2022-2023學年高一數(shù)學人教A版2019選擇性必修第二冊試題第5章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

第5章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(單元測試)

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知函數(shù)F(X)=X(2018+lnx),若/(x°)=2019,則XO=(????)

A.e2B.1C.In2D.e

【答案】B

【分析】先求出/(x)=2019+lnx,再代入求解即可.

【詳解】解：由函數(shù)/(x)=x(2018+lnx),

貝(］/(x)=2018+Inx+x-=2019+1ΠΛ?,

又/(ΛO)=2019,

則InXt)=0,

即Xo=1,

故選：B.

【點睛】本題考查了導函數(shù)的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.

2.下列導數(shù)運算正確的是(????)

A.(2"j=x?2*τB.(SinXCOSX+1)'=Cos2xC.(IgX)'=，D.(XT)'=H

【答案】B

【解析】根據(jù)導數(shù)的計算公式，以及導數(shù)的運算法則，逐項判斷，即可得出結果.

【詳解】對于A,(2t),=2lln2,A錯誤；

對于B,(sinxcosx+1),=(sinX),COSΛ+sinx(cosx)'=cos2?-sin2x=cos2x,B正確；

對于C,(IgX)'=-7二，C錯誤；

xlnlθ

對于D,(Ej=T-2,D錯誤.

故選：B.

3.函數(shù)/(x)=f在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為(????)

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】直接利用平均變化率公式"?)-"*)進行求值.

迎一大

【詳解】因為/(K)=/,

所以/(X)在區(qū)間［T2］上的平均變化率為=?=1.

故選：B

【點睛】本題考查函數(shù)的平均變化率，考查運算求解能力，屬于基礎題.

4.函數(shù)/(x)=2χ2TnlXl的部分圖像大致為(????)

【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結合函數(shù)極限以及利用導數(shù)求得函數(shù)單調性，即可判斷和選擇.

【詳解】容易得/(x)定義域為(e,0)5°，”)關于原點對稱，

又?,/(x)=2√-ln∣xI=f(-x),

故函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，

???/(χ)的圖象關于y軸對稱，

故排除B,

又,吧n(χ)→y0,

故排除D.

當x>0時，Γ(x)=4x-1,令Γ(x)=O,解得x=；；

02/16

故當x∈[θ[)時，/(x)單調遞減，在(提+8)單調遞增.

止匕時/(；)=g_ln；>0

故排除C.

故選：A.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨識，涉及函數(shù)奇偶性、單調性的判斷，屬綜合基礎題.

5.已知函數(shù)/*)=/-2CoSX,則f(O),f(—￡)JC大小關系是(????)

A?f(0)<(撲F(I)B,?)v/圖

C?4WT)(∕⑼D?∕(0)<∕(∣)<《｛∣

【答案】A

【解析】判斷FW的奇偶性，利用導數(shù)判斷(0,1)上的單調性，根據(jù)單調性以及奇偶性比較大小即可.

【詳解】易知F(X)=X2-2CoSX為偶函數(shù)

???哈》嗎)

V∕r(x)=2x+2sinx,當χ∈(O,D時，∕,(x)>O,；?/3)在(0,1)上為增函數(shù)

Λ∕(0)<∕^<∕(∣}

Λ∕(0X∕β)<∕^

故選：A

6.函數(shù)y="x)在R上可導,且"x)=2χ2一/⑴?χ-3,則/⑴+r(l)=

A.OB.1C.-1D.不確定

【答案】C

【解析】求出了'(χ),χ=i代入求出/”⑴，F(xiàn)(X),進而求出了⑴，即可求解.

【詳解】/(x)=2√-∕(l)-x-3,得/'(x)=4f⑴,

.?.∕,(1)=4-/(1),∕,(l)=2,∕(%)=2√-2x-3,

,

/(1)=-3,.?.∕(1)+/(I)=-I.

故選：c

【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)以及簡單的運用，屬于基礎題.

7,已知函數(shù)/(無)=InX+2,直線y=τ+3與曲線y=∕(x)相切，則α=(????)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】設切點為小,%),利用導數(shù)的幾何意義與(%,%)在〃X)=InX+￡與y=τ+3上聯(lián)立求解即可.

l-??-l

2

??

