數(shù)學建?？傊v義

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h數(shù)學實驗及數(shù)學建模教程根底部數(shù)學教研室自編講義2010年6月目錄第一章Lingo模型 21.1Lingo簡介 21.2Lingo高級 31.3lingo模型練習 71.4Lingo源程序 21第二章matlab軟件 342.1矩陣的建立和根本運算 342.2多項式和線性方程組的求解 382.3符號運算 442.4二維繪圖 502.5微積分根本運算 562.6非線性方程和常微分方程的解法 652.7三維繪圖 742.8曲線擬合與插值運算 792.9優(yōu)化問題 822.10數(shù)據(jù)的根本統(tǒng)計分析 862.11Matlab模型 892.12Matlab源程序 104第三章數(shù)學建模簡介及案例分析 1173.1數(shù)學建模簡介 1173.2搶渡長江的另一種數(shù)學模型 1213.3DVD在線租賃 1273.4煤矸石堆積問題 1673.5雨量預報方法的評價 1723.6雨量預報方法的評價模型 173

第一章Lingo模型1.1Lingo簡介目標函數(shù)一個函數(shù)解析式,你希望求它的最大或最小值max=函數(shù)解析式;或min=函數(shù)解析式;例:max=3*b+2*c^2;min=b^(1/3)-c*k;Lingo的語句以;號結(jié)束.2.運算加(+),減(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)3.變量用字母或字母數(shù)字的組合表示例:a,b,cc1,x1.Lingo的變量缺省值為非負數(shù)4.限制條件一組等式或不等式Lingo的>,<與>=,<=等價范例程序1:min=3*x1+5*x2;!x1,x2是變量;Lingo的注釋語句用!開頭用;結(jié)束;3*x1+2*x2>=36;3*x1+5*x2>=45;5.變量類型@bin(變量名);限制該變量為0或1.@bnd(a,變量名,b)限制該變量介于a,b之間.@free(變量名)允許該變量為負數(shù).@gin(變量名)限制該變量為整數(shù).

1.2Lingo高級連續(xù)六個月的產(chǎn)量,可以用x1,x2,x3,x4,x5,x6表示,但十二個月的產(chǎn)量用同樣的方法表示就顯繁瑣.Lingo可以通過sets語句設(shè)置數(shù)組功能使問題變得簡介:以十二個月的產(chǎn)量為例:sets:r/1..12/:x;!r是組的類型名,x數(shù)組名;endsets;這樣就定義了數(shù)組x,有x(1),x(2),x(3),x(4)…x(12)個成員;sets語句以sets開頭,endsets結(jié)束范例程序2:sets:mat/1..4/:x;!mat是組的類型名,x數(shù)組名;endsetsmin=50*x(1)+20*x(2)+30*x(3)+80*x(4);400*x(1)+200*x(2)+150*x(3)+500*x(4)>=500;3*x(1)+2*x(2)>=6;2*x(1)+2*x(2)+4*x(3)+4*x(4)>=10;2*x(1)+4*x(2)+x(3)+5*x(4)>=8;有時,我們要用到常數(shù)數(shù)組,比方在400*x(1)+200*x(2)+150*x(3)+500*x(4)>=500中,x(1),x(2),x(3),x(4)的系數(shù)400200150500;此時,可用data語句;例:sets:l/1..4/:a,x;endsetsdata:a=7239;enddatadata語句是以data開頭,enddata結(jié)尾.這樣就定義了數(shù)組a,其中a(1)=7,a(2)=2,a(3)=3,a(4)=9.范例程序3:sets:l/1..4/:x,a;endsetsdata:a=7239;!a(1)=7,a(2)=2,a(3)=3,a(4)=9;enddatamax=x(1)*a(3)+x(2)*a(1)+x(3)*a(4)+x(4)*a(2);x(1)+x(4)-x(2)-x(3)<a(1);x(4)+2*x(2)<a(4);x(1)+x(3)<a(1);Lingo含有一些針對數(shù)組的命令,方便了數(shù)組的使用@for循環(huán)語句:@for(數(shù)組類型名(i):循環(huán)的語句);范例程序4:sets:r/1..5/:a,b;endsetsdata:a=3.34.62.77.110.3;enddatamax=a(1)*b(1)-a(2)*b(2)+a(3)*b(3)-a(4)*b(4);@for(r(i):b(i)<a(i));!等價于b(1)<a(1),b(2)<a(2),b(3)<a(3),b(4)<a(4);@for(r(i):@gin(b(i)));!等價于@gin(b(1));@gin(b(2));@gin(b(3));@gin(b(4));@sum語句:@sum(數(shù)組類型名(i):含數(shù)組名(i)的語句);范例程序5:sets:r/1..5/:a,b;endsetsdata:a=3.34.62.77.110.3;enddatamax=@sum(r(i):b(i))+@sum(r(i):b(i)/a(i))+@sum(r(i):b(i)*a(i));!等價于max=b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+b(1)/a(1)+b(2)/a(2)+b(3)/a(3)+b(4)/a(4);@for(r(i):b(i)<a(i));!等價于b(1)<a(1),b(2)<a(2),b(3)<a(3),b(4)<a(4);@for(r(i):@gin(b(i)));例如程序6:sets:m/1..4/:x,need,g,y;endsetsdata:need=40002000300010000;enddatamin=30000*@sum(m(i):x(i))+30*@sum(m(i):g(i));g(1)=600+y(1)*(x(2)+x(3)+x(4))-need(1);g(2)=g(1)+y(2)*(@sum(m(i):x(i))-x(2))-need(2);!@sum(m(i):x(i))-x(2)等價于x(1)+x(3)+x(4);g(3)=g(2)+y(3)*(@sum(m(i):x(i))-x(3))-need(3);g(4)=g(3)+y(4)*(@sum(m(i):x(i))-x(4))-need(4);@gin(y(1));@for(m(i):@gin(x(i));@bnd(10,y(i),500));sets語句還可以定義矩陣m×n矩陣就是m行,n列的數(shù).x=234567892347821;x是一3×5的矩陣,x(1,2)調(diào)用第一行第二列的數(shù)3.下面舉一定義4×5矩陣的例子Sets:r/1..4/;c/1..5/;m(r,c):x;!r,行數(shù),c,列數(shù),m,4×5矩陣的類型名,x,矩陣名;endsetsdata語句用于矩陣;data:x=2567563187910;enddata@sum語句用于矩陣@sum(m(i,j):x(i,j)):表示x(1,1)+x(1,2)+x(1,3)+x(2,1)+x(2,2)+x(2,3)+x(3,1)+x(3,2)+x(3,3);@sum(m(1,j):x(1,j))<40;!對x的第一行求和;@sum(m(i,3):x(i,3))<40;!對x的第三列求和;@for(r(i):@sum(m(i,j):x(i,j))<50);!對x的每一行求和;@for(c(j):@sum(m(i,j):x(i,j))<50);!