高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題（新高考新教材）專題突破練4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值

專題突破練4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值一、單項選擇題1.若函數(shù)f(x)=(xa)33x+b的極大值是M,極小值是m,則Mm的值()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),且與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),且與b有關(guān)2.若函數(shù)f(x)=x2ax+lnx在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[3,+∞) B.(∞,3]C.[3,e2+1] D.[e2+1,3]3.已知函數(shù)f(x)=3xex,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是A.在區(qū)間(∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減C.有極大值3e,D.有極小值3e,4.已知直線y=kx(k>0)和曲線f(x)=xalnx(a≠0)相切,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(∞,0)∪(0,e) B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e) D.(∞,0)∪(1,e)5.(2022·新高考Ⅰ,7)設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9,則(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b6.已知P是曲線y=sinx(x∈[0,π])上的動點,點Q在直線x2y6=0上運動,則當(dāng)|PQ|取最小值時,點P的橫坐標(biāo)為()A.π4 B.π2 C.2π7.已知曲線y=sinxex+1(x≥0)的一條切線的斜率為1,則該切線的方程為A.y=x1 B.y=xC.y=x+1 D.y=x+2二、多項選擇題8.已知函數(shù)f(x)=x33lnx1,則()A.f(x)的極大值為0B.曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為x軸C.f(x)的最小值為0D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)9.已知函數(shù)f(x)=2x+2,-2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若關(guān)于x的方程f(x)=m恰有兩個不同的根x1,x2(x1<x2),A.3 B.1 C.0 D.210.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于點2π3,0對稱,A.f(x)在0,B.f(x)在-πC.直線x=7π6是曲線y=f(xD.直線y=32x是曲線y=f(x)三、填空題11.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線,則a的取值范圍是.

12.試寫出實數(shù)a的一個取值范圍,使函數(shù)f(x)=sinx-a13.(2022·新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為,.

