北京市順義區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

順義區(qū)2023屆高三第一次統(tǒng)練

數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.本試卷共5頁，共兩部分，第一部分共10道小題，共40分，第二部分共U道小題，共

110分，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和教育ID號(hào).

3.試題《答案】一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1,已知集合A={-2,T,0},5={x卜3<x≤τ},則AIB=()

A.{-1}B.{-1,0}C.{-2,—1}D.{-2,0}

K答案1c

K解析D

K祥解1直接由集合的交集運(yùn)算得出K答案U.

詳析IIQA={—2,T,0},β={x∣-3<%≤-l},

AB={-2,-↑},

故選：C.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),則i?z=()

A.l+iB.-l-iC.1-iD.-l+i

K答案』A

K解析H

"羊解》根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

K詳析D因?yàn)閺?fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),則z=l-i

所以i?z=ix(l-i)=i+l

故選:A

3.?2X-M的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

IXJ

A.-24B.-6C.6D.24

K答案XD

K解析H

K祥解2利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令X的指數(shù)為O求出，?，將廠的值代入通項(xiàng)求出展

開式的常數(shù)項(xiàng).

K詳析D解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為4M=(T)'2JC%4-2"

令4一2廠=0,解得r=2,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為4C：=24.

故選：D

4.若等差數(shù)列｛叫和等比數(shù)列｛5｝滿足q=4，4="=2,4=16,則｛%｝的公差為()

A.1B.-IC.-2D.2

K答案UA

K解析H

K祥解D根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，公差的關(guān)系求解.

K詳析》設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃,｝的公比為q

?.?a2=b2=2

:.%+d=t??q,又%=t?

4+d=%?q=2

rt,3

又.b5=b['C｛-ax-q=(alq)?c[=2q=16

.?.g=2,α∣=I,d—1

故選：A

5.函數(shù)/(x)=e'-eτ的大致圖象是()

R解析】

K祥解』分析給定函數(shù)f(χ)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.

K詳析1函數(shù)/(x)=e*-e一定義域?yàn)镽,f(-x)=ex-QX=-(ex-e-x)=-f(x),函數(shù)/(工)是R上的

奇函數(shù)，

函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，選項(xiàng)A,D不滿足；

因函數(shù)y=e'在R上單調(diào)遞增，y=e-*在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)AX)在R上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C不滿足,

B滿足.

故選：B

22

6.若雙曲線C：「—[=l(α＞方＞0)的離心率為e,則e的取值范圍是()

a~b~

A.(1,2)B.(√2,+∞)C.(1,√2)D.(2,+∞)

R答案UC

K解析》

K樣解Il根據(jù)雙曲線離心率的知識(shí)求得正確K答案』.

K詳析》e=￡

a

h(b^(b?

由于a>6>0,所以0<—<l,0<∣—<1,1<1+—<2

a?a)?a)

所以e1l+(￡|e(l,?/?,

故選：C

7.已知α,∕∈R,則"存在％∈Z使得α=(2Z+l)兀+/7”是“cosα+cosA=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

K答案》A

K解析X

R祥解》由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的特殊函數(shù)值，結(jié)合充分、必要條件知識(shí)進(jìn)行推理可得.

R詳析U若存在左∈Z使得α=(2A+l)兀+￡,

則8sɑ=cos[2Z+l)兀+4]=cos(2^π+π+⑶=cos(兀+m=-cosβ,

*

..cosa=-cosyff,即cosa÷cos∕7=0,

/.存在左∈Z使得a=Qk÷l)π+/?=>cosα+cos4=0,

???”存在k∈Z使得α=(2R+l)π+4”是“cosa+cos尸=0”的充分條件;

Jl

當(dāng)α=∕J=5時(shí)，cosa-cosβ,此時(shí)

COSa+cos∕?=O%存在左∈Z使得a=(2Zc+l)π+/?,

.?.”存在ZeZ使得ɑ=(2A+l)π+/”不是"cosc+cos∕7=0”的必要條件.

綜上所述，“存在左eZ使得。=(2攵+1)兀+￡”是“cosα+cos￡=O”的充分不必要條件.

故選：A.

