2024年上海市浦東新區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)期末高考與等級(jí)考一模數(shù)學(xué)試卷含詳解

浦東新區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)試卷

考生注意：1、本試卷共21道試卷，滿分150分，答題時(shí)間120分鐘；

2、請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評(píng)分.

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)

果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1設(shè)全集U={123,4},A={1,3},則J=

5

2.若復(fù)數(shù)l+2i（其中i表示虛數(shù)單位），則Imz=.

3,已知事件A與事件B互斥,且尸（A）=S3,P（6）=0.4,則P（4_3）=.

兀

4.已知直線/的傾斜角為請(qǐng)寫出直線/的一個(gè)法向量____.

5.已知S”是等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和，若4=2"-3,貝嗨足Sm=24的正整數(shù)m的值為.

6.已知向量"=（3,4）,向量匕=（1，°）,則向量1在向量6上投影向量為.

兀

7.已知圓錐的母線與底面所成的角為孑，體積為3兀，則圓錐的底面半徑為.

8.在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為

（結(jié)果精確到0.01）.

9.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時(shí)間（單位：min）,連續(xù)記錄了7天的數(shù)據(jù)并繪制成如圖所示的莖葉

圖，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.

427

5458

70

96

人?/、A>O,（2?>O,O<69<—m八

10.如圖，已知函數(shù)y=Asin（w+°）（2）的圖像與>軸的交點(diǎn)為“刃，并已知其在y軸

右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（九°'2）和（1+2兀2）.記y=/（X）,則

ii.已知曲線G：9=4x(xWl),曲線C2：2x+y2_28=0(x?6),若一相。的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為

(1'°)，頂點(diǎn)昆°分別在曲線G和02上運(yùn)動(dòng)，則ABC周長的最小值為.

12.已知數(shù)列{叫滿足且對(duì)任意正整數(shù)九，關(guān)于x實(shí)系數(shù)方程*+2向〉+2a〃(2—4)=°都有兩

個(gè)相等的實(shí)根.若%。24=0,則滿足條件的不同實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為個(gè).

二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.考生必須在答題紙

的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則

一律得零分.

13.如果。>°>,則下列不等式中一定成立的是()

A.y/a>y/^bB.?2>b1C.a2<abD.a3>b3

14.一組樣本數(shù)據(jù)由10個(gè)互不相同的數(shù)組成，若去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)，則

().

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本極差相同

15.已知棱長均為1的正九棱柱有2”個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量￡的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為

AB.若集合4={x|x=a-AB},則當(dāng)從中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，九的值為()

A.3B.4C.6D.8

16.對(duì)于函數(shù)y=/(x)和y=g(x),及區(qū)間。，若存在實(shí)數(shù)％、b,使得/(%)之Ax+〃2g(x)對(duì)任意尤eZ)恒成

立，則稱>=/(》)在區(qū)間。上“優(yōu)于"y=g(x).有以下兩個(gè)結(jié)論：

①/(x)=log2］在區(qū)間。=口,2］上優(yōu)于g(x)=%2-2%+l；

②當(dāng)mW-2時(shí)，/(x)=x3在區(qū)間上優(yōu)于g(x)=e'+m.

那么()

A.①、②均正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①、②均錯(cuò)誤

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫出必要的步驟.

17.已知函數(shù)y=/(%),其中/(%)=2苛(左611).

(1)是否存在實(shí)數(shù)左，使函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出證明.

(2)當(dāng)％=1時(shí)，若關(guān)于x不等式/(%)?。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面A3CD,AB//CD,ZADC=90°,DP=3,CD=2,

A3=AD=1,點(diǎn)產(chǎn)為中點(diǎn).

(1)求證：直線A尸//平面P5C；

(2)求點(diǎn)。到平面尸5c的距離.

19.某街道規(guī)劃建一座口袋公園.如圖所示，公園由扇形AOC區(qū)域和三角形C8區(qū)域組成.其中4、0、D三

點(diǎn)共線，扇形半徑。4為30米.規(guī)劃口袋公園建成后，扇形AOC區(qū)域?qū)⒆鳛榛ú菡故緟^(qū)，三角形COD區(qū)域作為

親水平臺(tái)區(qū)，兩個(gè)區(qū)域的所有邊界修建休閑步道.

