2023年高考數學之平面向量突破九 平面向量的奔馳定理含解析

2023年高考數學之平面向量專題突破專題九平面向量的奔馳定理

?.奔馳定理

如圖，已知P為AABC內一點，則有SNBe?/+SA用C?油+&*比=0.

BDSAABDS&BPDSSABD-S&BPDS&PAB

證明：如圖，延長A尸與BC邊相交于點則。

DCS&ACDS&CPDSLACD~S^CPDSAPAC'

,：昨癡i跳就,.?pb=.?-p?+?Pt,

-

萬LO?PACI□?PAβO?PΛC∣0?PΛβ

..PDSABPDS>CPDSABPD+S^CPDSAPBC-.?pb^-~?-PA,

PASABPAS^CPAS^BPA÷SΔCPΛS>PAC+S,ABS*PAC+SAPAB

即一<S喘一或=ES償—p?+-?—Pb,：.S"8C?成+S"AC?協+S"AB?死=0?

3?PACIO?PAβO?MC-ΓO?PAβO?PAC-∣*3?PAβ

LIJ于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面

向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.奔馳

定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.

推論：已知P為AABC內一點，J≡lx^+y^+zM=0.(x,y,z∈R,Λ>?Z≠0,x+y+z≠0).則有

(X)SAPBC:S,AC:S△咫B=IXl：∣y∣：∣z∣.

?XS△朋CJS△用8Z

1

5ΔABCx+y+zSΔASCx+y+z'SAABCx+y+z'

【例題選講】

［例IKI)設點。在"BC的內部，且有次+2防+3求=0,貝IJAABC的面積和AAOC的面積之比為

)

53

A.3B.?C.2D.2

答案A解析分別取AC、BC的中點。、E,?,θλ+2O^+3δt^0,ΛθA+θt=-2(O?+θt),

即2歷=一4流，,O是。E的一個三等分點，.??l?=3.

?J?AOC

秒殺根據奔馳定理得，SAABC:SΔAOC=(1+2+3):2=3.

⑵在△的中，。為"BC所在平面內一點，且加=拗+應，則鬻等于（

答案B解析如圖，由點。在AABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點處，從

SABC∕>=(1一廠寸SAABC=

秒殺由病="+標得，成+2協+3求=0,根據奔馳定理得，S"CD：SMBD=I：3.

（3）已知點A,B,C,尸在同一平面內，麗=3可，荻/西萍=W無，則S”80：S“此等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

11IOIO

答案B解析由豚=W效，得成一方=§（曲一麗），整理得成=W或+§麗=§油+g防由砂=

軻得那=g（沌一成），整理得發(fā)=一，e,.?.-∕t=g而+飄整理得4可+6屋+9災=O,根據

奔馳定理得，.?.S"BC:SAPBC=（4+6+9）：4=19：4.

（4）已知點P,Q在AABC內，M+2P?+3^,=2βA+3β?+5βt=0,則幽等于（）

I油

c

Q

------------------------>B

?-30B'3?c'32D'33

答案A解析根據奔馳定理得，SAPBC:S^PAC:SAMB=I：2：3,SAQBC:SAQAC:SGQAB=2：3：5,

I111l

粉Q----

?SAaB=SAQAB=SA56

?Bc53δ?

點為4ABC內一點，若：SABoC：：設為。,次，則實數λ和μ的值

(5)OSΔA0B:SAAoC=432,=9+

分別為()

2442l221

-------

一C

9999

A.夕B.D.

9,9,9,

答案A解析秒殺根據奔馳定理，得3OA+2彷+4。C=0,即3OA+2(θλ+AB)+4(OA+AC)

=0,整理得Ad=意?+京t，故選A.

(6)設點尸在AABC內且為AABC的外心，NBAC=30。，如圖.若APBC,APCA,△/?B的面積分別為

X,y,則x+y的最大值是.

答案坐解析根據奔馳定理得，颯+x4+)屁1=0,即#=2X防+2)網平方得砂=4犬2防2

+4)2反＜≈+8Xyl的?∣無l?cosNBPC,又因為點P是AABC的外心，所以網|=|的=|反］,且NBPC=2NBAC

2

=60。，所以x+V+孫=；,(x+y)2=；+AyW+(g?),解得當且僅當x=y=*時取等號.所

以(x+y)maχ=乎.

