新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1習(xí)題第三章空間向量與立體幾何3.2.3

第3課時用向量方法求空間中的角課時過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角等于()A.120° B.60° C.30° D.以上均錯解析:∵l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°,∴它們所在直線的夾角為60°.則直線l與平面α所成的角為90°60°=30°.答案:C2設(shè)四邊形ABCD,ABEF都是邊長為1的正方形,FA⊥平面ABCD,則異面直線AC與BF所成的角等于()A.45° B.30° C.90° D.60°解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),∴AC=(1,1,0),BF=(0,1,1).∴AC·BF=設(shè)異面直線AC與BF所成的角為θ,∴cosθ=|cos<AC,BF>|=又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.答案:D3若a=(λ,1,2)與b=(2,1,2)的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為()A.λ<52B.λ<52,且λ≠C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥5解析:由已知,得a·b=2λ+(1)4<0,即λ<52而|a|=5+λ2,|b|=3,又<a,b>∴2λ-535+λ2答案:B4若斜線段與它在平面α內(nèi)射影的長之比是2∶1,則AB與平面α所成角為()A.π6 B.πC.23π D.5解析:設(shè)AB與平面α所成角為θ,由題意知cosθ=12,則AB與平面α所成角為π答案:B5若平面α的一個法向量為n=(4,1,1),直線l的一個方向向量為a=(2,3,3),則l與α所成角的余弦值為()A.1111 B.11C.11011 D.解析:cos<a,n>=(-2,-3故l與α所成角的余弦值為1-答案:D6在正方體ABCDA1B1C1D1中,二面角ABD1B1的大小為.

解析:如圖,以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的邊長為a,則A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(a,a,a),BB1=設(shè)平面ABD1的法向量為n=(x,y,z),則n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(a,a,a)=ax+ay+az=∵a≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,則n=(1,0,1),同理,求得平面B1BD1的法向量m=(1,1,0),∴cos<n,m>=n·m|n||m|=12而二面角ABD1B1為鈍角,故為120°.答案:120°7在正四棱錐PABCD中,高為1,底面邊長為2,E為BC的中點(diǎn),則異面直線PE與DB所成的角為.

解析:建立坐標(biāo)系如圖,則B(1,1,0),D(1,1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,1).∴cos<DB,PE>=∴<DB,PE>=π3.∴PE與DB答案:π8在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為.

答案:99如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB上的動點(diǎn).若異面直線AD1與EC所成角為60°,試確定此時動點(diǎn)E的位置.解:以DA所在直線為x軸,以DC所在直線為y軸,以DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)E(1,t,0)(0≤t≤2),則A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),D1A=(1,0,1),CE=(1,根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得:1+0×(t2)+0=2×1+(t-2所以t=1.所以點(diǎn)E的位置是AB的中點(diǎn).10如圖,在四棱錐PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值解:以{AB,AD,AP}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0),C(1,1,0),D因?yàn)锳D⊥平面PAB,所以AD是平面PAB的一個法向量,AD=(0,2,0).因?yàn)镻C=(1,1,2),PD=(0,2,2).設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),則m·PC=0,m·PD=0.即x令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一個法向量.從而cos<AD,m>=AD·所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為33能力提升1已知E,F分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中點(diǎn),則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23 B.23 C.53解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(1,0,0),E12∴AD1=(1,0,1),設(shè)平面AEFD1的法向量為n=(x,y,z),則n·AD1=0取y=1,則n=(2,1,2),而平面ABCD的一個法向量為u=(0,0,1),∴cos<n,u>=23,∴sin<n,u>=5答案:C2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,BB1的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成角的余弦值是()A.32 B.1010 C.35解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),M1,12,1,∴AM=∴AM·CN=12,|AM∴cos<AM,CN>=答案:D3在正方體ABCDA1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,則EF與BD1所成的角是()A.90° B.60° C.30° D.0°解析:如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為a,則A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),∴DA1=(a,0,a),AC=(a,a,0),BD1=(a,a∵EF⊥AC,EF⊥A1D,設(shè)EF=(x,y,z),∴EF·DA1=(x,y,z)·(a,0,EF·AC=(x,y,z)·(a,a,0)=ax+ay=∵a≠0,∴x=y=z(x≠0).∴EF=(x,x,x).∴BD1=∴BD1∥EF,即BD故EF與BD1所成的角是0°.答案:D4二面角αlβ內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到平面α,β的距離分別是5,8,且點(diǎn)P在平面α,β內(nèi)的射影間的距離為7,則二面角的度數(shù)是()A.30° B.60° C.120° D.150°解析:如圖,PA⊥α,PB⊥β,∠ADB為二面角αlβ的平面角.由題意知PA=5,PB=8,AB=7,由余弦定理,可得cos∠APB=52則∠APB=60°,故∠ADB=120°.答案:C5在空間中,已知平面α過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),若平面α與平面xOy的夾角為45°,則a=.

答案:126在長方體ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為.

解析:建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.設(shè)B1C1=1,則CC1=3=DD1.∴C1D1=3,則有B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3).∴B1C=(0,1,3),C1D=(3∴cos<B1C,答案:67如圖,在三棱錐PABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=π2,則PA與底面ABC所成角的大小為.

解析:如圖所示,∵PA=PB=PC,∴P在底面上的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=π2∴O在BC上且為BC的中點(diǎn).∴AO為PA在底面上的射影,∠PAO即為所求的角.在△PAO中,PO=32PB=32∴sin∠PAO=POPA∴∠PAO=π3答案:π8在正方體ABCDA1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是.

解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長為1,則B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0).BC1=(1,0,1),A1D=(1,0,1),BD=設(shè)平面A1BD的一個法向量為n=(1,x,y),設(shè)BC1與平面A1BD所成的角為θ,n⊥A1D,n⊥所以n·A1D=0,n·BD所以-所以n=(1,1,1),則cos<BC1,n>=BC所以sinθ=63所以cosθ=1-答案:39如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1A1CC1的大小.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).設(shè)AC的中點(diǎn)為M,連接BM.∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面AA1C1C,即BM=(1,1,0)是平面AA1C1C的一個法向量.設(shè)平面A1B1C的一個法向量是n=(x,y,z).A1C=(2,2,2),A1∴n·A1B1=2x=0,n·A1C=2x+2y2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.設(shè)法向量n與BM的夾角為φ,二面角B1A1CC1為θ,顯然θ為銳角.∴cosθ=|cosφ|=|n解得θ=π3.∴二面角B1A1CC1的大小為π★10四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=AA1=2BC,E為DD1的中點(diǎn),F為A1D的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面A1BC;(2)求直線EF與平面A1CD所成角θ的正弦值.(1)證明∵E,F分別是DD1,DA1的中點(diǎn),∴EF∥A1D1.又A1D1∥B1C1∥BC,∴EF∥BC,且EF?平面A1BC,BC?平面A1BC,∴EF∥平面A1BC.(2)解:由題意可知AB,AD,AA1兩兩垂直,以AB所在直線為x軸,以