全等三角形證明經(jīng)典50題含答案解析

./已知：AB=4,AC=2,D是BC中點,111749AD是整數(shù),求ADAADBC解：延長AD到E,使AD=DE∵D是BC中點∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2已知：D是AB中點,∠ACB=90°,求證：DADABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為平行四邊形又∠ACB=90∴平行四邊形ACBP為矩形∴AB=CP=1/2AB

已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中點,求證：∠1=∠2

ABABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF<邊角邊>∴BF=EF,∠CBF=∠DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF?！摺螦BC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF<∠1=∠2>。已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求證：EF=ACBACDF21E過C作CG∥EF交AD的延長線于點G

CG∥EF,可得,∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC〔對頂角〕

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又,EF∥AB

∴BACDF21E已知：AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求證：∠B=2∠CAA證明：延長AB取點E,使AE＝AC,連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD〔SAS〕∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C已知：AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求證：AE=AD+BE

證明：在AE上取F,使EF＝EB,連接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC〔SAS〕∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE已知：AB=4,AC=2,D是BC中點,AD是整數(shù),求ADAADBC解：延長AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2已知：D是AB中點,∠ACB=90°,求證：DADABC已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中點,求證：∠1=∠2AABCDEF21證明：連接BF和EF?！連C=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF?！嗳切蜝CF全等于三角形EDF<邊角邊>。∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF?！唷螮BF=∠BEF。又∵∠ABC=∠AED?！唷螦BE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF?！嗳切蜛BF和三角形AEF全等?！唷螧AF=∠EAF<∠1=∠2>。已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求證：EF=ACBACDF21E過C作CG∥EF交AD的延長線于點G

CG∥EF,可得,∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC〔對頂角〕

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又EF∥AB

∴BACDF21E已知：AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求證：∠B=2∠CACACDB證明：延長AB取點E,使AE＝AC,連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD〔SAS〕∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C已知：AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求證：AE=AD+BE

在AE上取F,使EF＝EB,連接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC〔SAS〕∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12.如圖,四邊形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD,且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB,連接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE〔SAS〕∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCDCE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE〔AAS〕∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求證：∠F=∠CDDCBAFEAB‖ED,得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,∵∠EAB=∠BDE,∴∠AED=∠ABD,∴四邊形ABDE是平行四邊形。∴得：AE=BD,∵AF=CD,EF=BC,∴三角形AEF全等于三角形DBC,∴∠F=∠C。已知：AB=CD,∠A=∠D,求證：∠B=∠CAABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E,〔當(dāng)AD<BC時,E點是射線BA,CD的交點,當(dāng)AD>BC時,E點是射線AB,DC的交點〕。則：△AED是等腰三角形?！郃E=DE而AB=CD∴BE=CE<等量加等量,或等量減等量〕∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.P是∠BAC平分線AD上一點,AC>AB,求證：PC-PB<AC-ABPPDACB在AC上取點E,

使AE＝AB。

∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE,

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜〔AC－AE〕＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求證：AC-AB=2BE證明：

在AC上取一點D,使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分線,

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴點E一定在直線BD上,

在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD

∴點E也是BD的中點

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE已知,E是AB中點,AF=BD,BD=5,AC=7,求DCFAEDCB∵作AG∥BD交DE延長線于G

∴AGE全等BDE

∴FAEDCB18．如圖,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求證：AD⊥BC．

解：延長AD至BC于點E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形〔邊角邊〕

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂線

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC19．如圖,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B為垂足,AB交OM于點N．求證：∠OAB=∠OBA證明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM〔AAS〕∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON〔SAS〕∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB20．〔5分〕如圖,已知AD∥BC,∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E,CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．做BE的延長線,與AP相交于F點,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均為∠PAB和∠CBA的角平分線∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB為直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE為∠FAB的角平分線∴三角形FAB為等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21．如圖,△ABC中,AD是∠CAB的平分線,且AB=AC+CD,求證：∠C=2∠B延長AC到E

使AE=AC連接ED∵AB=AC+CD∴CD=CE

可得∠B=∠E△CDE為等腰

∠ACB=2∠B22．〔6分〕如圖①,E、F分別為線段AC上的兩個動點,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于點M．〔1〕求證：MB=MD,ME=MF〔2〕當(dāng)E、F兩點移動到如圖②的位置時,其余條件不變,上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

