2024年安徽省普通高中高二數(shù)學(xué)春季階段性檢測(cè)試卷附答案解析

2024年安徽省普通高中高二數(shù)學(xué)春季階段性檢測(cè)試卷（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）2024.02考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．22．若直線與平行，則（

）A． B．2 C． D．或23．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．42 B．52 C．56 D．604．若圓與軸相切，且圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為（

）A． B．C． D．5．已知向量.若共面，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．06．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且為等差數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為10，則（

）A．30 B．31 C．40 D．418．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上不同于的點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前100項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前8項(xiàng)和為1000011．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合的直線與交于兩點(diǎn)，軸，垂足為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A．B．的面積小于的面積C．的外接圓面積小于的外接圓面積D．的面積最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知點(diǎn)，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是．13．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則．14．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，的離心率為的離心率為為與的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15．求滿足下列條件的曲線方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為的雙曲線；(2)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)且滿足的拋物線．16．已知在數(shù)列中，．(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，且，平面平面分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求二面角的正弦值．18．已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，63，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．19．已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上位于軸上方的兩點(diǎn)，∥，且與的交點(diǎn)為．(1)求四邊形的面積S的最大值；(2)證明：為定值．1．D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，解得．故選：D2．C【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系建立方程，解方程，驗(yàn)證即可.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，重合，不符合題意，所以舍去．所以.故選：C3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由，得，則．故選：B.4．A【分析】先根據(jù)題意求出圓的標(biāo)準(zhǔn)式，從而再求出一般式.【詳解】由已知得圓的半徑為2，故圓的方程為，即．故A正確.故選：A.5．D【分析】先應(yīng)用空間共面向量定理，得到的形式，橫、縱、豎坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等消參求解即可.【詳解】因?yàn)楣裁?，且都不是零向量；由空間共面向量定理得：存在實(shí)數(shù)，使得，且，即，所以，解得．故選：D.6．C【分析】首先求出點(diǎn)的軌跡的方程，即可得到其圓心與半徑，再得到圓的圓心與半徑，即可判斷兩圓相交，再兩圓方程作差即可得到公共弦方程，求出圓心到公共弦所在直線的距離，最后由計(jì)算可得.【詳解】由題意知，化簡(jiǎn)得，其圓心為，半徑，又圓的圓心為，半徑，所以，且，所以兩圓相交，其公共弦所在的直線方程為，圓心到公共弦所在直線的距離，故公共弦長(zhǎng)為.故選：C7．C【分析】根據(jù)條件求出，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即得【詳解】因?yàn)?，結(jié)合等差數(shù)列定義可得，所以，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故．故選：C8．B【分析】由題意，為的中點(diǎn)，兩點(diǎn)在拋物線上，已知，可表示出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，三點(diǎn)共線，可表示出坐標(biāo)，由，解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以，代入拋物線的方程可得，即，所以．設(shè)，由，即，可得，即，所以，解得．故選：B9．BD【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形計(jì)算即可求解.【詳解】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，又，所以，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確．故選：BD10．ABC【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)也滿足該式，故，是等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，易知其為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，所以的前項(xiàng)和為，故C正確；對(duì)于D，，則的前8項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．ACD【分析】由橢圓的定義及基本不等式可對(duì)A判斷求解；作出圖形可知點(diǎn)到軸距離比點(diǎn)到軸距離大，從而可對(duì)B判斷求解；利用正弦定理分別求出與的外接圓半徑，從而可對(duì)C判斷求解；設(shè)出直線，再與橢圓方程式聯(lián)立，分別求出，坐標(biāo)，再結(jié)合基本不等式從而可對(duì)D判斷.【詳解】對(duì)于，四邊形為平行四邊形，，所以，又，等號(hào)不成立，故A正確；對(duì)于，根據(jù)橢圓對(duì)稱性及圖知，點(diǎn)到軸的距離總比點(diǎn)到軸的距離大，的面積大于的面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，同理的外接圓半徑，其中橢圓焦點(diǎn)三角形在橢圓上點(diǎn)對(duì)應(yīng)角最大為，易知，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，由解得的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.12．【分析】根據(jù)空間向量的投影向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】，向量在上的投影向量為：，故答案為：13．9【分析】根據(jù)題中，可求出，可求得為等比數(shù)列，從而可求解.【詳解】由，可知當(dāng)時(shí)，，所以，即，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，從而．故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：9.14．4【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，然后再用余弦定理求出的關(guān)系，從而可求解.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由得，在中，由余弦定理得，即，整理得，得，所以．故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要是通過(guò)橢圓及雙曲線有共同焦點(diǎn)，利用橢圓定義及雙曲線定義并結(jié)合余弦定理求出相應(yīng)的幾何關(guān)系等式，從而可求解.15．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意確定雙曲線焦點(diǎn)的位置，再求出即可得解；（2）設(shè)拋物線方程為，先求出，再根據(jù)焦半徑公式求出即可得解.【詳解】（1）由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，由題可知，解得，所以滿足條件的雙曲線方程為；（2）設(shè)拋物線方程為，則準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得或，故滿足條件的拋物線方程為或．16．(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由題中遞推數(shù)列化簡(jiǎn)為，從而可求解.（2）由（1）結(jié)論可得，再利用裂項(xiàng)相消求和從而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意知，所以，即，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．又，所以，所以，即．（2），則，．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理來(lái)證明平面，平面，進(jìn)而得到平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角.【詳解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面．又平面平面，又平面．底面是正方形，是棱的中點(diǎn)，，又平面平面．又平面平面平面；（2）平面，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由令，得，由令，得，，二面角的正弦值為．18．(1)(2)【分析】（1）等差數(shù)列中用首項(xiàng)和公差表示條件和成等比數(shù)列，聯(lián)立方程組求解即可；（2）分別求出和，代入不等式，轉(zhuǎn)化不等式后構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由已知等差數(shù)列，得：得解得所以．（2），①，②，所以①─②得：．所以，得：．又由（1）中等差數(shù)列滿足知：，不等式對(duì)一切恒成立，且，即對(duì)一切恒成立，令，只需保證不等式成立即可，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，得，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法得到，再代入分離參數(shù)得對(duì)一切恒成立，令，再作差得到其單調(diào)性，從而求出其最小值.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)直線的方程分別為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，平行線間的距離，再結(jié)合基本不等式求面積的最值；（2）設(shè)，則，，可得，結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明.【詳解】（1）由題意可得：，則．設(shè)直線的方程分別為，顯然直線均與橢圓相交，設(shè)的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，則關(guān)于坐標(biāo)