第三章 點(diǎn)、直線及平面的投影

第三章點(diǎn)、直線及平面投影§3－1點(diǎn)的投影§3－2直線的投影§3－3平面的投影通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)及畫圖實(shí)踐，可以體會(huì)到畫一個(gè)物體的三視圖，實(shí)質(zhì)上是畫出組成物體的各個(gè)面的投影，而各個(gè)面是由棱線圍成的，各棱線是由兩個(gè)端點(diǎn)決定的。因此，為了迅速而正確地畫出物體的視圖，還需研究構(gòu)成物體的基本幾何元素點(diǎn)、線、面的投影。點(diǎn)線面的投影規(guī)律§3－1點(diǎn)的投影Pb

●APB1●B2●B3●一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a

●●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置采用多面投影，可確定點(diǎn)的空間位置。HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面正投影面（簡稱正面或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）側(cè)投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直WHVoX空間點(diǎn)A在三投影面體系上的投影a

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影a

●a●a

●A●ZY空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaa

yayaXYYO

●●az●x①a

a⊥OX軸②aax=a

az=y=A到

V面的距離a

ax=a

ay=z=A到

H面的距離aay=a

az=x=A到

W面的距離●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay點(diǎn)的投影規(guī)律連影垂軸例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！瘛馻

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過作45°線使a

az=aax用圓規(guī)直接量取a

az=aax側(cè)面投影a"反映A點(diǎn)Y和Z的坐標(biāo)。OAVHWa'aa"XZY點(diǎn)的三面投影和坐標(biāo)的關(guān)系為：水平投影a反映A點(diǎn)X和Y的坐標(biāo)；正面投影a'反映A點(diǎn)X和Z的坐標(biāo)；xzyxzya′aa″作圖步驟：（1）畫出坐標(biāo)原點(diǎn)及各軸;（2）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)求其V、H面的投影

a′,a;（3）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求出第三投影

a″。例1.已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，10，15）,求其三面投影。A特殊位置點(diǎn)：投影面上的點(diǎn)點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。d′dee′f′f″e(cuò)″fd″zxYW

YH0例：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影aa′a″三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x坐標(biāo)大的在左

y坐標(biāo)大的在前z坐標(biāo)大的在上XYHYWZObab

a

a

b

a′a″B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下b″b′作圖步驟：（2）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律,求其第三投影b”。（1）根據(jù)B的相對(duì)位置求其V.H面的投影b’,b;例2.已知B點(diǎn)在A下10，A后5，A左10

mm處，求B點(diǎn)的三投影。AB空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、B為V面的重影點(diǎn)重影點(diǎn)●●●XYZOVHWAaa

a(b’)xaazay●Bbb’’被擋住的投影加()●●●XYZOVHWAaa

(a

)b’xaazay●Bbb’’重影點(diǎn)的判別與標(biāo)注重影點(diǎn)的判別：投影在V面上重合時(shí)，前者可見(Y坐標(biāo)大的可見)投影在H面上重合時(shí)，上者可見(Z坐標(biāo)大的可見)；投影在W面上重合時(shí)，左者可見(X坐標(biāo)大的可見)。標(biāo)注：將在某投影面上不可見的點(diǎn)加括號(hào)標(biāo)注以示區(qū)別。作圖步驟：2.求D點(diǎn)的三投影

d,d

’,d

”

1.求C點(diǎn)的三投影

c,c’,c”;

ABCD（C）例3.已知C點(diǎn)距W面5、距V面10、距H面10mm，D點(diǎn)距W面15、距V面10、距H面5mm，求

C、D二點(diǎn)的三面投影,并判別其可見性。一、直線的三面投影b′b"ba′a"a直線的投影由線上二點(diǎn)A、B確定:將A、B的同面投影相連即為線的三面投影§3－2直線的投影AMB●a≡b≡m●●●1、直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)

ab=0積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα直線投影的基本特性

一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個(gè)點(diǎn)?！瘛馻bαABA●●

◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。點(diǎn)在直線上的判別方法：ABCVHbcc

b

a

a定比定理2、直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：

1)從屬性若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。

2)定比性屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即ABbb

aa

XOcc

CAC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

例1：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。abka

b

k

●●例2：線段AB上的一點(diǎn)K把AB分成AK：KB=1：2，求作點(diǎn)K的投影。a

b

●k

abka

b

k

k1b1作圖步驟：1、過a作直線ab1

，并取ak1：

k1b1=1：22、連bb1，過k1作bb1的平行線與ab相交，得點(diǎn)K的水平投影k3、作點(diǎn)K的側(cè)面投影和正面投影。例3已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。Ob

