山東省青島市2024年高三數(shù)學模擬預測卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省青島市2024年高三數(shù)學模擬預測卷一、單選題1．“數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若，且是純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．23．已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．34．已知正方形的邊長為2，正方形的內切圓上有一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．6名同學排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（

）A．72種 B．144種 C．216種 D．256種7．已知橢圓的左?右焦點分別為，，點在橢圓上，當△的面積最大時，△內切圓半徑為（

）A．1 B．2 C． D．58．已知O為坐標原點，直線：與y軸交于點M，與直線：交于點N，若∠MON的內角平分線過點P，且，則P不在直線（

）上A． B．C． D．二、多選題9．已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列是數(shù)列的前項和.以下說法正確的是（）A． B．是數(shù)列的第8項C．當時，最大 D．是公差為的等差數(shù)列10．如圖AB為圓O的直徑，點C在圓周上（異于A，B點），直線PA垂直于圓所在的平面，點M為線段PB的中點，則以下四個命題正確的是（）A．PB⊥AC B．OC⊥平面PABC．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC11．已知雙曲線C過點，且漸近線方程為，則下列結論正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的實軸長是 D．雙曲線的虛軸長是1三、填空題12．已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為．13．計算：．14．已知平行四邊形中，點為線段的中點，交于點，若，則．四、解答題15．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若內一點滿足：，，且，求.16．已知數(shù)列的前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前n項和為，證明：．17．在四棱錐中，平面平面，底面是邊長為的正方形，，取的中點，連接.請建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并解答下列問題：

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值.18．函數(shù)滿足，，且與直線相切.(1)求實數(shù)，，的值；(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖象上，若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知點，動點滿足.(1)求動點的軌跡方程；(2)記動點的軌跡為，若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.參考答案：1．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可證明充分性成立，舉例說明可證明必要性不成立，即可求解.【詳解】若數(shù)列都是等比數(shù)列，設其公比分別為為常數(shù))，則，所以當時，，為常數(shù)，由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列是等比數(shù)列，設，當，時，滿足，但都不是等比數(shù)列，故必要性不成立.所以“數(shù)列、都是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A2．B【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)的運算法則，化簡得到，結合是純虛數(shù)，求得，即可求解．【詳解】設，則因為是純虛數(shù)，可得，即，所以．故選：B.3．D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，所以，由,（當且僅當時取等號），可得的最小值為3，故選：D．4．B【分析】建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標表示，然后根據(jù)三角函數(shù)性質可得.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，得，，因為圓為單位圓，所以設，其中，則，，則．故選：B5．B【分析】根據(jù)題意分析可得，構建，求導，結合函數(shù)單調性解不等式.【詳解】∵，且，可得，故原不等式等價于，構建，則，∵，則恒成立，∴在定義域內單調遞減，且，則對于，解得，故不等式的解集為.故選：B.6．B【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運用捆綁法，分步完成即得.【詳解】先將丙與丁看成一“個”人，與除甲和乙之外的另外兩個人留下4個空，在其中選2個給甲和乙，有種方法；再考慮丙丁這“個”人和另兩個人進行全排，有種排法；最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種.故選：B.7．C【分析】由三角形面積最大得的位置，從而可求三角形的三條邊長，通過，即可求出內切圓的半徑．【詳解】由橢圓，得，，，當△的面積最大時，為橢圓的短軸的一個頂點，不妨設為上頂點，點為坐標原點，△內切圓半徑為，則，，，則，解得．故選：C．8．C【分析】先求得，再根據(jù)的內角平分線過點，根據(jù)角平分線的性質可得，進而根據(jù)可得，進而逐個選項判斷即可.【詳解】依題意，，聯(lián)立，解得；因為的內角平分線過點，故存在，使得，則，解得，故，即，代入可得C不滿足.故選：C9．BC【分析】根據(jù)題意，求得，結合題意，得到，結合等差數(shù)列的性質的求和公式，逐項判定，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的首項，公差，可得，對于A中，根據(jù)題意，可得，所以公差為，所以數(shù)列的通項公式為，所以A錯誤；對于B中，由，令，解得，所以B正確；對于C中，令，解得，所以或時，取得最大值，所以C正確；對于D中，由，可得，所以是公差為，所以D錯誤.故選：BC.10．CD【詳解】利用反證法思想說明AB錯誤；由直線與平面平行的判定判斷C；由平面與平面垂直的判定判斷D．【解答】解：對于A，假設PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA，又PA∩PB＝P，平面，∴AC⊥平面PAB，而平面，則AC⊥AB，與∠CAB是銳角矛盾，故A錯誤；對于B，∵點C是圓周上的任意一點，∴OC與AB不一定垂直，若OC⊥平面PAB，則OC一定與AB垂直，故B錯誤；對于C，∵點M為線段PB的中點，點O為AB的中點，∴OM∥PA，而OM?平面PAC，PA?平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正確；對于D，∵PA垂直于圓所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC，且PA∩AC＝A，平面，∴BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，則平面PAC⊥平面PBC，故D正確．故選：CD．11．AC【分析】根據(jù)已知條件雙曲線的方程，進而求得，由此對選項逐一分析即可得解.【詳解】對于A，設雙曲線方程為，將點代入，可得，又雙曲線的漸近線方程為，所以，聯(lián)立，解得，所以雙曲線的方程為，故A正確；對于B，因為雙曲線為，所以，所以雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于C，因為，所以雙曲線的實軸長是，故C正確；對于D，因為，所以雙曲線的虛軸長是2，故D錯誤.故選：AC.12．1215【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得的值后，利用二項式定理展開式的通項公式求解即可.【詳解】，，，．展開式第項：，．故答案為：1215.13．0【分析】由對數(shù)運算、指數(shù)冪運算以及特殊三角函數(shù)值即可求解.【詳解】由題意.故答案為：0.14．/【分析】作出圖像，利用平面向量的加減和數(shù)乘運算法則即可求解.【詳解】作圖如下，

