上海市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)試題中的呈現(xiàn)

【學(xué)生版】例析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)試題中的呈現(xiàn)

綜觀，近幾年的各地高考數(shù)學(xué)科目的命題的基本思想與試卷特點(diǎn)，都是：試卷立足基礎(chǔ)知識(shí)，凸顯數(shù)

學(xué)特點(diǎn)，重視核心素養(yǎng)，關(guān)注社會(huì)發(fā)展，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用。落實(shí)高考內(nèi)容改革總體要求,

貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔

功能和育人導(dǎo)向作用。

那么，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高考試題中又是如何呈現(xiàn)與考查的？在此，不妨結(jié)合具體試題作一例析；

一、數(shù)學(xué)抽象用數(shù)學(xué)思辨呈現(xiàn)

例1、設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽，/(X+1)為奇函數(shù)，/(X+2)為偶函數(shù)，當(dāng)XG[1,2]時(shí)，f(x)^ax2+h;

若/(0)+∕(3)=6,則/(g)=(

)

932?

A.B.C.D.

4242

說明數(shù)學(xué)抽象考查方式分析：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。本題

主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象，另外也考查了考生的運(yùn)算能力和邏輯推理

能力；當(dāng)然，在解決填充與選擇題時(shí)不妨可以借助一些二級(jí)結(jié)論；比如：本題遇到函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候，

借助推得的周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果；

【數(shù)學(xué)抽象】是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、

圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且

用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。具體表現(xiàn)：①形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則；②形成數(shù)學(xué)命題與模型；③形成

數(shù)學(xué)方法與思想；④形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系；

練習(xí)1、已知/(x)=3SinX+2,對(duì)于任意的Z∈O,y,都存在Xle0,-,使得/(玉)+2/(馬+6)=3

成立，則下列選項(xiàng)中，?？赡艿闹凳?)

說明本題本質(zhì)就是求三角函數(shù)的值域，通過關(guān)鍵詞‘'任意"、“存在”與方程，構(gòu)建了以集合間關(guān)系為

解題的“切入點(diǎn)”，同時(shí)考查了：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；主要考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心

素養(yǎng)，通過整體代入法解決三角函數(shù)問題。

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算用量化突出呈現(xiàn)

例2、已知某企業(yè)今年(2021年)第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個(gè)季度的營業(yè)額比上個(gè)季

度增加0.05億元，該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長(zhǎng)4%；

(1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和；

(2)請(qǐng)問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

注解數(shù)學(xué)運(yùn)算考查分析：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；

本題是一道數(shù)列應(yīng)用題，只要通過閱讀、理解題意，就是一道常規(guī)的數(shù)列解答題；同時(shí)考查對(duì)數(shù)運(yùn)算與上

海高考允許計(jì)算器待入考場(chǎng)的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單的根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)處理；考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算，另外也

考查了考生的邏輯推理能力；

【數(shù)學(xué)運(yùn)算】是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題；主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握

運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果。具體表現(xiàn)：①理解運(yùn)算對(duì)象；

②掌握運(yùn)算法則；③探索運(yùn)算思想；④設(shè)計(jì)運(yùn)算程序。

練習(xí)2、設(shè)復(fù)數(shù)z∣,z?滿足IZll=IZ21=2,zl+z2=√3+i,貝∣J∣z∣-Z2∣=

說明方法1：本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一

道中檔題；方法2：利用共趣復(fù)數(shù)性質(zhì)“整體計(jì)算”；方法3：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)

化為幾何問題求解；熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義與運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、

正確解方程組、結(jié)合題設(shè)“整體”計(jì)算、數(shù)形結(jié)合結(jié)合余弦定理“整體計(jì)算”都可以；當(dāng)然，迅速、規(guī)范、

準(zhǔn)確“計(jì)算”是解答本題的關(guān)鍵。

三、邏輯推理用能力立意呈現(xiàn)

例3、已知qeN*(i=l,2,3,,9),對(duì)任意的％∈N*(2≤攵≤8),4=q_1—1或4=—1中有且

僅有一個(gè)成立，且α∣=6,4=9,則％+%+…+%的最小值為

說明邏輯推理考查方式分析：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)；

本題的核心點(diǎn)在對(duì)于兩個(gè)遞推關(guān)系的理解與等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后，結(jié)合題設(shè)要求“和最小”；進(jìn)行枚舉或遞推

