與圓有關(guān)的計算（6個知識點）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第五部分圓

專題21與圓有關(guān)的計算（6大考點）

核心考點一弧長與扇形面積的相關(guān)計算

核心考點二與扇形有關(guān)的陰影部分面積計算

核心考點三圓切線與陰影部分求面積結(jié)合

核心考點

核心考點四圓錐、圓柱的相關(guān)計算

核心考點五圓與正多邊形的相關(guān)計算

核心考點六圓的其他計算問題

新題速遞

核心考點一弧長與扇形面積的相關(guān)計算

雨（2021?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，45C是。的內(nèi)接三角形，A8=2√5,

NACB=60。，連接04,OB,則4B的長是（）

【答案】D

【分析】過點。作OD，也于。，根據(jù)垂徑定理求出AO,根據(jù)圓周角定理求出/AO5,根

據(jù)正弦的定義求出OA,根據(jù)弧長公式計算求解.

【詳解】解：過點。作QD!.AB7PD,

Ill圓周角定理得：ZAO3=2ZAcB=I20。,

ΛZAOD=60°,

?ADaC

.?.OA=-------------=-尸=2

sin∕A0D√3

2

I120乃χ24）

...**=-----------=—r

ab1803

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解

題的關(guān)鍵.

甌（2022.遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=2g,OC=4√i,將

線段OC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C的對應(yīng)點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分

的面積是.

【答案】24-6√3-4π?

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。E=DC=46，由銳角三角函數(shù)可求/AOE=60。，由勾股定

理可求AE的長，分別求出扇形EOC和四邊形力CBE的面積，即可求解.

【詳解】解：；將線段QC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

：.DE=DC=A上,

....,ΛD2√31

?cos/AnDcB——-T='—-—,

DE4√32

JNAoE=60。,

ΛZEDC=30o,

30χ4χ48

：?S扇形EDC=二4π,

360

22

'-AE=yjDE-AD=√48-12=6，

：.BE=AB-AE=4y∕3-6,

??πγrp(4√3-6+4√3)×2√3?../-

???四邊形DCBE=?__________L______=24_6,3,

2

???陰影部分的面積=24-66-4江，

故答案為：24-6λ^-4π.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，靈

活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

甌（2022.山東東營.統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為O的直徑，點C為O上一點，80,CE

于點D,BC平分/ABD.

（1）求證：直線CE是。的切線：

（2）若NASC=30。，。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

（2）gτr-G

【分析】（1）連接。C,根據(jù)OB=OC,以及BC平分NABD推導(dǎo)出NOCB=NDCB,即可得

出3。〃OC,從而推出OCLOE,即證明得出結(jié)論；

（2）過點。作。FLCS于F,利用次影=??e.Bc-Sv"?c即可得出答案.

【詳解】（1）證明：連接OC,如圖，

,/OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

,：BC平分NA8。，

.?.NOBC=NDCB,

：.NOCB=NDCB,

：.BD//OC,

YBDLCE于點、D,

：.OC工DE,

二直線CE是＜。的切線；

(2)過點。作OFLCB于凡如圖,

o

VZABC=301OB=2,

.*.OF=I,B尸=O8?COS300=√L

BC=2BF=2y∣3,

SAOBC=?BC-OF=gx2?∕3×1=?/?,

,.?ZBOF=90o-30o=60o,

ZBOC=2ABOF=120o,

?C_1200M_4

??S扇形OBC--π,

.4/-

.?S陰影=S匾的OBC^^SOBC=3π~^73.

【點睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌

握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵.

1命題超限

知識點一、弧長及扇形的面積

設(shè)OO的半徑為R,〃。圓心角所對弧長為/,

(-)弧長的計算

(1)弧長公式：I=n兀R.

180

(2)公式推導(dǎo)：在半徑為H的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C=2%R,

所以1。的圓心角所

對的弧長是2M,即也,于是〃。的圓心角所對的弧長為/=竺

360°180°180

注意：(1)在弧長公式中，”表示1。的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑R=6cm,

計算20。的圓心角

20°X6X4

不要錯寫成/=

所對弧長/時,180^

(2)在弧長公式中，已知，/,〃,/?中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

(二)扇形面積的計算

(1)扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。

(2)扇形的面積：S扇形=嚼^=；/R,R為扇形所在圓的半徑，/為扇形的弧長。

(3)公式推導(dǎo)：

①在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=%R2,所以圓

心角是1。的扇形面積是止,于是圓心角為〃。的扇形面積是S尸步=空毛.