【詳解】設切點為(為,%),則/(力=：-￡,又直線y=τ+3與曲線y=∕(x)相切故?

γ0=-?+3,消去

.a

γ0=lnx0+-

?

-

?o有?+3=InX0+—=>—=-x0+3-InX0,代入第一個式子有

?oXo

1一(一事+3-比不)=一/=>2xo+lnΛo-2=O.易得%=1.代入---，=一1有〃=2.

XO?o

故選：B

【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的運用,需要根據(jù)在某點處導函數(shù)的值等于在該點處切線的斜率以

及切點在切線方程與函數(shù)式上聯(lián)立求解即可.屬于中等題型.

8.設函數(shù)/(x)=T(X-αf(x∈R),當α>3時，不等式/(—"sinθ-l)≥f(公一siι√θ)對任意的代

恒成立，則。的可能取值是(????)

π

A.——b

3TYDY

【答案】D

【解析】利用導數(shù)求得函數(shù)/(x)的單調性，得至∣J-2≤-A-Sine-I41,T≤公-sh√e≤l,把不等式恒成立,

轉化為得si??，一sine-l≤r+k=j%+']-L對任意的％w[-l,0]恒成立，求得一,≤sine≤l,結合選項,

I2)42

即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=-x(x-α)2,可得小)=-(3x-力。-幻,

令/'(x)=0,解得X=]或X=。，當α>3時，可得^<4,

所以/(x)在,8,g,口,+8)上單調遞減，在與4)上單調遞增，

又當α>3時，→1,所以/(X)在(Yoj上為減函數(shù)，

X?∈[-l,O],sin0∈[-1,1],所以-2≤-攵-Sine-1≤1,-1≤左2-siι√e≤l,

由不等式/(-?-sin0-1)>/(?2-Sin2夕)對任意的攵∈[-1,0]恒成立，

04/16

得sin?8-Sin1≤r+Z=(2+；)對任意的A≡[T。]恒成立，

C1131

所以sin?，一Sine-1≤——恒成立，解得——≤sin6≤-,即——≤sin6≤l,

4222

結合選項知，可得。的可能取值是竽.

6

故選：D.

【點睛】易錯警示：利用單調性解決相關應用問題時，要注意單調區(qū)間的判定，當自變量都在同一個單調

區(qū)間內才能利用相應的單調性，解題時防止漏證導致解題錯誤.

二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符

合題目要求的.

9.下列求導數(shù)運算正確的是(????)

A.(2021Λ)'=X202?XJ

B.(χ2027+log2x)-202Ix2020H--—

xln2

.22

COsxfsm~x-cos~x

C?\~?

SinxsinX

D.(X23X)-2Λ3X+X23Λ1∩3

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，依次計算選項中函數(shù)的導數(shù)，即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,(202lx)'=202IX比2021,A錯誤；

對于B,(χ2027+log2Λ)-(x202z)'+(Iog2x)'=2021/02。+一!一,B正確；

xln2

“工C/cosx、，Sinx?sinx-cosx?cosx1Czdh、口

對JC，(-；)=~=~2-'C午曰反;

sinxsinxsinx

對于D,(∕3x)'=(x2)'73X+X2×(3X)'=2x3x+x23xln3,D正確.

故選：BD.

10.如圖是導函數(shù)y=∕'(χ)的圖象，則下列說法錯誤的是(????)

y∣?

A.(T3)為函數(shù)y="x)的單調遞增區(qū)間

B.(0,5)為函數(shù)^=/(耳的單調遞減區(qū)間

C.函數(shù)y=f(χ)在x=0處取得極大值

D.函數(shù)y="χ)在x=5處取得極小值

【答案】BC

【分析】根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負與函數(shù)單調性的關系，以及函數(shù)極值點的定義，對每個選項進行逐一分

析，即可判斷和選擇.

【詳解】由圖可知I,當x<T時，用x)<5故/U)單調遞減；當xe(T3),用x)>0,故/(x)單調

遞增；

當xe(3,5),f?x)<0,故"x)單調遞減；當x>5,f↑x)>0,故"x)單調遞增，

且/(—1)=0,/(I)=0,/'(5)=0,

則該函數(shù)在x=-1和x=5處取得極小值；當X=3處取得極大值.