對x的每一列求和;@for循環(huán)語句可用于矩陣,@for(m(i,j):@gin(x(i,j)));表示所有的x(i,j)為整數(shù).例如程序7:sets:r/1..3/:s;c/1..4/:pr,pd;m(r,c):x;!定義一3×4矩陣;endsetsdata:s=750250400;pr=2345;x=15106216101458139;enddatamax=@sum(c(i):pr(i)*pd(i)@for(r(i):@sum(c(j):x(i,j)*pd(j)/16)<=s(i));!@for(r(i):@sum(m(i,j):x(i,j)*pd(j)/16)<=s(i))等價于:x(1,1)*pd(1)/16+x(1,2)*pd(2)/16+x(1,3)*pd(3)/16+x(1,4)*pd(4)/16<s(1);x(2,1)*pd(1)/16+x(2,2)*pd(2)/16+x(2,3)*pd(3)/16+x(2,4)*pd(4)/16<s(2);x(3,1)*pd(1)/16+x(3,2)*pd(2)/16+x(3,3)*pd(3)/16+x(3,4)*pd(4)/16<s(3);x(4,1)*pd(1)/16+x(4,2)*pd(2)/16+x(4,3)*pd(3)/16+x(4,4)*pd(4)/16<s(4);例如程序8:sets:l/1..4/;m(l,l):a,x;endsetsdata:a=54545153515752525053545656545553;enddatamin=@sum(m(i,j):a(i,j)*x(i,j));@for(l(i):@sum(l(j):x(i,j))=1;@sum(l(j):x(j,i))=1);!@sum(l(j):x(i,j))=1,每一行的和為1;@sum(l(j):x(j,i))=1,每一列的和為1;@for(m(i,j):@bin(x(i,j)));(OVER)1.3lingo模型練習1.我的食譜由四種食品組成:,果仁巧克力,冰淇淋,可樂,奶酪.一塊果仁巧克力價格為50美分,一杯冰淇淋價格為20美分,一瓶可樂價格為30美分,一快奶酪價格為80美分.我每天的營養(yǎng)最低需求:500卡路里,6盎司巧克力,10盎司糖,8盎司脂肪.四種食品的營養(yǎng)成分如下表:卡路里巧克力(盎司)糖(盎司)脂肪(盎司)果仁巧克力(塊)400322巧克力冰淇淋(杯)200224可樂(瓶)150041奶酪(塊)500045試列出一份最節(jié)儉的食譜〔講評〕師：該問題的目標是什么？生：食譜中飲食的本錢最低師：限制條件？生：滿足每天卡路里，巧克力，糖，脂肪的最低需求師：選擇哪些變量?生：果仁巧克力,冰淇淋,可樂,奶酪的數(shù)量(參考模型:lingo-LP1.lg4)討論：如果巧克力冰淇淋的價格變?yōu)樵瓉淼膬杀叮匙V將如何改動？練習：1.1.你決意生產(chǎn)兩種糖果:硬糖和軟糖,糖果僅由糖,堅果,和巧克力制成.你現(xiàn)在有100盎司糖,20盎司堅果,30盎司巧克力.軟糖須含有至少20%的堅果.硬糖須含有至少10%的堅果和10%的巧克力.一盎司的軟糖售價為25美分,一盎司的硬糖售價為20美分.試安排生產(chǎn)方案(參考模型:lingo-LP1－1.lg4)1.2.某公司生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品,售價分別為:A,$10;B,$56;C,$100.生產(chǎn)一單位A,需1小時的勞力;生產(chǎn)一單位B,需2小時的勞力加上2單位的A;生產(chǎn)一單位C,需3小時的勞力加上1單位的B.現(xiàn)有40小時的勞力,試安排生產(chǎn)方案.(參考模型:lingo-LP1－2.lg4)2.Donovan公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品.明年四季度的需求(須按時交貨):季度1,4000件;季度2,2000件;季度3,3000件;季度4,10000件;公司員工每年有一個季度休假,每個員工年薪為$30,000,每季度最多可生產(chǎn)500件產(chǎn)品.每個季度末公司須為每件存貨付存儲費$30.公司現(xiàn)有600件產(chǎn)品,如何安排明年的生產(chǎn)?〔講評〕師：該問題的目標是什么？生：員工年薪與存儲費總和最低師：限制條件？生：每季度初的庫存與該季度生產(chǎn)量的和須滿足該季度的需求師：如何表示員工總數(shù)?生甲：各季度上班的員工x(1),x(2)，x(3),x(4)總和生乙：甲的總和是員工總數(shù)的3倍，因為每個員工工作3個季度。師：如何表示存儲費?生：設(shè)計每季度末的庫存變量師：如何表示每季度的產(chǎn)量?生：設(shè)計每季度每個員工的實際產(chǎn)量變量(參考模型:lingo-LP2.lg4)討論：假設(shè)每個季度上班員工數(shù)目相同，員工年薪與存儲費總和將如何變化？練習：2.1.某公司須完成如下交貨任務:季度1,30件;季度2,20件;季度3,40件;每季度正常上班時間至多可生產(chǎn)27件,單位本錢$40,加班時間的單位生產(chǎn)本錢為$60.產(chǎn)品不合格率為20%,每季度剩下的合格產(chǎn)品(在存貨時)中有10%被破壞,單位存貨費為$15.現(xiàn)有20件合格產(chǎn)品,如何安排3季度的的生產(chǎn)?(參考模型:lingo-LP2－1.lg4)3.某郵局每天需一定數(shù)量的全職員工:星期一,17;星期二,13;星期三,15;星期四,19;星期五,14;星期六,16;星期日,11.全職員工連續(xù)工作5天后休息2天.郵局須雇用多少全職員工?〔講評〕師：問題中如何設(shè)置變量？生甲：該問題跟模型2有點相似，將員工分為7種，分別為星期一開始上班〔休假結(jié)束〕，星期二開始上班，．．．星期日上班，對應人數(shù)分別為x(1),x(2),…x(7),這樣星期一來上班的人數(shù)為：x(1)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7).(參考模型:lingo-LP3(1).lg4)討論：假設(shè)郵局可要求員工加一天班,員工正常工作日薪為$50,加班工作日薪為$62.試定一最省錢的人事安排方案.(參考模型:lingo-LP3(2).lg4)練習：3.1.GothamCityNationalBank每周一至周五的9:00—17:00營業(yè).銀行對信貸員的需求量如下表:時間段:9-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-17信貸員需求量43465688銀行雇用兩種信貸員:全職信貸員(工作時間:9:00—17:00,除去11:00-12:00或12:00—13:00的中餐時間),時薪為$8(含中餐時間);兼職信貸員,工作時間為連續(xù)3小時,時薪為$5.試定一最省錢的信貸員雇用方案.每天兼職信貸員總數(shù)不超過5個.(參考模型:lingo-LP3－1.lg4)4.AlexisCornby靠買賣谷子為生.年初,他有50噸谷子和$10000,每月初他可以以下價格買進谷子:一月,$300;二月,$350;三月,$400;四月,$500;每月末他可以以下價格賣出谷子:一月,$350;二月,$450;三月,$350;四月,$550;Alexis的谷子存放于它的倉庫內(nèi)(倉庫容量為100噸).他買谷子時須付現(xiàn)金.試設(shè)計買賣方案.討論：假設(shè)買谷子的錢可延期一個月付款，買賣方案將發(fā)生何種變化？(參考模型:lingo-LP4.lg4)5.有一塊長為120厘米,寬為90厘米的矩形薄鐵皮材料,現(xiàn)要剪一個長方體的展開圖,做一個長方體模型.求長方體體積的最大值.〔講評〕師：設(shè)a,b,c分別是長方體的長，寬，高，a,b,c須滿足什么條件?