360扇形360

②S扇步="史=竺&?LR=L∕H,即S扇形=L∕R,其中/為扇形的弧長，R為半徑。

扇形36018022房開/2

點撥：(1)扇形面積公式S=』/R與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲

2

邊三角形，把弧長/看成底，半徑R看成高即可。

(2)在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式S扇形=嘴?還是5扇形;/R

(3)已知S(SS形,/,R,〃四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。

(4)公式中的“n”與弧長公式中的“n”的意義是一樣的，表示“1。”的圓心角的倍數(shù)，

計算時不帶單位。

,四就硼繚

【變式1】(2023陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，Θ。的半徑為10,ABC

為。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,連接CO并延長，交。O于點。，連接AD,BD,若

NDBA=；NDAB,則劣弧8。的長度為()

【答案】C

【分析】連接OB,設(shè)Nr)B4=廿，則NZMB=3x。，通過圓周角定理得NACB=4廿，根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)得NCBD=5廿，再根據(jù)圓周勾股定理列出X的方程，便可求得/30D,

進(jìn)而根據(jù)圓弧長公式求得結(jié)果.

【詳解】解：連接。8,

A

D

設(shè)ZDBA=x。，則ZΩAB=3χθ,

VADBA=ZACD,ZDAB=ZDCB.

：.ZACB=ZDCA÷ZDCB=4xo,

?：AB=AC,

：,ZABC=ZACB=4xo,

J/DBC=/DBA+ZABC=5xo，

???8是。。的直徑,

???ZDBC=90°,

J5Λ=90,

???NZMB=3x=54。，

,.?ZBOD=2Z∩4β=1()8°,

,eD=108^xl0=6

180

故選：C.

【點睛】本題主要考查了弧長公式，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角列出

方程.

【變式2］（2023?山西呂梁?統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,點A,B

均在格點上,點C是以A8為直徑的圓與網(wǎng)格線的交點，。為圓心,點。是AC的中點，NA=α,

、25。乃

D.-------

360720360180

【答案】B

【分析】先證明58比=5八"+5?！?和588=5八皿，得到S。C￡=5詆)，從而得到

Cf5Y2a25πa

CTSJ-zr?∣^2)x360-720,

【詳解】解：如下圖所示，連接。。，CB,CO,8交BD于點、E,

由題意可得AB=存，幣=5，

*.βZA=a,

??.ZCOB=2a,

???點。是AC的中點，

ΛOD±AD,AD=CD.

VAB為直徑，

???BC1AC,

??.OD//BC,

/.OD=-BC

2f

1221111

.*.SRCF=—BCX—DC=—ODXAD,S∩=—OD×—DC=—ODXAD,S.=—OD×AD,

oct233,"π七f"236nn2

?Q—C?Q

??UBEC~°ADOT*jDEO，

??q_c

?UBCD—°ABD，

??SDCE=Sbeo,

,「<572a25πa

"m~??2Jx360^720`

故選：B.

【點睛】本題考查圓周角定理和弧形的面積，解題的關(guān)鍵是證得S.DCE=SBR.

【變式3】112023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCo內(nèi)接于O,ΛDAB=ZABC=SOo,

NAo3=90。，AB=4,則劣弧OC的長度為.

【答案】偵π

9

【分析】連結(jié)OC,根據(jù)等腰宜角三角形的性質(zhì)求得OA=2垃，ZOAB=ZOBA=45°,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得/OOC=50。，然后利用弧長公式求解

即可.

【詳解】解：連結(jié)O。，OC.

VOA=OB,ZAO8=90°,

.?../OB是等腰直角三角形，

AB2=OfiC+OB2=2OA2.NoA8=NoBA=45°,又AB=4,

OA=OD=20，

,/NZMB=NABC=80。，

二ZOBC=NOCB=ZOAD=ZODA=35°,

ZBOC=ZAOD=WOO,

.?.ΛDOC=360o-2×110°-90°=50°.

劣弧DC的長度為竺泣叵=巫

1809

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理、弧長公式，熟記弧

長公式，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式4](2023?河北邢臺?統(tǒng)考一模)如圖，從一個邊長為2的鐵皮正六邊形ABCDM上，

剪出一個扇形C4E?