故選：BC.

11.已知點&L2)在函數(shù)〃力=爾的圖象上，則過點A的曲線Uy=∕(x)的切線方程是(????)

A.6x-j-4=0B.x-4y+7=0

C.4x-γ+7=0D.3x-2y+l=O

【答案】AD

【解析】先根據(jù)點A(L2)在函數(shù)"x)=α?的圖象上，可求出。，再設出切點?(通,九)，求出在點P處的切

線方程，然后根據(jù)點A在切線上，即可解出.

【詳解】因為點41,2)在函數(shù)f(x)=底的圖象上，所以4=2.

設切點尸(與，九)，則由/(x)=2d得，∕,(x)=6x2,即％=64，

所以在點P處的切線方程為：y-2^=6xj(x-?),即y=6x"-4年.

而點A(l,2)在切線上，.?.2=6xi-4R,即2*(%-1)一(片一I)=(Xo-I)2(2%+1)=0,

解得%=1或%=-g,二切線方程為：6x-y-4=0和3x-2y+l=0.

故選：AD.

【點睛】本題主要考查過某點的曲線的切線方程的求法，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

06/16

12.已知/'(X)為函數(shù)〃x)的導函數(shù)，若x7'(x)+W(x)=lnx,/(1)=1,則下列結論正確的是(？?????？)

A.g(x)=?√"(x)在(0,+8)上單調遞增

B.g(x)=?√^(x)在(OJ)上單調遞減

C.g(x)=?√^(x)在(0,+∞)上有極大值T

D.g(x)=4"(x)在(0,+8)上有極小值T

【答案】BD

【分析】首先根據(jù)題意設g(χ)=4(χ),得到g'(χ)=*,再求出g(x)的單調性和極值即可得到答案.

【詳解】由x7'(x)+0?(x)=lnx,可知x>0,則對'M)+∕(x)=*,

即[W(X)]'=W，設g(x)=4(x).

由g'(x)=邛>0得χ>l,

由g'(x)<O得O<x<l,

所以g(x)=4(x)在(1，E)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，

所以當x=l時，函數(shù)g(x)=Λf(x)取得極小值g(l)="l)=g?

故選：BD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知函數(shù)/(x)=InX-辦-2在區(qū)間(1,2)上不單調，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】加

【分析】由于函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)上不單調，等價于函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)上存在極值點，對函數(shù)/(X)求導,

對。分類討論，求出極值點，根據(jù)極值點在區(qū)間(1,2)內，可得關于”的不等式，即可求出結果.

【詳解】由/(x)=L-α=上嚀.

XX

①當“40時，函數(shù)/(x)單調遞增，不合題意；

②當α>0時，函數(shù)/S)的極值點為X=

a

若函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)不單調，必有1<,<2,解得L<α<l.

a2

故答案為：

【點睛】關鍵點點睛：由于函數(shù)/O)在區(qū)間(1,2)上不單調，等價于函數(shù)f(χ)在區(qū)間(L2)上存在極值點，這

是解決本題的關鍵點和突破點.

、∣lgx∣-l,x>O、、

14.設函數(shù)〃zx)=L￡、若方程"xz)=M至少有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)，〃的取值范圍為

【答案】~-,2e2

_e_

【分析】當x≤O時求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)在x≤O上的最小值，再畫

出函數(shù)圖象，依題意y=∕(x)與V="的圖象至少有3個交點，結合函數(shù)圖形即可求出參數(shù)的取值范圍；

【詳解】解：當x≤O時，由/(x)=e*+2(χ+2)得r(χ)=e*+2(χ+3),

當x<—3時，f(x)<0,當—3<x≤O時，∕<x)>O,

故/(x)在(Y3)上單調遞減，在(-3,0］上單調遞增，

又"-3)=-?∣,所以當x≤0時，"x)的最小值為-，，

且x<-2時,f(x)<O,當χ>0時F(X)=Ilgx∣-l,易知"x)在(0,1)上單調遞減，

在(ι,+∞)上單調遞增，又/(I)=T,所以當x>o時，/(X)的最小值為-1,畫出函數(shù)y=∕(χ)與y=加的

圖象如圖所示，

由圖可知，要使方程/(力=〃2至少有3個不同的實數(shù)根，即y=∕(x)與y=加的圖象至少有3個交點，只

需Se—,2e^.