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV三、直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線：投影面垂直線：正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線：統(tǒng)稱特殊位置直線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面與三個(gè)投影面都傾斜的直線平行于V面的直線

Y坐標(biāo)相等，稱為正平線；直線與V面的夾角稱為

;在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長及傾角的真實(shí)大小另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸1.投影面平行線——總有一組坐標(biāo)相等,一個(gè)傾角為零.定義：

傾角：

投影規(guī)律：

(總有一個(gè)傾角為0)投影面平行線水平線正平線側(cè)平線直線與V面的夾角稱為

；垂直于V面的直線X.Z坐標(biāo)相等，稱為正垂線；

H

X.Y

鉛WY.Z側(cè)H

W

——

總有二組坐標(biāo)相等,二個(gè)傾角為零.定義：

傾角：

投影規(guī)律：

2.投影面垂直線

(總有二個(gè)傾角為0)投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線直線與V面的夾角稱為

;H

W

a′

ab′

bb"a"3.投影面傾斜線

——

一般位置直線定義：

傾角：

投影規(guī)律：

H與三投影面均傾斜的直線；三投影均小于實(shí)長，三傾角均不是真實(shí)大小。(三傾角不為0

和90

)四、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置可分為：兩直線平行兩直線相交兩直線交叉（異面）平行相交交叉⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其同名投影必然相互平行。反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例4：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD例5試判斷直線AB、CD是否平行X方法一補(bǔ)畫第三投影,判斷是否平行ad’b’a’dcbc’d’’b’’a’’c’’方法二ab:cd不等于a’b’:c’d’結(jié)論:AB與CD不平行要用兩個(gè)投影判斷空間兩直線是否平行時(shí)，其中應(yīng)包括反映實(shí)長的投影。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必須符合點(diǎn)的投影規(guī)律(kk′⊥ox軸)。交點(diǎn)K是兩直線的共有點(diǎn)●●cabb

a

c

d

k

kd例1：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影例2試作一直線MN與AB、CD兩直線相交,且平行EF(m’)af’OXe’fdecbc’(a’)b’d’分析作圖步驟（1）過m’作直線m’n’平行e’f’,且與c’d’交于n’n’(2)由n’求得nn過n作nm平行ef,交ab于m,直線MN即為所求。md

b

a

abcdc’1

(2

)3(4)投影特性：

1)同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。

2)“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●12●●3

4

●●HV3.兩直線交叉（異面）例判斷兩直線的相對(duì)位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1兩直線交叉判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。例判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性b

Obc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)練習(xí)1：已知立體上直線AB、CD的空間位置，在投影圖中標(biāo)注其投影位置，并填空。(C″)(d″)練習(xí)2：已知直線AB、AC的二投影，求二直線的第三投影,并說明其空間位置和反映實(shí)長的投影。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

1、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

2、直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●3、兩平行直線abca

b

c

●●●●●●4、兩相交直線●●●●●●abca

b

c

5、任意平面圖形(三角形、四邊形、圓等)§2－3平面的投影平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影反映實(shí)形★平面垂直投影面-----投影積聚成直線★平面傾斜投影面-----投影類似原平面⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、平面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面:特殊位置平面

正垂面:

側(cè)垂面:鉛垂面:

正平面:

側(cè)平面:

水平面:垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜VWHQQV投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

為ABC的類似形

3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實(shí)大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面(⊥V面)側(cè)垂面(⊥W面)VWHSWS投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

VWHPPH投影特性：1、

abc積聚為一條線

2、

a

b

c

、

a

b

c

為

ABC的類似形

3、

abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實(shí)大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

鉛垂面(⊥H面)VWH投影特性：

1、水平投影abc

、側(cè)面投影

a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2、正平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA正平面(∥V面)VWH投影特性：

1、正面投影a

b

c

、側(cè)面投影

a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2、水平投影abc反映

ABC實(shí)形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

水平面(∥H面)投影特性：

1、水平投影abc

、正面投影a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2、側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形

VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

側(cè)平面(∥W面)一般位置平面投影特性

1、abc

、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形

2、不反映

、

、

的真實(shí)角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB

練習(xí)1:已知立體上平面P、Q、R的空間位置，在投影圖中標(biāo)注其投影位置,并填空。水平鉛垂側(cè)垂

練習(xí)2:已知平面的兩個(gè)投影,求作其第三投影,并填空。

1(6)26″5″4″3″1″2″7″(6″)3″1″(2″4″5″)21(6)1(6)1(6)三、平面上的直線和點(diǎn)1、平面上取任意直線判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)定理一:若一直線通過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi).定理二:若一直線通過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi).abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：根據(jù)定理一根據(jù)定理二有多少解？有無數(shù)解例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？⒉平面上的點(diǎn)先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定