2023-2024學年廣東省深圳高級中學高三上學期第三次診斷測試數(shù)學試卷及答案

試卷PAGE1試卷深圳市高級中學2024屆高三第三次診斷測試數(shù)學試題（滿分150分，考試時間120分鐘）2024年1月一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結果一定為U的是（）A. B. C. D.2.若復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（）A.的虛部為i B. C. D.3.設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則的值為（）A.－8 B.8 C.6 D.－64.已知，則的值為（）A B. C.1 D.5.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（）A. B. C. D.6.函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（）A. B. C. D.或7設則（）A. B.C. D.8.如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內(nèi)的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多小個合題最需求．全的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.己知一組樣本數(shù)據(jù)，其中為正實數(shù).滿足，下列說法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù)D.樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于8010.已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點F且與拋物線C交于，兩點，其中，且，則（）A.直線l的斜率為 B.C. D.△MON（點O為坐標原點）的面積為611.設數(shù)列前項和為，滿足，且，則下列選項正確是（）A.B.數(shù)列等差數(shù)列C.當時有最大值D.設，則當或時數(shù)列的前項和取最大值12.函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的展開式中．的系數(shù)為80，則m的值為______．14.過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為________.15.如圖，在圓臺中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，,點D是的中點，為平面與平面的交線，則交線與平面所成角的大小為_________．16.第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學中也有一朵英麗的雪花————“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線，重復上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復，直到無窮，形成雪花曲線設雪花曲線周長為，面積為，若的邊長為1，則=_______，_______四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網(wǎng)絡授課，為了檢驗學生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.18.已知數(shù)列滿足.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）設(表示不超過x的最大整數(shù))，求使得成立的最大整數(shù)n的值．19.如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值．20.已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．（1）求的方程；（2）若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．21.如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設為棱的中點，求當幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.22.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若存在兩個極值點，①求a的取值范圍；②當取得最小時，求a的值．深圳市高級中學2024屆高三第三次診斷測試數(shù)學試題（滿分150分，考試時間120分鐘）2024年1月一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結果一定為U的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合間的基本關系及集合的基本運算，借助Venn圖即可求解.【詳解】由得當時，，故選項A不正確；，當時，，故選項B不正確；當時，，故選項C不正確；因為，所以，故選項D正確.故選：D.2.若復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（）A.的虛部為i B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的虛部、模、共軛復數(shù)、復數(shù)運算等知識求得正確答案.【詳解】復數(shù)的虛部為，A選項錯誤.，B選項錯誤.，C選項錯誤.，D選項正確.故選：D3.設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則的值為（）A.－8 B.8 C.6 D.－6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點A，B，D共線，可得存在唯一實數(shù)使，進而可得出答案.【詳解】由已知得，三點A，B，D共線，存在唯一實數(shù)使，，，解得.故選：B.4.已知，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式及誘導公式計算即可.【詳解】因為，所以，，故.故選：C5.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由排列組合知識結合概率公式即可得解.【詳解】因甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，若每個同學可以自由選擇，所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，當分配方案為2，2，1時，共有種不同的選擇方案；當分配方案為3，1，1時，共有種不同的選擇方案；所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為；所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.故選：C.6.函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質，利用周期性和單調(diào)性以及最值求解.【詳解】因為函數(shù)恒有,所以,解得，又因為在，上單調(diào)遞增，所以，且，所以，結合可得的值為或，經(jīng)檢驗，當?shù)闹禐闀r，由,解得，所以在上單調(diào)遞增，滿足題意，當?shù)闹禐闀r，由,解得，所以在上單調(diào)遞增，不滿足題意，故選:A.7設則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)利用導數(shù)研究其單調(diào)性判定大小即可.【詳解】令，則，易知，顯然和時，，即在和上單調(diào)遞減，時，，即在上單調(diào)遞增，易知，且，所以，又，，所以.故選：D8.如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內(nèi)的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，，得到，把BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，證得平面，得到，設與平面的交點為G，連接PG，結合題意，得到點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，根據(jù)圓的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，，則N為的中點，又M為的中點，所以，因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，可得，因為平面，平面，可得，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，且平面，所以平面，則．設與平面的交點為G，連接PG，所以，在直角中，，因為，所以，又由，所以，所以點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多小個合題最需求．全的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.己知一組樣本數(shù)據(jù)，其中為正實數(shù).滿足，下列說法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù)D.樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于80【答案】BCD【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷B，由頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷；由方程計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，由題意存在這樣一種可能，若，則極差為，此時樣本數(shù)據(jù)的極差不變，故B正確；對于C，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，同理，向“左拖”時最高峰偏右，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，故C正確；對于D，由，則，所以，故這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，故D正確.