(I)NACE的度數(shù)為.

(2)若將剪下來的扇形C4￡圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑為

【答案】60。##60度B

3

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求出AB=BC=2,-8=/5CD=I20。，進(jìn)而求出陰影部分

扇形的半徑AC和圓心角的度數(shù)，利用弧長公式求出舛E的長，再根據(jù)圓的周長公式求出圓

錐的底面半徑.

【詳解】解：如圖，過點B作8M_LAC于點

???正六邊形ABCDEF的邊長為2,

:.AB=BC=2,/AfiC=NBCC=120。，

二，BAC=NBCA=30°,

AM=CM=5

.?.AC=2√3.∠zACE=120o-30o-30o=60o,

???初的長為6（UX26=友一

1803

設(shè)圓錐的底面半徑為「，

則2πr=冬叵π，

3

即r=3，

3

故答案為：60°,3.

3

【點睛】本題考查圓與正多邊形，求弧長，求圓錐的底面半徑，掌握正六邊形的性質(zhì)以及正

六邊形與圓的相關(guān)計算，掌握正多邊形與圓的相關(guān)計算方法是解題的關(guān)鍵.

【變式5］（2023?安徽滁州??？家荒＃┤鐖D，點。在O的直徑A8的延長線上，點C在O

上，AC平分NlME,4后_18于點￡：.

⑴求證：8是的切線.

⑵。下是。的切線，尸為切點，若BD=2,NAr>￡=30。，求A尸的長.

【答案】（1）見解析

⑵卑

【分析】（1）連接OC,證明OC〃AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCLCO,根據(jù)切線的判

定定理證明結(jié)論；

（2）連接QF,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。尸±OF,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OF,

根據(jù)弧長公式計算，得到答案.

【詳解】（1）證明：連接0C,如圖所示，

.?ZOAC=ZOCA,

.AC平分NTM￡,

.?.ZOAC=ZEAC,

.?.ZEAC=ZOCA,

:.OC//AE,

QAElCD9

:.OClCD,

PC為O的半徑，

.?.8是：。的切線；

(2)解:連接。尸,

CD是。的切線，DF是＜。的切線，ZAZ)E=30o,

.?.ZODF=30o,OF1DF,

:"DoF=3。,OD=IOF,

??.ZAOF=120。，

BD=2,OD=OB+BD=OF+2=2OF,

：,OF=OC=2,

120ττx24π

?,?AF的長為:

180T

【點睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、弧長的計算，掌握切線的判定定理、弧長公式是

解題的關(guān)鍵.

核心考點二與扇形有關(guān)的陰影部分面積計算

O氟題四究

gl]（2022?寧夏?中考真題）把量角器和含30。角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長

直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量

【答案】C

【分析】先求出/COF,進(jìn)而求出OE=OF=4cm,再求出08,進(jìn)而求出BE,最后用三角

形的面積減去扇形的面積，即可求出答案.

【詳解】在RzOCF中，ZCOF=180°-ZBOF=60°.

.?.NoFC=90°-NCoF=30°,

OC=2cm,

:.OF=2OC=4cm,

連接。E,則OE=QF=4cm,

???外圓弧與斜邊相切，

ΛZBEO=90o,

在ME中，NB=30。，

1./DOE=60。,OB=2OE=8cm,

根據(jù)勾股定理得，BE=JOB2-OE2=4√3

?,?S陰影=SBOE_S聰形DOE=2BEM-喏4的WH8%小,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和

扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵.

甌（2022.山東莉澤.統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰RtABC中，AB=AC=6,以A為圓

心，以AB為半徑作BDC；以BC為直徑作％8?則圖中陰影部分的面積是.(結(jié)果

保留幾)

【答案】π-2

【分析】由圖可知：陰影部分的面積=半圓。18的面積-AABC的面積+扇形A8C的面積

-△4BC的面積，可根據(jù)各自的面積計算方法求出面積即可.

【詳解】解：；等腰RtABC中，AB=AC=五

.?BC=2

90萬×27r14]

：.SMS形ACB=———=—,SjCAB=-π×(1)2=-,SABC=-×∕2×>∕2=l;

3602r22Δ2λ

7ΓTT

所以陰影部分的面枳=S.JCAB-SΔABC+S^ACB-SΔABC=--?+--l=π-2.

