕1.3元實(shí)二次型是正定的,則取值X圍為.2.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,則A為正定的充要條件是.3.向量空間中,向量<1,2,3>在基{<1,1,1>,<0,1,1>,<0,0,1>}下的坐標(biāo)為.4.設(shè)是數(shù)域F上向量空間的線性變換,是的子空間,則是的不變子空間的充分必要條件是．5.在歐氏空間中,柯西-施瓦茨不等式成立,且等式成立：的充要條件是．四得分閱卷教師計(jì)算題〔每小題14分,共42分〕1．求齊次線性方程組的解空間的一個(gè)基,再進(jìn)一步實(shí)施正交化,求出規(guī)X正交基．2．設(shè),求的特征根與對(duì)應(yīng)的特征向量.問(wèn)是否可以對(duì)角化？若可以,則求一可逆矩陣,使為對(duì)角形.3．寫出3元二次型的矩陣．試用