8.近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.PeUkert于1898年提

出蓄電池的容量C(單位：Ah).放電時(shí)間r(單位：h)與放電電流/(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公

式：C=∕"?f,其中"為PeUkert常數(shù).為測算某蓄電池的PeUkert常數(shù)”，在電池容量不變的條件下，

當(dāng)放電電流/=2OA時(shí).，放電時(shí)間∕=2()h;當(dāng)放電電流/=5OA時(shí).，放電時(shí)間f=5h?若計(jì)算時(shí)取

Ig2a0.3,則該蓄電池的PeUkert常數(shù)"大約為()

A.1.67B.1.5C.2.5D.0.4

K答案DB

R解析H

20"X20=C/S、"

R祥解》由己知可得出〈,可得出?=4.利用指數(shù)與對數(shù)的互化、換底公式以及對數(shù)的

50,,×5=C

運(yùn)算法則計(jì)算可得〃的近似值.

20,1×20=C(5丫

K詳析D由題意可得〈?,所以，20"χ20=5()"x5,所以，1=4,

50,,×5=C{2)

14Ig421g221g22×0.3,.

所以,To噌不二”=ErErI$

218Ξlg7

故選：B.

9.在棱長為1的正方體ABCD-A片GA中，動(dòng)點(diǎn)P在棱AM上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段BG上、若

AxP=λ,BQ=μ,則三棱錐Di-APQ的體積（）

A.與；I無關(guān)，與〃有關(guān)B.與丸有關(guān)，與〃無關(guān)

C.與九〃都有關(guān)D.與都無關(guān)

K答案HD

K解析H

R祥解H根據(jù)G。得出AA〃平面ABGA,所以點(diǎn)P到平面ABG。的距離也即Afi1到平面

的距離，得到點(diǎn)P到平面AQR的距離為定值，而底面AQR的面積也是定值，并補(bǔ)隨BQ的變化

而變化，進(jìn)而得到K答案》.

K詳析D因?yàn)锳BCZ）-AAG。為正方體，所以CQI//A4

因?yàn)镃lAU平面ABCtD],AMa平面ABClDi,所以人用〃平面ABCtDi,

所以點(diǎn)尸到平面ΛBCtDl的距離也即A1B1到平面ABC1D1的距離，也即點(diǎn)P到平面AQDt的距離不隨

AP=九的變化而變化，設(shè)點(diǎn)P到平面AQ2的距離為m過點(diǎn)A作AA,根據(jù)正方體的特征可知:

AB人平面49。同，因?yàn)锳FU平面ADAA，所以AB_LAF,ABADi=A,所以Λl尸，平面

ABCiDl,則有〃=A尸=正

2

因?yàn)镚A//AB且GA=A8,所以四邊形ABG。為平行四邊形，所以BC"∕AA,

所以點(diǎn)。到AA的距離也即8G到ADJ的距離，且距離為I,所以S,“〃=工XANXl=也（定值），

az7∣v2*2

所以%「仍？=%∕A°=；SAD、Q?h=gx與X與=W（定值），

則三棱錐P1-APQ的體積不隨4與〃的變化而變化，也即與與九〃都無關(guān).

故選：D.

10.已知點(diǎn)A,B在圓O:/+y2=]6上，且∣A8∣=4,尸為圓。上任意一點(diǎn)，則AB?BP的最小值為（）

A.0B.-12C,-18D.-24

K答案DD

K解析H

K祥解2由題可設(shè)A（—2,2@,8（2,26），P（4cosα,4sinα）,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三

角函數(shù)的性質(zhì)即得.

K詳析》因?yàn)辄c(diǎn)A,B在圓O:V+y2=]6上，且IABI=4,P為圓。上任意一點(diǎn)，

則ZAOB=1，設(shè)4—2,26),8(2,27§),P(4cosα,4sinα),

所以AB=(4,0),BP=^4cosof-2,4sinσ-2V3j,

所以AB?BP=4(4cosa_2)=16cos二-8∈[-24,8],

即ABBP的最小值為—24

故選：D.

Kr點(diǎn)石成金9方法r點(diǎn)石成金』：向量數(shù)量積問題常用方法

一是利用基底法，結(jié)合平面向量基本定理及數(shù)量積的定義求解；

二是利用坐標(biāo)法，結(jié)合圖形建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積.

第二部分(非選擇題共UO分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=Ig(X+1)+」一的定義域?yàn)?

X-1

K答案H(-1,1)(l,4w)

K解析R

K祥解H根據(jù)題意，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.