故答案是：?-2.

【點睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計算方法.不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則

圖形的面積的和差.

甌(2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題)如圖，C,。是以AB為直徑的半圓上的兩點，

NCAB=ZZ>84,連結(jié)BGCD.

(1)求證：CD//AB.

(2)若AB=4,ZACD=30°,求陰影部分的面積.

【答案】(1)答案見解析

(2)∣Λ?

3

【分析】(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到NAa)=/DBA,根據(jù)∕C4B=∕DBA得到

ZCAB=ZACD,進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）連結(jié)OCOD9證明所求的陰影部分面積與扇形COz）的面積相等，繼而得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：:AO=AeH

：?ZACD=ZDBA,

又???ZCAB=ZDBAt

ZCAB=ZACD9

：.CD//AB：

(2)解：如圖，連結(jié)OCOD.

'：NACQ=30。，

o

JZACD=ZCAB=30f

：.NAoQ=NC。8=60。，

???ZCOD=180o-ZAOD-ZCOB=60o.

'：CD//AB,

：?SQOC=SQBC,

?*?S陰桁SLj形C°D+S^DOC=S“形CoD+S^DBC=S扇形COD,

VAB=4,

.?0A=2,

：.S那COD=虻=6（）加2:二

m3603603

?02

??、陰影=飛兀?

【點睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及

公式是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023?山東棗莊??？家荒＃┤鐖D，將半徑為4,圓心角為90。的扇形BAC繞A點

逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形8AC的弧AC的點長處，點C的對應(yīng)點為點C',

則陰影部分的面積為（）

243

A.—?r+2?∕3B.—7t+4Λ∕3C.?∣34-τcD.—τt—?/?

332

【答案】B

【分析】連接BB',過A作AhBB，于凡根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形ABC和扇形ABC的面

積相等，AB=AB,=BC=BB1=4,求出，AB?是等邊三角形，求出/45尸=60。，解直角三

角形求出8尸和AF,再根據(jù)陰影部分的面積S=S^ΛBC-(S扇形AZig-SAWJ求出答案即可.

【詳解】解：連接8B'，過A作AhBB，于凡則NAFB=90。，如圖，

將半徑為2,圓心角為90。的扇形RAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在扇形BAC的弧上

的點8'處，點C的對應(yīng)點為點C',

扇形ABC和扇形44C'的面枳相等，AB=AB,=BC=BB1=4,

??...ABB'是等邊三角形，

.?ZABF=60°,

.-.ZBAF=30°,

.?.BF=LAB=2,

2

由勾股定理得：AF=j42-22=2√3?

**?陰影部分的面積S=S扇形ABC-(S扇形ABS-Sabb?^

901x4?(60%X42

360—1360

=—Λ,+4>∕3

3

故選:B.

【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面

積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵,注意:

如果扇形的圓心角為“°,扇形的半徑為，?,那么扇形的面積S=Q.

360

［變式2］（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）如圖，ABC內(nèi)接于圓O,已知ZACB=90°,AC=BC,

頂點A,B,C恰好分別落在一組平行線中的三條直線上，若相鄰兩條平行線間的距離是

1cm,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】C

【分析】利用半圓的面積減去CABC的面積，即可得解.

【詳解】解：過點C作平行線的垂線，交過點A和點8的兩條平行線分別于點E,F,

…F~~B

則：ZA￡C=ZCFB=90°,

,.?NAeS=90。，

ZACE=NFBC=90o-NFCB,

乂：AC=BC,

：.?AEC^?CFB(AAS),

,AE=CF,

相鄰兩條平行線間的距離是1cm,

CE=3cm,AE-CF-4cm,

?"?AC=BC=y∣AE2+CE2=5cm>

,.?ZAe8=90°,

?,.AB=y∣AC2+BC2=5√2(cm),

.?1(5√2?1..25*50/人

???=27rx~γ^-25X5=-4-Sm).

故選C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求陰影部分的面積.解題的關(guān)鍵是

證明三角形全等，求出三角形的邊長和圓的半徑.