〔1〕連接BE,DF．

∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,

∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∵AF=CE,AB=CD,

∴Rt△DEC≌Rt△BFA〔HL〕,

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD,ME=MF；

〔2〕連接BE,DF．

∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,

∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∵AF=CE,AB=CD,

∴Rt△DEC≌Rt△BFA〔HL〕,

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD,ME=MF．23．已知：如圖,DC∥AB,且DC=AE,E為AB的中點,〔1〕求證：△AED≌△EBC．〔2〕觀看圖前,在不添輔助線的情況下,除△EBC外,請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．〔直接寫出結(jié)果,不要求證明〕：

證明：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE,DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E為AB中點∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC

24．〔7分〕如圖,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,BD的延長線垂直于過C點的直線于E,直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．

證明：

∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四點共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取線段BD的中點G,連接AG,則：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA<同弧上的圓周角相等〕∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE

25、如圖：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。證明：∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF∴△AED≌△BFC〔SAS〕

26、〔10分〕如圖：AE、BC交于點M,F點在AM上,BE∥CF,BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中線.27、〔10分〕如圖：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中點。求證：BD⊥AC。∵△ABD和△BCD的三條邊都相等

∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC28、〔10分〕AB=AC,DB=DC,F是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF在△ABD與△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF與△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、〔12分〕如圖：AB=CD,AE=DF,CE=FB。求證：AF=DE?！逜B=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公園里有一條"Z"字形道路ABCD,如圖所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中點,試說明三只石凳E,F,M恰好在一條直線上.證明：連接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中點

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM〔SAS〕

∴CF=BE

31．已知：點A、F、E、C在同一條直線上,AF＝CE,BE∥DF,BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD〔兩直線平行,內(nèi)錯角相等〕∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF〔SAS〕32.已知：如圖所示,AB＝AD,BC＝DC,E、F分別是DC、BC的中點,求證：AE＝AF。DDBCcAFE連接BD；

∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;兩角相加,∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCE\F是中點

∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。

33．如圖,在四邊形ABCD中,E是AC上的一點,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:∠5=∠6．證明：在△ADC,△ABC中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC〔兩角加一邊〕∵AB=AD,BC=CD在△DEC與△BEC中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD∴△DEC≌△BEC〔兩邊夾一角〕∴∠DEC=∠BEC34．∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB//DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC//EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF〔ASA〕35．已知：如圖,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分別為D、E,BD、CE相交于點F,求證：BE=CD．AACBDEF證明：

∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC〔AAS>

∴BE=CD如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：DE=DF．AEBDCFAEBDCF∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED與∠AFD=90°在△AED與△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD〔AAS〕∴AE=AF在△AEO與△AFO中∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO〔SAS〕

∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF37.已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的長？DDCBAE∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E

根據(jù)三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE,△ABC≌△DAE〔ASA〕∴AD=AB=538．如圖：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分別為E、F,ME=MF。求證：MB=MC證明：

∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF〔AAS〕∴MB=MC．39.如圖,給出五個等量關(guān)系：①②③④⑤．請你以其中兩個為條件,另三個中的一個為結(jié)論,推出一個正確的結(jié)論〔只需寫出一種情況〕,并加以證明．已知：①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA

求證：△DAB≌△CBA

證明：∵AD=BC,∠DAB=∠CBA

又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA40．在△ABC中,,,直線經(jīng)過點,且于,于.<1>當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,求證：①≌②；<2>當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？若成立,請給出證明；若不成立,說明理由.〔1〕

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB,∴CE=AD,CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．〔2〕∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD,CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE41．如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF〔1〕∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF,在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC〔SAS〕,∴EC=BF；〔2〕如圖,根據(jù)〔1〕,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM〔對頂角相等〕,∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF．42．如圖：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求證：〔1〕AM=AN；〔2〕AM⊥AN。證明：〔1〕∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN〔2〕∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE〔邊角邊〕∴FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF∴四邊形BCEF是平行四邊形∴BC‖EF44．如圖,已知AC∥BD,EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA,CD過點E,則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點N,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN

∴AE為公共,

∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE為公共邊

∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45、〔10分〕如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：

∵AD是△ABC的中線BD=CD∵DF=DE〔已知〕∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC則∠EBD=∠FCD∴BE∥C