JT

(1)若NAOC=—,OD=2OA,求休閑步道總長(精確到米)；

3

7T

(2)若NODC=—,在前期民意調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分街道居民對(duì)親水平臺(tái)區(qū)更感興趣.請(qǐng)你根據(jù)民意調(diào)查情

6

況，從該區(qū)域面積最大或周長最長的視角出發(fā)，選擇其中一個(gè)方案，設(shè)計(jì)三角形COD的形狀.

2

20.已知雙曲線C:必-乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為白、居，P為雙曲線右支上一點(diǎn).

3

(1)求雙曲線。的離心率；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸和B的直線,與雙曲線。的右支有另一交點(diǎn)為Q，求OP-OQ的取值范圍；

(3)過點(diǎn)尸分別作雙曲線C兩條漸近線的垂線，垂足分別為M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得

|PM|+|PN|=夜？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.設(shè)y=/(x)是定義在R上的函數(shù),若存在區(qū)間［a,句和毛6(。力)，使得y=/(x)在［a,x0］上嚴(yán)格減,在

［不,切上嚴(yán)格增，則稱y=/(x)為“含谷函數(shù)”，不為“谷點(diǎn)”，［a,可稱為y=/(x)的一個(gè)“含谷區(qū)間”.

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由：

(i)y=2國，(ii)y=x+cosx；

(2)已知實(shí)數(shù)m>0,y=f—2x—mln(x—1)是含谷函數(shù)，且［2,4］是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求用的取值范圍;

⑶設(shè)P，qeR，/i(x)=-x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x.設(shè)函數(shù)y=/z(x)是含谷函數(shù)，［a,可是它的一個(gè)

含谷區(qū)間，并記b—a的最大值為L(p,q).若力(l)W/z(2),且/z(l)<0,求L(p,q)的最小值.

浦東新區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)

果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1,設(shè)全集0={123,4},"={1,3},則無=

【答案】{2,4}

【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義直接求解.

【詳解】由題全集。={12,3,4},A={1,3},所以Z={2,4},

故答案為:{254}.

2.若復(fù)數(shù)z=±7（其中i表示虛數(shù)單位），則Imz=

1+21

【答案】-2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得z=l-2九結(jié)合虛部的定義即可求解.

55(1-2i)5-10i,?

【詳解】由題意知,z=------=------------------=---------=1—21

l+2i(l+2i)(l-2i)5

復(fù)數(shù)Z的虛部為—2,所以Imz=—2.

故答案為：-2

3.已知事件A與事件B互斥，且尸（A）=0.3,P（B）=0.4,則尸（A._B）=

7

【答案】0.7##—

10

【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A與3互斥，且P（A）=0.3,0（3）=04,

所以尸(AB)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.

故答案：0.7.

TT

4.已知直線/的傾斜角為一，請(qǐng)寫出直線/的一個(gè)法向量____.

3

【答案】（、回1）（答案不唯一）

【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系寫出法向量即可.

【詳解】因?yàn)橹本€/的傾斜角為四，所以直線/的傾斜角為tan四=6,

33

所以直線/的一個(gè)法向量為（6,-1）,（答案不唯一，只要滿足與向量（1,不）垂直即可）.

故答案為：（、行1）（答案不唯一）

5.已知S,是等差數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和，若4=2〃-3,則滿足5〃=24的正整數(shù)加的值為.

【答案】6

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?2”-3,然后利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】由題意得等差數(shù)列=2〃—3,得q=-1,

所以其前〃項(xiàng)和為S〃=筆山=*出=i-2）,

由鼠=24,即加（機(jī)―2）=24,解得加=6,m=-4（舍），

所以加的值為6.

故答案為：6.

6.已知向量a=（3,4）,向量6=（1,0）,則向量a在向量方上的投影向量為.

【答案】（3,0）

I.1a?bc

【分析】根據(jù)題意，求得。力=3,慟=1,結(jié)合投影向量公式，求得可=3,即可求解.

IIa-b小

【詳解】由向量a=（3,4）,6=（1,0）,可得a力=3,性=1,可得慟=3，

所以向量a在向量B上的投影向量為3b=（3,0）.

故答案為：（3,0）.

TT

7.已知圓錐的母線與底面所成的角為工，體積為3兀，則圓錐的底面半徑為.

【答案】73

【分析】由題意得到圓錐底面半徑與高之間的關(guān)系，再根據(jù)圓錐的體積公式列方程即可求解.

