廣東省清遠(yuǎn)市四校2023-2024學(xué)年高二年級上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

廣東省清遠(yuǎn)市四校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1、拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件4="點數(shù)為大于2小于5”,3="點數(shù)為偶數(shù)”，則

A8表示的事件為（）

A.“點數(shù)為4”B.“點數(shù)為3或4”

C.“點數(shù)為偶數(shù)”D.“點數(shù)為大于2小于5”

2、已知向量可=（—3,2,5）,Z—I=1）,則|』=（）

A.61B.V61C.13D.713

3、在四面體OABC中，點M,N分別為線段OA,BC的中點，若MN=xOA+yOB+zOC,則

x+y+z的值為（）

OjM

4、從2名男生和3名女生中任選2人參加學(xué)校志愿服務(wù)，則選中的2人中恰有一名男生

的概率為（）

5、若直線2mx+y-4加-1=0的斜率k<0,那么該直線不經(jīng)過（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6、已知空間向量a=（-1,0,1）/=（羽1,1）,且。力=1,則向量。與匕的夾角為（）

A.—B.—C.-D.-

6336

7、《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描

述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”.如圖，在“陽

馬”P—ABCD中，上4J_平面43。。,|4￡）|=2|45|=|尸4|,則直線/3。與面P3D所成角的

正弦值為（）

p.

A[\\D

/I///

B：——乂

A.逅B乒C.BD亞

9933

8、已知直線/:（加+2）x+（ml）y-3止3=0,點M（4,3）,記M到2的距離為"，則d的取

值范圍為（）

A.[0,8）B.[0,8]C.[0,2A/2）D.[0,272]

二、多項選擇題

9、已知向量a=（—2,—3,l）,6=（2,0,4）,c=（—4,—6,2）則（）

A.a//cB.a.LbC.allbD.b.Lc

10、已知直線/:x+退>=1,則（）

A.直線/的斜率為-且

3

B.直線/的傾斜角為120。

C.直線/不經(jīng)過第三象限

D.直線/與直線區(qū)+3y-2=0垂直

11、6個相同的分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個球.記

第一次取出球的數(shù)字為X「第二次取出球的數(shù)字為X?.設(shè)X='，其中[X]表示不超

_X?.

過X的最大整數(shù)，則（）

S2

A.P（X1>X2）=-B.P（X1+X2=5）=-

C.事件“X]=6”與“X=0”互斥D.事件“X?=1”與“X=0”對立

12、如圖所示,正方體ABCD-AgG。中，筋=1，點尸在側(cè)面BCC4及其邊界上運(yùn)動，

并且總是保持AP，BQ,則以下四個結(jié)論正確的是（）

A.BDt1PCB.AP1BC,

C.點P必在線段3c上D.AP〃平面AG。

三、填空題

13、設(shè)A,民C為三個隨機(jī)事件，若A與3是互斥事件乃與C是相互對立事件，且

尸(A)=；,P(C)=3則P(A+B)=.

14、過點P(-1,4)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為.

15、已知向量2=(2,4,?)=(2,1,2),；=(—2,2,1)且，。共面，則

\a+b+c\=.

16、已知兩條平行直線4:x-2y+l=0,4：MC-y+〃=0間的距離為石，則

|2m—2n|=.

四、解答題

17、如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(2,4),3(1,-2),C(-2,3)求：

(1)3c所在直線的方程；

(2)邊上的高AD所在直線的方程;

(3)三角形A3C的面積.

18、從3名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽.

(1)將5名學(xué)生做適當(dāng)編號,把選中2人的所有可能情況列舉出來;

(2)求所選2人中恰有一名女生的概率；

(3)求所選2人中至少有一名男生的概率.

19、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，上4，底面ABCD,E,F分別是PC,PD

的中點,以=45=1,6。=2.

(1)求3尸兩點間的距離；

(2)求證：所〃平面以3;

(3)求證：平面平面PDC

20、甲、乙兩名跳高運(yùn)動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.8,0.7,且每次試跳成

功與否相互之間沒有影響，求：

(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；

(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；

(3)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.

21、已知直線/:Ax-y+2+4左=0(keR).

