第7講　函數(shù)的單調(diào)性與最值（原卷版）

函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)知識1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且I?D:①如果對任意x1,x2∈I,當x1<x2時,都有,則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增);②如果對任意x1,x2∈I,當x1<x2時,都有,則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減).

(2)函數(shù)的平均變化率的定義一般地,當x1≠x2時,稱ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]((3)函數(shù)的單調(diào)性與平均變化率的聯(lián)系圖像描述自左向右看圖像是

自左向右看圖像是

單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間平均變化率與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系ΔfΔx=f(ΔfΔx=f(2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且x0∈D條件對于任意x∈D,都有

對于任意x∈D,都有

結(jié)論f(x0)為最大值,x0稱為最大值點f(x0)為最小值,x0稱為最小值點常用結(jié)論1.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=1f((4)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=f(x(5)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡稱“同增異減”.2.單調(diào)性定義的等價形式:設(shè)x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x13.函數(shù)最值的結(jié)論:(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點處取得.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.分類訓(xùn)練探究點一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1(1)下列四個函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是 ()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1 D.f(x(2)判斷函數(shù)f(x)=x-3x+2,x∈(-[總結(jié)反思](1)直接利用函數(shù)單調(diào)性可以判斷一些組合函數(shù)的單調(diào)性,如“增+增”為增,“增-減”為增,“減+減”為減,“減-增”為減.(2)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:①任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差求Δf=f(x1)-f(x2);③變形(通常是因式分解和配方);④定號(即判斷ΔfΔx的正負);⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間變式題(1)(多選題)下列函數(shù)中,值域為R且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=2x3 B.y=x|x|C.y=x-1 D.y=x(2)(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域為D,如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),且存在y1,y2∈D,當y1≠y2時,使得f(y1)=f(y2),那么就稱f(x)為定義域上的“不嚴格增函數(shù)”.下列所給的四個函數(shù)中,為“不嚴格增函數(shù)”的是 ()A.f(x)=xB.f(x)=1C.f(x)=1D.f(x)=x探究點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2(1)函數(shù)f(x)=log13(-x2+x+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A.-2,12 B.-∞,12C.12,+∞ D.12,3(2)設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g[總結(jié)反思](1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法:①定義法;②圖像法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其依據(jù)是“同增異減”.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫,不能用并集符號“∪”連接.變式題(1)已知函數(shù)f(x)的圖像如圖2-7-1所示,則函數(shù)g(x)=12f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()圖2-7-1A.(-∞,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5],[0,1]D.[-1,0],[5,+∞)(2)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則函數(shù)y=f(|x-2|)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.(-∞,-2) B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.R探究點三利用函數(shù)單調(diào)性解決問題 微點1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3已知α,β∈R,且α>β>0,則 ()A.tanα-tanβ>0 B.lnα-lnβ>0C.tanα+tanβ>0 D.lnα+lnβ>0[總結(jié)反思]比較函數(shù)值的大小時,若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),則要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較,對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖像法求解.微點2利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題例4(1)已知函數(shù)f(x)=3e-x,x≤0,-4x+3,x>0,若fA.(-∞,1]B.(-∞,-3]∪[1,+∞)C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[-3,1](2)函數(shù)f(x)=ex+x-e,若實數(shù)a(a>0且a≠1)滿足floga34<1,則a的取值范圍為.

[總結(jié)反思]利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的具體步驟:(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”,轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的常規(guī)不等式,從而得解.微點3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值問題例5(1)已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3(x∈[-a,a])的最大值為MA.2019 B.2020C.4039 D.4038(2)已知x>0,則x+9x-3·x+25x+5的最小值為 ()A.1215 B.48C.79316 D.[總結(jié)反思]若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則必在區(qū)間的端點處取得最值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),則最小值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點值中最小的值,最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點值中最大的值.微點4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)例6(1)已知函數(shù)f(x)=ax2-x-a+2,若y=ln[f(x)]在12,+∞上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.[1,+∞) B.[1,2)C.[1,2] D.(-∞,2](2)若函數(shù)f(x)=(x-1)|x+a|在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù),則滿足條件的實數(shù)a的值為.(寫出一個即可)

[總結(jié)反思]利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的注意點:(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);(2)若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則不僅要保證在各區(qū)間上單調(diào)性一致,還要確保在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的.?應(yīng)用演練1.【微點1】已知函數(shù)f(x)=1x-x,且a=fln32,b=flog213,c=f(20.3),則 ()A.c>a>b B.a>c>bC.a>b>c D.b>a>c2.【微點2】若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),則不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是 ()A.(0,+∞) B.(0,2)C.(2,+∞) D.2,1673.【微點1】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意兩個正數(shù)x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2.記a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53·A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b4.【微點3】已知函數(shù)f(x)=2x+1+2m,x∈[A.-2 B.-4C.-8 D.-165.【微點4】函數(shù)f(x)=-x2-2ax+4在[2,5]上單調(diào),則a的取值范圍是.

同步作業(yè)1.在區(qū)間(0,+∞)上,下列函數(shù)與函數(shù)f(x)=1x的單調(diào)性相同的是 (A.y=4x B.y=x2-3xC.y=3x D.y=1-x2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,3),則y=f(x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(3,8) B.(-7,-2)C.(-2,8) D.(-2,3)3.函數(shù)y=log12(x2-3x+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.-∞,32 D.32,+∞4.已知函數(shù)f(x)=e-x-x,則不等式f(x-1)-f(2)<0的解集為 ()A.(-1,3) B.(-∞,3)C.(3,+∞) D.(-1,1)∪(1,3)5.已知函數(shù)f(x)=-x|x|+2x,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞) B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1)C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1) D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1)6.若函數(shù)f(x)=ax2+2x+5在(4,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是.

7.已知函數(shù)f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),且f(2)=-1,則滿足f(2x-4)>-1的實數(shù)x的取值范圍是.

8.函數(shù)y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2)9.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立.若f(x2+1)>f(m2-m-1)對x∈R恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是A.(-1,2) B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)10.若函數(shù)f(x)=2|x-2|,x≤2,log2(xA.a<0 B.a>0C.a≤0 D.a≥011.(多選題)已知a>b>0,函數(shù)f(x)=2x-4x,則 ()A.f(a2)<f(ab)B.f(b2)<f(ab)C.f(ab)<f(a2)D.f(ab)<f(b2)12.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義域為R且周期為2的偶函數(shù),在區(qū)間[0,1]上,f(x)=x2,x∈M,x,x?M,其中集合M=xx=mmA.f43=49B.f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上單調(diào)遞增C.f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈D.f(x)的值域為[0,1]13.已知函數(shù)f(x)=x+1|x|+1,則f(x2-2x)<f(2-x14.已知函數(shù)f(x)=x-a2x+a3在(1,3)上是減函數(shù),則實數(shù)a15.若對任意x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,則a的取值范圍是.

16.已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)證明:f(x)為增函數(shù);(3)若f15=-1,求f(x)在125,125上的最值.17.已知函數(shù)f(x)=12x,g(x)=ax2+2x-3,a∈(1)當a=1時,求函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)遞增區(qū)間和值域;(2)求函數(shù)y=g[f(x)]在區(qū)間[-2,+∞)上的最大值h(a).18.已知f(x)為定義在(0,+∞)上的函數(shù),