【對點訓練】

1.設O是AABC內部一點，且。4+OC=-208,則AAOB與AAOC的面積之比為.

2.設。在AABC的內部，。為AB的中點，且殖+防+2求=0,貝IJAABC的面積與AAOC的面積的比

值為.

3.已知P,Q為AABC中不同的兩點，且3國+2防+用=0,酬+效+愛=0,則SA/M：SAQAB為.

4.已知。為AABC的邊48的中點，M在OC上滿足5AM=AB+3AC,則“8M與AABC的面積比為（）

1r2-3-4

AgB-5C?gDg

5.若M是AABC內一點，且滿足就+病=4俞，則AABM與AACM的面積之比為（）

11ClC

A.2B.?C.4D.2

6.已知。是面積為4的AABC內部一點，且有蘇+加+2歷=0,則AAOC的面積為.

7.已知點。為AABC所在平面上一點，且滿足足）=/屈一,GL若AACQ的面積為1,貝IJAABO的面積為

8.已知點尸是AABC的中位線EF上任意一點，且E/〃BC,實數x,y滿足方+x西+y郎=0,設ZkABC,

APBCLPCA,△以B的面積分別為S,S∣,S2,S3,記］=九,?=12.?=A3,則%力取最大值時,

???

3x+γ的值為（）

13

A.2B.2C.1D.2

專題九平面向量的奔馳定理

1.奔馳定理

如圖，已知尸為AABC內一點，貝IJ有SNBC?國+SAMC?曲+SA陰B?危=0.

證明：如圖，延長AP與BC邊相交于點則。，黑=沁=沁=沁匚沁=沁,

"CO?,ACD'XCPD??ACD—bACPD^?PAC

vpZ)=?+?t,.?.pb=~?—∕?+-?.7?,

萬L力CJAPAC十〉APAB3?PAC^r□?P4B

..PDSABPDS2CPDSABPD+SACPDSAPBC-,:.pb=~.?PA,

PAS^BPAS^CPAS^BPA÷5ΔCEASSAC+S"ABS^PAC÷5ΔPAB

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理這個定理對于利用平面

向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.奔馳

定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.

推論：已知P為AABC內一點，且X可+)廬?+z沌=0.(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0).則有

(X)SAPBC:S^PAC:SA∕?8=∣X∣：Iyl：∣z∣.

??PBCIXIS△附C]ySAMBIZ

S^ABCx÷y+z'S^ABCx+y+z'S^AHCx+y+z*

【例題選講】

[例1](1)設點。在AABC的內部，且有次+2成+3及1=0,貝IJ"BC的面積和MOC的面積之比為

()

53

A.3B.?C.2D.2

答案A解析分別取AC、BC的中點。、E,,.'δλ+2δh+3δt=o,:.oX+ot=~2(ob+ob),

即2歷=-4/，.??。是DE的一個三等分點，.??莫=3?

4A

秒殺根據奔馳定理得，SAABC:SAAoC=(I+2+3):2=3.

(2)在AABC中，。為AABC所在平面內一點，且At)=拗+；公，則部”等于

O^ABD

?-6B-3c?2D.?

答案B解析如圖，由點。在AABC中與AB平行的中位線上,，且在靠近BC邊的三等分點處，從

而有SAABD=2SAABC,SAACD=WSAABC，SA3CD=(1-/一1)SAABC=不44/?:,所以2=;.

O?AffD?

B

秒殺由病=輛+g公得，Dλ+2Db+3Dt=0,根據奔馳定理得，SABC°：SAABo=1：3.

（3）已知點A,B,C,P在同一平面內，P^=^Pk,碇=（砂，吩=融,則SAABC：SAPBC等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

11i-?l?

答案B解析由或=%k得成一通=§（曲一所），整理得沐=5或+］而=yδ+g防由成=

軀：，得那=；（沌一成），整理得成=一3沌，.?.一∕t=T而+,防整理得4可+6防+9反=0,根據

奔馳定理得，.?.SΔΛSC:SA∕>BC=（4+6+9）：4=19：4.