分析；對(duì)于考試的分析問題、解決問題能力有一定要求；主要考察了學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)，根據(jù)題設(shè)推

理出1,2連續(xù)朝著值最小，從而判斷出整體的最小值，雖然較為簡(jiǎn)單但容易出錯(cuò)；另外也考查了考生的

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

【邏輯推理】是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。主要包括兩類，一類

是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納推理、類比推理；一類是

從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理。具體表現(xiàn)：①發(fā)現(xiàn)和提

出命題；②掌握推理的基本形式和規(guī)則；③探索和表述論證的過程；④構(gòu)建命題體系；⑤表達(dá)與交流。

練習(xí)3、把函數(shù)y=∕(χ)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平

的圖像，則/O)=(

XIx

A.sin2^^12B.sinC.sinD.sin

說明本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以逆向地“邏輯推理”

通過變換求解，關(guān)鍵是要注意每一步變換，對(duì)應(yīng)的解析式中都是X的變換，圖像向左平移4個(gè)單位，對(duì)應(yīng)

X替換成x+α,圖像向右平移”個(gè)單位，對(duì)應(yīng)X替換成x-α,牢記“左加右減”口訣；圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫

坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來的k倍，對(duì)應(yīng)解析式中X替換成X。

7

四、直觀想象用形數(shù)兼?zhèn)涑尸F(xiàn)

例4、已知拋物線V=2px(p>0),若第一象限的點(diǎn)4B在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為R

∣AF∣=2,∣BF∣=4,∣Λfi∣=3.則直線AB的斜率為

注解直觀形象考查方式分析：直觀形象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形

理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于解析幾何的基本計(jì)算，甚至

都不需要利用幾何關(guān)系。定義、弦長(zhǎng)、斜率都是解析幾何的基本概念與公式；而用好拋物線的定義、數(shù)形

結(jié)合與平面幾何的性質(zhì)，則可減少計(jì)算量；考查了學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)，通過幾何意義容易求出斜率來；

【直觀想象】是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的

思想過程。主要包括利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問

題的思路。具體表現(xiàn)：①利用圖形描述數(shù)學(xué)問題；②利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；③利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)

問題；④構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。

練習(xí)4、關(guān)于函數(shù)/(x)=SinlXI+∣sinx∣有下述四個(gè)結(jié)論：

TT

①AX)是偶函數(shù)；②/U)在區(qū)間(一，π)單調(diào)遞增；③AX)在［-兀,汨有4個(gè)零點(diǎn)；刨x)的最大值為2；

2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

說明本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)?？疾榈闹饕诵乃仞B(yǎng)是直觀想象，另外也考查了考生的邏

輯推理能力。

五、數(shù)學(xué)建模用閱讀理解呈現(xiàn)

例5、在圓柱底面半徑為1,高為2,AB為上底底面的直徑,點(diǎn)C是下底底面圓弧上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則ΔABC面積的范圍

說明數(shù)學(xué)建?？疾榉绞椒治觯簲?shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法

構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。一般的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型，線性規(guī)劃模型，幾何模型等；本題主要考查了圓

柱的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模（選擇求三角形面積的方案），等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；

【數(shù)學(xué)建?！渴侵笇?duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決

問題的思維過程。主要包括在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求

解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果。具體表現(xiàn)：①發(fā)現(xiàn)和提出問題；②建立模型；

③求解模型；④檢驗(yàn)結(jié)果和完善模型；

練習(xí)5、近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三

類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾的分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中

總計(jì)Iooot生活垃圾，經(jīng)分揀以后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（單位：t）.根據(jù)樣本估計(jì)本市生活垃圾的分類投放情

況，則下列說法正確的是（）

“廚余垃圾''箱“可回收垃圾''箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾400100100

可回收垃圾3024030

其他垃圾202060

A.廚余垃圾投放錯(cuò)誤的概率為：2

.3

B.居民生活垃圾投放正確的概率為正

C.該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是其他垃圾

D.廚余垃圾在“廚余垃圾''箱、"可回收垃圾''箱、"其他垃圾”箱的投放量的方差為20000

說明解決與生產(chǎn)、生活實(shí)際相結(jié)合的問題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真讀題，讀懂題意；二是會(huì)觀察圖表，會(huì)利用

