湖北省恩施州高中教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

恩施州高中教育聯(lián)盟2023年秋季學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)命題單位：恩施州高中教育聯(lián)盟命題人：利川一中董坤吳周倫考試滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（）A．0B．1C．D．2．已知集合，則（）A．B．C．D．3．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，斜率不為0的直線過交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長是（）A．25B．20C．15D．104．若是相互獨(dú)立事件，但不是互斥事件，則事件的概率是（）A．B．C．D．5．如圖，這是一半徑為的水輪示意圖，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時(shí)針轉(zhuǎn)動一圈，若當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮出時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則（）A．點(diǎn)距離水面的高度與之間的函數(shù)關(guān)系式為B．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要C．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有的時(shí)間，點(diǎn)距離水面的高度不低于D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面6．已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是（）A．B．C．D．7．在中，，將沿翻折，使，則平面與平面夾角的余弦值是（）A．B．C．D．8．如圖，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列選項(xiàng)正確的有（）A．若，則有最小值3B．若，則有最大值1C．若，則D．若，則10．如圖，在棱長為2的正方體中，在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，分別是的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．B．與所成角的余弦值是C．到直線的距離不是定值D．三棱錐的體積為11．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列說法正確的有（）A．的準(zhǔn)線方程為B．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為3C．的周長的最小值為D．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切12．已知平面內(nèi)一點(diǎn)在圓上，分別過定點(diǎn)的兩條直線與圓相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．動點(diǎn)的軌跡是除去點(diǎn)的一個(gè)圓B．的最大值是C．點(diǎn)到直線的距離的最小值為D．動點(diǎn)的軌跡與圓一定沒有交點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的定義域?yàn)開_______．14．已知數(shù)列滿足，則________．15．已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為0，則的斜率為________．16．如圖，在中，，過的中點(diǎn)的動直線與線段交于點(diǎn)，將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為（）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）2023年12月21日，第十四屆學(xué)校文化論壇在某市舉行，志愿者的服務(wù)工作是會議舉辦的重要保障．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名志愿者候選人的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0．3，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，并估計(jì)這100名候選者面試成績的第25百分位數(shù)．（2）現(xiàn)從以上各組中采取按比例分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的志愿者．現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機(jī)抽取2名作為組長．求選出的2人來自不同組的概率．18．（12分）已知拋物線，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)是的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，求的最小值．19．（12分）在銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍．20．（12分）已知在非零數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）在四棱錐中，四邊形為菱形，，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（1）證明：平面．（2）若不是的中點(diǎn)，且直線與平面所成角的正切值為，求的值．22．（12分）已知動圓過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其內(nèi)切．（1）求動圓圓心的軌跡方程．（2）當(dāng)過點(diǎn)的動直線與圓心的軌跡相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，求該直線的方程；若不在，請說明理由．恩施州高中教育聯(lián)盟2023年秋季學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：18ACBBDBCD二、多選題：912BCDABBCABD12．解：因?yàn)椋吹男甭蚀嬖?，所以直線的方程不能為，由圓的定義可知動點(diǎn)的軌跡是除去點(diǎn)的一個(gè)圓，選項(xiàng)A正確．設(shè)，則，則的最大值是，選項(xiàng)B正確．點(diǎn)到直線的距離的最小值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．不經(jīng)過點(diǎn)的動點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)圓心為，兩圓沒有交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確．答案選ABD．三、填空題：13．14．15．16．16．解：中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，得．如圖1，以底面點(diǎn)為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，即，由，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得，整理為．圖1圖2如圖2，在翻折過程中，作于點(diǎn)，則，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又動點(diǎn)在線段上，設(shè)，所以，且．由，得，又因?yàn)?，對?yīng)的的取值為，即，所以．故斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）經(jīng)分析可知，為時(shí)所求值最大．設(shè)，則，所以即，斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．四、解答題：17．解：（1）由題意可知，解得因?yàn)?，設(shè)第25百分位數(shù)為，則，解得，所以第25百分位數(shù)為63．（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，和的頻率比為，在和中分別選取1人和5人，分別編號為和1，2，3，4，5，則在這6人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有，，共15個(gè)，即，記事件“2人來自不同組”，則包含的樣本點(diǎn)有，共5個(gè)，即，所以．18．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即．（2）設(shè)，直線的方程為（直線斜率存在且不為0）．取方程得，所以．同理，直線與的交點(diǎn)滿足．由拋物線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，等號成立．19．解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以．?）在銳角中，，記的面積為．由正弦定理得，即．所以．（或因?yàn)樵阡J角中，，所以，解得，則，故．20．（1）證明：因?yàn)樵诜橇銛?shù)列中，，兩邊同時(shí)除以，可得，所以．又，所以，所以是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．（2）解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，當(dāng)時(shí)，，又對也成立，所以．（3）解：由（1）可知，，又由（2）可知所以，可知為等差數(shù)列，所以．21．（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接（圖略），則，又，所以，即為平行四邊形，即，又平面平面，所以平面．（2）解：不妨設(shè)與平面所成的角為，則，即．如圖，連接．易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則即令，得平面的一個(gè)法向