【變式3］（2023?安徽合肥?校考模擬預(yù)測）如圖，以AB為直徑作半圓。，C為AB的中點，

連接BC,以。8為直徑作半圓P,交BC于點。.若4?=4,則圖中陰影部分的面積為

【答案】%+1##1+兀

【分析】如圖，連接OC，根據(jù)S睡=S扇疇OC+SNDO求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OC,

V以AB為直徑作半圓。，C為AB的中點，

?'?AC=BC-OCA.AB,

是小圓的直徑，

.?.ZODB=90°,

ODlBC,

.?.CD=BD,

AB=A,

：.OA=OB=OC=2,

?'?BC=yjOB2+OC2=√22+22=2√2，

:?OD=CD=BD=y∕2,

S陰影=S點形AOC+SACDO

圖中陰影部分的面積為萬+1.

故答案為：乃+1.

【點睛】本題考查扇形的面積的計算，垂徑定理，垂徑定理的推論，直徑所對的圓周角是直

角，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求面枳.垂徑定理的推論，可以把垂徑定

理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分

劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立.

【變式4］（2023?湖北十堰?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，曲線AMNB和MON是兩個半圓，MN//AB,

大半圓半徑為4,則陰影部分的面積是.

【答案】8π-8

【分析】連接。M、ON,則。M_LON,陰影部分面積為扇形MON的面積+半圓MQN的

面積-三角形MQV的面積.

【詳解】解：如圖，連接。M、ON,

0

MN是半圓MON的直徑，

.-.OMLON,且OM=ON=4,

,SM0N=g°Mx°N=gx4x4=8,MN=√42+42=4√2-

2

S半WN=-π×（4√2÷2‰4π,×π×4=4π,

Z',?oθ

S陰影=S囪形MO,V+S半BlMCW-S,m0n=4π+4π-8=8π-8,

故答案為：8π-8.

【點睛】本題考查了組合圖形的面積計算，涉及到扇形面積、三角形面積、半圓的面積的計

算,解題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形面積計算通過割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的已學(xué)過的圖形面積的

計算.

【變式5］（2022?廣東梅州?統(tǒng)考一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,O與BC,AC分

別相切于點E,F,80平分/A8C,連接OA.

B

⑴求證：AB是＜。的切線；

（2）若BE=AC=6,。的半徑是2,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

3

（2）10--Λ-

【分析】（1）連接。E,過點。作OGLAB于點G,如圖，由切線的性質(zhì)得到OEJ_BC,

再由角平分線的性質(zhì)得到OE=OG,由此即可證明AB是0。的切線；

（2）連接OEOF,過點。作OG于點G,如圖，先證明四邊形OEC尸為正方形.得

到EC="'=OE=OA'=2.求出BC=8,即可求出AB=Io.證明Ao平分/54C,進(jìn)而推

出No48+NOBC=45。，則NAoB=I35。.即可得到

_CC1,cc?35Λ-×22,_3...

S陰影=S（M8-SioCMW=-×lθ×2-----——=10--Λ?=10.

【詳解】（1）證明：連接0E，過點。作OG_LAB于點G,如圖，

,/BC為。的切線，

.*.OElBC.

?.?8。平分/他。，OGYAB,OELBC,

/.OE=OG.

.?.直線AB經(jīng)過半徑OG的外端G,且垂直于半徑OG,

二AB是。的切線；

（2）解：連接OEOF,過點。作OGJ于點G,如圖,

:O與3C,AC分別相切于點E,F,

：.OEYBC,OFLAC,

,.?ZAC3=90。，

???四邊形OEC尸為矩形，

YOE=OF,

???四邊形OEC尸為正方形.

EC=FC=OE=OF=I.

YBE=AC=G,

.*.BC=8,

???AB=y∣AC2+BC2=10-

由(1)知：OG=OE=2,

：.OG=OF,

VOG±ABfOF±AC,

：.Ao平分/B4C,

ZOAB=ΛBAC.

???3。平分NABC,

：?ZOBΛ=ZABC.

???NAa3=90。，

工ZABC+ZBAC=90o,

=；(ZABC+/8AC)=45。

JZOAB+ZOBC

JNAoB=I35。.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的

性質(zhì)與判定，求不規(guī)則圖形面積得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

核心考點三圓切線與陰影部分求面積結(jié)合

O氟題招究

甌（2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為近的正方形ABa）內(nèi)接于SO,PA,

尸。分別與。相切于點A和點O,尸。的延長線與BC的延長線交于點E,則圖中陰影部分

的面積為（）

A.5-π

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得EDZ）P的長，勾股定理求得AC的長,

進(jìn)而根據(jù)S陰影=S梯wCEP-；S。即可求解?

