2023-2024學(xué)年小升初奧數(shù)增強(qiáng)《燕尾定理》題庫(kù)學(xué)生版

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)O,那么^5以?,=血：?

上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線(xiàn)段比的手段，因?yàn)锳ABO和AACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這

個(gè)定理被稱(chēng)為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何

一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相的途徑.

通過(guò)一道例題證明一下燕尾定理：

如右圖，。是3c上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明：Si:S4=S2:S3=BD-.DC

【解析】三角形的>與三角形CED同高，分別以班>、DC為辰,

所以有d:S,=8r>:OC;三角形/WE與三角形EBD同高，Si5=ED:EA;三角形ACE與三角形

C團(tuán)同高，S4:S3=ED:EA,所以S]：S4=S2：S3；綜上可得S]:邑=邑：'=BO：r>C.

【例1】（2024年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形ABC的面積是1,E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在

3C上，且8D:DC=1:2,AD與助交于點(diǎn)尸.則四邊形D?詁C的面積等于.

【鞏固】如圖，已知3￡>=OC,EC=2AE,三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積.

A

【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是200cm:E在A(yíng)C上，點(diǎn)。在3C上，且AE:EC=3:5,即:￡>C=2:3,

AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形）EC的面積等于.

【鞏固】如圖，已知班>=3DC,EC=2AE,BE與CD相交于點(diǎn)O,則"BC被分成的4部分面積各占△ABC

面積的幾分之幾？

【鞏固】（2007年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖所示，在ZV1BC中，CP=*B,CQ=^CA,8。與"相交于

點(diǎn)X,若A4BC的面積為6,則A4BX的面積等于.

【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1,BD=2DC,CE=2AE,AD與3E相交于點(diǎn)尸，請(qǐng)寫(xiě)出這4部分

的面積各是多少？

【鞏固】如圖，E在A(yíng)C上，。在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD與BE交于點(diǎn)F.四邊形DFEC

的面積等于22cm,則三角形ABC的面積

A

【鞏固】三角形ASC中，。是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么三角形4VW（陰影

部分）的面積為多少？

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是2平方厘米,EC=2DE,尸是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少

平方厘米？

【例2】如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=3BE,AD=3AF,四邊形AEO尸的面積是12,那么平行四邊

形BODC的面積為.

【例3】ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E、歹分別是9、3c邊的中點(diǎn)，AF與CE交于G,則四邊形

AGCD的面積是平方厘米.

DC

【例4】如圖，正方形的面積是120平方厘米，E是筋的中點(diǎn)，P是3c的中點(diǎn)，四邊形的

面積是平方厘米.

【例5】如圖所示，在中，BE:EC=3:1,。是AE的中點(diǎn)，那么”:用二:

【鞏固】在A(yíng)ABC中，BD:DC=3:2,AE:EC=3:1,求O3:OE=?

【鞏固】在A(yíng)ABC中，BD:DC=2:1,AE:EC=1:3,求O5:OE=?

【例6】（2024年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，E、P分別是AB、3c上的點(diǎn)，且

AE=-AB,CF=-BC,AF與CE相交于G,若矩形ABCD的面積為120,則AAEG與ACGb的

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面積之和為.

【例7】如右圖，三角形ABC中,BD.DC=4:9,CE:EA=4:3,求

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6求

【鞏固】如圖，BD:DC=2:3,AE:CE=5:3,則AF:BF=

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=2:3,EA:CE=5:4,求AF:FB.

【例8】（2024年六年級(jí)數(shù)學(xué)試題）如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,

且三角形的面積是1,則三角形ABE的面積為,三角形AGE的面積為,三角

形GHI的面積為.

A

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF-.FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形Gm的面積是1,求三角形

ABC的面積.

【鞏固】（2024年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí)）如圖，AABC中3￡>=2A4,CE=2EB,

AF=2FC,那么AABC的面積是陰影三角形面積的倍.

DCEAFB1△GH/的面積

【鞏固】如圖在人旬。中，一___=___——_____________的值.

DBECFA1'△ABC的面積

【鞏固】如圖在中,珠氣FB1七△G/〃的面積帖估

方=§'求的面積的值

A

E

BDC

【鞏固】如右圖，三角形MC中，AF:FB=3D:DC=CE:M=4:3,且三角形ABC的面積是74,求角形Gm

的面積.

【例9】?jī)蓷l線(xiàn)段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積分別是3,7,7,

則陰影四邊形的面積是多少？

【鞏固】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積

是.

【例10]如圖，三角形ABC被分成6個(gè)三角形，已知其中4個(gè)三角形的面積，問(wèn)三角形ABC的面積是多

少？

【例1。三角形ABC的面積為15平方厘米，。為A8中點(diǎn)，￡為AC中點(diǎn)，/為BC中點(diǎn)，求陰影部分

的面積.

A

【例12】如右圖，△ABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、P是BC邊上的四等分點(diǎn)，AQ與3G交于M,

AF與BG交于N,已知ZVIBM的面積比四邊形FCGV的面積大7.2平方厘米，則ZX/IBC的面積是

多少平方厘米？

【鞏固】（2024年四中分班考試題）如圖，AABC中，點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、P是邊3c的三等分點(diǎn),

若AABC的面積為1,那么四邊形CDMF的面積是.

【例13]如圖，三角形ABC的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分,

請(qǐng)寫(xiě)出這9部分的面積各是多少？

【鞏固】如圖，AA5C的面積為1,點(diǎn)￡＞、E是3c邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四

邊形刀卬/的面積是多少？

C

F.D

AB

【例14]