數(shù)據(jù)，并進(jìn)行規(guī)范與精準(zhǔn)的處理；三是會(huì)利用頻率估計(jì)概率，會(huì)利用方差的公式求方差。

六'數(shù)據(jù)分析用圖表結(jié)合呈現(xiàn)；

例6、《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大

名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅

樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的

學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

說明數(shù)據(jù)分析考查方式分析：數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分

析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)；本題主要考查Venn圖及概率與頻率的關(guān)系?？疾榈闹饕诵?/p>

素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析，另外也考查了考生的閱讀理解能力。

【數(shù)據(jù)分析】是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析推斷，形成已

學(xué)知識(shí)的思維過程。即是通過對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)問題中大量數(shù)據(jù)的分析和加工，看我們能否獲得數(shù)據(jù)提供的信

息及其所呈現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而分析隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，主要包括收集數(shù)據(jù)提取

信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)獲取知識(shí)。具體表現(xiàn)：①數(shù)據(jù)獲??；②數(shù)據(jù)分析；

③知識(shí)構(gòu)建。

練習(xí)6、在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單

量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0?95,則至少需要志愿者（）

A.IO名B.18名C.24名D.32名

說明本題考查了等可能事件概率的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題；這道題是考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和直觀

想象素養(yǎng)。

綜上，在復(fù)習(xí)備考中如何滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?如何落實(shí)關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？對(duì)此，用好用實(shí)教

材是首選，要充分挖掘教材的編排意圖，發(fā)現(xiàn)教材的核心主線，開發(fā)教材試題；使試題的訓(xùn)練功能得以充

分體現(xiàn)，讓學(xué)生真正體會(huì)高考植根于教材，用好教材“母題”；其次，強(qiáng)調(diào)“四基”，就要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本

質(zhì)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本

思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上促使學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【教師版】例析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)試題中的呈現(xiàn)

綜觀，近幾年的各地高考數(shù)學(xué)科目的命題的基本思想與試卷特點(diǎn)，都是：試卷立足基礎(chǔ)知識(shí)，凸顯數(shù)

學(xué)特點(diǎn)，重視核心素養(yǎng)，關(guān)注社會(huì)發(fā)展，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用。落實(shí)高考內(nèi)容改革總體要求,

貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔

功能和育人導(dǎo)向作用。

那么，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高考試題中又是如何呈現(xiàn)與考查的？在此，不妨結(jié)合具體試題作一例析；

一、數(shù)學(xué)抽象用數(shù)學(xué)思辨呈現(xiàn)

例1、設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽，/(X+I)為奇函數(shù)，/(X+2)為偶函數(shù)，當(dāng)XG[1,2]時(shí)，f(x)=ax2+b;

^/(0)+/(3)=6,則/

2

2

提示【2021年全國高考數(shù)學(xué)甲卷(理)】由題設(shè)已知/(x+l)是奇函數(shù)和/(x+2)是偶函數(shù)條件，通過

理解函數(shù)的奇偶性定義及其代數(shù)表示，進(jìn)行轉(zhuǎn)化；進(jìn)而利用給定區(qū)間上函數(shù)解析式或周期性結(jié)論，即可得

到答案；

【答案】D；

解析因?yàn)?(x+l)是奇函數(shù)，所以/(-x+l)=-∕?(x+l)①；

又因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(-x+2)=∕(x+2)②；

令x=l,由①得：/(0)=-∕(2)=-(4α+0),由②得：/(3)=∕(l)=α+b,

因?yàn)?(。)+/(3)=6,所以一(4α+∕j)+α+b=6=α=-2,

令X=0,由①得：/(D=-Zd)=>∕(D=0=>^=2,所以/(X)=—2/+2；

方法一：從定義入手:

d-1)=d-冽T冽T(D

-“)=-也+2)=-/鳥+2卜-嗚)

所以唱T(IH?