【詳解】圓錐的軸截面圖如圖所示：

由題意丸=廠-2115=石廠,丫=工兀r2/7=也兀/3=3兀，解得廠=君，即圓錐的底面半徑為百.

333

故答案為：5

8.在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為

（結(jié)果精確到0.01）.

【答案】0.25

【分析】由題意先求出事件總數(shù)，再求出恰好有一件二等品的事件，結(jié)合古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.

【詳解】從這批產(chǎn)品中抽取3件，則事件總數(shù)為C：。。,

其中恰好有一件二等品的事件有C富C；°,

所以恰好有一件二等品的概率為P=鬻1=，0.25.

故答案為：0.25

9.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時(shí)間（單位：min）,連續(xù)記錄了7天的數(shù)據(jù)并繪制成如圖所示的莖葉

圖，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.

427

5458

70

96

【答案】58

【分析】把莖葉圖的數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)從小到大排列為：42,47,54,55,58,70,96,

則7x60%=4.2,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是58.

故答案為：58.

10.如圖，已知函數(shù)尸Asin（s:+。）（人＞0,。＞0,0＜?？啵┑膱D像與＞軸的交點(diǎn)為（0,1）,并已知其在V軸

右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（不，2）和（為+2兀2）.記y=/（x）,則f

【答案】V3

【分析】由圖象可知A=2且T=4兀，根據(jù)T=—求出。，將點(diǎn)（0,1）代入Ax）解析式求出9,進(jìn)而求出Ax）的解

a）

析式，即可求解.

【詳解】由題意知，函數(shù)/⑺圖象在y軸的右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（%,2）,（%+2兀，-2）,

T

則A=2,且(/+2兀)—/=于得7=4兀，

2兀-2兀2兀1

又T=——，所以刃=一二一二—,

①T4兀2

所以=2sing尤+°),又函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,1),

所以l=2sin（O+0）,由0<°<—TT解得0=7—T,

26

|7T

故/（x）=2sin（5X+k），

所以2sin（—X—+—）=2sin—=石.

2363

故答案為：上

11.已知曲線G：/=4%(%<1),曲線。2：X2-2^+/-28=0(%>6),若的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為

(1,0),頂點(diǎn)反C分別在曲線C1和G上運(yùn)動(dòng)，則.ABC周長的最小值為

【答案】7+亞##回+7

【分析】畫出圖形利用拋物線的定義，圓的定義、三角形三邊關(guān)系以及注意取等條件即可求解.

作直線PA為拋物線G：V=4MxWl)的準(zhǔn)線，作出。2：X2-2X+/-28=0(X>6),它為圓的一部分,

其中4,5,。三點(diǎn)共線且垂直拋物線的準(zhǔn)線，同理P,M,N也三點(diǎn)共線且垂直拋物線的準(zhǔn)線，其中

P（-1,2）,M（1,2）,7V（6,2）,

所以|AB|+忸c|+|c4|=|4同+忸1+月.4.+風(fēng)習(xí)4。|+屈習(xí)山|+用，

在(%—仔+/=29中令1=6,則y=i2,即尸(T2),M(L2),N(6,2),

從而|A@+忸q+|C4|2|PN|+J芯=7+陰，等號(hào)同時(shí)成立當(dāng)且僅當(dāng)5c分別與M,N(或與M,N關(guān)于x軸

的對(duì)稱點(diǎn))重合，

所以當(dāng)5c分別與M,N重合時(shí)，_ABC周長有最小值，且最小值為7+聞.

故答案為：7+回.

12.已知數(shù)列｛。"｝滿足q=a,且對(duì)任意正整數(shù)〃，關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程爐+2北二x+2a〃(2—a“)=0都有兩

個(gè)相等的實(shí)根.若々024=。，則滿足條件的不同實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為個(gè).

【答案】22022+1

【分析】先根據(jù)題意得到q+1=2?！?2-4)(*),記滿足(*)式的不同實(shí)數(shù)4個(gè)數(shù)為62024.“，再結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)即可逐個(gè)求得偽，b2,4，a,再通過觀察得到數(shù)列也｝的遞推公式2+1=2d-1,再構(gòu)造等比數(shù)

列，從而得到它的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】依題意可得△=4a“+「84(2—4)=0,即4+1=2%(2—4)(*),

記滿足(*)式的不同實(shí)數(shù)里,個(gè)數(shù)為仇024-“，

將％看成自變量，?！?1看成參數(shù)，則“2024-”為y=a“+i與丁=2。”(2-4)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