R詳析H因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=Ig(X+1)+」一

X-I

x+1>0

則V1八，解得x>-l且XWl

x-l≠0

所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,+8)

故R答案』為：(-l,l)U(l,4w)

12.已知圓/：/+,2一2%-8=0,點(diǎn)4、8在圓”上，且尸(0,2)為AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為

K答案1x-2y+4=0

K解析』

K祥解》根據(jù)垂徑定理得到PM_LAB,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系得到心B，

然后利用斜截式寫直線方程，最后整理一般式即可.

K詳析DM:%2+y2—2x—8=0可整理為(x—lf+y2=9,

所以圓心為"(1,0),根據(jù)垂徑定理可得PM,ΛB,kpM=——=—2,

I-O

所以原8=；，直線AB的方程為y=gx+2整理得x-2y+4=°?

故K答案』為：x-2),+4=0

13.若存在XeR使得f+2χ+m≤o,則，〃可取的一個(gè)值為.

K答案IlI((F,1］內(nèi)的任一值均可)

K解析H

K祥解』根據(jù)題意可知：函數(shù)/。)=/+2%+加有零點(diǎn)，則A=4—4m≥0,解之即可，在所得到的范

圍內(nèi)任取一個(gè)值即可求解.

K詳析D因?yàn)榇嬖赬eR使得χ2+2χ+m≤o,

也即函數(shù)/(x)=f+2x+m有零點(diǎn)，則有A=4-4mN0,解得：mi,?,

所以〃?可取(-∞,1］內(nèi)的任意一個(gè)值，取加=1,

故K答案』為：L((一8』內(nèi)的任一值均可)

14.在「ABc中，^sinB=V3?cosA>a=V19>b=2,則A=，C=.

K答案H①.?60②.5

K解析』

K樣解Il利用正弦定理化簡可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A的值；利用余弦定理可得

出關(guān)于C的等式，結(jié)合c>0可得出C的值.

R詳析》因?yàn)?sin3=J8bcosA，由正弦定理可得SinASinB=GSinBCOsA，

因?yàn)锳、B∈(0,π),則SinB>0,所以，SinA=百CoSA>0，則tanA=百，故力=方，

由余弦定理可得/CCOSA，即c2-2c-15=0，Qc>O,解得c=5.

故K答案2為：一；5.

3

15.如果函數(shù)/(x)滿足對任意s,∕e(0,+8),有/(s+a<∕(s)+∕Q),則稱/(X)為優(yōu)函數(shù).給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①g(x)=ln(l+x)(x>())為優(yōu)函數(shù)；

②若/(x)為優(yōu)函數(shù)，則/(2023)<2023/(1)；

③若/(x)為優(yōu)函數(shù)，則/(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

④若F(x)=以2在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則/(X)為優(yōu)函數(shù).

X

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

K答案，①②④

K解析H

K樣解D①計(jì)算出g(s)+g(f)-g(s+f)=ln1+-——>In1=0,故g(s)+g(f)>g(s+f),得到

?JL^τ^?十IJ

①正確；

②賦值法得到2/(1)>/(2),3/(1)>/(3),依次類推得到/(2023)<2023/⑴；

③舉出反例；

④由F(X)=叢。在。+8)上單調(diào)遞減，得至IJ/(S+”<2,/C+')<四,整理變形后相加得到

XSΛ-tS5+Zt

(5+r)∕(5+r)<(5+z)[∕(5)+∕(/)],即/(s+r)<∕(s)+∕(r),④正確.

K詳析H因?yàn)閟,r∈(0,+s),

所以g(s)+g(∕)-g(s+t)=In(I+s)+In(I+r)-ln(l+s+f)=

,l+s+t+st.(.st)

=In--------------=In1+--------->1In1l=nO,

1+s+fI1+s+tJ

故g(s)+g(r)>g(s+f),故g(x)=ln(l+x)(x>O)是優(yōu)函數(shù)，①正確；

因?yàn)?(x)為優(yōu)函數(shù),故〃1)+"1)>∕(1+1),即2∕(1)>”2),

"2)+"l)>∕(2+l)=∕(3),故3∕(1)>∕(3),

同理可得4/⑴>44),……，2023/(1)>/(2023),②正確；

例如f(x)--x2,x>0,滿足/(s+a-∕(s)-∕Q)=-(s+r)2+.y2+/=-2st<O,

即/(s+f)<∕G)+∕Q),為優(yōu)函數(shù)，但〃X)=T2在XG(O,+。。)上單調(diào)遞減,

故③錯(cuò)誤；

若F(x)=2區(qū)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

X

任取s,t∈(0,+∞),s+t>s,s+t>t,

則E(S+/)<F(s),F(S+O</⑺，即"7)<也,/丁)<華，

J

變形為4(s+。<(s+f)/(s),貨(s+f)<(s+/)/G),

兩式相加得：(s+f)∕(s+f)<(s+f)[∕(s)+/(，)],

因?yàn)閟+f>0,所以y(s+f)<∕(s)+∕(f),

則/(X)為優(yōu)函數(shù)，④正確.

