交、并、補(且、或、非)之間的關(guān)系(德·摩根定律)（解析版）2023年高考數(shù)學技巧練習

專題02交、并、補(且、或、非)之間的關(guān)系(德?摩根定律)

一、結(jié)論

交、并、補(且、或、非)之間的關(guān)系(德?摩根定律)

⑴集合形式G(AB)=(CA)U(GB),G(AUB)=(CA)(GB)

(2)命題形式:TPAq)=(r?)V(r),TPVg)=(-1/7)A(-)4)

二、典型例題(高考真題+高考模擬)

(2023?全國?高三專題練習)已知集合A=H3<°

例題1.B=｛小=ln(3-x)∣,

貝||(疫A)5”)=()

A.(2,3)B.[3,4]

C.(→o,2]u[3,+∞)D.(→o,3]u[4,+∞)

【答案】C

【詳解】由題意得A={x∣2<x<4},B={x∣x<3},ACg=(2,3),

(?4)u(RB)=(-∞,2]U[3,+∞),

故選：c

【反思】本題充分利用德摩根律(疫，4)=(R3)=?R(Al8),解題時，可通過先求出

ACB=(2,3),再根據(jù)德摩根律，利用結(jié)論，可以快速選出答案.

例題2.(2023春泗川瀘州高二四川省瀘縣第一中學?？奸_學考試)已知P:χ2-7x+10<0,

q:X2-4∕7ix+3wz2<0>其中，w>0.

(1)若機=4且。八4為真，求X的取值范圍；

(2)若F是f的充分不必要條件，求實數(shù)，”的取值范圍.

【答案】(1)4<x<5;(2)∣≤m≤2

【詳解】由/一7x+10v0,解得2vxv5,所以P：2<x<5,

Xx2-4mr+3∕w2<0,且"2>0,)??f?m<x<3m,所以9：tn<x<3m.

(1)當機=4時，q：4<x<12,

因為。八鄉(xiāng)為真，所以PM都為真，所以4<x<5.

(2)因為F是力的充分不必要條件，所以〃是的充分不必要條件，

in<2

因為〃：2<x<5,cI：∕n<x<3m,所以,3m≥5,解得g≤%≤2.

tn>O

【反思】本例中第2問，若F是力的充分不必要條件，等價變換為P是4的充分不必要

條件，從而通過求出命題P：2<x<5,q：∕nvx<3∕%根據(jù)充分性和必要性條件，求出參

數(shù)機的取值范圍.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.(2023秋?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末)設(shè)集合M=Wθ<x<4},N={x∣3≤x≤5},則

(W)(RN)=()

A.{小<3或x≥4}B.{x∣3<x<4}

C.{Λ∣X≤0或x>5}D.{Λ∣0<X≤5}

【答案】C

【詳解】由已知得4M=Wx≤0或x≥4},QN={x∣x<3或x>5},

.?.(?M)∩(RN)=3x≤0或x>5).

故選：C.

2.(2022秋?上海浦東新?高一校考階段練習)集合A,B,C是全集U的子集，且滿足

AuB=AuC,則()

A.ACB=ACCB.B=C

C.(瘵4)CB=(UA)CCD.A(稠)=A∣∣(UC)

【答案】C

【詳解】若C=AlB,如下圖示，

由圖知：AcB=AcC'B=C,A(稠)=4(UC)不成立，A、B、D排除;

故選：C

3.(2022?高一課時練習)設(shè)全集U,有以下四個關(guān)系式：

甲：AnB=A;乙：AUB=B;丙：瘠BUuAi丁：(物)7(UB)=多A.

如果有且只有一個不成立，則該式是()

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】C

【詳解】由題意，甲：Λ∩β=A<?A?B

乙：AUB=BoA=8

丙：稠UUA=忸UtB<=>B?A

T：(板)口(tzB)=糊OuBa%AoA=8

由于甲、乙、丁是等價的，故如果有且只有一個不成立，則該式是丙

故選：C

4.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)命題p："XVO"是"log2(x+l)<0"成立的必要不充

分條件.命題,若不等式0e*NX恒成立，則：，+s]?下列命題是真命題的()

A.-.(p^?)B.FYq

c.-y,^-?D.τ>vf

【答案】B

【詳解】log2(x+l)<0,解得：-l<χ<O.