當(dāng)4+1=2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)根4=1；

當(dāng)0<a"+i<2,有2個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根q=4'和4=%，，且0<%'<1<。""<2，

當(dāng)a“+i=。，有2個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根?！?0和?！?2,

由。2024=°，則“2023=?；颉?023=2,即仇=2；

則a2022=。或。2022=2或％022=1，即仇=3;

同理可得4=5,仇=9,4=17,…

通過觀察可得％1=2〃-1,則2+]-1=2(2-1),n=1,2,3,■■?,2023,

所以數(shù)列｛優(yōu)—1｝是以4-1=1為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列也—1｝的通項(xiàng)公式為/―1=1x2"—,即々=2"T+1,〃=1,2,3/，2023,

所以滿足(*)式的不同實(shí)數(shù)?1個(gè)數(shù)為瓦024.1=d023=22022+1,

故滿足條件的不同實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為2.2+1個(gè).

故答案為：22022+1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：記滿足(*)式不同實(shí)數(shù)a“個(gè)數(shù)為4024.“，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得4，b],4,瓦,

b5,再觀察得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列是解答本題的關(guān)鍵.

二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.考生必須在答題紙

的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則

一律得零分.

13.如果。>0>。，則下列不等式中一定成立的是()

A.y/a>B.a2>b1C.a2<abD.a3>b3

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)并結(jié)合特殊值法，即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)A、B：由。>0>6，不妨設(shè)a=l,b=-4,則&<「(-4)=2,12<(^)2,故A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由a〉O〉Z?,所以故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由。>0>6，所以/>53,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

14.一組樣本數(shù)據(jù)由10個(gè)互不相同的數(shù)組成，若去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)，則

().

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)，方差，中位數(shù)和極差的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.

【詳解】去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)不同，新數(shù)據(jù)的方

差變小，數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，數(shù)據(jù)的極差變小，故c正確.

故選：c

15.己知棱長均為1的正九棱柱有2〃個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量￡的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為

AB.若集合=則當(dāng)4中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，”的值為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,設(shè)°(x,y,z),根據(jù)正力棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出對(duì)應(yīng)底面各頂點(diǎn)的尤坐

標(biāo)，由=x可得對(duì)應(yīng)的集合，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)的4，即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)A8所在的直線為x軸，過點(diǎn)A且與A8垂直的直線為y軸，

過點(diǎn)A且與平面xAy垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則4(0,0,0),3(1,0,0),得A3=(1,0,0),設(shè)“(x,y,z),

則a-AB=(x,y,z)-(1,0,0)=x.

因?yàn)樵搸缀误w為正〃棱柱，所以上底面與下底面各頂點(diǎn)的x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.

當(dāng)〃=3時(shí)，該幾何體為正三棱柱，作出其底面ABC的示意圖，如圖，

則=0,/=1,%=g,所以x={0,土;,±1},

即A={0,土;,±1}，共有5個(gè)元素；

當(dāng)〃=4時(shí)，該幾何體為正方體，作出其底面A3CD的示意圖，如圖,

貝U乙==1,=LXD=0,所以％=(0,±1},

即4={0,±1},共有3個(gè)元素;

3113

貝！J4=°，/=1，%=于程=1，%E=0,%尸=--，所以x={0,±5，±1,±萬,±2},

13

即&={0,±—,±1,±—,±2),共有9個(gè)元素；

當(dāng)〃=8時(shí)，該幾何體為正八棱柱，作出其底面A5cDEFGH的示意圖，如圖,

則xA—0,—1,XQ—1+—^―,xD—1+—,xE—1,Xp—0,,XH——，

所以x=<0,+^,±l,±^l+

-J2（亞、'

即4=<0,土《-,±1,土1+—，土+共有9個(gè)元素；

綜上，當(dāng)〃=4時(shí)，4中的元素?cái)?shù)量最少.

故選：B

16.對(duì)于函數(shù)y=/(x)和y=g(x),及區(qū)間。，若存在實(shí)數(shù)依b,使得對(duì)任意xeD恒成

立，則稱＞=/(尤)在區(qū)間。上“優(yōu)于"y=g(x).有以下兩個(gè)結(jié)論:

①/(x)=log2%在區(qū)間。=口,2］上優(yōu)于g(x)=x?—2x+l；

②當(dāng)mW—2時(shí)，/(x)=%3在區(qū)間D=［-1,1］上優(yōu)于g(x)=e'+m.

