新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第29講 割線法證明零點差大于某值切線法證明零點差小于某值（解析版）

第29講割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值

1—v--

1.已知函數(shù)/(x)=LL(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

ex

(1)求函數(shù)/(幻的零點/,以及曲線y=∕(x)在x=/處的切線方程；

(2)設(shè)方程/(x)=∕%(加>0)有兩個實數(shù)根％,x,,求證：I內(nèi)一x2|<2-6(1+,).

2e

I-Y2

【解答】解：(1)由/(χ)=La=o,得x=±ι,

ex

X2—2x—1

.??函數(shù)的零點A=±1,f?x)=-------------，1(7)=2e,/(-1)=0.

Oe

7

曲線y=∕(幻在X=T處的切線方程為y=2e(x+l),⑴=一一，f(1)二。，

e

，曲線y=∕(%)在χ=l處的切線方程為y=——(?-l)：

e

(2)證明：/(χ)?v^~2r~1,

ex

當(dāng)xe(-oo,l-V5)U：(l+0,”)時，∕,(x)>0;當(dāng)x∈(l-及,1+夜)時，∕,(x)<0.

.?.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(TO,I-√2),(1+√2,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(1-√Σ,1+應(yīng)).

由(1)知，當(dāng)x<T或x>l時，/(x)<0;當(dāng)一1CXel時，/(x)>0.

下面證明：當(dāng)x∈(-l,l)時，2e(x+l)>/(x).

γ?~—1Y—1

當(dāng)x∈(-l,l)時，2e(x+1)>/(x)<=>2e(x+1)+-->0OeN+—>0.

ex2

易知，g(x)=eN+U在X￡[-1,1]上單調(diào)遞增，

而g(-l)=0,

.?.g(x)>g(-l)=O對Vx∈(-1,1)恒成立，

當(dāng)XW(-1,1)01，2e(x+1)>/(x).

(y=2e(x+l)mιm1

HH付X-------1.ILX=------1?

[y=m2e12e

不妨設(shè)Jtl<x2,PlO-1<xl<1-?∕2<x2<1,

jγi

??χ↑-XMX-WI=?-χ↑=??-(―-1)?

22e

耍證IXl-A1<2—機(jī)(1H----)f只要證X—(------1)?2—7∏(1H----)，即證X2，，1—〃7.

2e22eIe

1-X,

乂τ7?m-------,

*

I-Y2

???只要證x299l一一?,即-1)?(二一(％+1)),,O.

f

.?x2∈(1-√2,l),即證*一(9+1)..0.

令φ(x)=ex-(x+1),φf(x)=ex-1.

當(dāng)XW(I-0,0)時，d(x)vθ,O(X)為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)工￡(0,1)時，φ,(x)>O,e(x)為單調(diào)遞增函數(shù).

/.φ(x)..d°)=O，

e"—(々+1)?.。，

?,?IXy—x>|<2—6(1H----)?

2e

2.已知函數(shù)/(x)=(e-x)?2x(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(幻的零點，以及曲線y=∕(x)在其零點處的切線方程；

(2)若方程f(x)="7(mHO)有兩個實數(shù)根M,X,求證：IA-％1Ve-I.

9le-1

【解答】解：(1)由/(x)=(e-x)∕nx=O,得X=1,或x=e,所以/(%)的零點為1,e；

因為/'(X)=S—∕nr-l,所以/'(1)=e-l,f'(e)=-1.

X

因為/(I)=f(e)=0,所以曲線線y=∕(%)在X=I處的切線方程為y=(e-l)(x-1),在X=e處的切線

方程為y=-x+e…4分

(2)證明：因為1(X)=g-/nr-l,所以〃(X)=-I-=<0,所以t(x)=g-/Hr-I單調(diào)遞減.令

XXXX

g(x)=(e—I)(X—1),h(x)=-x+e,

下面證/(%)?g(x)，即(e-x)加?,(e-I)(X-1),

記∕n(x)=(e-l)(x-1)--x)ltυc,則m,(x)=lnx--+e，加'(x)=2+]>O，

XXX

所以加(X)單調(diào)遞增，且*(1)=0,故Ana)在(0,1)單調(diào)遞減,在(l,+∞)單調(diào)遞增.

所以"(1)=O?BP(e-x)bvc,y(e-l)(x-1),

同法可證f(x)99h(x),BP(e-x)lnx9,-x+e.

ftr

不妨設(shè)g(x3)=f(x↑)=/(x2)=(-4)=加，

因為g(x∣)>F(xJ=機(jī)=gQ?)，且g(x)=(e-I)(X-I)為增函數(shù),所以石>%3,

?17

由8(不)=)=(。一1)(七一1)=w，得W=-----+1，

e-1

同理，x4>x2,x4=e-m

m,

所以——÷1=<X<x,<x=e-m

-114

,,m?、etn

所rr以lλl，IlXl-/l<e一根一(----Fl)=e—1--------

e—1e—l

所以，∣χ-A2|<0_]_衛(wèi)，..12分

e-1

3.已知函數(shù)3(x)=(f-l)e%e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求曲線y=∕(x)在點(O,F(O))處的切線方程:

(2)若方程/(x)=w(,*<0)有兩個不等的實數(shù)根X],X2,求證：∣x∣-%2∣<2+,x.