四、解答題14.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若存在非零實數(shù)x0,使得f(x0)=1,求f(x)在區(qū)間(∞,m](m>0)內(nèi)的最小值.15.已知函數(shù)f(x)=aexx1(a∈R),g(x)=x2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a>0時,若曲線C1:y1=f(x)+x+1與曲線C2:y2=g(x)存在唯一的公切線,求實數(shù)a的值.16.已知f(x)=a2lnx12ax2(a2a)x(a≠0)(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.專題突破練4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值1.C解析因為f(x)=(xa)33x+b,所以f'(x)=3(xa)23,令f'(x)=3(xa)23=0,得x=a1或x=a+1,判斷可得函數(shù)的極大值M=f(a1)=13(a1)+b=23a+b,極小值m=f(a+1)=13(a+1)+b=23a+b,因此Mm=4.故選C.2.B解析依題意f'(x)=2xa+1x≥0在區(qū)間(1,e)內(nèi)恒成立,即a≤2x+1x在區(qū)間(1,e)內(nèi)恒成立,令g(x)=2x+1x(1<x<e),則g'(x)=21x2=2x2-1x2=(2x+1)(2x-1)x2>0,所以3.C解析由題意得函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=3(1-x)ex.令f'(x)=0,得x=1,當(dāng)x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故f(1)是函數(shù)f(x)的極大值,也是最大值,且f(1)=3e,函數(shù)f4.A解析設(shè)直線y=kx(k>0)與曲線f(x)=xalnx(a≠0)相切于點P(x0,x0alnx0)(x0>0).由題意得,f'(x)=1ax,則以P為切點的切線方程為yx0+alnx0=1ax0(xx0),因為該切線過原點,所以x0+alnx0=1ax0(x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1ae>0,得a<e,又a≠0,故實數(shù)a的取值范圍是(∞,0)∪(0,e).故選5.C解析令a1=xex,b1=x1-x,c1=則lna1lnb1=lnxexlnx1-x=x+lnx[lnxln(1x)]=x+ln(1令y1=x+ln(1x),x∈(0,0.1],則當(dāng)x∈(0,0.1]時,y1'=111-x于是函數(shù)y1=x+ln(1x)在區(qū)間(0,0.1]內(nèi)單調(diào)遞減.于是y1<0,∴l(xiāng)na1lnb1<0,∴b1>a1.令y2=a1c1=xex+ln(1x),x∈(0,0.1],則y2'=xex+ex11令k(x)=(1+x)(1x)ex1,則當(dāng)x∈(0,0.1]時,k'(x)=(1x22x)ex>0,∴k(x)在區(qū)間(0,0.1]內(nèi)單調(diào)遞增.∴k(x)>k(0)=0.∴在區(qū)間(0,0.1]內(nèi),y2'>0,∴y2=xex+ln(1x)在區(qū)間(0,0.1]內(nèi)單調(diào)遞增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在區(qū)間(0,0.1]內(nèi),b1>a1>c1.故當(dāng)x=0.1時,有b>a>c.6.C解析如圖所示,要使|PQ|取得最小值,則曲線y=sinx(x∈[0,π])在點P處的切線與直線x2y6=0平行,對函數(shù)y=sinx求導(dǎo)得y'=cosx,令y'=12,可得cosx=12,由于0≤x≤π,所以x=2π37.C解析由題得y'=cosx設(shè)切點為(x0,y0)(x0≥0),則y'|x=x0=cosx0-sinx0ex0,令f(x)=excosx+sinx(x≥0),則f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+2sinx+π4,當(dāng)0≤x<1時,f'(x)>0,當(dāng)x≥1時,ex≥e,2sinx+π4≥2,f'(x)>0,所以?x≥0,f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則f(x)≥f(0)=0,所以方程ex0=cosx0sinx0只有一個實根x0=0,所以y0=sin0e0+1=1,故切點為(0,1),8.BC解析函數(shù)f(x)=x33lnx1的定義域為(0,+∞),f'(x)=3x23x=3x(令f'(x)=3x(x31)=0,得x=1,列表得x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的極小值,也是最小值為f(1)=0,無極大值,在定義域內(nèi)不單調(diào),故C正確,A,D錯誤;對于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y0=0(x1),即y=0,故B正確,故選BC.9.BC解析畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,因為f(x)=m的兩根為x1,x2(x1<x2),所以x1=m-22,x2=em+1,m∈(1,0],從而(x2x1)·f(x2)=em+1m-22m=me令g(x)=xex+112x2+x,x∈(1,0],則g'(x)=(x+1)ex+1x+1因為x∈(1,0],所以x+1>0,ex+1>e0=1,x+1>0,所以g'(x)>0,從而g(x)在區(qū)間(1,0]內(nèi)單調(diào)遞增.又g(0)=0,g(1)=52,所以g(x)∈52,0,即(x2x1)·f(x2)的取值范圍是52,0,故選BC.10.AD解析由題意得,f2π3=sin4π3+φ=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=4π3+kπ,又0<φ<π,所以k=2,φ=2π故f(x)=sin2x+2π3.選項A,當(dāng)x∈0,5π12時,2x+2π3∈2π3,3π2,所以f(x)在區(qū)間0,5π12選項B,當(dāng)x∈π12,11π12時,2x+2π3由函數(shù)f(x)的圖象(圖略),易知y=f(x)只有一個極值點,由2x+2π3=3π2,可得極值點為x=選項C,當(dāng)x=7π6時,2x+2π3=3π,f7π6=0,所以直線x=7π6不是曲線y=f(x)選項D,結(jié)合該選項,若f'(x)=2cos2x+2π3=1,得cos2x+2π3=12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,從而得x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,所以函數(shù)y=f(x)的圖象在點0,32處的切線斜率為y'|x=0=2cos2π3=1,切線方程為故選AD.11.(∞,4)∪(0,+∞)解析由題意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.設(shè)切點為(x0,(x0+a)ex0),則切線方程為y(x0+a)ex0=(1+x0+a)ex0又切線過原點,∴(x0+a)ex0=x0(1+x0+a)ex0,整理得x0∵曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線,∴x02+ax0a=0有2個不同實數(shù)解,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<故a的取值范圍是(∞,4)∪(0,+∞).12.(2,2)(答案不唯一)解析f(x)=sinx-aex的定義域為R,f'(x)=cosx-sinx+aex,由于函數(shù)f(x)=sinx-aex有極值,所以f'(x)=cosx-sinx+aex有變號零點,因此由cosxsinx+a=13.y=xey=xe解析當(dāng)x>0時,y=lnx,點(x1,lnx1)(x1>0)上的切線為ylnx1=1x1(x若該切線經(jīng)過原點,則lnx11=0,解得x1=e,此時切線方程為y=xe當(dāng)x<0時,y=ln(x),點(x2,ln(x2))(x2<0)上的切線為yln(x2)=1x2(xx2若該切線經(jīng)過原點,則ln(x2)1=0,解得x2=e,此時切線方程為y=xe14.解(1)因為f(x)=ax2+bx+cex,因為ex>0,所以f'(x)≥0的解集與ax2+(2ab)x+bc≥0的解集相同,且同為[0,1].所以a>0,所以f(x)=a(x2+x+1)ex(a>0),f'因為a>0,所以當(dāng)x<0或x>1時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)0≤x≤1時,f'(x)≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1處取得極大值,又由題知,極大值為3e所以f(1)=3ae=3e,解得a=所以f(x)=x2+x+1ex,f'所以f(1)=1e-1=e,f'(1)=-所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為ye=2e(x+1),即y=2exe.(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(0)=1e0所以滿足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以當(dāng)0<m≤x0時,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性易知,f(x)在區(qū)間(∞,m]內(nèi)的最小值為f(0)=1;當(dāng)m>x0時,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在區(qū)間(∞,m]內(nèi)的最小值為f(m)=m2綜上所述,f(x)在區(qū)間(∞,m]內(nèi)的最小值為115.解(1)f'(x)=aex1.當(dāng)a≤0時,f'(x)<0恒成立,f(x)在區(qū)間(∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)a>0時,由f'(x)=0,得x=lna.當(dāng)x<lna時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>lna時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)在區(qū)間(∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時,f(x)在區(qū)間(∞,lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因為曲線C1:y1=aex與曲線C2:y2=x2存在唯一的公切線,設(shè)該公切線與曲線C1,C2分別切于點(x1,aex1),(x2,x22),顯然x1由于y1'=aex,y2'=2x,所以aex1=2x2=因此2x2x12x22=aex1-x22=2x2x22,所以2x1x2x22=2由于a>0,故x2>0,從而x2=2x12>0,因此x1>1.此時a=2x2ex1=設(shè)F(x)=4(x-1)ex(x>1),則問題等價于當(dāng)x>1時,直線y=a又F'(x)=4(2-x)ex,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增而F(2)=4e2,F(1)=0,當(dāng)x→+∞時,F(所以F(x)的值域為0,4e2,故a=4e16.解(1)由題意得,當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=lnx12x2,其定義域為(0,+∞),因此f'(x)=1xx=令f'(x)>0,即1x2>0,得0<x<1,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,即1x2<0,得x>1,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).(2)由題意,函數(shù)f(x)=a2lnx12ax2(a2a)x(a≠0)的定義域為(0,+∞且f'(x)=a2xax(a2a)=當(dāng)a<0時,a>0.①若1<a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x1)>0,得x>1或0<x<a;令f'(x)<0,即(x+a)(x1)<0,得a<x<1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞),(0,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,1)內(nèi)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值,不符合題意.②若a=1,可得f'(x)=(x-