故K答案』為：①②④

Kr點(diǎn)石成金D函數(shù)新定義問題的方法和技巧:

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(χ)=Asinxcosx-GcosZx的一個(gè)零點(diǎn)為我.

6

(1)求A和函數(shù)/(χ)的最小正周期；

(2)當(dāng)Xe0,|時(shí)，若/(X)4根恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

K答案，(1)A=2;π

(2)[2,+∞)

K解析U

K樣解U(I)解方程/(i)=0即可求A,然后把函數(shù)/(X)降塞輔助角公式后再求周期.

(2)若/(X)<"2恒成立，即求/(x)nm

K小問1詳析》

f(x)=ASinXCOSX-JCoS2x的一個(gè)零點(diǎn)為百

6

???∕[g]=Asing?cosB-6cos1=0,即A?L?3-g?L=0,.?.A=2

⑹663222

.,./(x)=2sinX?cosx-y∣3cos2x=sin2x-?/?cos2x=2sin2x--

所以函數(shù)/(x)=2sin∣2x-1J的最小正周期為夸=兀.

K小問2詳析』

Cπ

x∈0,—

2

兀2兀

?,?2x^ie3,T

當(dāng)2x—L時(shí)有最大值,即/(x)max=2sin^=2.

若/(?)≤m恒成立，即/(?max≤，”，

所以m≥2,故陽的取值范圍為［2,+∞).

17.為調(diào)查A,B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效，藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物8的

患者的康復(fù)時(shí)間，經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù)：

康復(fù)時(shí)間只服用藥物A只服用藥物B

7天內(nèi)康復(fù)360人160人

8至14天康復(fù)228人200人

14天內(nèi)未康復(fù)12人40人

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復(fù)相互獨(dú)立.

(1)若一名患者只服用藥物A治療，估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率；

(2)從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(3)從只服用藥物4的患者中隨機(jī)抽取100人，用“Ex)(Q”表示這100人中恰有&人在14天內(nèi)未康復(fù)的

概率，其中攵=0,1,2,,100.當(dāng)月OO(Q最大時(shí)，寫出人的值.(只需寫出結(jié)論)

R答案』(1),49

(2)分布列見K解析數(shù)學(xué)期望為1

(3)2

K解析H

K祥解II(I)結(jié)合表格中數(shù)據(jù)求出概率;

（2）先得到只服用藥物4和只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率，得到X的可能取值及相應(yīng)的概率，得

到分布列和期望；

（3）求出只服用藥物A的患者中，14天內(nèi)未康復(fù)的概率，利用獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)求概率公式得到

/o（幻=CoO（弓），列出不等式組，求出結(jié)合左∈N得到K答案》.

K小問1詳析』

只服用藥物A的人數(shù)為360+228+12=600人，且能在14天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)有360+228=588人，

CQQ49

故一名患者只服用藥物A治療，估計(jì)此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率為三=F；

60050

R小問2詳析U

只服用藥物A的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為黑=?,

只服用藥物B的患者7天內(nèi)康復(fù)的概率為—————=-,

160+200+405

其中X的可能取值為0』,2,

132上

P(X=I)=

5j525

c∕"c?326

P(X=2)=—X—=——

`75525

則分布列為：

X012

6136

P

252525

數(shù)學(xué)期望為EX=OX——+lx，+2x——=l

252525

R小問3詳析』

121

只服用藥物A的患者中，14天內(nèi)未康復(fù)的概率為——=—

60050

IOo-It

149

Ioo(Q=C；,Λ=0,1,2,,100

5050

%(Q*伏+1)

令＜00

書OO(Qz/0(ZT)'

50

解得：V因?yàn)殡秂N,所以攵=2.