方法二：從周期性入手：

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)/(X)的周期T=4；所以/(g)=∕(g)=-∕[T]=g;

故選：D；

說明數(shù)學(xué)抽象考查方式分析：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。本題

主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象，另外也考查了考生的運(yùn)算能力和邏輯推理

能力；當(dāng)然，在解決填充與選擇題時(shí)不妨可以借助一些二級(jí)結(jié)論；比如：本題遇到函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候,

借助推得的周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果；

【數(shù)學(xué)抽象】是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、

圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且

用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。具體表現(xiàn)：①形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則；②形成數(shù)學(xué)命題與模型；③形成

數(shù)學(xué)方法與思想；④形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系；

TΓTT

練習(xí)1、已知/(x)=3SinX+2,對(duì)于任意的％∈0,y,都存在為e0,y,使得/(斗)+2/(々+6)=3

成立，則下列選項(xiàng)中，。可能的值是()

.2)π?4π?6πl(wèi)π

A?LJ.Cz.nD.

5555

提示【2021年上海市高考數(shù)學(xué)】注意仔細(xì)審題，關(guān)注關(guān)鍵詞“任意的”、“都存在”；

【答案】D

解析方法1、由題設(shè)/(玉)+2/(々+6)=3,變形得/(x∣)=3—2/(%+6),

又由題設(shè)“/。)=3$皿》+2對(duì)任意的司€[0,京，都存在々∈[0,g使得/(玉)+2/(々+。)=3成立”，

若設(shè)函數(shù)/(x)=3SinX+2對(duì)任意的斗€(wěn)[(),]]的值域?yàn)锳,

設(shè)函數(shù)片3-2/(々+。)=一1—6sin?+6),.e[0,當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)?,則A=B,

7Tf7TT19τr

又因?yàn)?(x1)∈[2,5]；而y=3-2/(X2+。)=一1一6Sin(X2+，)，當(dāng)夕二三時(shí)，x2+∈[―,，

1Qjr__1QTT

y=3—2∕(X2+^)=-1-6sin(x2+^)∈[l-6sin-?e-,5],≡l-6sin-??-≈0.85<2符合題意；

方法2、由題意，得3sin玉+2+2[3免〃(々+。)+2]=3,解得S山(々+。)==?，

m

又對(duì)于任意的x∣∈[O,∣J時(shí)，sin(/+。)=-SJT∈[-1,-Ij,

原問題，等價(jià)為：當(dāng)馬€[0,總時(shí)，即％+。引。，6+自時(shí)，si〃(巧+仍取遍[T,-J能所有的數(shù)；

所以，一定存在整數(shù)Z,

7TT3TrTT341?ττre

使得：[2k兀+C，2Z萬+二]=2，6+芻或者[2kπ+-,2kπ+—]^?θ,θ+-],

62~226~2

解得eeγikπ+竺，2br+必]或者6e[2kπ+-,2kπ+-],所以選D；

6666

方法3、/(玉)=3sinX+2,2/(X2+6)=6sin(x2+^)+4,∕(x1)+2∕(x2+6)=3,

sinx1+2sin(x2+^)=-l,sinx1∈[0,l],sin(x2+^)∈[-l,-??],

7TT43τr

Θ∈[2kπ+兀,2kπ+不]或6∈[2kπ+-π,2kπ+?],k∈Z,

θ=-,xx=0,x2∈[0,2m上有2解，々=也，王任[03]，舍去e的可能值是衛(wèi)，選D;

5303025

說明本題本質(zhì)就是求三角函數(shù)的值域，通過關(guān)鍵詞“任意”、“存在”與方程，構(gòu)建了以集合間關(guān)系為

解題的“切入點(diǎn)”，同時(shí)考查了：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；主要考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心

素養(yǎng)，通過整體代入法解決三角函數(shù)問題.

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算用量化突出呈現(xiàn)

例2、已知某企業(yè)今年(2021年)第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個(gè)季度的營業(yè)額比上個(gè)季

度增加0.05億元，該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長(zhǎng)4%；

(1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和；

(2)請(qǐng)問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

提示【2021年上海市高考數(shù)學(xué)】注意仔細(xì)閱讀與轉(zhuǎn)化；(D根據(jù)每個(gè)季度比上個(gè)季度營業(yè)額增加0.05

億元可以知道數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列，求解20季度營業(yè)收入總額為即為等差數(shù)列前20項(xiàng)的和；(2)通過

數(shù)列通項(xiàng)公式建立數(shù)列不等式，利用計(jì)算器計(jì)算求解不等式即可；

【答案】(1)31.5；(2)2027年第二季度該公司的利潤首次超過該季度營業(yè)收入的18%；

解析(1)依題意：營業(yè)額是首項(xiàng)為1.1,公差為0.05的等差數(shù)列；

2∩×1Q

所以，所以2021到2025年，前20季度營業(yè)額之和為：S20=20×l.l+-y^×0.05=31.5(億)