故選：BCD.10.已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點F且與拋物線C交于，兩點，其中，且，則（）A.直線l的斜率為 B.C. D.△MON（點O為坐標原點）的面積為6【答案】BC【解析】【分析】設l方程為，與拋物線方程聯(lián)立結合韋達定理可得，，又如圖可得，據(jù)此可得則，.據(jù)此可判斷AB選項正誤；C選項，由拋物線定義可得；D選項，由圖可得.【詳解】因為，所以點M在第一象限，顯然直線l不與x軸垂直，設直線：，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得：，．做垂直于x軸，則，得，則，.A選項，，則直線斜率為，故A錯誤；B選項，因，則，故B正確；C選項，由拋物線定義，，又，則，故C正確；D選項，由圖有，故D錯誤.故選：BC.11.設數(shù)列前項和為，滿足，且，則下列選項正確的是（）A.B.數(shù)列為等差數(shù)列C.當時有最大值D.設，則當或時數(shù)列的前項和取最大值【答案】ABD【解析】【分析】A選項，根據(jù)求出為等差數(shù)列，公差為，首項為，得到通項公式；B選項，計算出，得到，從而得到，得到B正確；C選項，根據(jù)及二次函數(shù)的最值得到C錯誤；D選項，先得到時，，，，當時，，且，得到結論.【詳解】A選項，當時，，又，解得，當時，①，②，①-②得，，即，故，因為，故，所以，故為等差數(shù)列，公差為，首項為，所以通項公式為，A正確；B選項，，故，則當時，，故為等差數(shù)列，B正確；C選項，，故當時，取得最大值，C錯誤；D選項，令得，令得，則當時，，當時，，當時，，當時，，又，，則當或時數(shù)列的前項和取最大值，D正確.故選：ABD12.函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)的性質，根據(jù)最大值的定義，結合數(shù)形結合思想、指數(shù)與對數(shù)恒等式進行求解即可.【詳解】，當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有，因此選項AB正確，兩個函數(shù)圖象如下圖所示：由數(shù)形結合思想可知：當直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，所以選項D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用數(shù)形結合思想，結合等式是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的展開式中．的系數(shù)為80，則m的值為______．【答案】【解析】【分析】由二項式定理即可得解.【詳解】要產(chǎn)生這一項，只能第一個括號中選且第二個括號中選兩個和三個，否則，若第一個括號中選，要保證有，則第二個括號中選三個和兩個，但的指數(shù)為2，不為4，由題意的系數(shù)為，即，解答.故答案為：.14.過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為________.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的左焦點為，連接，，則，，解得，得到，，得到答案.【詳解】如圖所示：設雙曲線的左焦點為，連接，，，則，四邊形為矩形，.故，，則，，故，.雙曲線的方程為.故答案為：15.如圖，在圓臺中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，,點D是的中點，為平面與平面的交線，則交線與平面所成角的大小為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)中位線的性質與線面平行的判定與性質轉化交線與平面所成角為與平面所成角，根據(jù)線面角定義、線面垂直的判定與性質解三角形即可.【詳解】因為，D分別是，BC的中點，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，因為為直徑，所以，因為，即，又因為平面，平面，所以，平面，所以平面，過點作交于點，因為平面，所以，，，平面，所以平面，所以為交線l與平面所成角，因為，，.所以，結合圖知.故答案為：.16.第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學中也有一朵英麗的雪花————“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線，重復上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復，直到無窮，形成雪花曲線設雪花曲線周長為，面積為，若的邊長為1，則=_______，_______【答案】①.##②.【解析】【分析】利用“科赫雪花”的繪制規(guī)則得出相鄰兩個曲線，后面的邊數(shù)是前面的4倍，而邊長是前面的，且后面的曲線比前面的曲線每邊多出一個正三角形，結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、累加法及求和公式計算即可.【詳解】由題意可知：，，；易知第個圖形的邊長為，邊數(shù)為，故，由累加法得故答案為：；【點睛】思路點睛：根據(jù)制圖規(guī)則得出相鄰兩個曲線邊數(shù)與邊長的關系，即后面的邊數(shù)是前面的4倍，而邊長是前面的，且后面的曲線比前面的曲線每邊多出一個正三角形，利用累加法及等比數(shù)列求和公式計算即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網(wǎng)絡授課，為了檢驗學生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率，再根據(jù)數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1可求出數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120）的頻率；根據(jù)中位數(shù)公式可求出中位數(shù)；（2）先求出數(shù)學成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，再根據(jù)二項分布可求出分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】由直方圖可知，數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為,所以數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因為數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為，數(shù)學成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，所以抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，數(shù)學成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，由題意可知，，的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學期望.18.已知數(shù)列滿足.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）設(表示不超過x的最大整數(shù))，求使得成立的最大整數(shù)n的值．【答案】（1）證明見解析；（2）9【解析】【分析】（1）利用遞推公式化簡結合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用（1）的結論結合定義得出，構造判定其單調(diào)性得出，分類討論并由等差數(shù)列求和公式計算解不等式即可.【小問1詳解】由，所以，且，即是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由上可知，即，記，則，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，且，則時，，所以，即時，，易知，且當時，，所以當時，，當時，.所以滿足條件的最大整數(shù)n的值為9.19.如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關系可求得的值，然后在中，利用正弦定理可求得邊的長；（2）設，則，利用三角形的面積公式可求得的值，然后在、中利用正弦定理，再結合，可求得結果.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，，則，故，則為銳角，所以，，，則，在中，由正弦定理得，，解得．【小問2詳解】解：設，則，，則，即，可得，故，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故，在中，由正弦定理可得，故，因為，所以，.20.已知橢圓左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．（1）求的方程；（2）若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）（2）與的面積之比為定值【解析】【分析】（1）利用橢圓的性質計算即可；（2）利用韋達定理及面積公式計算即可.【小問1詳解】由題意得，即①．當點為的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，所以，即②．聯(lián)立①②，得．故方程為．【小問2詳解】與的面積之比為定值．由（1）可得，由題意設直線．聯(lián)立得，則，，所以．直線方程為，令，得，即．同理可得．故與的面積之比為，即與的面積之比為定值．【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是化積為和，得到，最后得到面積比值表達式，再進行代換即可得到面積比值.21.如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設為棱的中點，求當幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】（1）