新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊訓(xùn)練第一章空間向量與立體幾何綜合訓(xùn)練

第一章綜合訓(xùn)練一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在平行六面體ABCDA'B'C'D'中,向量AB'、AD'A.有相同起點的向量 B.等長的向量C.共面向量 D.不共面向量答案C解析向量AB'、AD'由該平行六面體不是正方體可知,這三個向量不是等長的向量,B不正確.又∵AD'∴AB',AD',BD2.已知a=(2,3,1),b=(2,0,4),c=(4,6,2),則下列結(jié)論正確的是()A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不對答案C解析∵a=(2,3,1),b=(2,0,4),c=(4,6,2),∴a·b=4+0+4=0,∴a⊥b.∵-4-2=-63.在長方體ABCDA1B1C1D1中,BA+BC+DDA.D1B1C.DB1 D答案D解析如圖所示,長方體ABCDA1B1C1D1中,BA+BC+DD1=4.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD.M,G分別是BC,CD的中點,則AB+12BC+A.AD B.GAC.AG D.MG答案C解析∵M,G分別是BC,CD的中點,∴12∴AB+5.在四棱錐PABCD中,AB=(4,2,3),AD=(4,1,0),AP=(6,2,8),則這個四棱錐的高h等于()A.1 B.2 C.13 D.26答案B解析設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z),則n不妨令x=3,則y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱錐的高h=|AP·n6.已知兩不重合的平面α與平面ABC,若平面α的法向量為n1=(2,3,1),AB=(1,0,2),AC=(1,1,1),則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由題意,n1·AB=2×1+(3)×0+1×(2)=0,得n1⊥AB,n1·AC=2×1+(3)×1+1×1=0,得n1⊥AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量與平面ABC的法向量共線,則平面α∥平面ABC.7.直線AB與直二面角αlβ的兩個面分別交于A,B兩點,且A,B都不在棱l上,設(shè)直線AB與α,β所成的角分別為θ和φ,則θ+φ的取值范圍是()A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90°C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°答案B解析如圖,分別過點A,B向平面β,α作垂線,垂足為A1,B1,連接BA1,AB1.由已知α⊥β,所以AA1⊥β,BB1⊥α,因此∠BAB1=θ,∠ABA1=φ.由最小角定理得∠BAA1≥θ,而∠BAA1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°∠BAA1≤90°,當(dāng)AB⊥l時,θ+φ=90°,應(yīng)選B.8.長方體A1A2A3A4B1B2B3B4的底面為邊長為1的正方形,高為2,則集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析∵長方體A1A2A3A4B1B2B3B4的底面為邊長為1的正方形,高為2,∴建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),則A1B2與A1B1=(0,0,2)相等的向量為A2B2=A3與A1B4=(0,1,2)相等的向量為A2B3,此時A與A4B1=(0,1,2)相等的向量為A3B2,此時A與A2B1=(1,0,2)相等的向量為A3B4,此時A1B2·A2B1此時A1B2·A1體對角線向量為A1B3=(1,1,2),此時A1B2·A1B3=1+4=5,A3B1=(1,1,2),A1B2A4B2=(1,1,2),A1B2綜上集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈{1,2,3,4},j二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對得3分.9.設(shè)向量a,b,c可構(gòu)成空間一個基底,下列選項中正確的是()A.若a⊥b,b⊥c,則a⊥cB.則a,b,c兩兩共面,但a,b,c不可能共面C.對空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.則a+b,b+c,c+a一定能構(gòu)成空間的一個基底答案BCD解析由a,b,c是空間一個基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,則a與c相交或平行,故A錯誤;在B中,a,b,c兩兩共面,但a,b,c不可能共面,故B正確;在C中,對空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正確;在D中,a+b,b+c,c+a一定能構(gòu)成空間的一個基底,故D正確.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,1),c=(1,5,3),下列等式中正確的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|abc|答案BCD解析A.左邊為向量,右邊為實數(shù),顯然不相等,不正確;B.左邊=(4,2,2)·(1,5,3)=0,右邊=(1,2,3)·(2,5,4)=2+1012=0,∴左邊=右邊,因此正確.C.a+b+c=(3,7,1),左邊=32+72+(1)2=59,右邊=12+22+32+32+0+(1)2+(1)2+52+(3)2=59,∴左邊=右邊,因此正確.D.由C可得左邊=59,∵abc=(1,3,7),∴|abc|=59,∴左邊=右邊,因此正確.故BCD正確.11.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AB,CC1,A1D1,C1D1的中點,則下列結(jié)論正確的是()A.A1E⊥AC1 B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DG D.A1E∥CH答案BCD解析設(shè)正方體的棱長為1,以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,則A1E=0,所以A1E·AC1=12,所以A1E與AC顯然平面ADD1A1的一個法向量v=(0,1,0),有BF·v=0,所以BF∥平面ADD1A1,故B正確;BF·DG=0,所以BF⊥DG,故CA1E=CH,所以A1E∥CH,故D12.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC,有如下四個結(jié)論:①AC⊥BD;②△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD所成的角為60°;④AB與CD所成的角為60°.其中正確的結(jié)論有()A.① B.② C.③ D.④答案ABD解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則D(1,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,1),AD=(1,1,0),AB=(1,1,0),AC·BD故AC⊥BD,①正確.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以△ACD為等邊三角形,②正確.對于③,OA為平面BCD的一個法向量,cos<AB,OA=(-1,-1因為直線與平面所成的角∈[0°,90°],所以AB與平面BCD所成的角為45°,故③錯誤.又cos<AB,CD=(-1,-1因為異面直線所成的角為銳角或直角,所以AB與CD所成的角為60°,故④正確.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.在棱長為a的正四面體中,AB·BC+AC答案a解析棱長為a的正四面體中,AB=BC=a,且AB與BC的夾角為120°,AC⊥BD.∴AB·BC+AC·BD=a·14.已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2ab),則xy=.