【詳解】如圖，連接AC,BD，

.邊長為正的正方形ABa）內(nèi)接于O,即CD=夜，

.?.AC=2,AC,8。為CO的直徑，ZECD=90o,

PA,Po分別與二。相切于點A和點O,

.?EP±BD,

四邊形ABCQ是正方形，

??.ZEBD=45°,

.?.?一班。是等腰直角三角形，

..ED=BD=AC=Z,

AC±BD,PA±AO,PDIOD,

.??四邊形Q4P。是矩形，

OA=ODt

???四邊形。4尸。是正方形，

/.DP=OA=It

.?.EP=ED+PD=2+1=3,

,S陰影二S梯形ACEP_]SO

=；（2+3）X1—；7X12

_5π

^2^^2^'

故選C.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì),

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）如圖，A8是。的切線，B為切點,OA與。交

于點C,以點4為圓心、以O(shè)C的長為半徑作EF，分別交ARAC于點E,F.^OC=2,AB=4,

則圖中陰影部分的面積為.

【答案】4-萬

【分析】先證明？45。90靶。+?490?,再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形

面積即可得到答案.

【詳解】解：如圖，連接。8,AB是LO的切線，

\?ABO90靶O+?490?,

設(shè)？O77p?An2,

OC=2,AB=4

?OB=AE=2,SVABO=^4=4,

12

^nxpOBn2pAE

扇形BoC扇形AEF360360

2,

_(nl+n2)pQβ_90p4

360--360P，

?S陰影=4-p.

故答案為：4一萬

【點睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，掌握“整體求解扇形的面積”是解

本題的關(guān)鍵.

甌（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓。被直徑4B分成的半圓上一點，過

點C的圓。的切線交AB的延長線于點P,連接C4,CO,CB.

AOBP

⑴求證：ZACO=ZBCP;

（2）若NABC=2NBCP,求N尸的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若AB=4,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兀和根號）.

【答案】（1）見解析

（2）30°

⑶2π-2G

【分析】（1）由48是半圓O的直徑，CP是半圓。的切線，可得N4C8=ZOCP,即得乙4C。

=NBCP;

（2）?ZABC=2ZBCP,可得∕ABC=2∕A,從而NA=30。，NABC=60。，可得NP的度

數(shù)是30°；

（3）ZA=30°,可得BC=TAB=2,AC=布BC,即得SMBC,再利用陰影部分的面積等

于半圓減去S4ABC即可解題.

【詳解】（1）???A8是半圓。的直徑，

ZACB=90o,

YCP是半圓。的切線，

：.ZOCP=90°,

：.NACB=NOCP,

ZACO=ZBCP;

(2)由(1)知NACo=N8CP,

Y∕ABC=2∕BCP,

：.ZABC=2ZACO1

YOA=OC,

：.ZACO=ZA9

：.ZABC=2ZAf

YZABC+ZA=90°,

oo

ΛZΛ=30,ZABC=60f

：.NACo=NBC尸=30。，

.,.ZP=ZABC-NBCP=60。-30°=30°,

答：NP的度數(shù)是30。；

（3）由（2）知NA=30。，

o

?/ZACB=90r

.?βC=^AB=2fAC=6BC=Z6

.?SΔABC=?BGAC=I×2×2√3=2√3,

陰影部分的面積是］萬X（m）2-2G=2jt-2√5,

答：陰影部分的面積是2π-26?

【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，題目

難度不大.

【變式1】5.（2023?湖北武漢?華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，一個較大的圓

內(nèi)有15個半徑為1的小圓，所有的交點都為切點，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，

則陰影部分的面積為（）

.22+16√320+16√3?22+14√3C20+14若

A.--------------πnD.--------------πC.--------------πD.--------------π

3333

【答案】A

【分析】OH為BC邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到AS=AC=8C=8,則可判斷，ABC為

等邊三角形，則CH=4,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC=邁，再利用

3

圓與圓相切的性質(zhì)得到。的半徑OE=OC+CE=苧+1,然后利用大圓的面積減去15個小

圓的面積得到陰影部分的面積.

