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2023年全國(guó)碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)二》真題及答案
曲線y=x\n(e+占)的斜漸近線方程為(
1.【單項(xiàng)選擇題】
A.y=x+e
B.y=x+l/e
C.y=x
D.y=x-l/e
正確答案:B
知識(shí)點(diǎn):第1章第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)
參考解析:
,/1、
xhi(e+--)
k=lim—=liin-----------"—I=liinln(e+------)=1
x—x—x—x-1
b=lim(y-kx)=lim[.Yln(e+—x]=limx[lii(e+—)-1]
X-^X>.x-^x>X一]X->00X一]
1x1
=limxln[l+---------]=lim---------=—
x*e(x-l)e(x-1)e
所以斜漸進(jìn)方程為y=x+l/e
函數(shù)/(x)=\4+戶”°的一個(gè)原函數(shù)為()
2.【單項(xiàng)選擇題】I(x+Octsz.T>0
F(,)IInx2—xjz40
I(z+1)cosa;—sinT,T>0
In(-1+——工)+i,IW0
{(x+1)cosz-sini:,x>0
(:)|In+12+①),]WO
1(1+1)sinx+cosjr,J:>0
*)fInx/l+x2+H)+1,iW0
dI(i+1)sinz+cos],x>0
正確答案:D
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
當(dāng)0時(shí),定.看2gM
當(dāng)x>0時(shí),J/(x)^=j(X4-1)COSAYIV=j(x+l)<ysinx=(x+l)sinA+cosx+C,
原函數(shù)在(-8,+OO)內(nèi)連續(xù),則在X=0處連續(xù)
所以£=1+G
ln(71+x-+x)+l+C,x<0
(x+l)sinx+cosx+C?x>0
結(jié)合選項(xiàng),貝Uf(x)的一個(gè)原函數(shù)為尸(x)J1n(小M+x)+l,xS°
I(x-t-l)sinx+cosx,x>0
3.【單項(xiàng)選擇題】
已知{工n},{%}滿足:I\=y\=In+1=sini.j/i=yj(n=1.2,-??),則當(dāng)nToc時(shí),(
innn+
A.Xn是Yn的高階無(wú)窮小
B.yn是Xn的高階無(wú)窮小
C.Xn與yn是等價(jià)無(wú)窮小
D.Xn與Yn是同階但不等價(jià)的無(wú)窮小
正確答案:B
知識(shí)點(diǎn):第1章》第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)
參考解析:
22
在IO.jI中,7.<sinx,故與“=sin%
k=5=.<?)"==(分
2K4*4
二>liin&=0
if
故y”是X”的高階無(wú)窮小
4.【單項(xiàng)選擇題】若微分方程y''+ay'+by=O的解在(-°°,+°°)上
有界,則()
A.a<0,b>0
B.a<0,b>0
C.a<0,b>0
D.a<0,b>0
正確答案:C
知識(shí)點(diǎn):第1章》第6節(jié)》第六節(jié)常微分方程
參考解析:
要使微分方程的解在(-8,+8)有界,則a=0,再由△=a?-4b<0,
知b>0.
設(shè)函數(shù)1/=/(工)由(工二彳+胤確定,則()
5.【單項(xiàng)選擇題】=小皿
A.f(x)連續(xù),f'(0)不存在
B.f'(0)連續(xù),f'(x)在x=0處不連續(xù)
C.f'(x)連續(xù),f-(0)不存在
D.f''(0)存在,f'(x)在x=0處不連續(xù)
正確答案:C
知識(shí)點(diǎn):第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)
參考解析:
3fx=3rdvsiiir+rcosf
當(dāng)t>o時(shí),,十=------------
y=tsinrax3
3」fx=,出.
當(dāng)t>o時(shí),,—=-smt-tcost
y=-tsintdx
當(dāng)t=o時(shí),因?yàn)椤?0)=liin/(、)-/⑼=Ihn物U=0
X—0+xr-g3t
/(V)/(0)
Z(0)=lim--=lim^=0
X"Xr"t
所以r(o)=o
smZ+fcosZSmZrcOSf
Em/'(x)=Hm=0=/<0),如/(x)=fan--=0=/(0)
x-?04-r-><Xt-3idr-*0-3
所以,Hm/'(x)=/'(0)=0,即f(x)在x=0連續(xù),
x->0
當(dāng)t=0時(shí),因?yàn)?/p>
夕74rI-sinr+rcosr2
f.(0)=liiii------------=lim-----------=—
ex…3-3r9
,”仆i-/'(x)-/,(0)v-sinr-rcosr
f(0)=Imi-—―、=lun-----------="2
x->0-xt
所以f”(0)不存在
6.【單項(xiàng)選擇題】
,+8i
若函數(shù)〃a)=/7r在a=。。處取得最小值,則的=()
J2^\*nX)
1
In(ln2)
A.
-In(ln2)
B.
1
C,京
In2
D.