_e_

故答案為：-l,2e?

e

08/16

15.函數(shù)/(x)=x(lnx+l)在∣,e上的最大值為.

【答案】2e

【分析】求導后判斷了?x)在j,e的正負號，即可得出/(x)在j,e上的單調性，即可得出答案.

【詳解】由=X(InX+1)得r(x)=lnx+2,

當Xe∣,e時，即/(x)在∣,e上單調遞增，

又/(e)=2e,所以〃x)在∣,e上的最大值為2e?

故答案為：2e.

16.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直

線被后人稱為三角形的“歐拉線''.已知平面直角坐標系中，ABC為直角三角形，其直角頂點C在X軸上，點

。(彳,1)是斜邊AB上一點，其"歐拉線''是正切曲線，=tanX以點為切點的切線，則點C的坐標為

【答案】(平，0)

【分析】由題意；,A5C的“歐拉線”即為直線。C,求出正切曲線y=tanx在點。處的切線方程，即DC

的方程，令A=O可得答案.

【詳解】因為:ABC是直角三角形，所以其垂心為直角頂點C(m,0),其外心為斜邊AB的中點V,

故.ABC的“歐拉線''即為直線MC,

由題設知直線MC即為正切曲線y=tanx以點為切點的切線，

又點在斜邊AB上，故OABC的外心M即為點QA，1)，

由(tanx)'=(W=3

VCOSX)COSX

/、-1

所以正切曲線y=tanx在點1處的切線的斜率為"=(tan"1=二三=2

14JAcos—

4

故其“歐拉線”的方程為y-1=2卜-；)，

令y=0,得WJ=所以.?.c(F,θ).

故答案為：(F'°)

【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數(shù)求切線方程和新定義的應用，解答本題的關鍵由“歐拉線''的定義結

合JlBC為直角三角形，利用條件得出ABc'的“歐拉線”即為直線OC,由導數(shù)的幾何意義求出切線方程,

可得答案，屬于中檔題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=cosx+xsinx-1.

(1)若Xe(O,乃)，求/(x)的極值；

(2)證明：?x∈[0,zr]時,2sinx-xcosx≥x.

【答案】(1)極大值為/(x)極大值=fg)=]-l,沒有極小值；(2)證明見詳解.

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，分析函數(shù)的單調性，即可得到函數(shù)的極值；

(2)構造函數(shù)g(x)=2sinx-XCOSX-4,證明函數(shù)在工￡[0,乃]時g(x)≥0恒成立.

【詳解】(1)/(x)=cosx+xsinx-1

?'J'(x)=xcosx,

當Xe(O時J")>0;

當無?,乃卜寸J'(x)<O

當X變化時,/'(X)J(X)的變化情況如下表:

π

X

2

/'(X)+0—

/(X)單調遞增單調遞減

2

因此,當X=]時,f(χ)有極大值,并且極大值為“χ)極大皮=/(9=^-1,沒有極小值.

(2)令函數(shù)g(x)=2sinR-XcoSX-x,g'(x)=cosx+xsinX-I=f(x)

由(1)知/3在區(qū)間(0$上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.

X/(0)=0,/(?Tr)=jπ∏l>0,f(π)=-2<0

故fM在(O,π)存在唯一零點.設為七,則√(?)=∕(?)=0

當Xe(O,/)時,g<x)>0;當x∈(x(j,兀)時(X)C0,

所以g(x)在區(qū)間(0,%)上單調遞增,在區(qū)間(品,兀)上單調遞減

又g(())=(),g(∕r)=(),

所以,當x∈[0,汨時,g(x)≥0.

10/16

故2sinx-xcosx≥x.

2

18.已知函數(shù)f(x)=三.

e

(1)求函數(shù)/(χ)的單調區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(χ)在區(qū)間-g,+∞)上的值域.

^4'

【答案】(1)單調遞增區(qū)間為(0,2),單調遞減區(qū)間為(-∞,0),(2,+8)；(2)0—.

e

【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可.