因為(-1,0)(-8,0),所以"x<0"是"Iog23+l)<0"成立的必要不充分條件.故P為真命題；

若不等式“e*Nx恒成立，所以j

e

記"x)=p,只需α2"x)z.

求導(dǎo)得：/'U)=?，令f'(x)=O,解得：x=l,列表得：

X(-8,1)1(l,+oo)

f'(x)+O-

/(Λ)單增極大值單減

所以/(Ha"(I)=I

所以a≥L故q為真命題.

e

對于A：TPAg)為假命題.故A錯誤；

對于B：T*vq為真命題.故B正確；

對于C：fAF為假命題.故C錯誤；

對于D：MVF為假命題.故D錯誤；

故選：B

二、多選題

5.(2022秋?浙江?高一期中)已知集合A中含有6個元素，全集U=AUB中共有12個元

素，(秒1)(/)中有機個元素，已知m≥8,則集合8中元素個數(shù)可能為()

A.2B.6C.8D.12

【答案】BC

【詳解】解：因為(枷)W-)=%(ACB)中有Wl個元素，

所以Ae8中有12-機個元素，

設(shè)集合B中元素個數(shù)為X,

又集合A中含有6個元素，

則x+6-(12-w)=12,即機=18—X,

因為m≥8,

所以X≤10,

又U=AUB中共有12個元素，

所以x≥6,

則6WxW10,

故選：BC

6.(2022秋?湖南株洲?高一?？茧A段練習)設(shè)U為全集，，邑是。的兩個非空子集，且

Sj，=U,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.5IO52=0B.5l?(?52)

c?(刪)c(lA)=0D.(鍛)C(1Λ)=U

【答案】ABD

【詳解】由題印邑不為空集，所以SlUS2#0,.5錯誤，

當SUQz=U時,滿足S1S2=U,但?S2=0，，B錯誤，

SlUS2=U,，額ICuS?=瘩(SlUS2)=UU=0,?.?C正確，D錯誤，

故選：ABD.

7.(2022秋?江西萍鄉(xiāng)?高一江西省蓮花中學?？茧A段練習)設(shè)全集為U,在下列條件中，

是BUA的充要條件的有()

A.A<JB=AB.(QM)oB=0C.(?S4)?(L,B)D.A(?β)=t∕

【答案】ABCD

【詳解】對于A,若ALJB=A,則B=A;反過來，若B=A,則AUB=A,故互為充要

條件，故正確；

對于B,如下Venn圖，

若⑹A)CB=0,則8=A,若8=A,則G,A)C3=0,故正確；

選項C中，若(糊4)=(〃8),則B=A;反過來，若B=A,則(揚4)=(u5),故互為充要

條件，故正確；

選項D中,若ANB)=U,則(揚4)=(t,B),故B=A；反過來,若B=A,則(楸)u(UB),

故A(4,8)=U,故互為充要條件，故正確.

故選：ABCD.

三、解答題

8.(2023春?四川瀘州?高一四川省瀘縣第一中學?？奸_學考試)設(shè)全集U=R,集合

A={x?2x-l≥l],β={x∣x2-4x-5<0].

(I)求AC8,(]UA)U(CLZS)；

(II)設(shè)集合C={x∣m+l<x<2m-l},若8CC=C,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(I){x∣x<l或x≥5},(∏)(-∞,3],

【詳解】解:(I)???全集U=R,集合A={X∣2N21}={X∣X≥1},

B={x∣Λ2-4.V-5<0}={Λ∣-1<Λ<5}

.,.A∩B={x∣1≤Λ<5},

(CUA)U(CUB)={x∣xVl或x≥5}

(∏)集合C={x∣∕n+1VxV2∕n-l},BnC=C,

.?.CcB,

當C=0時，2m-l≤m+?

解得機≤2

∕W÷1<2∕72-I

當C≠0時，山CqB得,AW÷1≥-1,解得：2Vw≤3

2/n—1≤5

綜上所述：加的取值范圍是(-8,3]

9.(2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第一二O