(2)設(shè)2021年起第〃季度(〃eN*)滿足條件，依題意：

l

第”季度的營業(yè)額為：all=lΛ+(n-l)×0.05=0.05?+1.05,第〃季度的利潤為：0.16?(l+4%r^,

依題意：0.16?(1+4%)”τN(0.05"+l.05)x18%,通過近似計(jì)算或利用計(jì)算器，解得：“≥26,所以，

今年起第26個(gè)季度時(shí)滿足條件；即2027年第二季度該公司的利潤首次超過該季度營業(yè)收入的18%.

注解數(shù)學(xué)運(yùn)算考查分析：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；

本題是一道數(shù)列應(yīng)用題，只要通過閱讀、理解題意，就是一道常規(guī)的數(shù)列解答題；同時(shí)考查對(duì)數(shù)運(yùn)算與上

海高考允許計(jì)算器待入考場(chǎng)的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單的根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)處理；考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算，另外也

考查了考生的邏輯推理能力；

【數(shù)學(xué)運(yùn)算】是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題；主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握

運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果。具體表現(xiàn)：①理解運(yùn)算對(duì)象；

②掌握運(yùn)算法則；③探索運(yùn)算思想；④設(shè)計(jì)運(yùn)算程序。

練習(xí)2、設(shè)復(fù)數(shù)z∣,Z?滿足IZll=IZ21=2,z1+z2=√3+?,貝!∣∣Zl-Z?|=

提示【2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)∏)】

思路1、令Z]=α+i>i(α.0eR),z2=c+di(c.deR),根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得公■+次/=-2,代入復(fù)數(shù)模

長(zhǎng)的公式中即可得到結(jié)果；

思路2、利用共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì)IZF=Z二，整體計(jì)算；

思路3：設(shè)復(fù)數(shù)z「內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ZLZ2,OP=OZl+OZ2,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平

行四邊形OZ/Z2為菱形，IOPI=IOZll=IOZ21=2,進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計(jì)算

IZ1-Z21：

【答案】26；

解析方法1:設(shè)z∣=α+6i(α.beR),z2=c+di(c.deR),

a+c=?∕3

所以，zi+z2=a+c+(b+d)i=y∣3+i,所以，?

b+d=1

又IZII=IZ21=2,所以，α2+?2=4,c2+J2=4,^flU(6Z+c)2+(?+<√)2=a2+c2+h2+d2+2(ac+hd)=4,

2

所以(ac+?∕)=-2,所以IZI-Z21=|(。-c)+(6—d)i∣=J(a-c)+(b-d/=y∣8-2(ac+bd)=√8+4=2y∣3i

故答案為：28；

方法2：復(fù)數(shù)zl,z?滿足IZll=IZ21=2,zi+z2=y∣3+i,所以∣z∣+Zz∣=2,

所以IZ[+z2F=(Z[+Z2>z∣+Z2=4，則8+z∣Z2+ZR?=4?得z∣Z2+z∣Z2=-4?

所以，IZl-Z2F=8-(z∣Z2+z∣z1=12,又IZl-Z2∣>O,故IZl-Z2∣=2√5;

故答案為：2也；

方法3：如圖所示，設(shè)設(shè)復(fù)數(shù)z∣,Z?所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z∣,Z2,OP=OZ1+OZ2,

由已知IOPl=百斤=2=|OZll=IOZ21,所以，平行四邊形OZlPZ2為菱形，

且AO%,AOPZ2都是正三角形，則NZ0Z2=12O0,

222COSO22

IZ1Z21=IOZ1I+1OZ21-21OZ1∣∣OZ2∣120=2+2-2?2?2?(-∣)=12

所以，％-Z2∣=∣Z∣Z2∣=2招;

說明方法1：本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一

道中檔題；方法2：利用共扼復(fù)數(shù)性質(zhì)“整體計(jì)算”；方法3：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)

化為幾何問題求解；熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義與運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、

正確解方程組、結(jié)合題設(shè)“整體”計(jì)算、數(shù)形結(jié)合結(jié)合余弦定理“整體計(jì)算”都可以；當(dāng)然，迅速、規(guī)范、

