新課第05講：余弦定理、正弦定理 解析版

新課第05講：余弦定理、正弦定理【考點梳理】考點一：正弦定理解三角形考點二：正弦定理判定三角形解的個數(shù)考點三：正弦定理求外接圓的半徑考點四：正弦定理邊角互化的應用考點型五：余弦定理解三角形考點六：余弦定理邊角互化的應用考點七：三角形面積公式問題考點八：正弦定理和余弦定理的綜合應用【知識梳理】知識一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識二：角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．知識三：解三角形一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.【題型歸納】題型一：正弦定理解三角形1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）在中，若，，，則可能是（

）A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°【答案】B【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正確的選項.【詳解】由正弦定理可得，故，故，而，故或，故或，故選：B.2．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┑膬冉堑膶叿謩e為，已知，則（

）A．6 B． C．8 D．【答案】A【分析】由同角的平方關系和正弦定理求解.【詳解】由得.由正弦定理得.故選：A3．（2023下·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】利用正弦定理求出，進而得出答案．【詳解】因為，，，所以由正弦定理得，得，因為，，所以，所以或，則或．故選：D．題型二：正弦定理判定三角形解的個數(shù)4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，內角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】由三角形內角和可判斷A項，由三角形中大邊對大角可判斷B項，由正弦定理解三角形可判斷C項，由余弦定理解三角形可判斷D項.【詳解】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C項，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對于D項，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．5．（2023下·浙江臺州·高一溫嶺中學校考期末）在中角所對的邊分別為，若，，，則（

）A．當時， B．當時，有兩個解C．當時，只有一個解 D．對一切，都有解【答案】C【分析】由正弦定理、正弦函數(shù)的性質計算可得.【詳解】因為，，，所以由正弦定理，即，當時，又，所以或，故A錯誤；當時，又，此時無解，故B、D錯誤；當時，則，又，此時只有一解，即只有一個解，故C正確；故選：C6．（2023下·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理即可結合圖形關系得，即可求解.【詳解】由，要使三角形有兩解，就是要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，過作，則，要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，則需要，解得的取值范圍是．故選：B．

題型三：正弦定理求外接圓的半徑7．（2023下·廣東深圳·高一校聯(lián)考期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的外接圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內角和為得到，利用正弦定理得到外接圓半徑，得到面積.【詳解】在中，，，所以.設的外接圓的半徑為R，則由正弦定理，可得，解得R＝1，故的外接圓的面積.故選：B8．（2023下·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谥校┑娜齻€內角，，所對的邊分別為，，，，，，則的外接圓的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理計算可得.【詳解】由余弦定理得，所以．故選：C．9．（2022下·山東青島·高一山東省萊西市第一中學校考期中）在中，已知，，，則下列選項中正確的為（

）A． B．外接圓的半徑為C．的面積為 D．【答案】B【分析】利用正弦定理可得，進而可得，，然后利用三角形面積公式可得，即得.【詳解】因為，，，∴，，∴，又，∴，故B正確，D錯誤；∴，，，故AC錯誤.故選：B.題型四：正弦定理邊角互化的應用10．（2023下·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知的三個角的對邊分別為，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理將已知的等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡即可得結論.【詳解】因為，所以由正弦定理得，所以，所以為等腰三角形，故選：A11．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角轉化，即可得結果.【詳解】由正弦定理可得，則，所以.故選：A.12．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且滿足，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上皆有可能【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內角和定理及兩角和的正弦公式，結合三角函數(shù)特殊值對應特殊角即可求解.【詳解】由及正弦定理，得,因為，所以,所以,即，，所以，則所以，所以為直角三角形.故選：B.題型五：余弦定理解三角形13．（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，若，則角的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解.【詳解】因為，由余弦定理可得，因為，所以.故選：C.14．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）設內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（