(1)求證：直線/經(jīng)過一個定點；

(2)若直線I交x軸的負(fù)半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,0為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB

的面積為S,求S的最小值及此時直線I的方程.

22、如圖所示，在正四棱柱ABCD-A4GA中，54=4,AB=1"是。，的中點，

(1)求3到平面MAC的距離;

（2）在棱8月上是否存在一點P,使二面角M-AC-P為￡?若存在，建立適當(dāng)坐標(biāo)系,

寫出P點坐標(biāo)，若不存在,請說明理由.

參考答案

1、答案：A

解析：A="點數(shù)為大于2小于5"={3,4},

3=“點數(shù)為偶數(shù)”={2,4,6},則A5={4},

故A8表示的事件為“點數(shù)為4”.

故選：A.

2、答案：B

解析：由a=(-3,2,5),a—人=(1,5,—1),得人=a—(a—加=(-4,-3,6),

16=加-4)2+(-3)2+62=病.

故選：B.

3、答案：C

解析：由政V=ON-=103+10。二。4

222

]_

%=-

2

1

又MN=xOA+yOB+zOC,則<y=2

1

z=一

2

所以x+y+z=g

故選：C.

4、答案：A

解析：設(shè)2名男同學(xué)為A，43名女同學(xué)為區(qū),不,與

從以上5名同學(xué)中任選2人總共有

AA,44，■，4鳥，4耳,&耳,，耳鳥,百與，耳為共1。種可能,

選中的2人恰好是一男一女的情況共有共6種可能

則選中的2人恰好是一男一女的概率為0.6,

故選：A.

5、答案：C

解析：直線2mx+y-4m-1=0可化為m(2x-4)+(y-1)=0

則直線2根x+y—4%一1=0過定點（2,1）,

又直線2mx+y-4%-1=0斜率%<0,

故該直線不經(jīng)過第三象限.

故選：C.

6、答案：C

解析：因為a?B=-％+o+1=1,所以％=o,即1=（0,1,1）,

則有|。|=行,|切=0,

所以cos〈a,。〉=.&b.=.J廠=，，又因為〈。/〉w[0,兀],

|a||&|V2-V22

所以向量。與b的夾角為4

3

故選：C.

7、答案：A

解析：因為Q4J_平面A3CD,A3,A￡>u面A3CD,底面A3CD為矩形，

所以ABARAP兩兩垂直，

設(shè)A5=1,AO=AP=2,以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則5(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2)

所以3。=(―1,2,0),BP=(-l,0,2),PC=(1,2,-2)

設(shè)平面P3D的法向量為“=(%,%z),

"?BD=-x+2y=0.iTT

所以，令x=2,則y=l,z=l所以取〃=(2,1,1),

nBP=-x+2z=0

直線PC與面PBD所成角的正弦值為|cos5,PC)\=nPC=與與=逅.

|/7|.|PC|V6-V99

故選：A.

8、答案：C

解析：若直線I過點Af(4,3),則4(m+2)+3(m-l)-3m-3=4m+2=0,解得根=,

此時，點M到直線I的距離為d=0;

由直線I:(m+2)x+(m-1)y-3〃?-3=0,可得祖(x+y-3)+2x-y-3-0,

,fx+y-3=0r5/口fx=2

由ccc，可解得「

2x-y-3=Q[y=1

即直線/：O+2)x+O—l)y—3〃?—3=0過定點A(2,l),

則|M4|=J(4_2)2+(3-lU7m=1,

當(dāng)直線/:(根+2)x+(m-l)y-3根一3=0與直線MA垂直時,d=20最大，

此時，直線/的斜率為k=-金=-1,m的值不存在,即這樣的直線/不存在，

m—1

所以04d<2&.

故選：C.

9、答案：ABD

解析：A選項，因為c=2a,所以a//c,A正確；

B選項，因為a必=—2x2+(—3)x0+lx4=0,所以正確；

2=-2k

C選項，設(shè)匕=hz,則有<0=-3Z,方程組無解，故a力不平行,C錯誤;

4=k

D選項,6?<?=(2,0,4)?(―4,—6,2)=—8+0+8=0,故b，c,D正確.