50

18.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，側(cè)面PA。為等邊三角形，AB=BC=-AD=X,

2

NfiAO=NABC=90°,E是PZ）的中點(diǎn).

(I)求證：直線CE〃平面Z?jβ;

(2)已知，點(diǎn)M在棱PC上，且二面角M—AB—O的大小為30。，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選

CM

擇一個(gè)作為已知，求——的值.

CP

條件①：平面R40_L平面ABCr＞；

條件②：PC=PD.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

R答案W(I)證明過程見詳析

⑵-

3

R解析2

K祥解D(I)根據(jù)中位線定理和線面平行判定即可求解；(2)根據(jù)線面垂直的判定或性質(zhì)，以及建立空間

直角坐標(biāo)系，利用法向量求解二面角的余弦值即可進(jìn)一步得解.

R小問1詳析Il

,Λ∕

CB

取∕?中點(diǎn)F,

連接ERB幾

因?yàn)镋是P。的中點(diǎn)，尸是網(wǎng)中點(diǎn),

所以ER是中位線，

所以石戶平行且等于AO的一半，

因?yàn)镹84O=NABC=90°,

所以BC平行于A。，

又BC='AO,

2

所以ER與BC平行且相等，

所以四邊形BCEF為平行四邊形，

所以CE平行于B凡

而CE(Z平面

平面/?B,

所以直線CE〃平面Z?β.

K小問2詳析?

若選①：平面∕?r＞，平面ABC

取A。中點(diǎn)0,

因?yàn)閭?cè)面PAO為等邊三角形，

所以POl平面ABCD,

易證OC_L平面AO，

以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-型,

A(—1,0,0),3(-1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,?

所以M(X,y,z),CP=(0,T,6)

所以CM=(X,y,z)=;ICP=X((),—l,√i),

x=0,

所以＜y=-Λ,

z=?/?/,

所以M(O,-;l,G∕l),

所以M4=(-1,%—百;I),MB=(-l,l+2,-√32),

設(shè)平面MAJB的一個(gè)法向量為n?=(xl,yl,zl),

κiy?MA—(X],X,Z])(—1,λ,—??∕3Λ)———x1+y∣4—y∕3z^Λ——0

所以

/2]?MB=(X],??,Zj)(—1,1+λ,~y∕3Λ')=—九]+X(1+Λ)—??∕3z∣Λ=0

令Zl=1,

Λ∣-—?∣3λ,

解得＜X=O，

Zl=I

所以勺=(-G4o,i),

易知地面一個(gè)法向量為，”=(0,0,1),

又二面角M—AB—。的大小為30。,

√3

所以CoS/e'勵(lì)?=m麗?π1=E1

^2^,

所以c。S/e,〃)?=麗m?n.=R1√3

V

解得∕l=±!,

3

又點(diǎn)M在棱PC上，所以∕l>(),

所以/I=',

3

所以空的值為;.

CP2

若選②:

因?yàn)閭?cè)面PAo為等邊三角形，

所以Pol平面A。，

連接0A,OC,0D,

易知/Q4三一POB三一POD,

所以NPQA=NPOB=NPoQ=90，

以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

A(-l,0,0),B(-l,l,0),C(0,l,0),P(0,0,√i),

所以M(x,y,z),CP=((),7,6)

所以CM=(x,y,z)=ACP=2(0,-1,√3),

x=0,

所以<y=T,

z—?∣3λ,

所以M(O,-;1,百口)，

所以MA=(—1,九一百㈤,MB=(-l,l+2,-√3Λ),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

MASn1=(Xl,y,z∣),

n-MA-(%,y,z)(-1,λ,-?∣2>λ)--x+yλ-布>z7-0

所以《ll1ll

λi∣?MB—(Λ∣,y∣,Z])(-1,1+Λ,—y/32.)——x∣+??(1+Λ)—y]3z^A,=0

令Z=1,

N=-?[τ>λ

解得,y=0

Zl=I

所以n1=(-G∕l,O,l),

易知地面一個(gè)法向量為機(jī)=(O,O,l),

又二面角M—AB—O的大小為30。，

/?m?n1√3

所以C曲,相麗λ=R-,

/?m?n,1_7|

所以cos(m,=

√322+l

解得;ι=±L,

3

又點(diǎn)M棱PC上，所以4>(),

所以χ=L

3

所以色■的值為

CP3

19.已知函數(shù)/(?)=(%—2)ex-?^-(%-l)2,<2∈R.