生甲：2a+b<120及2a+2c<90生乙：也可以是2a+b<90及2a+2c<120。師：試試看哪種情況體積大?討論：在體積最大的前提下，哪種情況鐵皮利用率大？(參考模型:lingo-LP5.lg4)練習5.1.如圖,P,Q到河岸的距離分別為10,8,試選一點R,使得R到河岸的距離及RP,RQ的和最小.PQR6(參考模型:lingo-LP5－1.lg4)6.某工廠在方案內(nèi)擬生產(chǎn)I,II兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及A,B兩種原材料的消耗如下表:III總量設(shè)備(臺時)3436原材料A(kg)0212原材料B(kg)108該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品I可獲利3百元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品II可獲利5百元,應如何安排生產(chǎn)?假設(shè)該工廠決定不生產(chǎn),而將上述資源出租,問總租金應為多少?〔講評〕師：問題〔2〕是相對于問題〔1〕的影子價格問題，運行l(wèi)ingo-LP6.lg4后，在solutionreport中的dualcost欄中顯示。我們不妨假設(shè)，原材料A的單價為a百元/公斤，原材料B的單價為b百元/公斤，設(shè)備費為c百元/臺時。因為3臺時設(shè)備和1公斤原料B可生產(chǎn)一件產(chǎn)品I,等價于可獲利3百元，所以，3*c+b>3,同理，4*c+2*a>5.但是作為承租方希望總租金最少：min=36*c+12*a+8*b.討論：假設(shè)增加1公斤原材料Ａ，總獲利增加多少？假設(shè)市場上有x公斤的原材料出售，你愿以何種價格收購？(參考模型:lingo-LP6.lg4)7.DocCouncilman正組建一支400米混合泳(自由泳,仰泳,蝶泳,蛙泳)接力隊,有四位泳將,GARYHALL,MARKSPITZ,JIMMONTGOMERY,CHETJASTREMSKI,他們四項游泳工程成績?nèi)缦卤?DocCouncilman應如何安排四位泳將的接力工程?單位:秒自由泳蛙泳蝶泳仰泳GARYHALL54545153MARKSPITZ51575252JIMMONTGOMERY50535456CHETJASTREMSKI56545553〔講評〕師：問題的目標是什么？生甲：接力賽成績最好師：限制條件是什么？生乙：每人只能參加一項，每項都須有人參加。師：如何表示這種限制條件?生甲：設(shè)置一個4×4的選擇矩陣〔每個元素只能是1或0〕，矩陣每行每列的和均為1師：如何表示接力賽成績？生乙：甲設(shè)的矩陣與成績矩陣點乘〔對應元素相乘〕后對所有元素求和(參考模型:lingo-LP7.lg4)8.四項工作指派給五個員工(每項工作只能由一人單獨完成),每人完成各項工作耗時如下表,如何指派使得完成四項工作總耗時最少?工作1工作2工作3工作4員工122183018員工218-2722員工326202828員工41622-14員工521-2528(注:橫線表該員工不宜完成該項工作)〔講評〕師：碰到橫線怎么辦？生：設(shè)成很大的數(shù)師：5個人4項工作如何表示？生：每列的和為1〔工作須有人做〕，每行的和小于或等于1〔有時機不做〕(參考模型:lingo-LP8.lg4)9.森林具有6年的生長期,我們把森林中的樹木按照高度分為6類,第一類樹木的高度為[0,h1],它是樹木的幼苗,其經(jīng)濟價值為p1=0,第k類樹木的高度為[h(k-1),h(k)],每一棵經(jīng)濟價值為p(k),第六類樹木的高度為[h5,∞],經(jīng)濟價值為p6.設(shè)每年對森林砍伐一次,且為了維持每年都有穩(wěn)定的收獲,只能砍伐局部樹木,留下的樹木和補種的幼苗,經(jīng)過一年的生長期后,應該與上一次砍伐前的高度狀態(tài)一致.再假設(shè)在一年的生長期內(nèi)樹木最多只能生長一個高度級,即第k類的樹木可能進入k+1類(比例為g(k)),也可能停留在k類中.設(shè)g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元,p3=100元,p4=150元,p5=200元,p6=250元.求出對其進行最優(yōu)采伐的策略.〔講評〕師：如何描述砍伐前后森林高度狀態(tài)的變化？生：設(shè)森林的總面積為1，6類高度樹木分別為x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),被砍掉的面積分別為y(1),y(2),y(3),y(4),y(5),y(6).x(1)先變?yōu)閤(1)-y(1),由于補種樹苗的原因，x(1)變?yōu)閤(1)-y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6)),最后由于樹木生長原因，x(1)變?yōu)?1－g1)×(x(1)-y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6))).x(2)先變?yōu)閤(2)-y(2)，后由于樹木生長原因x(2)變?yōu)?1－g2)×〔x(2)-y(2)〕+g1×(x(1)－y(1)+(y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6)))。同理，x(3)=(1-g3)×(x(3)-y(3))+g2*(x(2)-y(2)),…x(6)=(x(6)-y(6))+g5*(x(5)-y(5))討論：修改p2,p3,p4,p5,p6,g1,g2,g3,g4,g5的值，看看砍伐策略的變化情況．(參考模型:lingo-LP9.lg4)10.Chicago教育委員會為該城市的四條學生公交線路招標.四家公司做出如下竟標:線路1線路2線路3線路4公司140005000--公司2-4000-4000公司33000-2000-公司4--40005000(a)假設(shè)每位竟標者至多可分配到一條線路,問委員會將如何招標?(參考模型:lingo-LP10a.lg4)(b)假設(shè)每位竟標者至多可分配到兩條線路,問委員會將如何招標?(參考模型:lingo-LP10b.lg4)11.福特在L.A.和Detroit生產(chǎn)汽車,在Atlanta有一倉庫,供給點為Houston和Tampa;城市間每輛汽車運輸費用見下表.L.A.的生產(chǎn)能力為1100輛,Detroit的生產(chǎn)能力為2900輛.Houston汽車需求量為2400輛,Tampa汽車需求量為1500輛,L.ADETROITATLANTAHOUSTONTAMPAL.A.014010090225DETROIT1450111110119ATLANTA105115011378HOUSTON891091210-TAMPA21011782-0如何確定運輸和生產(chǎn)方案,才能滿足Houston和Tempa的需求且費用最低.〔講評〕師：這個問題是否很簡單？生甲：這是一個從L.A.和Detroit到Houston和Tampa城市間的汽車運輸問題，倉庫Atlanta完全多余生乙：倉庫Atlanta可降低運費，例如，從L.A.經(jīng)過Atlanta到達Tampa比從L.A.直接到達Tampa廉價師：這是運輸問題中的轉(zhuǎn)運問題，任何一個地點都可以輸入也可以輸出。生產(chǎn)點〔L.A.和Detroit〕，倉庫〔Atlanta〕，需求點〔Houston和Tampa〕的輸入和輸出須滿足什么條件？生：生產(chǎn)點，輸入減輸出等于產(chǎn)量；倉庫，輸入等于輸出；需求點，輸出減輸入等于需求量。(參考模型:lingo-LP11.lg4)12.設(shè)有三個化肥廠供給四個地區(qū)的農(nóng)用化肥.