《18.2 矩形的性質、矩形的判定》課件（含習題）

18.2.1矩形第十八章平行四邊形第1課時矩形的性質情境引入學習目標1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.2.會證明矩形的性質，會用矩形的性質解決簡單的問題.（重點、難點）3.掌握直角三角形斜邊中線的性質，并會簡單的運用.

（重點）活動:觀察下面的圖形,它們都含有平行四邊形,請把它們全部找出來.問題：上面的平行四邊形有什么共同的特征？導入新課圖片引入講授新課矩形的性質一活動：利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內角變化,請同學們注意觀察.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形思考：矩形與平行四邊形有什么關系呢？活動探究：準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請同學們以小組為單位,測量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數和對角線的長度及夾角度數,并記錄測量結果.（2）根據測量的結果,猜想結論.當矩形的大小不斷變化時,

發(fā)現(xiàn)的結論是否仍然成立？（3）通過測量、觀察和討論,你能得到矩形的特殊性質嗎？ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測量（實物）（形象圖）

矩形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質,但平行四邊形不一定是矩形.歸納矩形集合平行四邊形集合填一填根據上面探究出來結論填在下面橫線上.角：

.對角線：

.ABCD四個角為90°相等O證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形.

∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的對角相等)

AB∥DC(矩形的對邊平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.

又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.證明性質:已知：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相較于點O.求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的對邊相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.1.矩形的四個內角都是直角.2.矩形的對角線相等.性質ABCDO做一做：請同學們拿出準備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考.

（1）矩形是不是中心對稱圖形?如果是,那么對稱中心是什么？（2）矩形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?矩形的性質（除中心對稱外）對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形2條例2如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE

,垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=

DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.直角三角形斜邊上中線二A

B

C

D

O

活動：如圖，一張矩形紙片，沿著對角線剪去一半，你能得到什么結論？BCOA

Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關系？1212BO=BD=AC猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數學證明.OCBAD證明:延長BO至D,

使OD=BO,

連結AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC=90°∴平行四邊形ABCD是矩形∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=

AC?∴BO=BD=AC1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質例1如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線相交于點O,∠AOD=120°,AB=4

,求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=

BD(矩形的對角線相等).

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD, (矩形對角線相互平分) ∴OA=OD.ABCDO典例精析ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個角都是直角）∴BD

=2AB

=

2×4=8.提示：∠AOD=120°→

∠AOB=60°→OA=OB=AB

→

AC=2OA=2×4=8.你還有其他解法嗎？練一練：根據右圖填空已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105當堂練習1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是

()

A.對角線相等B.對邊相等

C.對角相等D.對角線互相平分2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為

()

A.13B.6C.6.5D.不能確定

3.若矩形的一條對角線與一邊的夾角為40°,則兩條對角線相交的銳角是()

A.20°B.40°C.80°D.10°ACC4.如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,

BO=4,求四邊形ABED的面積.ABCDOE（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積= (4+8)×

= .ABCDOE課堂小結矩形的性質具有平行四邊行的一切性質四個內角都是直角，兩條對角線相等軸對稱圖形有兩條對稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半第十八章平行四邊形18.2.1矩形第2課時矩形的判定情境引入學習目標1．理解并掌握矩形的判定定理．（重點）2．能應用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.(難點)導入新課問題引入假如你是做窗框的師傅，你有什么方法檢驗你做的這個窗框是矩形？（直角尺等）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.你還有其它的方法嗎？思考講授新課矩形的判定定理1一活動1:利用一個活動的平行四邊形教具演示,拉動一對不相鄰的頂點時,注意觀察兩條對角線的長度.問題1:我們會看到對角線會隨著∠α變化而變化,當兩條對角線長度相等時,平行四邊形有什么特征？α猜想：當兩條對角線長度相等時,平行四邊形是矩形.已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=

DC,BC

=CB,AC

=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC

=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC

+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD

對角線相等的平行四邊形是矩形.定理

例1如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，典例精析∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.

例2已知：如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOABCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.若變?yōu)椋篍、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點，你會嗎？矩形的判定定理2二活動2:李芳同學通過畫“邊－直角、邊－直角、邊－直角、邊”這樣四步畫出一個四邊形.①②③④問題2:李芳覺得按照以上步驟可以得到一個矩形.你認為她的判斷正確嗎？如果正確,你能證明嗎？已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD

有三個角是直角的四邊形是矩形.定理例3已知：如圖，□

ABCD的四個內角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的角平分線ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=900當堂練習1.下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）對角線相等的四邊形是矩形；（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個角是直角的四邊形是矩形；（6）四個角都相等的四邊形是矩形；（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；（4）有三個角都相等的四邊形是矩形;××××√√√√（8）一組對角互補的平行四邊形是矩形；2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的角平分線,則四邊形ABCD是（）

A.菱形B.平行四邊形C.矩形 D.不能確定DEFMNQPABCC3.如圖ABCD中,∠1=∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？ABCDO12