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求曲線y=/(χ)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間.

K答案》(1)y=x-3

(2)K答案』見K解析D

R解析H

K祥解Il(1)當(dāng)α=2時(shí)，求出函數(shù)/*)的導(dǎo)函數(shù)/'(X),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=()處的切線的斜率,

利用點(diǎn)斜式求出切線方程；

(2)對“進(jìn)行分類討論，由此求得Ax)的單調(diào)區(qū)間.

K小問1詳析』

當(dāng)α=2時(shí)，/(%)=(χ-2)ev-(x-l)2,

所以f(x)=(x-De*-2(x-l)

又因?yàn)?(0)=(0-2)eo-(0-l)2=-3,k=∕,(O)=(O-l)eo-2(0-1)=1,

所以/(χ)在(0,7(0))處的切線方程為y+3=x-0,即y=x-3

K小問2詳析』

由題意知，/(X)的定義域?yàn)镽

∕,(x)=(x-l)ev-a(x-1)=(X-IXe*-a)

①當(dāng)α≤0時(shí)，ev-Ω>0.則當(dāng)x<l時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)/'(x)>O,

所以Ax)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)α>O時(shí),由/'(X)=O得X=I或X=Ina,

(i)若α=e,則/'(χ)=(χ-l)(e*-e)20,所以F(X)在R上單調(diào)遞增，

(H)若O<α<e,貝IJIna<1,

所以當(dāng)x<ln0或x>l時(shí)/'(x)>0,當(dāng)Ina<x<l時(shí)/'(x)<0,

所以/(χ)在(Ina,l)上單調(diào)遞減，在(-8,In4)和(1,+力)上單調(diào)遞增，

(iii)若α>e,則Ina>1,

所以當(dāng)x<l或x>In0時(shí)f'(x)>0,當(dāng)l<x<ln0時(shí)f'(x)<O,

所以/S)在(1,In。)上單調(diào)遞減，在(-∞,1)和(Ina,+∞)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)α≤0時(shí)，/S)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+“)；

當(dāng)0<α<e時(shí)，/(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間是(In?,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-8』nd)和(1,+。)；

當(dāng)α=e時(shí)，/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間是(T?,+s),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)α>e時(shí)，/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,Ina),單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1)和(Ina,+8).

20.已知橢圓。：《+太=13>匕>0)經(jīng)過點(diǎn)［1,孝)，離心率為乎.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線Ly=自+/QwO)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若以O(shè)AOB為鄰邊的平行四

邊形Q4P3的頂點(diǎn)尸在橢圓C上，求證：平行四邊形QAP3的面積是定值.

K答案D(1)—+√=1

2

(2)證明見K解析》

K解析U

"羊解II(I)由題意可得關(guān)于α,b,C的方程組，求得“，〃的值，則橢圓方程可求：

(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于X的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形04尸B是平行

堂;土利用弦長公式求得∣∣再由點(diǎn)

四邊形，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，把尸點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得到廣A8,

到直線的距離公式求出點(diǎn)。到直線/的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形QV歸的面積為定

值.

K小問1詳析』

1

1

_.?=1

a2b2

∕τ

由題意，可得〈—=~τ~，解得/=2，Z?2=1，c2=1，

a2

a2=b2^c2

2

所以橢圓為工+丁=1.

2-

K小問2詳析』

證明：把y=H+f代入橢圓方程土+V1,

2-

得(2公+1)》2+43+2產(chǎn)一2=0,

所以A=(48)2—4(2爐+1)(2『—2)=16/一8產(chǎn)+8>(),即t2<2k2+l,

Akt2r-2

設(shè)A(%,j),B(X2,%)，則%+/=-X/=—;——

12?2+l,-2?2+l

2t

所以y+%=M%+尤2)+2/=2

乙K十1

因?yàn)樗倪呅?。是平行四邊?

4kt2t

所以。P=OA+。B=(Xl+x,y+%)=∣一

2i2k2+l'2k2+lJ,

(4k∕2t\

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為一討'充工T.

又因?yàn)辄c(diǎn)。在橢圓上,

22

8?Z4?=1,即心T

所以(2如+I?+(2^+1)2

因?yàn)楱OA3∣=，4+左2卜]-x21=J+攵2J(M+%)2-X1X2，

?6k^t24(2產(chǎn)-