假定等量的化肥在這些地區(qū)使用效果相同.各化肥廠年產(chǎn)量,各地區(qū)年需要量及從各化肥廠到各地區(qū)運送單位化肥的運價(萬元/萬噸)如下表所示.試求出總的運費最省的化肥調(diào)撥方案.需求地區(qū)化肥廠IIIIIIIV產(chǎn)量(萬噸)A1613221750B1413191560C192023禁止50最低需求(萬噸)3070010最高需求(萬噸)507030不限〔講評〕師：地區(qū)IV最高需求為不限，是不是無限大的意思？生甲：是的生乙：不是，地區(qū)IV最多可得到〔50+50+60〕〔總產(chǎn)量〕-〔70+30〕〔其它地區(qū)最小需求〕＝60(參考模型:lingo-LP12.lg4)13.某航運公司承當6個港口城市A,B,C,D,E,F的四條固定航線的物資運輸任務.各條航線的起點,終點城市及每天航班數(shù)見下表:航線起點城市終點城市每天航班數(shù)1ED32BC23AF14DB1假定各條航線使用相同型號的船只,由各城市間的航程天數(shù)見下表:到從ABCDEFA0121477B1031388C23015557851703F7852030又知每條船只每次裝卸貨物的時間各需1天,那么該航運公司至少應配備多少條船,才能滿足所有航線的運貨要求.〔講評〕師：假設(shè)城市x(起點),y〔終點〕間航程為4天，每條船只每次裝卸貨物的時間各需1天，空船從空船從y到x只需2天，每天航班數(shù)為5，應配備多少條船？生甲：5條生乙：假設(shè)一天發(fā)出5條船，第二天便沒船可發(fā)，應備5×〔4+2〕＝30條生丙：6天過后，離開x的船還沒回來，應備5×〔4+2+2〕＝40條師：該題中4條航線需多少船？生甲：3×(17+2)+2×(3+2)+(7+2)+(13+2)=91生乙：91條不夠，城市E處的船只夠19天〔51條〕，E,每天需3條空船。同理，A和B每天均需1條船;而C,D，F(xiàn)處每天分別多出2,2,1條船。生丙：這這正好是一個C,D，F(xiàn)到E,A,B的運輸問題。(參考模型:lingo-LP13.lg4)14.Indianapolis航空公司方案每天從Indianapolis飛6個航班,方案目的地為:NewYork,LosAngeles,或Miami.下表列出各航線的日收益與航班次數(shù)的關(guān)系.航班次數(shù)123456NEWYORK$80$150$210$250$270$280LOSANGELES$100$195$275$325$300$250MIAMI$90$180$265$310$350$320試幫該公司確定航線和相應的航班次數(shù).［講評］師：如果，NEWYORK飛3個航班，LOSANGELES飛2個航班，MIAMI只能飛1個航班了，如何用數(shù)據(jù)表示這種安排〔有利于收益的計算，及限制條件的表示〕生：上述安排對應于下表：航班次數(shù)123456NEWYORK001000LOSANGELES010000MIAMI1000001表示選擇，0表示不選．正好可以設(shè)計一個選擇矩陣〔3行6列〕(參考模型:lingo-LP14.lg4)15.某種機器可在上下兩種不同的負荷下進行生產(chǎn),設(shè)機器在高負荷下生產(chǎn)的年產(chǎn)量函數(shù)為:y=8x,(x:投入生產(chǎn)的機器臺數(shù)),年完好率為0.7;機器在低負荷下生產(chǎn)的年產(chǎn)量函數(shù)為:y=5x,(x:投入生產(chǎn)的機器臺數(shù)),年完好率為0.9;假定開始生產(chǎn)時完好的機器數(shù)量為1000臺,試問每年如何安排機器在高,低負荷下的生產(chǎn),使在五年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品總產(chǎn)量最高.討論：如果5年末完好機器數(shù)必為500臺,又將如何?(參考模型:lingo-LP15.lg4)16.某工廠要對一種產(chǎn)品制定今后四個時期的生產(chǎn)方案,據(jù)估計在今后四個時期內(nèi),市場對于該產(chǎn)品的需求量如表所示,假定該廠生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定本錢為3(千元),假設(shè)不生產(chǎn)為0;每單位產(chǎn)品本錢為1(千元);每個時期生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量為不超過6個單位;每個時期末未售出的產(chǎn)品,每單位需存儲費0.5(千元).還假定在第一個時期的初始儲存量為0,第四個時期之末的庫存量也為0.試問如何安排各個時期的生產(chǎn)與庫存,才能在滿足市場需要的條件下,使總本錢最小.時期1234需求(單位)2324［講評］師：如何處理生產(chǎn)固定本錢？生：設(shè)計一個生產(chǎn)判斷變量數(shù)組x,假設(shè)生產(chǎn)那么x(i)為1，不生產(chǎn)那么x(i)為0師：如何表示每個時期的產(chǎn)量？生：設(shè)計一個產(chǎn)量數(shù)組y,x(i)*y(i)那么為第i時期的產(chǎn)量。(參考模型:lingo-LP16.lg4)17.以下圖為一網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點1到節(jié)點2的寬帶帶寬為6兆，節(jié)點1到節(jié)點3的寬帶帶寬為2兆，節(jié)點2到節(jié)點4的寬帶帶寬為3兆，…節(jié)點4到節(jié)點6的寬帶帶寬為2兆，求節(jié)點1到節(jié)點6的最大網(wǎng)速。1123435632637172［講評］師：節(jié)點1到節(jié)點6的最大網(wǎng)速受什么限制？生甲：受節(jié)點1輸出寬帶帶寬的限制。生乙：還受中間節(jié)點2，3，4，5輸入和輸出寬帶帶寬的限制。生丙：中間節(jié)點的輸入等于輸出。師：如何表示節(jié)點1到節(jié)點6的最大網(wǎng)速？生：節(jié)點1的輸出或節(jié)點6的輸入。討論：假設(shè)想提高節(jié)點1到節(jié)點6的最大網(wǎng)速x兆，如何實現(xiàn)？(參考模型:lingo-LP17.lg4)18.在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中有時得考慮費用問題，下表中的單位本錢是指流經(jīng)該寬帶單位流量的費用，考慮從節(jié)點1到節(jié)點5的最小費用最大流。寬帶(1,2)(1,3)(2,4)(2,5)(3,2)(3,4)(4,5)帶寬108275104單位本錢4161232(參考模型:lingo-LP18.lg4)19.某項研制新產(chǎn)品的各個工序,工序所需時間及相應費用,工序極限時間及相應費用,以及工序之間的相互關(guān)系如表:工序代號正常情況采取措施后縮短一天工期代價緊后工序正常時間(天)直接費用極限時間(天)直接費用a60100006010000--b,c,d,eb454500306300120lc10280054300300fd2070001011000400g,he40100003512500500hf183600105440230lg3090002012500350kh153750105750400lk256250159150290ll35120003512000--l研制過程中每天間接費用為400元.試作出流程圖，并求出正常情況最早完工時間〔講評〕xijxij1212345870fhlkgcbeda0fhlkgcbeda66工序〔3，6〕是虛擬工序，僅用來表示h須在d結(jié)束后才能開始。