2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國通用）專題35 最值問題篇（原卷版+解析）

專題35最值問題考點(diǎn)一：利用對稱求最值問題知識回顧知識回顧問題如圖①:如圖存在直線I以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,直線L上存在一點(diǎn)M,使得MP+MQ的值最小。P1解題步驟：①從問題中確定定點(diǎn)與動②作其中一個定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。通常于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)存在，找出即可。③連接對稱點(diǎn)與另一個定點(diǎn)。與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即是動點(diǎn)的位置。然后解題。如圖②:如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P,角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B,使得△PAB的周長最小。ONM0BANPMP’如圖③:如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q角的兩邊上分別存A0BDA0NCQB題題題題微專題微專題1.(2023·德州)如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E在BC上，CE=2.點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是()2.(2023·資陽)如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn).若AB=4,則AE+OE的最小值是()則MA+MF的最小值為()4.(2023·廣安)如圖，菱形ABCD的邊長為2,點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是()5.(2023·赤峰)如圖，菱形ABCD,點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上.∠ABC=120°,點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動點(diǎn)，則PD+PE的最小值是()A.3B.56.(2023·安順)已知正方形ABCD的邊長為4,E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG⊥AF,交AF于點(diǎn)H,交BF于點(diǎn)G,N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動點(diǎn)，分別連接MC,MN.若則MC+MN的最小值為7.(2023·內(nèi)江)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=4,點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動點(diǎn)，EF//BC,則AF+CE的最小值是8.(2023·賀州)如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)P是線段DG上的一個動點(diǎn)，則△PEF的周長最小值為9.(2023·婁底)菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=45°,小值為10.(2023·眉山)如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對角線AC第10題上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE,PB,若第11題11.(2023·濱州)如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10.若點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF第12題第13題DE=di,點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為dz、d3,則di+dz+d?的最小值為()A.√2B.2C.2√214.(2023·安徽)已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面積分別記為So,Si,S?,S3.若Sl+S?+S3=2So,則線段OP長的最小值是()日1.解題思路：通過確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。2.確定圓心的方法：方法①:到定點(diǎn)的距離等于定長確定圓心。通常存在線段旋轉(zhuǎn)。方法②:直徑所對的圓周角等于90°。找90°的角所對直線的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個角相等。15.(2023·泰安)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM=∠BAP,則BM的最小值為()Ac.16.(2023·黃石)如圖，等邊△ABC中，AB=10,點(diǎn)E為高AD上的一動點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF,連接DF,CF,則∠BCF=,FB+FD的最小值為第16題 . 第17題17.(2023·柳州)如圖，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個動點(diǎn)，且EG=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接CF,則線段CF長的最小值為18.(2023·無錫)△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F,如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°,則∠BAF=°;現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是專題35考點(diǎn)一：利用對稱求最值問題最值問題知識回顧知識回顧問題如圖①:如圖，存在直線l以及直線外的線1上存在一點(diǎn)M,使得MP+MQ的值最小。稱①從問題中確定定②作其中一個定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)。通常情況下其中一個定點(diǎn)的關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)存在，找出即可。③連接對稱點(diǎn)與另題。如圖②:如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P,角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B,使得△PAB的周長最小。ONM0BANPM如圖③:如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的A0BDM0NCAQB1.(2023·德州)如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E在BC上，CE=2.點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是()MC的值，從而找出其最小值求解.【解答】解：如圖，連接AE交BD于∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE=BC-CE=6-2=4,2.(2023·資陽)如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn).若AB=4,則AE+OE的最小值是()【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需稱點(diǎn)A',再連接A'O,運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段AO的長度即可【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A',連接A'O,其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,再作OF⊥AB交AB于點(diǎn)F,當(dāng)且僅當(dāng)A',O,E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE=A'E+OE=A'O,∵正方形ABCD,點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，3.(2023·菏澤)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°,M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，CF=BF,則MA+MF的最小值為()A.1B.√2【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長度，根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長度即【解答】解：當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時，即當(dāng)M點(diǎn)位于M’時，MA+MF的值最小，由菱形的性質(zhì)可知，AB=BC,∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB=2,4.(2023·廣安)如圖，菱形ABCD的邊長為2,點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是()A.2B.√3【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T,連接PT,FT.首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD=FT=2,再證明PE+PF=PT+PF,由PF+PT≥FT=2,可得結(jié)論.【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T,連接PT,FT.∴CD//AB,CD=AB,∴PE+PF的最小值為2.5.(2023·赤峰)如圖，菱形ABCD,點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上.∠ABC=120°,點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動點(diǎn)，則PD+PE的最小值是()此時PD+PE有最小值，求出此時的最小值即可.【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E,∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°,點(diǎn)A(-3,0即PD+PE的最小值是3,6.(2023·安順)已知正方形ABCD的邊長為4,E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG⊥AF,交AF于點(diǎn)H,交BF