答案2解析由題中條件得a+2b=(1+2x,4,y+4),2ab=(2x,3,2y2),因為(a+2b)∥(2ab),所以存在λ∈R使得1+2x=λ(2x)且4=3λ且y+4=λ(2y2),所以λ=43,x=12,y=4,所以xy=15.設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB,PC分別與α成45°和30°角,PA=2,則PA與BC的距離是;點P到BC的距離是.

答案3解析作AD⊥BC于點D,∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AD.∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,連接PD,則PD⊥BC,P到BC的距離PD=7.16.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,現(xiàn)有以下命題:①向量n與z軸正方向的夾角恒為定值(即與c,d無關(guān));②m·n的最大值為2;③<m,n>(m,n的夾角)的最大值為3π④若定義u×v=|u|·|v|sin<u,v>,則|m×n|的最大值為2.其中正確的命題有.(寫出所有正確命題的序號)

答案①③④解析①取z軸的正方向單位向量a=(0,0,1),則cos<n,a>=n·a|n||a|=1c2②m·n=ac+bd≤a2+當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時取等號,因此m·n的最大值為1,命題錯誤;③由②可得|m·n|≤1,∴1≤m·n≤1,∴cos<m,n>=m=ac+bda2+∴<m,n>的最大值是3π4,④由③可知:22≤cos<m,n>≤2∴π4≤<m,n>≤3π4,22≤sin<m,n>≤1,∴m×n=|m|×|n|×sin<m,n>≤1×2×綜上可知,正確的命題序號是①③④.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)如圖所示,在四棱錐MABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱AM的長為3,且AM和AB,AD的夾角都是60°,N是CM的中點,設(shè)a=AB,b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量BN,并求BN的長.解BN=BC+CN=AD=12所以BN=12a+12b+1|BN|2=BN2=12a+12b+12=14(a2+b2+c22a·b2a·c+2b·c)=17所以|BN|=172,即BN的長為1718.(12分)如圖,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面邊長為2.(1)設(shè)側(cè)棱長為1,求證:AB1⊥BC1;(2)設(shè)AB1與BC1所成的角為π3,求側(cè)棱的長(1)證明AB因為BB1⊥平面ABC,所以BB1·AB=0,又△ABC為正三角形,所以<AB,BC>=π<BA,BC因為AB1·BC1=(=AB=|AB|·|BC|·cos<AB,BC=1+1=0,所以AB1⊥BC1.(2)解由(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos又|AB1|=AB2+所以cos<AB1,所以|BB1|=2,即側(cè)棱長為19.(12分)已知空間中三點A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且c∥BC,求向量c;(2)已知向量ka+b與b互相垂直,求k的值;(3)求△ABC的面積.解(1)∵空間中三點A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC,∴BC=(3,0,4)(1,1,2)=(2,1,2),∵|c|=3,且c∥BC,∴c=mBC=m(2,1,2)=(2m,m,2m),∴|c|=(2m)2∴m=±1,∴c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)由題得a=(1,1,0),b=(1,0,2),∴ka+b=k(1,1,0)+(1,0,2)=(1k,k,2),∵向量ka+b與b互相垂直,∴(ka+b)·b=1k+4=0,解得k=5.∴k的值是5.(3)AB=(1,1,0),AC=(1,0,2),BC=(2,1,2),cos<AB,AC>=AB·AC|AB|·∴S△ABC=12×|AB|×|AC|×sin<AB,AC20.(12分)已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.(1)用向量法證明E,F,G,H四點共面;(2)用向量法證明:BD∥平面EFGH;(3)設(shè)M是EG和FH的交點,求證:對空間任一點O,有OM=1證明(1)如圖,連接BG,BD=2EH,BC=2BF,則EG=EB由共面向量定理的推論知E、F、G、H四點共面.(2)因為EH=12(AD-所以EH∥BD,又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.(3)連接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=同理FG=12BDEH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一點M且被M平分,所以O(shè)M=12(OE+OG)=14(21.(12分)(2021全國甲,理19)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?證明(1)如圖,連接A1E,取BC中點M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點A1,B1,M,E四點共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.(2)∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,∴AC2=8,則AB⊥BC.如圖,以B為原點,BC,BA,BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).則EF=(1,1,1),ED=(1,t1,2),設(shè)DB1=t,則D(0,t,2),0≤t≤2.則平面BB1C1C的法向量為m=(0,1,0),設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),∴EF即x∴n=(1+t,3,2t).則cos<m,n>=3(要求最小正弦值,則求最大余弦值.當(dāng)t=12時二面角的余弦值最大則B1D=12時二面角正弦值最小22.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=12AD=1,C