第09講 離散型隨機變量及其分布列（人教A版2019選擇性必修第三冊）（原卷版）

第09講離散型隨機變量及其分布列【人教A版2019】·模塊一離散型隨機變量及其分布列·模塊二兩點分布·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一離散型隨機變量及其分布列1．隨機變量與離散型隨機變量(1)隨機變量

①定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數(shù)X()與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.

②表示：通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.

③隨機變量與函數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系：隨機變量與函數(shù)都是一種對應(yīng)關(guān)系，樣本點相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域.

區(qū)別：樣本空間不一定是數(shù)集，隨機變量的取值X()隨著試驗結(jié)果的變化而變化，而函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對應(yīng).

(2)離散型隨機變量

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2．離散型隨機變量的分布列(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個值的概率P(X=)=，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)分布列的表格表示Xx1x2xnPp1p2pn分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.

(3)離散型隨機變量分布列具有的兩個性質(zhì)

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.【考點1離散型隨機變量】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為（

）①高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X1②一個沿直線y=2x進行隨機運動的質(zhì)點離坐標(biāo)原點的距離X2③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)X3④某電子元件的壽命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【例1.2】（2023下·高二課時練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（）A．兩次擲出的點數(shù)之和B．兩次擲出的最大點數(shù)C．第一次與第二次擲出的點數(shù)之差D．兩次擲出的點數(shù)【變式1.1】（2023下·高二課時練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有2個黑球6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置η；③某指揮臺5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考點2

求離散型隨機變量的分布列】【例2.1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點朝上的骰子的個數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X12P11B．X01P11C．

X012P111

D．

X012P111

【例2.2】（2023·全國·高三對口高考）下列表中能成為隨機變量ξ的分布列的是（

）A．ξ－101PB．ξ123P0.40.7－0.1C．ξ－101PD．ξ123P【變式2.1】（2023·全國·高二課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機變量X的分布列．【變式2.2】（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：X01234P0.3m求隨機變量η=X-1【考點3\o"利用隨機變量分布列的性質(zhì)解題"\t"/gzsx/zj135496/_blank"利用隨機變量分布列的性質(zhì)解題】【例3.1】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）若隨機變量X的分布列為X-2-10123P則當(dāng)PX<a=0.7時，實數(shù)a的取值范圍是（A．-∞,2 BC．1,2 D．1,2【例3.2】（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知隨機變量X的分布列為P(X=i)=ia(i=1，2，3，4，5)，則P(2≤X<5)=A．13 B．12 C．35【變式3.1】（2023上·高二課時練習(xí)）隨機變量ξ的分布列如下：ξ-101Pabc其中2b=a+c，則P(ξ=1)等于（A．13 B．C．12 D．【變式3.2】（2023下·安徽宿州·高二?？茧A段練習(xí)）若隨機變量的分布列如表，則P(|X-2|=1)的值為（

）X1234P11a1A．512 B．12 C．712模塊二模塊二兩點分布1．兩點分布(1)兩點分布的定義

對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=

如果P(A)=p，則P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.X01P1-pp我們稱X服從兩點分布或0—1分布.(2)兩點分布理解

兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能值，且其概率之和為1.可設(shè)任意一個為0，另一個相應(yīng)為1.【考點1

兩點分布】【例1.1】（2023下·重慶永川·高二?？计谥校╇S機變量X服從兩點分布，且PX=1=0.2，令Y=3X-2，則PY=-2A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【例1.2】（2023下·山西運城·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且PX=0=2-5PX=1=a，則A．34 B．12 C．13【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）袋內(nèi)有10個紅球，5個白球，從中摸出2個球，記X=0,兩球全是白球,【變式1.2】（2023下·高二課時練習(xí)）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的概率分布．【考點2兩個相關(guān)的隨機變量的分布列問題】【例2.1】（2023下·高二課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為X01234P50.25m若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【例2.2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0123Pa15a1若離散型隨機變量Y=2X+1，則PY≥5=（A．712 B．512 C．56【變式2.1】（2023·全國·高二課堂例題）某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設(shè)其月工作時間為X小時，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)X=110時，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若PX≤120=0.6，求【變式2.2】（2022·高二課時練習(xí)）已知隨機變量X的分布列如表所示．X-2-10123P111111(1)求隨機變量Y=X(2)若PY<x=11【考點3離散型隨機變量的分布列的綜合應(yīng)用】【例3.1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在2020年新年賀詞中勉勵大家：“讓我們只爭朝夕，不負韶華，共同迎接2020年的到來.”其中“只爭朝夕，不負韶華”旋即成了網(wǎng)絡(luò)熱詞，成了大家互相砥礪前行的錚錚誓言，激勵著廣大青年朋友奮發(fā)有為，積極進取，不負青春，不負時代.“只爭朝夕，不負韶華”用英文可翻譯為：“Seizethedayandliveittothefull.”(1)求上述英語譯文中，e，i，t，a4個字母出現(xiàn)的頻率(小數(shù)點后面保留兩位有效數(shù)字)，并比較4個頻率的大小(用“>”連接)；(2)在上面的句子中隨機取一個單詞，用X表示取到的單詞所包含的字母個數(shù)，寫出X的分布列.(3)從上述單詞中任選2個單詞，求其字母個數(shù)之和為6的概率.【例3.2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購物平臺消費，該平臺實行會員積分制度，每個月根據(jù)會員當(dāng)月購買實物商品和虛擬商品(充話費等)的金額分別進行積分，詳細積分規(guī)則以及小張每個月在該平臺消費不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設(shè)購買實物商品和購買虛擬商品相互獨立．表1購買實物商品(元)(0，100)[100，500)[500，1000)積分246概率111表2購買虛擬商品(元)(0，20)[20，50)[50，100)[100，200)積分1234概率1111(1)求小張一個月購買實物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個月積分不低于8分的概率；(3)若某個月小張購買了實物商品和虛擬商品，消費均低于100元，求他這個月的積分X的分布列．【變式3.1】（2023上·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為12和23，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為23和34，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為1136，求p(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進入決賽的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列．【變式3.2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）踢毽子在我國流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項傳統(tǒng)民間體育活動.某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16，12.假設(shè)毽子一直沒有掉地上，經(jīng)過n次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an-14為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過150模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿x軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·高二課時練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.564．（2023下·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項中的隨機變量不服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)XB．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)XC．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球，3個白球的袋中任取1個球，設(shè)X=D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X5．（2023下·上海金山·高二?？计谀┰O(shè)隨機變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，則A．1 B．37 C．47 D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)a的值是（

）X3459Pa111A．16 B．112 C．197．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P11112則下列各式正確的是（

）A．Pξ<3=25C．P2<ξ<4=258．（2023下·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）已知隨機變量X服從兩點分布，且PX=1=0.6.設(shè)Y=3X-2，那么PY=-2A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.49．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）一袋中裝有4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數(shù)為隨機變量X，則PX≤2=（A．45 B．25 C．1510．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）泊松分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為P（X=k)=λkk!e-λk=0,1,2,?，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，若該線路某站臺的候車人數(shù)為A．1e4 B．4e4 C．11．（2023下·高二課時練習(xí)）下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并說明理由．(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量；(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；(3)一瓶果汁的容量為500±2mL.12．（2023上·高二課時練習(xí)）在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分