【詳解】如圖，OH為BC邊的高

所有小圓相切，

?,?AB=AC=BC=8,

二.ABC為等邊三角形，

???NOCg=30。，

OHIBC,

??.CH=4,

.CH-&H-4舊

33

.'.OC=IOH=-,

3

.C與（O相切，

.?..O的半徑OE=OC+CE=苧+1,

???陰影部分的面積

22+∣6凡

故選：A

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了等邊三角形的

判定與性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

【變式2］（2022?吉林長春?模擬預(yù)測）如圖，A與B外切于點P,它們的半徑分別為6和

2,直線8與它們都相切，切點分別為C,D,則圖中陰影部分的面積是（）

A

P/

?√(?B)

CD

A.le?/?B.?6也-6兀C.--πD.le?/?-—π

【答案】D

【分析】連接Ae,8D,AB,過點5作5ELAC,利用陰影部分的面積等于梯形ABDC的面

積減去扇形ACP的面積減去扇形BPD的面積，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接AC,3ZλA3,過點B作BEJ_AC,

?；：A?'B外切于點p,它們的半徑分別為6和2,直線CQ與：A,B都相切,

ΛAB=AP+BP=6+2=8,四邊形CDBE為矩形，

CE=BD=2,

：.AE=AC-CE=6-2=4,

BE=√64-16=4√3,

??/-BE_6

??sinNA---——,

AB2

???ZA=60o,

JZABE=30°,

???ZABD=120°,

梯形ABDC的面積是：∣(6+2)?4√3=16λ^;

扇形ACP的面積為：嗤，^=6萬：

扇形切吸的面積為蘭1204黑?4=?4乃；

3603

則陰影部分的面積二梯形ABDC的面積一扇形ACP的面積一扇形BPD的面積

=1e?/?——Tt；

3

故選D.

【點睛】本題考查求陰影部分的面.利用害肝卜法,將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，

是解題的關(guān)鍵.同時考查了圓與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)等知識，綜

合性較強(qiáng).

【變式3】（2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為3,

點E為AB的中點，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交A。、BC于〃、N兩點，與。C切

于P點.則圖中陰影部分的面積是.

［答案］9——?/?——?

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出4E和根據(jù)勾股定理求出A根據(jù)扇形面積

公式計算，得到答案.

【詳解】解：由題意得，AE=^-AB=i-ME=^-,

222

ZA=90o,

.?.ZAME=30°,AM=VME2-AE2=-√3,

2

.-.ZAEM=60°,

同理，NBRV=60°,

.-.ZMETV=60°,

陰影部分的面積=32-Lχ3Gχ3χ2-KC旦=9-2指-3萬，

22236042

故答案為：9——?/?—??.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、扇形面積計算，熟記扇形面積公式是解

題的關(guān)鍵.

【變式4】（2023?安徽池州?校聯(lián)考一模）如圖，ZA=90°,。與NA的一邊相切于點P,

與另一邊相交于8,C兩點，且AB=1,BC=2,則扇形BC的面積為

d

o

BK/

AP

【答案】爭2π##?2兀

3?

【分析】連接0P，過0點作CcBCF點E,作3/，。尸丁點F,利用垂徑定理的內(nèi)容得

???BE=CE=-BC=?,再證明四邊形OEB/、四邊形加妒是矩形，即有OP=尸尸+O尸=2,

2

進(jìn)而有OP=OB=OC=2,從而得出4O8C是等邊三角形，即N8OC=60。，利用扇形面積

公式求出即可.

【詳解】連接0P，過。點作QELBC尸點E,作BFLO尸于點F,如圖，

AP

VOE±BC,BC=2,

???BE=CE=-BC=I

29

Y。與NA的一邊相切于點P,

：.APlPO,

VOELBC,BFLOP,NA=90。，

，可得四邊形四邊形PAM是矩形,

VAB=I,BC=2,

ΛAB=?=PF,BE=OF=X,

/.OP=PF+OF=2,

JOP=OB=OC=I,

???Z?O5C是等邊三角形，

???NBOC=60。，

.C60°八r2

,?S扇形BOC=360。XπX°。=gπ'

O

故答案為：—π.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求

法等知識，利用已知得出OP=P尸+O尸=2是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5］（2022?湖北武漢?武漢第三寄宿中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在放AABC中，NB=

60o,NA=90。，ZkABC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,AB分別相切于點O,E,F.