）A．1 B．2 C．1或2 D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理求解即可；【詳解】在中，由余弦定理得：整理得，，解得：或.檢驗或滿足題意，故選：C.15．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┰谥?，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由余弦定理變形得到，代入求解即可.【詳解】，即，解得，負值舍去.故選：A題型六：余弦定理邊角互化的應用16．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┯浀膬冉茿，B，C對邊分別為a，b，c，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；【詳解】由，由正弦定理得，即，，，所以.故選：A17．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？计谥校┰凇鰽BC中，，則這個三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可確定三角形的形狀.【詳解】由余弦定理可得：，，代入中，得，等式兩邊同乘得：，移項合并得：，整理得：，即，可得或，則三角形為等腰三角形或直角三角形，故選：D.18．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由利用正弦定理邊角互換可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.【詳解】因為，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因為，所以，所以，，故為等腰直角三角形.故選：D題型七：三角形面積公式問題19．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┰谥?，角的對邊分別為的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合正弦定理，和余弦定理求出，進而得到，應用面積公式即可.【詳解】由，得，，，，即，解得，，，，.故選：C20．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓半徑為4，，，則的面積S為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理、面積公式、二倍角的正弦公式求解.【詳解】由，，解得，由正弦定理可得，，所以，，.故選：D21．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】因為的面積為，，所以，即.所以，所以.故選：D.題型八：正弦定理和余弦定理的綜合應用22．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谥校茿，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周長為3，求的面積S.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)倍角公式結合三角形內角和關系分析求解；（2）由（1）可知：，由題意可知，利用余弦定理可得，代入面積公式即可得結果.【詳解】（1）因為，則，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由題意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面積.23．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W校考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若的面積為6，，求b的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式化簡得，即可求解.（2）利用三角形面積公式求解，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，又，，所以.（2）因為，所以.由余弦定理可得，所以.24．（2023上·江西·高一統(tǒng)考期中）已知內角，，的對邊長分別為，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合正弦定理的邊角互化及余弦定理即可求解；（2）先由正弦定理表示出，得到，由，求出的面積的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理得：，則由余弦定理得：，又，所以.（2）在中，因為，，由正弦定理得：，.又.又因為為銳角三角形，所以，，故，所以故，所以所以面積的取值范圍是【雙基訓練】一、單選題25．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理、三角形面積公式，結合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.【詳解】因為，所以，則的面積為.故選：A26．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┲?，內角的對邊分別為，以下選項為正確的是（

）A．若，則一定為銳角三角形B．若，則為等腰三角形C．，則為銳角三角形D．【答案】D【分析】由余弦定理判斷A，由正弦函數(shù)性質判斷B，舉反例判斷C，由數(shù)量積的定義及余弦定理判斷D．【詳解】A，由已知，為銳角，但的范圍不確定，A錯；B，是的內角，則，所以或，即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯；C，，如，，則，但為鈍角三角形，C錯；D，，D正確，故選：D．27．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理計算即可.【詳解】由正弦定理知：得.故選：B28．（2023下·山西運城·高一統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用令可得，，在、應用正弦定理，結合三角恒等變換可得，進而求外接圓直徑，最后應用勾股定理求.【詳解】令，則，故，，中，中，又，故，所以，即，所以外接圓直徑，則.故選：B29．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則外接圓的直徑是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結合余弦定理求出，再結合正弦定理即可得到答案.【詳解】在中，由余弦定理得，則，又，由正弦定理有（為外接圓半徑），∴

，故外接圓的直徑為.故選：D30．（2023下·甘肅武威·高一校聯(lián)考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理求出，再利用三角形面積公式即可得到答案.【詳解】因為，由余弦定理得，所以，所以的面積.故選：A.31．（2023下·福建福州·高一福州黎明中學?？计谥校┰O銳角的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則周長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出角的范圍，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等變換得，最后得到周長表達式，再利用二次函數(shù)的性質即可得到范圍.【詳解】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為和正弦定理得，由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)值域為，則的周長的取值范圍為.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉化得到周長關于角的函數(shù)關系，借助二次函數(shù)的單調性求最值.32．（2023下·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）設△ABC的內角A，B，C滿足，面積S滿足，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號是（