正確答案:A
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
00
當(dāng)a>o時(shí)/(a)=r--_rdx=———iI:=
八卜Xlnxr1(lnx)aa2(In2)(
1____1_Inin212_1
所以,1(a)=—a■(—+InIn2)=0
(In2/7(ln2)0a~a(ln2)
1
即%=
lnln2
7.1單項(xiàng)選擇題】設(shè)函數(shù)f(x)=(x?+a)ex,若f(x)沒(méi)有極值點(diǎn),但曲
線y=f(x)有拐點(diǎn),則a的取值范圍是()
A.[0,1)
B.[1,+8)
C.[1,2)
D.[2,+8)
正確答案:C
知識(shí)點(diǎn):第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)
參考解析:
f(x)=(f+a)e3/V)=(x2+2x+crX,/1(x)=(x2+4x+<7+2)eJ
由于f(x)無(wú)極值點(diǎn),所以4-4aWo,即Bl;由于f(x)有拐點(diǎn),所以16-4(d+2)>0,即。<2;綜
上所述a€[1,2)
8.【單項(xiàng)選擇題】
設(shè)AB為n階可逆矩陣,E為"階於位矩陣,M'為矩陣Af的伴隨矩陣.則(7)=()
(|A|B*-B*A*\
A.\。田陽(yáng)J
/|A|B*-A*B*\
B.\。田⑷J
/\B\A*-B*A*\
C,\??谒?
(\B\A*-A*B*\
D.\。⑷牙)
正確答案:D
知識(shí)點(diǎn):第2章》第2節(jié)》第二節(jié)矩陣
參考解析:
結(jié)合伴隨矩陣的核心公式,代人計(jì)算得
'A七丫|B|N*"8*、
源。=\A\\B\E
9\A\B\
9.【單項(xiàng)選擇題】
2
二次型f(xl,x2,x3)=(X1+X2)+(11+工3)2-4(12-二)的規(guī)范形為()
Ayl+yl
口
D.yl-yl
「猶+城一4成
u.
D/+詔一成
正確答案:B
知識(shí)點(diǎn):第2章》第6節(jié)》第六節(jié)二次型
參考解析:
由已知/(國(guó),》)
2,h=-3君-3宕+2再匕+2XJX3+Sx2x3
‘211、
則其對(duì)應(yīng)的矩陣.4=1,34
J4-3,
2—2—1—1
由|花一.4卜-12+3-4=9+7乂2-3)=0,得A的特征值為3,-7,°
-1-42+3
10.【單項(xiàng)選擇題】
/1\/2\/2\/1\
已知向量6=2,02=1A=5,優(yōu)=0,若)既可由6.。2線性表示,
I9/111
H\11
也可由仇必線性表示,則)=()
正確答案:D
知識(shí)點(diǎn):第2章》第3節(jié)》第三節(jié)向量
參考解析:
設(shè)r+x2a2=.11區(qū)+乃百,則x1al+x2a2-y1/3l-y2^2=0
’12-2一訃fl003、
又回a-=21-50^010-1
、31-9-UI。o11>
故(王,、2,九必尸=c(TL-LT)ZeR
所以r=-c&+以4=c(-L—5,-8)T=—。(1,8尸=左QtB)3■,左c&
11.【填空題】
當(dāng)zt0時(shí),函數(shù)/(i)=or+而2+ln(l+工)與g(1)=e,-cosr是等價(jià)無(wú)窮小,則ab
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)
參考解析:
i2i
./(x)Q+&+in(l+x)ax+bx+x--x+o(x)
lim------=lim--------------------------=--------------------------------------------=1
'f'g(x)fe'-COSTl+x*+O(X2)-[l-yX2+O(;,r*)]
可得,a+l=0,b-0.5=1.5,a=-l,b=2,ab=-2
曲線y=f,寸存di的弧長(zhǎng)為_(kāi)____
12.【填空題】)-6
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
v'=V3-x2,由弧長(zhǎng)公式可得
1=J:.Jl+y'dx=J:\l4-x2dx—,-%皿>4cos2tdt
4
=1+cos2tdt-、月+一萬(wàn)
3
13.【填空題】
必
設(shè)函數(shù)rhz確定,則
z=z(x.y)e+xz=2x-y—£
ox(1」)
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第4節(jié)》第四節(jié)微分學(xué)多元函數(shù)
參考解析:
e0+z+x經(jīng)=2
兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo):&&
,&&-d2zdzdzd2z
€~'-----F夕---H-------1----------FX-=
兩邊再同時(shí)對(duì)X求導(dǎo):dxdxdx^dxdxdx^
孑二__3
將x=l,y=l帶入原方程可推出交一2
14.【填空題】
曲線3/=喊+2/在工=1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為一
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)
參考解析:
9x2=5y4-y'+6y2-y'
兩邊對(duì)x求導(dǎo):
當(dāng)x=l時(shí),帶入原方程可得y=l,
將x=l,y=l帶人可得.卜”11
11
所以曲線在x=l處的法線斜率為一§
15.【填空題】
設(shè)連續(xù)函數(shù)/(工)滿足:/(1+2)—/(工)=工,,2/(工)%=0,則
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
ff(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx
=J;+二f。+2)dx
=1/(x)去+£"(x)+幻小
二(/(x)去+//(X)去+卜去
1
2
16.【填空題】
叫+方=1
a011a1
工1+5+方=0有解,其中a,b為常數(shù).若
方程組(1a1=4,則12a
11++?3=0
12aab0
叫+姐=2
我的回答:
正確答案:
知識(shí)點(diǎn):第2章》第1節(jié))第一節(jié)行列式
參考解析:
由已知
r(J)=r(J.Z>)<3<4
14bl=0
即
00111.1h01
|A,b|==—12(7+21a1=0
12ao…._
Me、abQ12a
ab02|r
1a1
L12o=8
咒+b0
17?【解答題】
2
設(shè)曲線L:y=y(X)(x>e)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(e,0),L上任一點(diǎn)P(x,j/)到y(tǒng)軸的距離等于
該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距.
