陜西省西安地區(qū)高三下學(xué)期八校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

2020屆高三年級數(shù)學(xué)（理科）試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合A的描述得到，利用交集運(yùn)算即可得集合【詳解】由知：，而∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，根據(jù)集合描述得到集合，利用集合的交集運(yùn)算求交集，屬于簡單題2.已知數(shù)列滿足且，則的前10項(xiàng)的和等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，即，解得，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即的前10項(xiàng)的和為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的求和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.3.已知i為虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，且，則z＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，解得或，據(jù)此可知或，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征確定的值即可.【詳解】由可得，解得或，所以或，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.已知直線，為平面，給出下列命題：①②③④其中的正確命題序號是A.③④ B.②③ C.①② D.①②③④【答案】B【解析】試題分析：①中可能平行或直線在平面內(nèi)；②由線面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；③由面面平行的性質(zhì)可知結(jié)論正確；④兩直線平行或異面考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，對選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A,B兩個(gè)選項(xiàng)，，不符合圖像，排除A,B選項(xiàng).對于C選項(xiàng)，，不符合圖像，排除C選項(xiàng)，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)圖像選擇相應(yīng)的解析式，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，求得a與b關(guān)系，然后利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，若三點(diǎn)共線，設(shè)，即,因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線向量，所以，解得，即，則,，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號，故最小值為4，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.7.已知：，：函數(shù)為奇函數(shù)，則是成立的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】當(dāng)成立，判斷是否成立，再由成立時(shí)，判斷是否成立，即可知是成立何種條件【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有，故有即為奇函數(shù)：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有，即，有：∴綜上，知：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了充要條件，由定義法判斷兩個(gè)結(jié)論間是否為充要條件，屬于簡單題8.已知圓與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，若四邊形是矩形，則等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，由四邊形是矩形可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．根據(jù)題意求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)后得到關(guān)于方程，解方程可得所求．【詳解】由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為．畫出圖形如圖所示．在中，當(dāng)時(shí)，則有．①由得，代入消去整理得．②結(jié)合題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故①②中的相等，由①②兩式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故選C．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是畫出圖形并根據(jù)圖形得到與x軸平行，進(jìn)而得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．另外，將幾何問題轉(zhuǎn)化代數(shù)問題求解也是解答本題的另一個(gè)關(guān)鍵．考查圓錐曲線知識的綜合和分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，且α∈（0，π），則cos（α+）＝（）A. B.﹣ C. D.﹣【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，，結(jié)合，可得，根據(jù)兩角和的余弦公式可得，由此可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閟inα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以，，因?yàn)椋?，所以且，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.10.對于函數(shù)f（x）＝cos2x+sinxcosx，x∈R，下列命題錯誤的是（）A.函數(shù)f（x）的最大值是B.不存在使得f（x0）＝0C.函數(shù)f（x）在[，]上單調(diào)遞減D.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用二倍角公式和兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，的最大值是，A正確．時(shí)，，，無解，B正確；時(shí)，，遞減，C正確；，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，D錯．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題可利用三角函數(shù)恒等變換把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．11.已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△中，，，由是等邊三角形得，利用余弦定理算出，結(jié)合雙曲線漸近線方程即可的結(jié)論．【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得，是等邊三角形，即，由，即，又，，△中，，，，，即，解得，則，由此可得雙曲線的漸近線方程為，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，根據(jù)條件求出，的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12.已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】【分析】試題分析：當(dāng)x≤0時(shí)，由得，（x≤0），此時(shí)對應(yīng)的曲線為雙曲線，雙曲線的漸近線為y=3x，此時(shí)漸近線的斜率=3，當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)過原點(diǎn)的直線和f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，則對應(yīng)的切線方程為，即，當(dāng)x=0，y=0時(shí)，，即，即，得a=1，此時(shí)切線斜率，則切線和y=3x的夾角為θ，則，則，故∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上）13.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值為______．【答案】13【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z＝2x+y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，z＝2x+y取得最小值．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域：得到如圖的陰影部分，由解得B（﹣11，﹣2）設(shè)z＝F（x，y）＝x+y，將直線l：z＝x+y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值，∴z最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案為﹣13【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．14.從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為m、n，則“l(fā)ogmn＞0”的概率為_____．