）A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】首先可由得到，然后利用所給公式結合和差公式、倍角公式可化得，然后結合可求得外接圓半徑的范圍，然后可判斷②③④.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，所以，故①正確；設的外接圓半徑為，因為由三角形面積公式和正弦定理有，所以，所以，故②正確；，故③錯誤，，故④正確，故選：B.二、多選題33．（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考期中）設的內角的對邊分別為，若則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因為，所以.又因為，.所以或.故選：CD.34．（2023下·陜西商洛·高一校考期中）在中，角所對的邊為，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)余弦定理可判斷A；根據(jù)正弦定理可判斷B、C；根據(jù)三角形中大角對大邊可判斷D.【詳解】對于A，在中，有成立，A錯誤；對于B，由正弦定理知，(R為外接圓半徑)，故，B正確；對于C，在中，，由正弦定理得，故，C正確；對于D，根據(jù)三角形中大角對大邊可知若，則，D正確，故選：BCD35．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為，已知，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若是等腰三角形，則C．若，則是直角三角形 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理即可得出答案.【詳解】因為，由正弦定理得，對于A選項，由余弦定理得，，，故A錯誤.對于B選項，若是等腰三角形，顯然，又當時，有成立，顯然此時不能構成三角形，則只能是，再根據(jù)，由余弦定理得，，在中，，故B正確.對于C選項，若，則，又，則，又，則，在中，，所以，即，故C正確.對于D選項，由余弦定理得，，，故D正確.故選:BCD.36．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┰谥?，內角，，所對的邊分別為，，，下列與有關的結論，正確的是（

）A．若，，則B．若是銳角三角形，則C．若，則一定是等腰三角形D．若為非直角三角形，則【答案】ABD【分析】利用正弦定理、三角形內角和定理、比例的性質，結合誘導公式、正弦函數(shù)的單調性逐一判斷即可.【詳解】A：由正弦定理可知：，因此本選項正確；B：因為是銳角三角形，所以，因為是銳角三角形，所以，因此由，所以本選項正確；C：根據(jù)正弦定理由，因為，所以，因此由，或，由，此時該三角形是等腰三角形，由，此時該三角形是直角三角形，所以本選項不正確，D：在非直角三角形中，有，所以本選項正確，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于應用正弦定理和比例的性質.三、填空題37．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在中，若，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】設外接圓半徑為，則由正弦定理可得：故答案為：38．（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在中，三邊長分別為，最大角的正弦值為，則．【答案】5【分析】由條件結合余弦定理列方程求即可.【詳解】因為，所以的最大內角為邊長的邊所對應的角，因為最大角的正弦值為，又對于非等邊三角形，最大角大于，所以最大角的余弦為，由余弦定理可得，又所以.故答案為：.39．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的內角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為．【答案】/【分析】由正弦定理結合三角恒等變換可得，再根據(jù)余弦定理可得，進而可得的面積.【詳解】由，結合正弦定理可得，故，故，因為，故，又，故.由余弦定理，則，解得.則.故答案為：40．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知，，分別為三個內角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互換與余弦定理化解原式，求解出角A，最后根據(jù)正弦定理求出的外接圓的半徑.【詳解】由正弦定理得，則，所以的外接圓的半徑為．故答案為：.41．（2023下·山西運城·高一統(tǒng)考期中）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦定理邊化角可求得，得到；利用正弦定理和余弦定理角化邊可求得；利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換知識可將所求式子化為，結合的范圍，由正弦型函數(shù)值域求法可求得結果.【詳解】由得：，，又，，，又，，則由得：，，解得：；由正弦定理得：，；，，，，，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題42．（2023下·云南保山·高一?？计谥校┑膬冉茿，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與平行.(1)求A；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)兩向量平行有，利用正弦定理化為求；利用余弦定理求值，進而利用求面積.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得,又，從而,因為，所以.（2）由余弦定理得,又，，，所以，即，因為，所以，設的面積為，.43．（2023上·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知銳角內角及對邊，滿足.(1)求的大??；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結合，可得的值．（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求，由已知求出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質即可求解其范圍．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又因為，所以，，可得，由，可得.（2）因為，由正弦定理，可得，可得，因為銳角三角形中，所以，解得，所以，所以，可得.周長的取值范圍為.44．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為，.(1)求的值；(2)若，求的面積；(3)