【詳解】解：(1)由題意得，/'。)=弘亨，令T(x)>0,得0<x<2,

e

令r*)<0,得x〉2或XVO,故函數(shù)/(X)的單調遞增區(qū)間為。2),單調遞減區(qū)間為(-∞,0),(2,÷∞).

(2)易知F(O)=Oj(2)=5，O邛，

因為/⑵-圣守

16-2/_8-e?J2√^+e)(2√Σ-e)

=2?>,

所以/⑵>/卜；).

(或由穴2)W,了目=半邛系可得/(2)>O,

X2

又當x>0時，/(X)=—>0,

ex

-1、Γ4^

所以函數(shù)/*)在區(qū)間-十+8上的值域為0,丁.

L2JLe」

【點睛】確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：

第一步，確定函數(shù)f(x)的定義域;

第二步，求/'(X);

第三步，解不等式f(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；解不等式f(x)<0,解集在定義域

內的部分為單調遞減區(qū)間.

19.如圖，已知A、B兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設M是A5中點，在AB的中垂線上有一高鐵站P,PM的

距離為10公里.為方便居民出行，在線段PM上任取一點。(點。與尸、M不重合)建設交通樞紐，從高

鐵站鋪設快速路到。處，再鋪設快速路分別到A、8兩處.因地質條件等各種因素，其中快速路產(chǎn)。造價為

1.5百萬元/公里，快速路04造價為1百萬元/公里，快速路。8造價為2百萬元/公里，設NOAM=9rad,

總造價為八單位：百萬元).

(1)求V關于，的函數(shù)關系式，并指出函數(shù)的定義域;

(2)求總造價的最小值，并求出此時e的值.

【答案】(1)y=15U-tane]+15,(O<0<^)(2)最小值為156+15,此時

ICOSeJ46

【分析】(1)由題意，根據(jù)三角形的性質，即可得到"15U-tan∕+15,(0<e<g);

ICOSe)4

—qinθ

(2)構造函數(shù)/(O)=三-tan6=±^?,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，即可求解函數(shù)的最值.

COSeCoSe

【詳解】⑴】AOAM=θ,PMA.AB

AO=BO=-^-,OM=IOtane,OP=K)-IOtanO

CoSe

.,.y=?θ×1+?θ×2+(10-10tan^)×1.5=-^——15tan^÷15,

CoSeCOS0CoSe

=15|---tan1+15∣0<6><?|

ICOSeJ[4)

⑵設〃。)=吃-tan。=仝當

COS0CoSe

2

lj11∣/X_-Cos0÷sin6>(2-sin6^)_2sin6-1

?⑼二COS2^

令尸(e)=o,Sine=(又o<e<f,所以e=J?

246

當o<e<1,sine<!j'⑻<o,y=∕(e)單調遞減;

o2

當9<9<￡，$皿，>:，∕(0)>0〃="6)單調遞增；

o42

所以，⑻的最小值為/1)=百.

答：y的最小值為i5λΛ+i5(百萬元)，此時

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，以及利用導數(shù)求解函數(shù)單調性與最值問題，其中解答中認

真審題，合理建立函數(shù)的關系式，準確利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析

問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

12/16

20.已知函數(shù)/(x)=(α-6)χ2-χ-χlnx.

(1)若曲線y=∕(x)在點(1"(1))處的切線與X軸平行，且〃1)=%求α/的值;

(2)若“=1,"x)≥0對Xe(O,內)恒成立，求6的取值范圍.

Ia=O/I

【答案】⑴%=_「⑵be(fo,0]

【分析】(1)對/(x)求導，Γ(1)=O,/⑴=。解方程組求出α,b即可.(2)將α=l代入，利用參變

分離可以將問題轉化為人1」-也在(0,+∞)恒成立，求出g(x)=l」-叱的最小值，令b≤g(x)min即

XXXX

可.

2z

【詳解】(?)/(x)=(6i-?)x-x-xlnxf∕(x)=2(?a-b)x-]∏x-2,

?f(?)=a-b-l=a曰Jq=O

由jf'⑴=2(α-h)-2=(√得jb=-l'

(2)因為α=l,/(x)=(l-∕>)x2-x-xlnr,

/('"0等價于小一；卡，

令g(χ)=T弋，g'(*)=竽

當Xe((M)時，g'(x)<O,所以g(x)在(0,1)上單調遞減,

當XW(I,+∞)時，g,(x)>O,所以g(x)在(L+∞)上單調遞增，

所以g(x)min=g⑴=°，

所以6∈(-∞,0].