我們通常在各節(jié)點處擺放一個記時器，定t(1)=0,t(2)為以節(jié)點2為起點的工序中最早開始開工的時刻，t(3)為以節(jié)點3為起點的工序中最早開始開工的時刻，…t(8)為完工時間。請問，t(5),t(7)間需滿足什么關(guān)系？生：t(5)-t(7)大于工序f所需時間。師：正常情況最早完工時間怎么表示？生：就是t(8)的最小值(參考模型:lingo-LP19(1).lg4)求最短工期下的最低費用.(參考模型:lingo-LP19(2).lg4)求最低費用下的最短工期.(參考模型:lingo-LP19(3).lg4)20.如以下圖所示，節(jié)點間的線段表示某小區(qū)的弄堂，線段旁的數(shù)字表示弄堂的長度。郵局在其中某個節(jié)點，請設(shè)計郵遞員投遞路線。1234567894123456789443246434955〔講評〕師：問題的目標是什么？生：郵遞員投遞線路最短。師：郵遞員投遞線路的長度是否等于所有弄堂的長度和？生：不是，每條弄堂僅過一遍，未必可行？師：為什么？生甲：左圖中的弄堂，無論郵局在哪個節(jié)點，郵遞員都得跑兩趟。右圖中的每條弄堂，無論郵局在哪個節(jié)點，郵遞員都只須跑一次。1123112師：有沒有規(guī)律？生甲：問題跟郵局的位置無關(guān)，因為郵遞員的投遞路線是封閉的。生乙：每個節(jié)點進出的次數(shù)應該相等。討論：如果郵遞員數(shù)目是2個或2個以上又將如何?(參考模型:lingo-LP20.lg4)練習：20.1.如以下圖所示，節(jié)點間的線段表示某區(qū)的街道，街道都是單行道，線段旁的數(shù)字表示街道的長度。郵局在其中某個節(jié)點，請設(shè)計郵遞員投遞路線。1123456714241252332241252332師：該問題和問模型20有哪些異同？生：大同小異，只不過街道是單向的。(參考模型:lingo-LP20-1.lg4)21.Braneast航空公司須為每天飛行于NewYork和Chicago的航班配備空姐。每位空姐住在NewYork或Chicago.每天每位空姐須飛一班NewYork-Chicago和一班Chicago-NewYork，空姐飛兩航班的間隙〔滯留時間〕至少為1小時，Braneast航空公司想減少空姐們的滯留時間，應如何配備？Braneast航空公司航班見下表：航班:1234567飛-CHICAGO:691215171920達-NEWYORK:10131619212324航班:1234567飛-NEWYORK:781012141618達-CHICAGO:9101214161820〔講評〕師：該問題的目標是什么？生：空姐們的滯留時間總和最少。師：該問題的限制條件是什么？生：飛離CHICAGO的空姐須飛NEWYORK到CHICAGO的航班回來。飛離NEWYORK的空姐須飛CHICAGO到NEWYORK的航班回來。每個航班須配備空姐(參考模型:lingo-LP21.lg4)22.倫敦一家大公司方案將公司的一些部門搬出倫敦，以節(jié)約諸如房租人事等方面的費用，當然部門間的通信費用必將增加。公司由五個部門組成，A,B,C,D,和E,考慮搬遷的地址為Bristol和Brighton。每個城市至多安置3個部門。各部門搬遷后每年能節(jié)約的費用〔千鎊〕如下表：ABCDEBristol101510205Brighton1020151515各部門間每年的通信量〔千單位〕如下表：ABCDEA1.01.5B1.41.2C2.0D0.7各部門間的通信單價〔鎊每年每單位〕BristolBrightonLondonBristol51413Brighton1459London13910[講評]師：如何表示部門搬遷方案？生：每一種方案都對應下表ABCDEBristol01100Brighton00010London10001上表表示以下方案：A,E,留守London,B,C遷至Bristol,D遷至Brighton,所以我們可以用1個3×5的矩陣x表示搬遷方案。師：如何表示搬遷至London的收益？生：無收益，用0表示。師：如何計算通信費用？生：用5×5矩陣qq(在lingo中，qq允許只有6個元素)表部門間的通信量。3×3矩陣cc表地區(qū)間的通信單價。地區(qū)k,l間的總通信費用：就是x(k,i)×x(l,j)×qq(i,j)×cc(k,l)〔參考:lingo-LP22.lg4〕23.一條流水線上有三個工作臺，每個工序須在工作臺上完成?，F(xiàn)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J等10個工序，相互關(guān)系如以下圖，各工序耗時如下表。求流水線的最小循環(huán)時間。AABCHIJDEFGG耗時表:工序:ABCDEFGHIJ時間:451195015121212128〔講評〕師：流水線的最小循環(huán)時間是由什么時間決定的？生：由工作時間最長的工作臺決定師：工序間的先后承接關(guān)系對工序在工作臺上的安排有何限制？生：排在后面的工序不能先于前面的工序完成，也就是說，排在后面的工序所在的工作臺不能先于前面的工序所在的工作臺師：如何表示這種限制？生：工序A,B,C,E,E,F,G,H,I,J可用1，2，3，4，5，6，7，8，9，10來表示工作臺按先后順序可用1，2，3表示，每種安排對應于下表：工序:ABCDEFGHIJ工作臺11110000000工作臺20000111000工作臺30000000111工序安排就可用3×10的矩陣b表示每列和為1，工序I所在工作臺號可用b(j,i)×j表示〔參考:lingo-LP23.lg4〕

第二章Matlab軟件2.1矩陣的建立和根本運算一、實驗目的熟悉MATLAB軟件中關(guān)于矩陣的建立以及矩陣運算的各種命令。二、實驗內(nèi)容與要求1.啟動與退出雙擊MATLAB圖標，進入MATLAB命令窗口，即可輸入命令，開始運算。單擊File菜單中Exit，或使用MATLAB的Exit命令退出。2.數(shù)、數(shù)組、矩陣的輸入〔1〕數(shù)的輸入>>a=5回車：a=5輸入復數(shù)2-5i>>b=2-5ib=2-5i〔2〕數(shù)組的輸入>>b=[1,3,5,7,9,11]b=1357911>>c=1:2:11c=1357911>>d=linspace(1,11,6)d=1357911問題：體會以上輸入方法有什么區(qū)別和聯(lián)系。假設(shè)b為在0~2〔用pi表示〕之間均勻分布的22個數(shù)據(jù)，c=(1.3,2.5,7.6,2,-3),d=(23,20,17,14,11,8,5,2),b、c、d各用何種方法輸入較簡單〔3〕矩陣的輸入>>A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4]%行之間要用分號隔開A=2351356943.矩陣大小的測試和定位>>A=[3,5,6;2,5,8;3,5,9;3,7,9]A=356258359379>>d=numel(A)%測試定矩陣A的元素數(shù)d=12>>[n,m]=size(A)%測試A的行〔n〕、列〔m〕數(shù)n=4m=3>>[i,j]=find(A>3)%找出A中大于3的元素的行列數(shù)4.矩陣的塊操作>>A(2,:)%取出A的第2行的所有元素ans=258>>A([1，3]，：)%取出A的第1、3行的所有元素ans=356359>>A〔2：3，1：2〕%取出A的2、3行與1、2列交叉的元素ans=2535>>A([1,3],:)=A([3,1],:)%將A的第1行和第3行互換問題：如何將A的2、3列互換？>>A(2,:)=4%將A的第2行的所有元素用4取代>>A(find(A==3))=-3%將A中等于3的所有元素換為-3>>A(2,:)=[]%刪除A的第2行>>reshape(A,2,6)%返回以A的元素重新構(gòu)造的26維矩陣ans=335596434749>>A(4，5)=3%擴充A的維數(shù)，A成為45維矩陣，未定義元素為3注意：“：”表示全部5.