準(zhǔn)確“計(jì)算”是解答本題的關(guān)鍵。

三、邏輯推理用能力立意呈現(xiàn)

例3、已知qeN*(i=l,2,3,…，9),對(duì)任意的女∈N*(2≤%≤8),4=%∣—1或4=4用—1中有且

僅有一個(gè)成立，且4=6,a9=9,則α∣+4+…+%的最小值為

提示【2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷】注意閱讀與等價(jià)轉(zhuǎn)化題設(shè)中的遞推關(guān)系;

【答案】31；

解析方法1：由題設(shè)，知：ai≥?;

g=q+1或%=%-1中恰有一個(gè)成立;

〃3=%+1或。3=%一1中恰有一個(gè)成立;

必=%+ι或%=佝-1中恰有一個(gè)成立；

則①4=4+1=7,a3=a4-1,a5=a6-I9a1=as-I9

則q+4-----%=25+2(%+%+%)，當(dāng)4=%=%=1時(shí)，q+4"I----內(nèi)的和為最小值為：31；

(2)a2=ɑ3-1,a4=a5-I9aβ=a1-?9?=?9-1,

則4+。2T-----卜佝—26÷2(4+。6+。8)，當(dāng)。4=。6=〃8=1時(shí)，q+。2"-卜％的和為最小值為：32；

因此，4+%+…+%的最小值為：31；

(方法2：/=q+ι或出=/τ中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：4=q+1或%=2+1中恰有一個(gè)成立;

%=<?+ι或%-1中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：%=g+ι或4=%+ι中恰有一個(gè)成立；

%=%+ι或■=。9-1中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：/=%+1或%=必+1中恰有一個(gè)成立；

又要求4+4+…+%的和為最小，所以，希望盡量出現(xiàn)1和2,

則有數(shù)列：6,1,2,1,2,1,2,8,9或6,7,1,2,1,2,1,2,9；

因此，<2∣+β2H-----F內(nèi)的最小值為：31;)

(方法3：設(shè)%=為+]-%,4或4+恰好只有一個(gè)為1；

①4=b3=b5=b7=L%=6,02=7,03≥l,a4=tz3+1≥2,a5≥l,a6=tz5+1≥2,aI≥1,?=07+1≥2,

4+W+/+%+%+4+%+/++%=6+7+1+2+1+2+1+2+9=31

②力2=?=?=?=1,

+

必=8,a2≥1,<?=β2?-2,4-1，。5=%+122,%≥1,%=?+1≥2,

4+%+43+%+，4+。6+%+/++%=6+1+2+1+2+1+2+8+9=32

4+Cl2Λ-----F。9的最小值為31)

（方法4：由題設(shè)，知：ai≥?↑由題設(shè)，得:

%=4+1?

%=%+1?

%=%+1十

a5=a4+l0

。6=。5+1十

%=。6+1?

%=%+1十

〃9=4+1?

再結(jié)合題設(shè)，要使4+%+…+%的和為最小，

①考慮按十：%+4+…+。9=(4+%+…+%+。9)+(%+。4+?÷?)

=6+9+(%+4+%)+(q+/+%+%+4)=25+2(6+%+%)>25+2x3=31

當(dāng)且僅當(dāng)〃3=。5=。7=1時(shí)，等號(hào)成立；

②考慮按③：q+%+…+〃9=(q+%+…+%+。9)+(%+%+。6+6?)

=6+9+(%+4+%)+(q+4+%+%—4)=20+2(%+/+%)

=20+2(a2+a4+&+3)=26+2(a2+β4+ɑ6)≥26+2×3=32>31

當(dāng)且僅當(dāng)生=。4=4=1時(shí)，等號(hào)成立；)

說明邏輯推理考查方式分析：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)；

本題的核心點(diǎn)在對(duì)于兩個(gè)遞推關(guān)系的理解與等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后，結(jié)合題設(shè)要求“和最小”；進(jìn)行枚舉或遞推

分析；對(duì)于考試的分析問題、解決問題能力有一定要求；主要考察了學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)，根據(jù)題設(shè)推

理出L2連續(xù)朝著值最小，從而判斷出整體的最小值，雖然較為簡(jiǎn)單但容易出錯(cuò)；另外也考查了考生的

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

【邏輯推理】是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。主要包括兩類，一類

是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納推理.類比推理；一類是

從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理。具體表現(xiàn)：①發(fā)現(xiàn)和提