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)、排列知識和古典概型的概率公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于且，或且，從、、2、3、5、9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，共可得到個(gè)對數(shù)值，其中對數(shù)值為正數(shù)的有個(gè)，所以“l(fā)ogmn＞0”的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)的性質(zhì)、排列知識和古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距離為1，則該球的表面積為_____．【答案】【解析】【分析】由正弦定理求出△外接圓半徑后由勾股定理求得球半徑，從而得球表面積．【詳解】△中∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴，∴，設(shè)△外接圓半徑為，則，，設(shè)球半徑為，則，表面積為．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是利用截面圓性質(zhì)，截面圓圓心到球心連線與截面圓垂直．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，是的中點(diǎn)，若且，則面積的最大值是___【答案】【解析】【分析】由題意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分別由余弦定理及可得．在此基礎(chǔ)上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面積的最大值．詳解】如圖，設(shè)，則,在和中，分別由余弦定理可得，兩式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推論可得，所以．把①代入②整理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故得．所以．即面積的最大值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，解題時(shí)注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時(shí)一般要用到基本不定式，運(yùn)用時(shí)不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強(qiáng)，考查運(yùn)用知識解決問題的能力和計(jì)算能力．三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：17.已知四邊形是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，，，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）G為CD中點(diǎn)，由線面平行的判定即有面，面，又，由面面平行判定即有面面，由面面平行的性質(zhì)即得證；（2）構(gòu)建以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的法向量與斜線方向向量的夾角余弦值，結(jié)合它與線面角的關(guān)系即可求得與平面所成角的正弦值【詳解】（1）若G為CD的中點(diǎn)，連接FG、AG，如下圖示∵、分別是、的中點(diǎn)∴，且，即為平行四邊形，有又由，面，面∴面，面，又，即面面由面，即有面得證（2）由四邊形是矩形，平面，且二面角為，即有、、兩兩垂直，且∴以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系由，，知：，，，∴，，令為面的一個(gè)法向量，則，若有∴由平面法向量與斜線的方向量的夾角與線面角的關(guān)系，知：與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了由面面平行判定證面面平行，利用面面平行性質(zhì)定理證明線面平行，通過構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量與斜線方向向量夾角的余弦值，根據(jù)其與線面角的關(guān)系求線面角的正弦值18.已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由遞推式可知為等差數(shù)列，可得，再根據(jù)結(jié)合已知條件即可求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，將分為偶數(shù)、奇數(shù)討論得到的前項(xiàng)和【詳解】（1）由，知：，由有，即數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列∴又由是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，即，而∴，又，滿足上式，故（2）由，知：∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列，利用前n項(xiàng)和的遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式，根據(jù)新數(shù)列與已知數(shù)列的關(guān)系求新數(shù)列前n項(xiàng)和，注意將分為奇偶數(shù)討論19.為調(diào)查某校學(xué)生每周體育鍛煉落實(shí)的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:).根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示).（Ⅰ）估計(jì)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）若該校共有5000名學(xué)生，記每周平均鍛煉時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為，試求.附：，若~，，.【答案】（Ⅰ）平均數(shù)5.85；樣本方差6.16；（Ⅱ）（i）；（ii）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用頻率分布直方圖的小矩形的中間數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)和樣本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正態(tài)分布的圖像與性質(zhì)以及二項(xiàng)分布的期望，即可得解.【詳解】（Ⅰ）這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為..（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，即，從而（ii）由（i）可知，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，考查了計(jì)算能力，屬于較難題.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，直線和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過橢圓的焦點(diǎn)，且與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在與軸不垂直的直線，使弦的垂直平分線過橢圓的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【解析】【分析】（1）列a,b,c的方程組即可求解；（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，由點(diǎn)差法得，得推出矛盾即可【詳解】（1）由題意:點(diǎn)（c,）在橢圓上，故，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）（點(diǎn)差法）：設(shè)，，的中點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，則：，∴，∴，，∴，即：，故不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，點(diǎn)差法應(yīng)用，遇到“弦中點(diǎn)”問題，注意點(diǎn)差法的應(yīng)用，是中檔題21.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，求的取值范圍．【答案】（1）時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；時(shí)，在上的單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)，討論在、時(shí)的取值范圍及其對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由存在兩個(gè)極值點(diǎn)，即可得，同時(shí)可用表示出、，進(jìn)而代入函數(shù)式得到，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)區(qū)間邊界值即可確定的范圍【詳解】（1）由題意，得當(dāng)時(shí)，：時(shí)，在上單調(diào)遞減；時(shí)，無遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，：時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上的單調(diào)遞增∴綜上，有：時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；時(shí)，在上的單調(diào)遞增（2）由（1），令有，存在兩個(gè)極值點(diǎn)、即由題意知：，∴

令，即和時(shí)，，所以有在區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)遞減∴時(shí)，有，即時(shí)，有，即∴綜上，知：時(shí)存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，討論含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并根據(jù)已知極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、函數(shù)不等關(guān)系求參數(shù)的范圍（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．并請考生務(wù)必將答題卡中對所選試題的題號進(jìn)行涂寫．【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，已知圓：(為參