那么()

A.①、②均正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①、②均錯(cuò)誤

【答案】B

【分析】在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)y=/(x),y=g(x)在區(qū)間。上的圖形，由題意給的定義，根據(jù)數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學(xué)思想依次判斷即可求解.

【詳解】①：當(dāng)X=1時(shí)，/(l)=o,g(l)=o；當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=1,g(2)=1,

所以函數(shù)/(X)、g(x)圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(l,0),B(2,l),

則直線A3的方程為y—0=匕°(%—1),即丁=』1—工，

2-122

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)y=/(%),y=g(%)在區(qū)間［1,2］上的圖形，如圖,

2

由圖可知，/(x)=log2x>y=^x-^>g(x)=x-2x+l,

即存在k=-.b=-工使得/(x)>y=kx+b>g(x)在區(qū)間［1,2］上恒成立，

22

所以/(%)=log2x在區(qū)間。=［1,2］上優(yōu)于g(x)=V—2x+1,故①正確;

②:當(dāng)m=-2時(shí)，

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)y=f(x),y=g(x)在區(qū)間［-1,1］上的圖形，如圖,

由圖可得，g⑴=e-2,g(-L)=e--2,即A(l,e-2),8(-1,e7-2),

所以直線AB的方程為y—(e—2)=匕帶上(x-l),即〉=旨1工+6—2—3二.

設(shè)曲線/(x)=d在(x°,￡)(x。＞0)處且平行于直線AB的切線為I,

由勺=((%)=3%，1//AB,得3x；=\^,解得/=沖手,

所以切線/位于直線A5的下方，則當(dāng)m=-2時(shí)存在實(shí)數(shù)左力使得/(%)=92丁=丘+628(力=爐+”

當(dāng)田＜-2時(shí)，切線/位于直線的上方，此時(shí)在區(qū)間［-1,1］上,

不等式f(x)=x3>y=kx+b>g(^x)=ex+m不恒成立，

所以當(dāng)mW-2時(shí)，/(x)=/在區(qū)間。上不一定優(yōu)于g(x)=e*+加，故②錯(cuò)誤；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查函數(shù)的綜合性質(zhì)，主要考查函數(shù)不等式恒成立問題和導(dǎo)數(shù)的幾何意

義，考查運(yùn)算能力，注重培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫出必要的步驟.

17已知函數(shù)丁=/W-其申〃x)=3=(左CR).

(1)是否存在實(shí)數(shù)左，使函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出證明.

(2)當(dāng)k=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)k=-l,證明見解析

⑵(-8,2]

【分析】(1)/(%)是奇函數(shù)，利用/(0)=0解出左并檢驗(yàn)即可.

(2)利用基本不等式求/(%)的最小值解決恒成立問題.

【小問1詳解】

函數(shù)=定義域?yàn)镽，若/(%)是奇函數(shù)，則/(0)=1+%=0,解得上=—1,

此時(shí)/(勸=，^=2￡—2一,,/(—x)=2-*—2'=—(2'—2一，)=—/(%),符合題意，

故左=—1.

【小問2詳解】

4*+1x1

當(dāng)上=1時(shí)，f^=___=2+—,

由2工>0,則2*+,22卜—=2,當(dāng)且僅當(dāng)2'=二，即x=0時(shí)等號(hào)成立，

2XV2X2A

所以/(x)22,又不等式。恒成立，得aW2,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,2].

18.如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABC。，AB//CD,NADC=90°,DP=3,CD=2,

A3=AD=1,點(diǎn)尸為尸。中點(diǎn).

AB

(1)求證：直線A尸//平面尸5C；

(2)求點(diǎn)。到平面尸5c的距離.

【答案】18.證明見解析

3722

19.

11

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用空間向量

法證明平面尸5c的法向量〃滿足A6w=0，即可證明；

UUU

(2)由(1)可得。P=(0,0,3),利用向量法求點(diǎn)面距即可求解.