則，故，，．故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將中的邊化為角，展開并利用兩角和的正弦公式化簡可得答案；（2）首先確定相關角的大小關系,設，然后分別在和中應用正弦定理，得到，化簡整理求得最后結果.【詳解】（1）由正弦定理及，得，又，所以，故，即.又因為，所以，又，解得.（2）因為，，所以，設，則，即，在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得；則，所以，解得.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意，根據(jù)計算可得，結合等比數(shù)列的定義和通項公式即可求解；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列前n項求和公式計算求出，則，根據(jù)放縮法可得，結合等比數(shù)列前n項求和公式與裂項相消求和法計算即可證明.【詳解】（1）∵，∴，由及，得，即，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴；（2）∵，∴，從而，∵，∴；又，∴，綜上所述：．17．(1)(2)【分析】（1）利用坐標法可得異面直線夾角；（2）利用坐標法可得線面夾角.【詳解】（1）

，且為的中點，，又平面平面，且平面平面，則平面，取中點，則，則以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，則，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）得，則，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以與平面所成角的正弦值為.18．(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，可推得，又已知切線方程，設出切點，根據(jù)導函數(shù)即可解得的值；（2）由已知可得，，進而可推得是等差數(shù)列，求出，.則原不等式可轉化為，對是奇數(shù)以及偶數(shù)進行討論，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，，，又，，所以有，解得，所以，.因為函數(shù)與直線相切，設切點為，則，，即，解得，所以，，，，所以.（2）由（1）知，，即.當時，，解得或（舍去）；當時，有，，所以有，整理可得，因為，所以，即.所以，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以，，.則不等式對于任意恒成立，可轉化為，即對于任意恒成立.①當為偶數(shù)時，即有恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立，此時有；②當為奇數(shù)時，即有恒成立，令，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.又，，所以當為奇數(shù)時，最小值為.所以，，即有.綜上所述，.【點睛】在求解數(shù)列不等式恒成立時，常采用分離參數(shù)轉變?yōu)榍笞钪档姆椒?，然后結合不等式或者構造函數(shù)求導得到數(shù)列的單調性，進而得到最值.本題將分離后，轉化為對于任意恒成立.考慮到的正負問題，對分為奇數(shù)和偶數(shù)討論，然后結合基本不等式以及構造函數(shù)求導得到的單調性，進而得到最值，最終求得的取值范圍.19．(1)(2)1【