矩陣的翻轉(zhuǎn)操作>>flipud(A)%A進行上下翻轉(zhuǎn)>>fliplr(A)%A進行左右翻轉(zhuǎn)>>rot(A)%A逆時針旋轉(zhuǎn)問題：嘗試操作>>rot90(A,2)和>>rot90(A,-2)，結(jié)果有區(qū)別嗎？6.特殊矩陣的產(chǎn)生>>A=eye(n)%產(chǎn)生n維單位矩陣>>A=ones(n,m)%產(chǎn)生nm維1矩陣>>A=zeros(n,m)%產(chǎn)生nm維0矩陣>>A=rand(n,m)%產(chǎn)生nm維隨機矩陣〔元素在0~1之間〕7.數(shù)的運算>>4+2>>42>>4/2%4右除2，等于2>>4\2%4左除2，等于0.5>>4^3%4的3次方>>sqrt(4)%4的算術(shù)平方根>>exp(3)%e的三次方，不能輸成e^3>>log(4)%4的自然對數(shù)，log10(4)是以10為底，log2(4)是以2為底8.矩陣的運算>>%A的轉(zhuǎn)置>>det(A)%A的行列式，A必須是方陣>>rank(A)%A的秩>>3A%常數(shù)與矩陣相乘>>A+B%A、B必須是同維矩陣，和3+A進行比擬>>A-B%A、B必須是同維矩陣，和3-A進行比擬>>AB%和A.B進行比擬>>A/B%〔和A./B進行比擬〕>>A\B%〔和A.\B進行比擬〕>>A^2%A^2相當于AA〔和A.^2進行比擬〕三、練習與思考〔1〕熟悉MATLAB的啟動和退出〔2〕自找2~3個例子，熟悉數(shù)和數(shù)組的各種運算，以及它們的各種函數(shù)值。〔3〕自找2~3個例子，熟悉矩陣的加減乘除及其它運算，注意和點運算的區(qū)別?！?〕輸入一個矩陣A，取出A的第2行第1列的元素；取出A的第1，3，4列的所有元素；讓A的第1列和第3列互換；刪除A的第2列?！?〕產(chǎn)生34的1矩陣，產(chǎn)生42的隨機矩陣，產(chǎn)生4維的單位矩陣?！?〕將A的第2行元素擴大2倍，再增加3后作為A的第3行元素。2.2多項式和線性方程組的求解一、實驗目的學會用MATLAB軟件求解多項式和線性方程組二、實驗內(nèi)容與要求多項式的表達方式用降冪排列的多項式的數(shù)向量表示例1對多項式和，用多項式的系數(shù)表示為>>p=[1,2,0,-5,6]>>s=[1,2,3]由根創(chuàng)立多項式>>r=[1,4,8]%多項式的根為〔1，4，8〕>>p=poly(r)p=1-1344-32>>p=poly2sym(p)%將多項式的向量表示轉(zhuǎn)變?yōu)榉栃问絧=x^3-13*x^2+44*x-32多項式的加減乘除例2求例1中多項式p,s的和、差、積、商。>>p=[1,2,0,-5,6]>>s=[0,0,1,2,3]>>p+s%多項式加法，向量p,s必須同維，s擴維成s=[0,0,1,2,3]ans=121-39>>p-s%多項式減法，向量p,s必須同維>>conv(p,s)%求多項式p和s的乘積，也是向量p,s的卷積問題：向量的除法，除數(shù)不能為零，這里s的第一個元素為零，怎么辦？解決方法有兩種，當s=[0,0,1,2,3]時，輸入[q,r]=deconv(p,s(3:5)),或把s仍輸為s=[1,2,3]，那么[q,r]=deconv(p,s)>>p=[1,2,0,-5,6]；s=[1,2,3]>>[q,r]=deconv(p,s)%求多項式p除以s的商q和余項rq=10-3r=000115求多項式的根>>r=roots(p)%求多項式p的根，即方程p(x)=0的解。>>pc=compan(p)%求多項式p的伴隨矩陣。例3求多項式的根解：>>p=[1，2，6]>>r=roots(p)多項式的微分和賦值運算>>d=polyder(p)%求多項式p的一階微分>>d=polyder(p,s)%求多項式p,s乘積的一階微分>>[q,d]=polyder(p,s)%求多項式p,s商p/s的一階微分，q為分子，d為分母>>y=polyval(p,a)%計算x=a時多項式p的值例4求例1中多項式p的一階導數(shù)，求x=1,3,5時多項式p(x)的值。解：>>p=[1,2,0,-5,6]>>d=polyder(p)結(jié)果為：d=460-5>>x=1:2:5%x取3個值>>y=polyval(p,x)%計算對應x的多項式p的3個值結(jié)果為y=4126856非齊次線性方程組求解法一：>>X=A\b%用矩陣左除法求線性方程組AX=b的解法二：>>C=[A，b]%由系數(shù)矩陣A和常數(shù)列向量b構(gòu)成增廣矩陣C>>D=rref(C)%將C化成行最簡行，那么D的最后一列元素就是所求的解例5用矩陣左除法求解>>A=[2，3，5；3，6，8；6，5，4]>>b=[12;34;43]>>R=rank(A)>>X=A\b結(jié)果為：R=3X=0.275912.3793-5.1379注意：b是列向量，求解前先檢驗A是否為滿秩方陣解二：用函數(shù)rref求解>>C=[A，b]>>D=rref(C)結(jié)果為：D=1.0000000.275901.0000012.3793001.0000-5.1379那么D的最后一列元素就是所求的解，同解一結(jié)果相同線性齊次方程組的求解例6求解方程組的通解：解：>>A=[1，2，2，1；2，1，-2，-2；1，-1，-4，-3]>>formatrat%指定有理式格式輸出>>B=null(A,’r’)%求解空間的有理基B=25/3-2-4/31001注意：formatrat是有理格式輸出，小數(shù)用最接近的分數(shù)表示；假設(shè)輸入formatlong那么輸出格式是長格式，顯示15位數(shù)；缺省格式是formatshort(短格式)，顯示到小數(shù)點后面4位。利用矩陣的LU，QR和Cholesky分解求方程組的解LU分解LU分解又稱為Gauss消去分解，可把任意方陣A分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積，即A=LU，命令[L，U]=lu(A)可求得L與U。那么方程AX=b變成LUX=b所以，X=U\(L\b)Cholesky分解假設(shè)A為對稱正定矩陣，那么Cholesky分解可將矩陣A分解成上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積，即，其中，R為上三角陣，命令R=chol(A)可求得R。那么方程AX=b變成所以，QR分解對于任何長方矩陣A，都可以進行QR分解，其中Q為正交矩陣，R為上三角矩陣的初等變換形式，即A=QR，命令[Q，R]=qr(A)可求得Q，R那么方程AX=b變形QRX=b所以，說明：這3種分解，在求解大型方程組時很有用，其優(yōu)點是運算速度快、可以節(jié)省磁盤空間、節(jié)省內(nèi)存。例7用上述〔1〕〔3〕兩種方法求解例5中的線性方程組。解一：>>[L，U]=lu(A)L=1/38/2111/210100U=65407/260029/21>>X=U\(L\b)X=8/29359/29-149/29解二：>>[Q，R]=qr(A)Q=-2/7-361/1469-1495/1614-3/7-351/422271/768-6/71127/2264341/2577R=-7-54/7-58/70-4625/1428-4130/70100-1361/1064>>X=R\(Q\b)X=8/29359/29-149/29練習和思考〔1〕輸入任意兩個多項式，并進行加減乘除運算，注意它們的結(jié)果〔2〕求上面的兩個多項式的根，并進行逆運算〔3〕求上面的兩個多項式的一階導數(shù)，并求x=0:0.2:2對應多項式的值?！?