第09講 離散型隨機(jī)變量及其分布列（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）（原卷版）

第09講離散型隨機(jī)變量及其分布列【人教A版2019】·模塊一離散型隨機(jī)變量及其分布列·模塊二兩點(diǎn)分布·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一離散型隨機(jī)變量及其分布列1．隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量

①定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量.

②表示：通常用大寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值.

③隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系：隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，樣本點(diǎn)相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域.

區(qū)別：樣本空間不一定是數(shù)集，隨機(jī)變量的取值X()隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，而函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對(duì)應(yīng).

(2)離散型隨機(jī)變量

可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.2．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為，，，，我們稱(chēng)X取每一個(gè)值的概率P(X=)=，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列.(2)分布列的表格表示Xx1x2xnPp1p2pn分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.

(3)離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.【考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量】【例1.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)X1②一個(gè)沿直線y=2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離X2③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)X3④某電子元件的壽命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【例1.2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【變式1.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車(chē)站等出租車(chē)的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【變式1.2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿直線y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η；③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話次數(shù)X；④某同學(xué)離開(kāi)哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考點(diǎn)2

求離散型隨機(jī)變量的分布列】【例2.1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X12P11B．X01P11C．

X012P111

D．

X012P111

【例2.2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列表中能成為隨機(jī)變量ξ的分布列的是（

）A．ξ－101PB．ξ123P0.40.7－0.1C．ξ－101PD．ξ123P【變式2.1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績(jī)?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績(jī)，求隨機(jī)變量X的分布列．【變式2.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.3m求隨機(jī)變量η=X-1【考點(diǎn)3\o"利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題"\t"/gzsx/zj135496/_blank"利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題】【例3.1】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P則當(dāng)PX<a=0.7時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．-∞,2 BC．1,2 D．1,2【例3.2】（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=ia(i=1，2，3，4，5)，則P(2≤X<5)=A．13 B．12 C．35【變式3.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ-101Pabc其中2b=a+c，則P(ξ=1)等于（A．13 B．C．12 D．【變式3.2】（2023下·安徽宿州·高二?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則P(|X-2|=1)的值為（

）X1234P11a1A．512 B．12 C．712模塊二模塊二兩點(diǎn)分布1．兩點(diǎn)分布(1)兩點(diǎn)分布的定義

對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=

如果P(A)=p，則P()=1-p，那么X的分布列如下表所示.X01P1-pp我們稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.(2)兩點(diǎn)分布理解

兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能值，且其概率之和為1.可設(shè)任意一個(gè)為0，另一個(gè)相應(yīng)為1.【考點(diǎn)1

兩點(diǎn)分布】【例1.1】（2023下·重慶永川·高二校考期中）隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=1=0.2，令Y=3X-2，則PY=-2A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【例1.2】（2023下·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且PX=0=2-5PX=1=a，則A．34 B．12 C．13【變式1.1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）袋內(nèi)有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中摸出2個(gè)球，記X=0,兩球全是白球,【變式1.2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的概率分布．【考點(diǎn)2兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題】【例2.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P50.25m若隨機(jī)變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【例2.2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa15a1若離散型隨機(jī)變量Y=2X+1，則PY≥5=（A．712 B．512 C．56【變式2.1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為X小時(shí)，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)X=110時(shí)，求Y的值；(2)寫(xiě)出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若PX≤120=0.6，求【變式2.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示．X-2-10123P111111(1)求隨機(jī)變量Y=X(2)若PY<x=11【考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的分布列的綜合應(yīng)用】【例3.1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）習(xí)近平總書(shū)記在2020年新年賀詞中勉勵(lì)大家：“讓我們只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華，共同迎接2020年的到來(lái).”其中“只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華”旋即成了網(wǎng)絡(luò)熱詞，成了大家互相砥礪前行的錚錚誓言，激勵(lì)著廣大青年朋友奮發(fā)有為，積極進(jìn)取，不負(fù)青春，不負(fù)時(shí)代.“只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華”用英文可翻譯為：“Seizethedayandliveittothefull.”(1)求上述英語(yǔ)譯文中，e，i，t，a4個(gè)字母出現(xiàn)的頻率(小數(shù)點(diǎn)后面保留兩位有效數(shù)字)，并比較4個(gè)頻率的大小(用“>”連接)；(2)在上面的句子中隨機(jī)取一個(gè)單詞，用X表示取到的單詞所包含的字母?jìng)€(gè)數(shù)，寫(xiě)出X的分布列.(3)從上述單詞中任選2個(gè)單詞，求其字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6的概率.【例3.2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購(gòu)物平臺(tái)消費(fèi)，該平臺(tái)實(shí)行會(huì)員積分制度，每個(gè)月根據(jù)會(huì)員當(dāng)月購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和虛擬商品(充話費(fèi)等)的金額分別進(jìn)行積分，詳細(xì)積分規(guī)則以及小張每個(gè)月在該平臺(tái)消費(fèi)不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設(shè)購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和購(gòu)買(mǎi)虛擬商品相互獨(dú)立．表1購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品(元)(0，100)[100，500)[500，1000)積分246概率111表2購(gòu)買(mǎi)虛擬商品(元)(0，20)[20，50)[50，100)[100，200)積分1234概率1111(1)求小張一個(gè)月購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個(gè)月積分不低于8分的概率；(3)若某個(gè)月小張購(gòu)買(mǎi)了實(shí)物商品和虛擬商品，消費(fèi)均低于100元，求他這個(gè)月的積分X的分布列．【變式3.1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為12和23，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為23和34，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為1136，求p(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列．【變式3.2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開(kāi)始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時(shí)，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16，12.假設(shè)毽子一直沒(méi)有掉地上，經(jīng)過(guò)n次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an-14為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過(guò)150模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離Y．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.564．（2023下·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)XC．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)X=D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X5．（2023下·上海金山·高二校考期末）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，則A．1 B．37 C．47 D6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)a的值是（

）X3459Pa111A．16 B．112 C．197．（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P11112則下列各式正確的是（

）A．Pξ<3=25C．P2<ξ<4=258．（2023下·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=1=0.6.設(shè)Y=3X-2，那么PY=-2A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.49．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則PX≤2=（A．45 B．25 C．1510．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見(jiàn)的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為P（X=k)=λkk!e-λk=0,1,2,?，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值.已知某線路每個(gè)公交車(chē)站臺(tái)的乘客候車(chē)相互獨(dú)立，且每個(gè)站臺(tái)候車(chē)人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，若該線路某站臺(tái)的候車(chē)人數(shù)為A．1e4 B．4e4 C．11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些是離散型隨機(jī)變量？并說(shuō)明理由．(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量；(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；(3)一瓶果汁的容量為500±2mL.12．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分