故選：ABD

10、答案：AC

解析：由題設(shè)/:y=-+走,傾斜角0。48<180。，

-33

則tan6=—且n。=150°,A對,B錯；

3

直線/斜率為負(fù)值,y軸截距為正值，

則直線/過第一，二,四象限，不過第三象限,C對；

由氐+3y—2=0，可得其斜率為

且"、」一

由—

3I3J3

可得直線/與6x+3y—2=0不垂直,D錯.

故選：AC.

11、答案：AC

解析：由題意,6個相同的分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,

每次取1個球.

二共有36種可能的情況淇中&>X。的情況共有：浮=15,

;.P（X1＞乂2）="=9,故A正確

11273612

兩次取球數(shù)字之和為5的情況有以下四種：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

41

.?.P（X]+X2=5）=—=—,故B錯誤.

―27369

6

當(dāng)X1=6時,X=HO,

X]

事件"X]=6”與“X=0”互斥，故C正確.

Y

當(dāng)x2=i時,x=d=國卜0,

Y

當(dāng)X。=2,X1=2時,X=」=1H0

事件“X2=1”與“X=0”不對立，故D錯誤.

故選：AC.

12、答案：ACD

解析：以。為原點,分別以D4,DC,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖

所示，

則A(1,O,O),5(1,1,0),C(0,l,0),￡>(0,0,0),A(1,0,1),(1,1,1),Q(0,1,1),D1(0,0,1)

設(shè)。(七,1，4),(石，4e[0,l])

則AP=(七一1,L4),BQ=(-1-1,1)

由AP，BDX,

可得AP.BQ=(玉_1,1，4>(_1,_1,1)=_%+1_1+4=4—芯=0,即/=z-

又CP=(玉,0,4),則CPBDX=(-l,-l,l).(x1,0,z1)=-%1+z]=0,

故CP，BD]，故選項A判斷正確；

由5^=(—l,0,l),AP=(X]—l,LzJ

WBq-AP=(^1-l,l,z1).(-l,0,1)=1-^+21=1^0,

則兩向量6G與AP不垂直，故AP與BC]不垂直，故選項B判斷錯誤；

又B.C=(-1,0,-1),4P=(七一1,0,Z]—1)

令4P=X4C,Xe[0,l]則有I,.，解N得1,.

Z]—1=-%Z[=1—A

此時-X[+Z[=0,X],Z]e[0,1],2e[0,1]均成立.

故點P必在線段用C上,故選項C判斷正確；

設(shè)平面4G。的一個法向量為冽=(x,y,z),

又A&=(-M,0),4。=(To,-D.

則1，令％=1,貝1J丁=1,2=—1貝!]m=(1,1,一1),

-x-z=0

由Tn,AP=(1,1,—!),(玉—1,1,Z])=,-[+]—Z]=%—Z]—0,

可得加又AP<Z平面AG。，

則AP〃平面,故選項D判斷正確.

故選：ACD.

13、答案：-

6

57

解析：由3與C是對立事件，可得P(3)=l-P(C)=1-五=五

由A與3是互斥事件，可得

175

P(A+JB)=P(A)+P(B)=-+—=-.

故答案為：

6

14、答案：2x+y-2=0

解析：直線x—2y+3=0的斜率為:，

則過點P(-l,4)且垂直于直線x-2y+3=0的直線斜率為-2,

則所求直線方程為y-4=-2(x+1),

化為一般式為2x+y-2=0.

故答案為：2x+y-2=0.

15、答案：3岳

解析：若a,。，c共面，則存在非零實數(shù)％滿足c=Xa+〃Z?,

則(—2,2,1)=2(2,4,x)+〃(2/,2)=(2X+2〃,42+〃,Xx+2〃),

24+2從=—22=1

即<44+〃=2，解得<〃=-2,

2%+2//=1x=5

所以。=(2,4,5),則a+b+c=(2,7,8),

所以|a+Z?+c|="+72+82=3而.

故答案為：3岳.

16、答案：5

解析：根據(jù)題意，兩條直線4:x-2y+l=0,/2:+〃=0平行,

必有-1*(-1)=(-2)*機(jī),解可得機(jī)=—

2

則/2：7加一丁+a=0即?X一,+〃=0,變形可得x—2y+2〃=0,

又由兩條平行直線間的距離為6，則有空/U=75,

V1+4

故|2"-11=5,解之可得“=3或”=一2,

則〃=3時|2m—2〃|=|1—6|=5;〃=—2時|2一一2%|=|1+4|=5.