【小問1詳解】

由PD_L平面ABC。，AD,CDu平面ABCD,

得PDLARPDLCD,又AOLCD,建立如圖空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz,

3

則￡>(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,2,0),P(0,0,3),F(0,0,-),

3

所以尸C=(0,2,-3),8C=(-1,1,0),AF=(-l,0,~),

設(shè)平面尸5c的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-PC=2y-3z=0

則,令>=3,則x=3,z=2,所以“=(3,3,2),

n-BC=-x+y=0

3_______

所以AF-n=(-1,0,—)-(3,3,2)=-3+3=0,故AF_Ln>

且Aba平面BBC,即AF//平面P5C；

【小問2詳解】

ULUU

由(1)知，DP=(0,0,3)-所以點(diǎn)。到平面尸5。的距離為

“|3X2|3后

一|n|一.9+9；4-11，

即點(diǎn)。到平面PBC的距離為拽2.

11

19.某街道規(guī)劃建一座口袋公園.如圖所示，公園由扇形AOC區(qū)域和三角形COD區(qū)域組成.其中4、0、D三

點(diǎn)共線，扇形半徑。4為30米.規(guī)劃口袋公園建成后，扇形AOC區(qū)域?qū)⒆鳛榛ú菡故緟^(qū)，三角形C。。區(qū)域作為

親水平臺(tái)區(qū)，兩個(gè)區(qū)域的所有邊界修建休閑步道.

7T

(2)若NODC=—,在前期民意調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分街道居民對(duì)親水平臺(tái)區(qū)更感興趣.請(qǐng)你根據(jù)民意調(diào)查情

6

況，從該區(qū)域面積最大或周長最長的視角出發(fā)，選擇其中一個(gè)方案，設(shè)計(jì)三角形COD的形狀.

【答案】(1)120+30?+10?r(m)

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，在△(%)￡)中，由余弦定理得求得CD=30近，再由弧長公式，求得AC的長

/=10兀，進(jìn)而求得總周長，得到答案.

5兀

(2)若選擇面積最?。涸O(shè)4cOD=e,得到NOCO=——3,在△口?￡)中，由正弦定理，求得

6

OD=30cos8+30/sin。，DC=60sin6>,根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合三角恒等變換的公式，得到

5con=450sin(20-1)+22573,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

若選擇周長最長：由正弦定理，求得OD=30cos8+30/sine，DC=60sin6?,利用三角恒等變換的公式，

化簡得到周長為L=30+60j2+Gsin(d+9)，結(jié)合三角函數(shù)的餓性質(zhì)，即可求解.

【小問1詳解】

解：由題意知，OA=30m,所以。D=2Q4=60m,OC=Q4=30m,

jr2冗

因?yàn)镹AOC=—,所以NCOD=—，

33

在4cOD中，由余弦定理得CD2=OC2+OD--2OCODcosZCOD

=302+602-2x30x60xcos—=900+3600+2x30x60x-=6300,

32

所以CD=3OJ7,又由弧長公式，可得AC的長/=gx30=10兀(m),

所以總周長為：OA+OC++OD+CD+/=30+30+60+3077+1071=120+30救+107t(m).

【小問2詳解】

解：若選擇面積最?。?/p>

TT571

設(shè)4COD=e,因?yàn)镹ODC=—,可得NOCD=——0,

66

OD_CD_OC_30_6()

由正弦定理知sinZOCD-sinZDOC-sinZODC一?兀一，

sin—

6

所以0。=60sinZOCD=60sin(—-0)=30cos6+3073sin0,

6

DC=60sinZ.COD=60sin0,

所以s.COD=aOD.DCSinZODC=g(30cos8+306sin8)?60sin8義g

=450sin0cos0+450百sin20=225sin20+22573(1-cos20)

225(sin20-^3cos26)+2256=450-(|sin29—與cos26)+225石

=450sin(2^-1)+22573,

.一.、t八八5兀LL.71c八兀4兀

因?yàn)?<。<——,所以——<2?！?lt;——,

6333

所以，當(dāng)28-時(shí)，即6=時(shí)，面積取得最大值，最大值為450+2256(m2),

▽國力.5兀71n1s/2y/3y/2a+正

乂因?yàn)閟in——=sm(—+—)=—x-----1-----x-----=------------,

126422224

5兀,兀兀、百四1&V6-V2

cos—=cos(—+—)=——x---------X=------------,

126422224

所以8=60sin||=15(6+后)，DC=60sin||=15(76+72).