出命題；②掌握推理的基本形式和規(guī)則；③探索和表述論證的過程；④構(gòu)建命題體系；⑤表達(dá)與交流。

練習(xí)3、把函數(shù)y=/(χ)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平

移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-(］的圖像，則/(X)=()

提示【2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題】

思路I：從函數(shù)y=/(X)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到y(tǒng)=/即得

?2^x-∣再利用換元思想求得y=/(x)的解析表達(dá)式；

思路：從函數(shù)∣

2y=sinx-?出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到y(tǒng)=/(χ)的解析

表達(dá)式

【答案】B

解析解法1：函數(shù)y=f(χ)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的?倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=/(2χ)的

圖像，再把所得曲線向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/的圖像，

根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin

令f=2x—9,貝我=:+9—∕=*M所以/"『in：+看,所以"χ)=sin；+行

解法2：由已知的函數(shù)y=Sin

第一步：向左平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin[x+?-(J=sin[x+^∣J的圖像，

第二步：圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin[]+^∣)的圖像,

即為y=∕(x)的圖像，所以/(x)=Sin仁+哥；

故選：B；

說明本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以逆向地“邏輯推理”

通過變換求解，關(guān)鍵是要注意每一步變換，對(duì)應(yīng)的解析式中都是X的變換，圖像向左平移4個(gè)單位，對(duì)應(yīng)

X替換成尤+α,圖像向右平移4個(gè)單位，對(duì)應(yīng)X替換成x-α,牢記“左加右減”口訣；圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫

Y

坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來的左倍，對(duì)應(yīng)解析式中X替換成土。

k

四、直觀想象用形數(shù)兼?zhèn)涑尸F(xiàn)

例4、已知拋物線V=2pχ(p>0),若第一象限的點(diǎn)A、3在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為F,

?AF∣=2,∣BF∣=4,∣ΛB∣=3.則直線Aθ的斜率為

提示【2021年上海市高考數(shù)學(xué)試卷】注意理解與應(yīng)用拋物線的定義以及直線斜率公式的特征;

【答案】今

解析方法1：如圖，設(shè)A(X,χ),B(X2,y2),再由拋物線的定義結(jié)合題設(shè),

得IA用"+5=2,?BF?=X2+-^=4,則々一百=2,

又∣A8∣=J(x2-%)2+(%-y)2=3,解得以一乂=有，

則直線AS的斜率為：MiL=正；

x2-xi2

(方法2：過A、B分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足為4、B1,

直線AB與X軸的交點(diǎn)為P,

由拋物線定義，得AA=2,BB1=4,AHJ.BB］于H,

則BN=BBI—HBl=B5一AA∣=2,又由已知IABI=3,貝∣J∣A∕∕∣=√L

結(jié)合平面幾何中，“內(nèi)錯(cuò)角相等"，所以，直線4?的斜率為：tanZBPF=tanZABH=-)

2

(方法3：結(jié)合本題是填充題的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并利用弦長(zhǎng)公式JnQlX2-玉1=3,

即JiTZFX2=3,解得4=±且，結(jié)合題設(shè)與圖像攵>(),所以Z=止)

22

注解直觀形象考查方式分析：直觀形象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形

理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于解析幾何的基本計(jì)算，甚至

都不需要利用幾何關(guān)系。定義、弦長(zhǎng)、斜率都是解析幾何的基本概念與公式；而用好拋物線的定義、數(shù)形

結(jié)合與平面幾何的性質(zhì)，則可減少計(jì)算量；考查了學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)，通過幾何意義容易求出斜率來；

【直觀想象】是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的

思想過程。主要包括利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問

題的思路。具體表現(xiàn)：①利用圖形描述數(shù)學(xué)問題；②利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；③利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)

問題；④構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。

練習(xí)4、關(guān)于函數(shù)/(x)=sinIx∣+∣sinx∣有下述四個(gè)結(jié)論:

Tr

①/U)是偶函數(shù)；②Λx)在區(qū)間(一，π)單調(diào)遞增；卷次X)在[-7Γ,π]有4個(gè)零點(diǎn)；④AX)的最大值為2；

2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

提示【2019年高考全國I卷理數(shù)】根據(jù)題設(shè)與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不妨考慮通過研究函數(shù)性質(zhì)的方法，畫出