⑴求貝丁);
(2)在L上求一點(diǎn),是該點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形的面積最小,并求此最小面積.
我的回答:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)
參考解析:
(D曲線L在點(diǎn)P(x,y)處的切線方程為Y-y=y(X-x),令X=0,則切線在y軸上的截距為Y=y-x『,
則x=y-xy*,解得,y(x)=x(C-lnx),其中C為任意常數(shù).
又丫皆)=0,則C=2,故y(x)=x(2-lnx).
(II)設(shè)曲線L在點(diǎn)(x,x(2-lnx))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小,此時(shí)切線方程為
r-x(2-hi.v)=(1—111K)(X-X)
故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為
1lxf
S(x)=—AT=—?-----x=------------
221nx-l2(bx-1)
3
x(2tax-3)S(x)=Ox=>
則”2(tax-l);,令,得駐點(diǎn)
3
S(M)=J
將駐點(diǎn)帶入,最小值即為所求
x2
求函數(shù)/(X,y)=比-〃+—的極值.
18?【解答題】2
我的回答:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第4節(jié)》第四節(jié)微分學(xué)多元函數(shù)
參考解析:
/=產(chǎn)』=0,得駐點(diǎn)為:(一-1,而),其中k為奇數(shù);(一巴丘),其中k為
/=xe0,(-siny)=O
偶
則
ew(-sin.v)
.60Vsin,+x/岡(-cosy)
帶入(一。:匕T),其中k為奇數(shù),得AC?<0,故(-€)⑺不是極值點(diǎn);
帶入(一。,后T),其中k為偶數(shù),得AC?>。且A>0,故(一。未了)是極小值點(diǎn),
/(-e,Kr)=-,為極小值
*
19?【解答題】
已知平面區(qū)域D={(x,y)|0(yW菽1薪2,121}.
(1)求D的面積;
(2)求。繞1軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.
我的回答:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
d.(;W丁=m(/+i)
(||)旋轉(zhuǎn)體體積
展『敵在"廣西皆公=]廣6一尋嚴(yán)丫="力
20?【解答題】
設(shè)平面有攀域D位于第一象隊(duì)由曲線人y2』=u+八卬=2與直線y=島,y=0用
成,計(jì)算口南二山也
我的回答:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)
參考解析:
=陽(yáng)外^4^---------J-------;—rdO=f1------------------;—hiJld6
Jo
,二一戶(3cos,。+sin'8)Jo(3cos'e+sin?
[了11^1
=—hi2P----------;---------;—d8=—In2「-------——dtan6
2J0(3+tan*&)cos"02(3+tan~8)
tan0jn
=12"anRA/1?
2百
21?【解答題】
設(shè)函數(shù)/(x)在[—a,@上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明:
(1)若/(0)=0,則存在fW(-。,。),使得/"(f)=i[/(0)+/(-?)];
(2)若/⑶在(一%。)內(nèi)取得極值.則存在"€(-a,o),使得|廣時(shí)|>-L|/(a)-/(-a)|.
我的回答:
知識(shí)點(diǎn):第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)
參考解析:
(l)/(i)-/(0)+/,(0)x+^2xJ=/,(0)i4.£^i2,「介于。和X之間,
△a
則加卜了你+有乙,,0<6<a
/(a)=/(0)o+^2o:,-a<小<0
兩式相加得:
又f"(x)在[qwJ上連續(xù),利用介值定理得:存在r風(fēng)力Ju(-aa),有
=r(n,帶入得O<1/(。)+/(-喇
1Q
(II)
證明:設(shè)f(x)在xo€(dQ)取極值,目f(x)在x=Xo可導(dǎo),則f[Xo)=0,又
/(x)=/(r.)*r(x,Xx-x.)*4P(x-x.);,丫介于。與X之間,
£
則,JQ<Y1<O
£.
,
o<y2<a
從而Ra)-/(Y)H;(aTj/U)Y(a+xJ/
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