（1）求/E。。的度數(shù)；

（2）若r=2,求陰影部分的面積.

【答案】（1）150。

（2）8÷4J5——TT

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得NaB=NoD3=90。，根據(jù)NB=60。，根據(jù)四邊形內(nèi)角

和即可求解.求得NEOD；

（2）根據(jù)陰影部分面積等于Sv.c-$正方琢FOE-SBOD-Sbo,-SmoED,即可求解.

【詳解】（I）解：YZvtBC的內(nèi)切圓。。與SC,CA,AB分別相切于點D,E,F.

，ZOFB=ZODB=90°,

Zβ=60o,

.?.ZF<9r>=360o-90o-90o-60o=120o,

.?.ZEOD=360o-AEOF-ZFOD=150°

（2）如圖，連接B。，

ZA=NOFE=NoEF=90°,

四邊形AFoE是矩形，

,OE=OF.

二四邊形AFoE是正方形，

，。的半徑為，?=2,則OD=2,

S正方形AFoE=2×2=4,

BF,BD是<。的切線，

???NFBO=ZDBO=30。，

OD上丁2

tanZ.OBD=

~BD~~3~^BD

:.BD=-=2y∣3,

√3

.?.AB=AF+AB=2+2y∕3,

.?.AC=ABxtanB=√3（2+2√3）=6+2√3,

,S.C=^ABxAC=g（2+2@（6+26）=12+8G,

SIWD=SBoF=?BD×OD=gx2>73×2=2Λ∕3,

NEOF=90o,NFOD=120o,

ZEOD=?5O°,

,q_15O_2_5

,moed3603

；?陰影部分面積等于SVABC-S正方形"OE—Sbod—Sbof—SIg彩OEO

=12+8百一4—25/3—2y∣3~~^π

=8+4√3--Λ-.

3

【點睛】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，求扇形面積，解直角三

角形，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵.

核心考點四圓錐、圓柱的相關(guān)計算

A凰題日究

甌（2022?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來標(biāo)記錨或沉船位

置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）.電鍍時，如果每平方米用鋅0.1

千克，電鍍IOOO個這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（Z的值取3.14）（）

A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000

【答案】A

【分析】求出圓錐的表面積E=公/-48=.0^0.5=0.1552,圓柱的表面積

22

52=2^?rl=2Λ-×0.3×l=0.6Λ-m,進(jìn)一步求出組合體的表面積為：S=2Sl+S2=0.9^m,

即可求出答案.

【詳解】解：如圖:

A

由勾股定理可知：圓錐的母線長AB=JAo2+。外=50Omm=O.5m，

設(shè)底圓半徑為廣，則由圖可知r=300mm=0.3m,

圓錐的表面積:S1=πr-AB=π×0.3×0.5=0Λ5πτr^,

2

圓柱的表面積:S1=2π-rΛ=2πM×l=0.6πm,

2

???組合體的表面積為：5=2S,+52=0.9^-m,

：每平方米用鋅0.1千克，

/.電鍍10()()個這樣的錨標(biāo)浮筒，需要鋅0.9%xO.lxlOOO=9(R=282.6kg.

故選：A

【點睛】本題考查組合體的表面積，解題的關(guān)鍵是求出圓錐的表面積和圓柱的表面積，掌握

勾股定理，表面積公式.

@3（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）如圖，從一個邊長是”的正五邊形紙片上剪

出一個扇形，這個扇形的面積為（用含乃的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成

一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為.

【分析】先求出扇形的半徑與圓心角，再利用扇形弧長與所圍成的圓錐的底面周長的關(guān)系求

出圓錐的底面半徑r,則可得出答案.

【詳解】解：；五邊形ABsE為正五邊形，

/BCD=108°,

23πa2

加=粵x2;TXa=竽，這個扇形的面積為：-×π×a

bd360536010

設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則直徑為：2r,則:券=2利一,

3。

解得，=

10

2r=-

5

3πa23a

故答案為:

10τ?

【點睛】此題考查了正多邊形內(nèi)角和定理，扇形、圓錐的相關(guān)計算，掌握扇形所圍的圓錐與

扇形之間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

甌（2022?山東濰坊?中考真題）在數(shù)學(xué)實驗課上，小瑩將含30。角的直角三角尺分別以兩

個直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個圓錐，并用作圖軟件Geogebra畫出