〕求解以下線性方程組2.3符號運算一、實驗目的學會MATLAB符號運算的根本功能二、實驗內(nèi)容與要求字符型變量、符號變量、符號表達式、符號方程的建立用單引號設(shè)定字符串變量的方法如下：例1>>a='u+4'％定義a為字符型變量a=u+4創(chuàng)立字符型變量有如下兩種方法。方法一：用命令sym(‘’)創(chuàng)立單個符號變量、符號表達式、符號方程。例2>>x=sym('m+n+i')％定義x為符號型變量x=m+n+i>>y=sym('d*x^2+x-4')％定義y為符號表達式y(tǒng)=d*x^2+x-4>>e=sym('a*x^2+b*x+c=0')％定義e為符號方程e=a*x^2+b*x+c=0問題：繼續(xù)輸入(命令是將符號變量或字符變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量)，找出字符型變量和符號型變量之間的區(qū)別和聯(lián)系。方法二：用命令syms創(chuàng)立多個符號變量、符號表達式。例3>>symsabxy％定義為符號變量,>>s=a*x^4+b*cos(y)-x*y％定義為符號表達式s=a*x^4+b*cos(y)-x*y注意：sym(‘’)中的單引號不要漏，syms后的符號變量之間不能用逗號，用syms不能建立符號方程。合并同類項格式：collect(S)％是對S中的每一函數(shù)，按缺省變量x的次數(shù)合并系數(shù)。collect(S，v)％是對制定的變量v計算，操作同上。例4>>symsxy％定義x,y為符號變量>>R1=collect((exp(x)+x)*(x+2));％結(jié)果為x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)>>R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);％結(jié)果為y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)復合函數(shù)計算格式：％返回復合函數(shù),其中，例5>>symsxy>>f=1/(1+x^2*y);g=sin(y);>>C=compose(f,g,x,y)％結(jié)果為1/(1+sin(y)^2*y)問題：例1．19中假設(shè)，結(jié)果如何？，結(jié)果又如何？符號表達式的展開格式：R=expand(S)％展開符號表達式S中每個因式的乘積。例6>>symsxyt>>E=expand((x-2)*(x-4)*(y-t))％結(jié)果為x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t符號因式分解格式：factor(S)％S可以是正整數(shù)、符號表達式或符號整數(shù)。例7>>symsxy>>F1=factor(x^4-y^4)％結(jié)果為(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)問題：假設(shè)F2＝，結(jié)果如何？F2=(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)，分解為質(zhì)因數(shù)之積。6.符號表達式的通分格式：[N,D]=numden(S)％將符號表達式S中的每一元素進行通分，其中N為分子的表達式，D為分母的表達式。例8>>symsxy>>[N,D]=numden(x/y+y/x)％結(jié)果為N=x^2+y^2，D=x*y符號表達式的化簡格式：R＝simplify(S)％運用多種恒等式轉(zhuǎn)換對符號表達式S進行綜合化簡。例9>>symsxabc>>R=simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))％結(jié)果為(a+b)^(1/2*c)搜索符號表達式的最簡形式格式：r＝simple(S)％運用包括simplify在內(nèi)的各種指令找出符號表達式S的代數(shù)上的最簡短形式，屢次使用，可找到最少字母的簡化式。例10化簡>>symsx>>f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);>>f1=simple(f),f2=simple(f1)f1=(2*x+1)/xf2=2+1/x問題：分別用simple，simplify命令兩次化簡，試比擬命令simple，simplify命令之間的區(qū)別和聯(lián)系。將復雜的符號表達式顯示成我們習慣的數(shù)學書寫形式格式：pretty(S)％用缺省的線型寬度79顯示符號矩陣S中的每一元素。例11>>y=sym('log(x)/sqrt(x)');>>dy=diff(y)>>pretty(dy)計算結(jié)果為：dy=1/x^(3/2)-1/2*log(x)/x^(3/2)10.函數(shù)的反函數(shù)格式：g=finverse(f)％返回函數(shù)f的反函數(shù)，其中f為單值的一元數(shù)學函數(shù)，如。假設(shè)f的反函數(shù)存在，設(shè)為g，那么有。例12>>f=sym('1+3*x');>>v=finverse(f)％結(jié)果為-1/3+1/3*x11.符號表達式求和格式：％對S中制定的符號變量從到求和。例13>>symsn>>r=symsum(n^2,1,n)％結(jié)果為1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6>>simple(r)％上式化簡為1/6*n*(n+1)*(2*n+1)問題：假設(shè)結(jié)果如何〔按列求和〕？12．確定符號表達式中或矩陣中的符號變量格式：％以字母表的順序返回表達式S中所有符號變量〔除了與〕。假設(shè)S中沒有任何的符號變量，那么findsym返回一空字符串。％從S中返回靠最近的個符號變量，假設(shè)大于S中符號變量的個數(shù)，那么按字母表的順序返回符號變量。例14>>symsaxyzt>>s1=findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)>>s2=findsym(a+t-y,2)>>s3=findsym(a+t-y,4)s1=NaN,x,y,zs2=y,ts3=a,t,y13．置換符號變量格式：％用置換S中的。例15>>symsaxyt>>S=a*sin(x)+y；>>S1=subs(S,x,t)>>S2=subs(S,x,pi/3)結(jié)果為：S1=a*sin(t)+yS2=1/2*a*3^(1/2)+y14．字符變量、符號變量和數(shù)值變量之間的轉(zhuǎn)換格式：％假設(shè)S是字符變量，轉(zhuǎn)換為S中相應字符的值；假設(shè)S是符號變量，轉(zhuǎn)化為數(shù)值形式，假設(shè)有非數(shù)字符號〔除〕，那么給出錯誤信息。％將字符變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量％將數(shù)值變量轉(zhuǎn)換為變量字符％將轉(zhuǎn)換為符號變量％設(shè)置返回有效數(shù)字個數(shù)為的近似解精度％求符號表達式S在精度下的數(shù)值解％執(zhí)行符號表達式S的功能例16>>symsx>>t=1+x;x=1/3>>s=eval(t)％結(jié)果為1.3333>>vpa(s,7)％結(jié)果為1.333333，vpa(t,7)結(jié)果為1.+x>>sym('0,3')％結(jié)果為0.3>>sym(0.3)％結(jié)果為3/10>>double(s)％結(jié)果為1.3333,double(t)是不合法的練習與思考化簡：求證：求展開式中系數(shù)最大的項因式分解：求，，2.4二維繪圖一、實驗目的學習MATLAB軟件中二維繪圖的方法。