已知函數(shù)的圖像，進(jìn)行直觀分析與判斷；

【答案】C

解析方法1：因?yàn)椋?(r)=Sinl—M+卜皿-X)I=SinW+kinR=/(X),

所以，/(x)為偶函數(shù)，故①正確；

當(dāng)T<x<兀時(shí)，/(x)=2Sin》,它在區(qū)間兀]單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)0≤x≤π時(shí)，/(x)=2SinX,它有兩個(gè)零點(diǎn)：0,πi當(dāng)一π≤x<0時(shí)，/(x)=sin(-x)-sinx

=-2sinx,它有一個(gè)零點(diǎn)：-兀，故/(x)在[-兀，可有3個(gè)零點(diǎn)：-π,0,π,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)x∈[2Zrπ,2kπ+τi?[k∈N*)時(shí)，/(x)=2SinX；當(dāng)x∈[2^π+π,2kπ+2π?[k∈N*)時(shí)，

/(x)=SinX-SinX=0,又/(x)為偶函數(shù)，.J(X)的最大值為2,故④正確；

綜上所述，①④正確，故選C；

方法2：本題也可畫出函數(shù)/(x)=SmN+卜山可的圖象(如下圖)，由圖像可得①④正確；

說明本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)?？疾榈闹饕诵乃仞B(yǎng)是直觀想象，另外也考查了考生的邏

輯推理能力。

五、數(shù)學(xué)建模用閱讀理解呈現(xiàn)

例5、在圓柱底面半徑為1,高為2,AB為上底底面的直徑,點(diǎn)C是下底底面圓弧上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則ΔABC面積的范圍

提示【2021年上海市高考數(shù)學(xué)】注意幾何題設(shè)與幾何性質(zhì)選擇求ΔABC面積的的方法；

【答案】［2,石］

解析由題意，當(dāng)點(diǎn)。在下底底面圓弧上的運(yùn)動(dòng)時(shí)，ΔABC的底邊A3=2,

所以，Δ∕WC面積的取值與高相關(guān)；力

22

當(dāng)G。，ACl時(shí)，Ga最大為：C2Ot?√l+2?√5,??Π:‰J

面積的最大值為：∣×2×√5=√5;

當(dāng)AB_LBG時(shí)，最小為：BG=2,ΔABC面積的最大值為：gx2x2=2;

所以，A4BC面積的取值范圍為：［2,石］；

說明數(shù)學(xué)建?？疾榉绞椒治觯簲?shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法

構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。一般的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型，線性規(guī)劃模型，幾何模型等；本題主要考查了圓

柱的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模（選擇求三角形面積的方案），等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；

【數(shù)學(xué)建?！渴侵笇?duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決

問題的思維過程。主要包括在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求

解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果。具體表現(xiàn)：①發(fā)現(xiàn)和提出問題；②建立模型；

③求解模型；④檢驗(yàn)結(jié)果和完善模型；

練習(xí)5、近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三

類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾的分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中

總計(jì)IOoot生活垃圾，經(jīng)分揀以后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（單位：t）.根據(jù)樣本估計(jì)本市生活垃圾的分類投放情

況，則下列說法正確的是（）

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾''箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾400100100

可回收垃圾3024030

其他垃圾202060

2

A.廚余垃圾投放錯(cuò)誤的概率為∣?

B.居民生活垃圾投放正確的概率為京

C.該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是其他垃圾

D.廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為20000

提示對(duì)于A,利用表中的數(shù)據(jù)可得廚余垃圾投放錯(cuò)誤的概率為l00+l00；對(duì)于B,利用表中的

400+100+100

數(shù)據(jù)可得居民生活垃圾投放正確的概率為400+240+60對(duì)于c,依次求出三類垃圾中投放正確的概率,

1000

再比較即可；對(duì)于D,利用方差公式求解即可

【答案】D；

(

解析對(duì)于4廚余垃圾投放錯(cuò)誤的概率為一°M°L所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,居民生活垃圾投放正確的概率為"上需四=焉，所以8錯(cuò)誤；

22404

對(duì)于cf廚余垃圾投放正確的概率為:，可回收垃圾投放正確的概率為“其他垃圾投放

330+240+305

正確的概率為—————=-,

20+20+605

所以該市三類垃圾中