江蘇省南京市2024年高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省南京市高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足；則（

）A． B． C．8 D．203．已知，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．在中，在上，且在上，且．若，則（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．下列說法中不正確的是（

）A．線性回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)B．當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)C．如果成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)就接近于1D．殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越低7．下列四種變換方式，其中能將的圖象變?yōu)榈膱D象的是（

）①向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的；②向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的；③橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個(gè)單位長度；④橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個(gè)單位長度；A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④8．已知直線：與直線：相交于點(diǎn)P，線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．二、多選題9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C．時(shí)，n的最大值為33D．，，，……，，……中，最大值為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（

）A．B．C．圖2中，D．圖2中，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于11．如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則（

）A．若平面，則點(diǎn)P與點(diǎn)B重合B．以D為球心，為半徑的球面與截面的交線的長度為C．若P為棱BC中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的面積為D．若P到直線的距離與到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧三、填空題12．在一次羽毛球男子單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲、乙進(jìn)入了決賽．比賽規(guī)則是三局兩勝制．根據(jù)以往戰(zhàn)績，每局比賽甲獲勝概率為0.4，乙獲勝概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，產(chǎn)生內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1或2時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，現(xiàn)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生15組隨機(jī)數(shù)為：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為．13．已知函數(shù)，若，則的最小值為.14．在邊長為3的等邊三角形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn).且交于點(diǎn)，則的值為；的最小值為.四、解答題15．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求B；(2)若D為AC中點(diǎn)，且，求．16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.17．在四棱錐中，平面平面，底面是邊長為的正方形，，取的中點(diǎn)，連接.請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并解答下列問題：

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值.18．已知．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范同：(2)設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）19．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點(diǎn)為、，為直線上一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：1．A【分析】化簡集合結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】由題意，所以.故選：A.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，再利用模的計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以.故選：B.3．A【分析】利用作差法判斷的正負(fù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即.故選：A4．C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和平面向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則．因?yàn)椋?，則．故選：C5．D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.6．C【分析】A選項(xiàng)，線性回歸方程必過；BC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義作出判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)殘差分析中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域的意義判斷.【詳解】A選項(xiàng)，線性回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，故A說法正確；B選項(xiàng)，當(dāng)相關(guān)性系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，相關(guān)性系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，故B說法正確；C選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)就越接近于1，故C說法錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越低，D說法正確；故選：C.7．B【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換、周期變換進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，?duì)于①，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，故①正確；對(duì)于②，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將函數(shù)的圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向左平移個(gè)單位長度，得到，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，將函數(shù)的圖象每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向左平移個(gè)單位長度，得到，故④正確.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B8．B【分析】由已知得到，過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，從而得到點(diǎn)軌跡為圓，設(shè)圓心為，半徑為，取的中點(diǎn)，連接，求得，設(shè)圓的半徑為，求得的最小值，再由得答案．【詳解】解：圓半徑，圓心，直線與垂直，又過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，方程為，圓心，半徑，取的中點(diǎn)，連接，由，則，則，，的最小值為．故選：B．9．ACD【分析】由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)公式，由此判斷出等差數(shù)列的單調(diào)性和符號(hào)，找到，可判定A、B；再解不等式，判定C；再由的最大值和的最小正項(xiàng)求出的最大值.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足．綜上所述，，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，要使取得最大值，則應(yīng)有，即，解得．又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值．故B不正確；對(duì)于C項(xiàng)，由A知，，解，可得．所以，時(shí)，n的最大值為33．故C正確．對(duì)于D項(xiàng)，由前面可知當(dāng)，，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，是最小正項(xiàng)，所以D正確．故選：ACD10．AC【分析】在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出的值，即可判斷A；結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷B；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)、，，因?yàn)椋獾?，故A正確；所以，，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點(diǎn)，則，可得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、、、，所以，，，所以，在圖2中，，故C正確；在圖2中，設(shè)點(diǎn)，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域的面積，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查翻折問題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法來求解相應(yīng)問題.11．ABC【分析】由線線垂直證明線面垂直判斷選項(xiàng)A；由球面與截面的交線軌跡，計(jì)算長度判斷選項(xiàng)B；由位置關(guān)系得截面形狀，計(jì)算面積判斷選項(xiàng)C；由點(diǎn)位置特征分析軌跡形狀判斷選項(xiàng)D.【詳解】正方體中，平面，平面，，正方形中，，平面，，則平面，平面，，同理，，平面，，平面，若點(diǎn)P不與B重合，因?yàn)槠矫?，則，與矛盾，故當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)P與B重合，故A正確；

，，三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)D在底面的射影為的中心H，連接DH，由，得，所以，因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以截面圓的半徑，所以球面與截面的交線是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示，，所以.，所以，同理，其余兩弦所對(duì)圓心角也等于，所以球面與截面的交線的長度為，故B正確；

對(duì)于C，過E，P的直線分別交DA、DC的延長線于點(diǎn)G，M，連接、，分別交側(cè)棱于點(diǎn)N，交側(cè)棱于點(diǎn)H，連接EH和NP，如圖所示：

則截面為五邊形，，，，，，，故，所以，，所以五邊形的面積，故C正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，點(diǎn)P到直線的距離即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，因?yàn)槠矫嫫矫妫庶c(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到的距離，由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面內(nèi)的部分，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.作幾何體截面的方法：(1)利用平行直線找截面；(2)利用相交直線找截面.找交線的方法：(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn)；(2)面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線.12．【分析】根據(jù)題意，由隨機(jī)數(shù)組來確定勝負(fù)情況，根據(jù)15組數(shù)據(jù)中滿足條件的數(shù)組個(gè)數(shù)，除以總數(shù)即可得解.【詳解】由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的15組數(shù)據(jù)中，甲獲得冠軍的數(shù)據(jù)有421，231，114，522，123，232，122，共7組，據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為．故答案為：.13．4【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象可得，且，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)椋?，則，可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.故答案為：4.14．3【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長為3的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：3；.15．(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)以及正弦定理，可得答案；（2）由題意，根據(jù)向量的基本性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，整理齊次方程，可得答案.【詳解】（1）由余弦定理得.又，所以，即.由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以..因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，即，解?16．(1)證明見解析(2)2023【分析】（1）對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得，變形為，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可；（2）由（1）可得，利用分組求和思想求和后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】（1），，可得，又由，所以，則數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)n的值為2023.17．(1)(2)【分析】（1）利用坐標(biāo)法可得異面直線夾角；（2）利用坐標(biāo)法可得線面夾角.【詳解】（1）

，且為的中點(diǎn)，，又平面平面，且平面平面，則平面，取中點(diǎn)，則，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得參數(shù)范圍；（2）由，可得，分情況討論該不等式是否有解，可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）由，得，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得；?）由，得，則，設(shè)函數(shù)，，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）得在單調(diào)遞增，恒成立，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，易知有解；因?yàn)榈慕饧癁?，則，所以，即．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)離心率和上頂點(diǎn)確定、，進(jìn)而可得雙曲線方程；（2）直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得的值，進(jìn)而可得定點(diǎn).【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)樵撾p曲線的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則由可得，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）可得、，設(shè)、，若直線的斜率不存在，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，從而可