若選擇周長最長：

冗57r

設(shè)4C0D=e,因?yàn)镹ODC=—,可得NOCD=——6,

66

ODCDOC30小

-----------------—------------------—------------------—------—6(j

由正弦定理知sinZOCD-sinZDOC-smZODC一P-'

Sm6

所以0。=60sinZOCD=60sin(—-6?)=30cos6+30?sin0,

6

DC=60sinNCOD=60sin6,

則△COD的周長為L=OC+OD+CD=30+30cos8+3073sin9+60sin6

=30+30[(6+2)sin8+cos8]=30+30[，8+4百(-?^+2sin6+】cos0]

48+4678+473

=30+30^8+4百sin(6>+^)=30+60小2+石sin(。+g

其中tan(p=—尸=2—yj3,

V3+2

因?yàn)閟in(，+9)的最大值為1，所以△COD的周長的最大值為

30+60,2+6=30+30A/2XJ(73+1)2=30+30#+300，

JTTT

即e+0=5時(shí)，即。=,一0時(shí)，

..(兀)6+2+^^6+A/2

所以sm，=sm——(p=cos(p=.=--------=---------時(shí)，

V2)78+47324

△COD的周長的最大值為30+6072+7330+30A/6+3072?

2

20.己知雙曲線C:好一]_=1的左、右焦點(diǎn)分別為白、F],尸為雙曲線右支上一點(diǎn).

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸和工的直線,與雙曲線C的右支有另一交點(diǎn)為Q,求OP-OQ的取值范圍；

(3)過點(diǎn)尸分別作雙曲線C兩條漸近線垂線，垂足分別為M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得

|PM|+|PN|=夜？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)2(2)(-oo,-5]

(3)不存在滿足題意的點(diǎn)P,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)雙曲線的方程直接得出a、b,結(jié)合公式c2=a2+〃和e=f計(jì)算即可求解；

a

(2)易知直線/的斜率不為0,設(shè)/:x=my+2,P(X]，M),Q(X2，%)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示

4

乂+y、％%、百馬，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示化簡可得。POQ=-—7，求出3加之一1的取值范圍即可求解；

3m-1

(3)設(shè)p(%,%)，由漸近線方程和點(diǎn)線距公式建立方程1PM+|PN|」瓜；%1*[+聞=0，解得

x0=g<l,與題意中的不矛盾，即可下結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意知，。2=112=3,則°2="+/=4,

所以C=2,4=1,得6=￡=2,

a

即雙曲線的離心率為2；

小問2詳解】

由⑴知，由（2,0）,

若直線/的斜率為0,則直線/與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分布在左、右支各一點(diǎn)，不符合題意;

所以直線/的斜率不為0,設(shè)/：X=7利+2,P（XI，X）,Q（%2，%），

x=my+2

2y2_,消去彳，得(3機(jī)2—1)/+12機(jī)y+9=0,

x"—"—=1

3

A=(12m)2—36(3m2—1)=36m2+36>0,

12m9

9m224m2.—3m2-4

貝!Jxx=(my+2)(my+2)=>y%+2根(必+%)+4=+4=——-——

{2l23m2-13m2-13m2-1

二匚［、1—3zzz2—49—3T?22+54

所以O(shè)P.OQ=XjX2+%,2=-------2------------1--------2=--------7---------=—1H----------2--

12123m2-13m2-13m2-13m2-1

9

又X%=-o一〈°，貝（13加2-1<0，由3加之。，得3”一1之一1,

3m-1

44

所以一1<3療一IvO,有°21所以-1+c2?工―5,

3m2-13m2-1

即OP?OQW-5,所以。P?OQ的取值范圍為（-oo,-5]；

【小問3詳解】

由題意可知雙曲線的漸近線方程為:y=氐,4：y=-#>x,

即4:叵x-y=0，k:gx+y=0,設(shè)尸(玉,為),

瓜-尤/o+%

則點(diǎn)尸到直線4的距離為忙閭=，點(diǎn)P到直線4的距離為|PN|=

22

所以=叵/+叵/=應(yīng),

\PM\+\PN\

又點(diǎn)P位于直線4的上方且直線k的下方，所以6%-%>。,瓜。+%>o,

貝瓜。+%=2也，解得/=彳<1,

又點(diǎn)尸在雙曲線上，則與x0=g<l矛盾，

故不存點(diǎn)尸使得|PM|+|7W]=8.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用設(shè)線法得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算出由向量得出的式子里，從而

得出范圍，第三問的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系去絕對(duì)值得到方程，解出方程即可.

21.設(shè)y=/(x)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間可和毛6(。力)，使得y=/(x)在［。,即上嚴(yán)格減，在

［%,切上嚴(yán)格增，則稱y=/(x