二、實驗內(nèi)容與要求根本命令格式1：說明：以對應元素為坐標繪二維圖，注意，的維數(shù)要匹配。例1>>x=0:pi/18:2*pi;％給出橫坐標>>y=sin(x);％計算出縱坐標>>plot(x,y)％繪制圖形，如圖2.4.1圖2.4.1問題：當時，命令畫出幾條線，如何畫出的？當時，有何規(guī)律？當時，又有何規(guī)律？格式2：％假設(shè)Y為m維向量，那么等價于，其中，X＝1：m。格式3：％將按順序分別畫出由3個參數(shù)定義的線條，其中，參數(shù)指明了線條的類型，標記符號，和畫線用的顏色。說明：〔1〕線型，有實線，虛線，劃線，點劃線，例如，‘-’就表示畫實線?！?〕線條寬度LineWidth，取值為整數(shù)，例如，‘LineWidth’,2就表示線寬為兩個像素。〔3〕線條顏色，常用8種顏色，例如，‘b--’就表示畫藍色劃線?！?〕標記類型，表示數(shù)據(jù)點標記的類型，常見13種，例如，‘*r’就表示紅色星號。〔5〕標記大小MarkerSize制定標記符號的大小尺寸，取值為整數(shù)〔單位為像素〕.(6)標記面填充顏色‘MarkerFaceColor’制定用于填充標記符面的顏色，顏色配比方案見表1.10，例如，‘MarkerFaceColor’,就表示標記面填綠色?！?〕標記周邊顏色，例如，‘MarkerFaceColor’，‘k’表示周邊用黑色，以上參數(shù)意義詳見表1.6~1.10例2>>t=0:pi/20:2*pi;>>plot(t,t.*cos(t),'-.r*')>>holdon>>plot(exp(t/100).*sin(t-pi/2),'--mo')>>holdoff圖形結(jié)果如圖2.4.2所示，注意圖2.4.2例函數(shù)繪圖格式：％在制定的范圍內(nèi)畫出函數(shù)名為的一元函數(shù)圖形，其中，是一個制定x軸范圍的向量或者是x軸和y軸的范圍的向量例3>>fplot('sin(3*x)',[0,pi])％畫出x在0~pi之間的y=sin3x的圖形引號>>fplot('[sin(x),cos(x)]',[-2*pi,2*pi])％在同一張圖上繪制正余弦曲線符號函數(shù)的繪圖格式：％繪出符號函數(shù)從到區(qū)間的圖形。例4>>y=sym('cos(x)');>>ezplot(y,[-2*pi,2*pi])％畫出在之間的的圖形。對數(shù)圖形格式：％對軸，軸的刻度用常用對數(shù)值〔以10為底〕。％對軸的刻度用常用對數(shù)值，而軸為線性刻度。％對軸的刻度用常用對數(shù)值，而軸為線性刻度。例5>>x=logspace(-1,2);>>loglog(x,10*exp(x),'-s')>>gridon圖形結(jié)果見圖2.4.圖2.4.3例5圖形修飾與控制>>axissquare％將圖形設(shè)置為正方形>>axisequal％，軸單位刻度相等>>title('字符串')％圖形標題>>axis([xmin,xmax,ymin,ymax])％軸范圍在軸在>>xlabel('字符串')％軸標注>>ylabel('字符串')％軸標注>>text(x,y,'字符串')％在處標注說明文字>>gridon％加網(wǎng)格線>>gridoff％消除網(wǎng)格線>>holdon％保持當前圖形>>holdoff％解除holdon命令>>legend('First','Second',n)％對一個坐標系上的兩幅圖形做出圖例注解>>subplot(m,n,p)％將當前窗口分成m行n列區(qū)域，并指定在p區(qū)繪圖例6>>subplot(2,2,1);x=0:pi/60:2*pi;plot(x,exp(-i*x))>>subplot(2,2,2);fplot('log(x)',[10,2e3])>>subplot(2,1,2);plot(x,sin(x),':b',x,cos(x),'-r')>>legend('sin(x)','cos(x)',1)圖形結(jié)果如圖1．4所示。注意：第一句中虛部被忽略；第二句中表示，不能用表示；不能用表示，而用表示。第三句中subplot(2,1,2)巧妙的將第二行整個區(qū)域畫一個圖；第四句的參數(shù)表示注解視窗的位置，詳見表1.9圖例6圖形結(jié)果例7將正弦曲線局部與軸包圍的封閉圖形填充為藍色。>>x=0:pi/60:2*pi;>>y=sin(x);>>x1=0:pi/60:pi/2>>y1=sin(x1);>>plot(x,y,'-r')>>holdon>>fill([x1,pi/2],[y1,0],'b')結(jié)果如圖2.4.5圖例7圖形結(jié)果問題：將上面最后一句分別改為情況有何變化？問題：在圖1.5中畫出紅色的直角坐標系，表示顏色的向量含義見表1.10練習與思考〔1〕輸入，體會圖形特點?！?〕在一幅圖上畫出兩個周期的正弦曲線和余弦曲線，畫出坐標軸，加上各種圖注，并在正弦曲線和橫軸之間填充紅色?！?〕在一個窗口畫出四幅圖，分別繪制的圖形，并加上適當?shù)膱D形修飾。附錄：表1.6線型定義符:-.線型實線〔缺省值〕雙劃線虛線點劃線表1.7線條顏色定義符R(red)G(green)B(blue)C(cyan)顏色紅色綠色藍色青色定義符M(nagenta)Y(yelloe)K(black)W(white)顏色品紅黃色黑色白色表1.8標記類型定義符+O字母)*.X標記類型加號小圓圈星號實點交叉號定義符d^v><標記類型棱型向上三角形向下三角形向右三角形向左三角形定義符shp標記類型正方形正六角形正五角星表1.9legend參數(shù)中n的意義參數(shù)n意義參數(shù)n意義0自動放在最正確位置3圖形的左下角1圖形的右上方4圖形的右下角2圖形的左上方-1圖形外右邊表1.10典型顏色配比方案原色調(diào)配顏色R(紅色)G(綠色)B(藍色)111白色(white)0.50.50.5灰色(gray)000黑色(black)100紅色(red)010綠色(green)001藍色(blue)110黃色(yellow)101洋紅色(magenta)011青色(cyan)0.500暗紅色(darkred)10.620.4紅銅色(copper)0.4910.83碧綠色(aquamarine)

2.5微積分根本運算一、實驗目的學會用MATLAB軟件求高等數(shù)學中函數(shù)的極值、微分、積分的方法。二、實驗內(nèi)容與要求函數(shù)的極限格式：limit()%計算符號表達式的極限值，當→時。limit()%計算符號函數(shù)的右極限，當→時。limit()%計算符號函數(shù)的左極限，當→時。【例1】>>symsxathn;>>L1=limit((cos(x)-1)/x)%在缺省狀態(tài)下，計算當x→0時的極限值>>L2=limit(1/x^3,x,0,'right')>>L3=limit(1/x,x,0,'left')>>L4=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>v=[(1+a/x)^x,exp(-x)];>>L5=limit(v,x,inf,'left')>>L6=limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)計算結(jié)果為：L1=0L2=infL3=-infL4=1/xL5=[exp(a),0]L6=exp(6)2、求單變量函數(shù)的極值格式：x=fmin()%計算在區(qū)間上函數(shù)取最小值時的值。說明：在5.3及以上版本命令fmin已改為fminbnd,常用格式如下： =fminbnd()%計算在區(qū)間上函數(shù)取最小值時的值。[]=fminbnd()%計算在區(qū)間上函數(shù)取最小值和對應的值。例2