【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調性，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

21.己知函數(shù)/(x)=InX+g0γ2+(α+l)x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調性；

(2)設函數(shù)/(χ)圖象上不重合的兩點Aa,Υ),仇孫必)(%>?).證明：kAB>kAB是直線AB的

斜率)

【答案】(1)①當“20時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調遞增；②當“<0時，函數(shù)Ax)在(0,-3上單調遞增，

a

在(-L+8)上單調遞減.(2)證明見解析

【解析】(1)先由題意，得到函數(shù)定義域，對函數(shù)求導，分別討論“≥0和α<0兩種情況，解對應的不等

式，即可得出其單調性；

(2)根據(jù)斜率公式，由題意，得到須B=?=A=In\-1喳+"在吁-)+(α+1),再由

x1-x2xl-X22

/?^(_\2(土—1)

八百要)=-----+裝善+(〃+]),將證明的問題轉化為證明此%>上EI=T_,令

2x1+x22x2xl+x2?,?

%

土=f(f>1),即證r∈(l,+8)時，Inc也?成立，設g(t)=lnr-改二對其求導，用導數(shù)的方法

X2f+ιr+1

求其范圍，即可得出結果.

【詳解】⑴函數(shù)F*)的定義域為(0,+8),

且八x)J+αr+(α+l)=f+"=3+D(x+D

XXX

,

①當.≥0時，/(x)=i+0x+(a+l)>0,此時/")在(0,+∞)單調遞增;

X

②當α<0時，令/'(X)=O可得X=-L或X=-I(舍)，-1>0,

aa

由廣(x)>0得0<x<」，由/(x)<0得x>-L

aa

所以/(x)在(θ,-?)上單調遞增，在(-L+8)上單調遞減.

aa

綜上：①當4≥0時，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調遞增；

②當α<0時，函數(shù)/(X)在(0,-L上單調遞增，在(-L+8)上單調遞減.

aa

+ax

(2)由題意得X=Inxl~^?+3+1)玉,%=In/+；+3+1)/，

所以InF+3公；+3+1)玉一(卜入2+(。￥+(。+1)々)

^AB-=

X1-x2X1-X2

^lnx1-lnx2?t?(x1+x2)ι??

x1-X22

又八空)=工+嗎豆+3+1),

2%1+x22

要證心0>尸(工產(chǎn))成立，

、

InX!-Inx72

即證：一----二>------成立，

xl-x2x1+x2

?/\2(+-1)

即證：ln%>型二一成立.

?內+%五+1

14/16

令土=r(r>l),即證fe(l,+8)時，Inc鈍a成立.

X2r+1

設gQ)=lnf一與l2,Q>l)

r+1

14(/-D2

則g'(r)=--XkF">O,(r>l)

t(z+l)-r?(r+l)2

所以函數(shù)g⑺在―)上是增函數(shù)，

所以Vfe(I都有g(f)>g(I)=0,

即Wre(I,+∞),Inr>"a,

r÷l

所以心3>r(土產(chǎn))

【點睛】本題主要考查用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調性，以及用導數(shù)的方法證明不等式恒成立，通常需要對

函數(shù)求導，用導數(shù)的方法求函數(shù)單調區(qū)間，以及最值等，屬于?？碱}型.

22.已知函數(shù)/(X)=L—L(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

e

(1)求函數(shù)Ax)的零點/,以及曲線y=f(x)在X=XO處的切線方程；

(2)設方程/(x)=,"Q">0)有兩個實數(shù)根與馬，求證：∣xl-?∣<2-MI(1+^-).

2e

2

【答案］⑴Xo=±1,切線方程為y=陽χ+i)和y=-*(χ-i);⑵證明見解析.

e

【解析】(1)由〃X)=0,求得x=±l,得到函數(shù)的零點x°=±l,求得函數(shù)的導數(shù)，結合導數(shù)的幾何意義,

即可求得曲線y=F(X)在X=Xo處的切線方程；

(2)利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，根