⑷已知點P,Q在?MBC內，成+2肪+3瓦?=2發(fā)+3砂+5發(fā)=0,則囪?等于（）

電I

答案A解析根據奔馳定理得，SAPBC:S^PAC:心雨8=1：2：3,SAQBC:SAQAC:SAQAB=2：3：5,

_1?.I?111

,SAMB=SAQAB=ISAABC,?'?PQ//AB,XVSHPBC—^SLABC一尹ABC，,?一§6-30?

（5）點O為MBC內一點，若S^AOB-SABoC:SAAOC=4：3：2,設A夙，則實數2和〃的值

分別為（）

2442l221

----C----

A.9B.99D.9

9,9,9,9,

答案A解析秒殺根據奔馳定理，得3θλ+2θb+4θt=0,即3次+2（醇+砧）+4（殖+祀）

=0,整理得Ae=拋+料，故選A.

(6)設點P在AABC內且為AABC的外心，ZBAC=30°,如圖.若APBC,?PCA,△/?B的面積分別為

/X,y,則x+y的最大值是.

答案當解析根據奔馳定理得，羽+x彷+通=0,即#=Zr防+2煙，平方得#=4x2/

+4)2市+8xy∣ph??Pt?-cosZBPC,又因為點P是AABC的外心，所以同|=|聞|=|曲，且NBPC=2NBAC

=60。，所以(+犬+孫=],(x+y)2=J+DW]+d)4,解得Oa+y≤申，當且僅當x=y=當時取等號.所

fcTfcτfcι\/JIJ

以(x+y)maχ=乎.

【對點訓練】

1.設O是AABC內部一點，且Q4+OC=-2O8,則AAOB與AAOC的面積之比為.

1.答案\解析設。為AC的中點，連接。。，則eA+比=2仍.又況+比=-2仍，所以帥=一

彷，即。為B力的中點，從而容易得AAOB與AAOC的面積之比為今

秒殺由。4+OC=-2OB,得。4+OC+208=0,根據奔馳定理得，ZiAOB與A40C的面積之比

2.設。在AABC的內部，。為A8的中點，且次+份+2求=0,則AABC的面積與?AOC的面積的比

值為.

2.答案4解析；￡＞為AB的中點，則應)=；(次+兩，又溫+循+2次=0,.?.沆)=一比，二。

為CZ)的中點.又：。為AB的中點，；.SAAOC=;SAAoC=:SAABC,則科里=4.

24??AOC

C

秒殺因為溫+時+2求=。，根據奔馳定理得，葭=4.

3.已知尸，。為MBC中不同的兩點，且3成+2或+元=O,Qλ+Qh+Qb=0,則心校：SAQAB為

3.答案1：2解析因為3可+2屈+反'=2（或+聞）+可+同=0,所以尸在與BC平行的中位線上，

且是該中位線上的一個三等分點，可得SAm8=∣SAABC,或+磅+友=0,可得。是AABC的重心，因

此S40A6=QS"6C,S△/?B：SAQAB=I:2,故選A.

：SMBC=I：

秒殺由3α+2協+由=0,βA+β?+βt=0,根據奔馳定理得，S^PAB：6,S^QABSMBC

=1：3=2：6,所以SAM8：SAEB=I：2,故選A.

4.已知。為AABC的邊AB的中點，M在。C上滿足5磁=翁+3元,則AABM與AABC的面積比為（）

A.1B.IC.D.

4.答案C解析因為。是AB的中點，所以矣=2病，因為5危=油+3公，所以2施—2病=3企

-3AM,即2DM=3>MC,所以5DM^3DM+3MC^3DC,所以加/=|皮,設立①分別是AABM,LABC

的AB邊上的高，所以舞=H=*=器=哽=|.

δabcWABXh2~?DC?

秒殺由5AM=AB+3AC,得加前+3加。，根據奔馳定理得,?=∣-

5.若M是AABC內一點，且滿足就+進=4威L則AABM與AACM的面積之比為（）

A?；B?；C.；D.2

5.答案A解析設AC的中點為￡>,則或+或=2/），于是2前）=4俞,從而應）=2俞，即M為8。

?/出占手曰S&ABMSAABMBM1

的中總，于zeS-仞=2S-MQ一礪=1

秒殺由威+證=4威/,得施+2前+E∕=0,根據奔馳定理得，步幽=）

o^ACML

6.己知。是面積為4的AABC內部一點，且有方+加+2求=0,則AAOC的面積為.

6.答