故答案為：5.

17、答案：(1)5x+3y+l=0;

(2)3x-5y+14=0;

23

(3)—

2

解析：(1)因為5(1,—2),C(—2,3)

所以直線3c的兩點式方程為色=」，

3+2-2-1

化簡得5x+3y+l=0;

0—35

(2)因為凝c=---------,又

1-(-2)3

則原c.Lw=一1，所以心O=5，

則直線AD的方程為y-4=：(x-2),

即3x—5y+14=0.

(3)點A(2,4)到直線BC:5x+3y+l=0的距離

,|5x2+3x4+l|2323取

AD=---/:---—------

V？TFV3434

又△ABC的底邊|BC\=’(3+2)2+(-2-1)2=庖，

所以△ABC的面積為S=2xV^x竺叵=”.

2342

18、答案：（1）詳見解析;

解析：（1）3名男生分別記為A,5,C,2名女生分別記為a,瓦

從中任選2人的所有情況為：ABACAaAb,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10種；

（2）所選2人中恰有一名女生的情況有：4"瓦加,班。,。0共6種，

所以所選2人中恰有一名女生的概率是P=^=j;

（3）所選2人中至少有一名男生的情況有：A5AGA""3aBa,M,Ca,C0共9種，所以

Q

選2人中至少有一名男生的概率P=—.

10

19、答案：（1）-

2

（2）證明見解析

（3）證明見解析

解析：（1）由題可知底面

以A為原點,A3所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(1,2,0),￡>(0,2,0),P(0,0,l)

???石t小C=

即3尸兩點間的距離為士.

2

(2)由(1)知,EP=1—g,O,o],AP=(O,O,l),

AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AS=(L0,0),

所以a=—』AB,即EF//AB,即EF//AB,

2

又ABu平面以瓦跖.平面PAB,

所以所〃平面PAB.

(3)由(2)知,AP=(0,0,l),AD=(0,2,0),￡>C=(l,0,0)

所以AP?OC=(0,0,1)-(1,0,0)=0,

AD-DC=(0,2,0)-(1,0,0)=0

則AP,DC,A。，DC即APLDC.AD，。。

又AP4￡>=4,且4。,^￡)匚平面以。，

所以DC，平面以。，

又。C,平面PDC,

所以平面PAD_L平面PDC.

20、答案：(1)0.032

(2)0.94

(3)0.2976.

解析：(1)設(shè)“甲第i次試跳成功”為事件A，“乙第i次試跳成功”為事件及，

依題意得P(4)=0.8,P(4)=0.7且A,.,B,(i=1,2,3)相互獨立.

“甲第三次試跳才成功”為事件4HA，且三次試跳相互獨立，

,

P(AWA)=P(4)/(A)P(A3)=0.2X0,2X0,8=0.032.

即甲第三次試跳才成功的概率為0.032.

(2)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C,則e=4及，

P(C)=P(C)=1-P(^)P(^)=1-0.2X0,3=0.94.

即甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.94.

(3)設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件M,.(i=0,1,2),

“乙在兩次試跳中成功i次”為事件N,.(i=0,1,2),

事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為必乂+“2乂,且

加囚0，加2乂為互斥事件，

所求的概率為P(M風(fēng)+M2)=尸(必乂)+尸(%乂)

=P(M)P(O)+P(M)P(N)=C；*0.8X0.2X0.32+0.82義C；義0.7x0.3

=0.0288+0.2688=0.2976.

故甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.2976.

21、答案：(1)見解析

(2)S的最小值為16,直線/的方程為x-2y+8=0

解析：(1)直線/:依一y+2+4左=0(keR),

可化為丁=左(％+4)+2,故直線/過定點(-4,2).

(2)由(1)得直線/過定點(T,2),

又直線/交x軸的負(fù)半軸于點A,交y軸的正半軸于點B,

則左>0,

令％=0,得y=2+4左，所以A(0,2+4Q,

令y=0得