2

【解答】解：(1)∕γx)=(χ+2x-l)√,/(0)=-l,T(O)=T,

所以曲線y=f(x)在(O,/(O))處的切線方程為y=-工-1.

(2)證明：令/(x)<0,得TVXV1,

因為/(%)=皿加<0)有兩個不等的實數(shù)根不，x2,

所以/(一1+&)<加<0,

不妨設(shè)—1<七<-1+V2<W<1，

令g(x)=/(x)+%÷1=(x2-l)ev+X÷1=(x+l)[(x-l)ex+1],

令h(x)=(?-l)ex+1,

所以對任意X∈(-1,1),〃(%)..。，

所以g(x)=(x+l)∕z(X)..O,即/(x)...-x-l,

所以"2=f(xl)...-xl-1,

所以一百”m+1,

所以I玉一元21=馬一百V1+(m+1)=m+2.

4.已知函數(shù)/(x)=(x+b)(e*-Q)S>0)在點(-1,/(-1))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-l=O.

(1)求〃，b；

(2)設(shè)曲線y=∕(x)與戈軸負(fù)半軸的交點為點P,曲線在點尸處的切線方程為y=∕z(x),求證：對于任意

的實數(shù)X，都有/(%)..〃(幻；

(3)若關(guān)于X的方程/(x)=nz(∏2>0)有兩個實數(shù)根Λ,,X,且XVX2，證明：?-?,1÷—.

2Il-e

【解答】解：(1)將工=一1代入切線方程(6—1)工+0+6—1=0中，有y=O,

所以/(—1)=0,BPf(-l)=(b-l)(--a)=O,

e

Xff(x)=ex(x+b+l)-a,

所以?(-1)=——a=——―-=—1+—.

eee

若α=L則b=2-evθ,與b>0矛盾，

e

故α=Z?=1.

(2)證明：由(1)可知/(x)=Q+1)?*—1),

令/(x)=0,有X=T或X=0,

故曲線y=/(x)與X軸負(fù)半軸的唯一交點P為(-1,0).

曲線在點尸(-1,0)處的切線方程為y=∕z(x),

則∕z(x)=r(T)(X+1),

令F(x)=f(x)-h(x),

!JliJF(x)=/(x)-Γ(-l)(x÷l),

所以F(X)=f?x)-f'(-i)=ex(x+2)--,F(-l)=0.

e

當(dāng)XV-I時，

若4∈(-∞,-2],F'(x)<0,

若x∈(-2,-1),尸〃(X)=CΛ*+3)>0,尸'(％)在x∈(-2,T)時單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)<F(-l)=0.

故尸'(x)vθ,JF(X)在(-∞,-l)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X>-1時，

由Fzr(x)=ex(x+3)>0知Fz(x)在工∈(T,+∞)時單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(T)=O,戶(X)在(-l,+∞)上單調(diào)遞

增.

所以F(x)..F(-l)=0,即f(x)..h(x)成立.

(3)證明：Λ(%)=(?-l)(x+1)?設(shè)〃CX)=加的根為又「，

e

又h[x)單調(diào)遞減，且Mt=h(xl.)=f(xl)..h(xl),

所以xl.,,不，

設(shè)曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=/(X),有t(x)=x,

令T(X)=f(x)-t(x)=(x+l)(ex-D-X,

T'(x)=(x+2)∕-2,

當(dāng)用,—2時，Γ(x)=(x+2)er-2,,-2<0,

當(dāng)x>-2時，T"(x)=(x+3)ex>0,

故函數(shù)T'(x)在(-2,田)上單調(diào)遞增，

又T'(0)=0,

所以當(dāng)xe(-∞,0)時，T,(x)<O.當(dāng)XW(O,+∞)時，T'(x)>0,

所以函數(shù)T(X)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+OO)上單調(diào)遞增,

所以T(X)..T(O)=O,

即/(x)..f(x),

設(shè)f(x)=m的根為『,

則X,.=W,

又函數(shù)F(X)單調(diào)遞增，

故,W=?%.)=f(x2)..t(x2),

故X2...X2.

又X1;,xi>

5.已知函數(shù)/(x)=(χ2-x)e*

(1)求曲線y=/(x)在原點處的切線方程；

(2)若/(x)-Or+e..0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若方程/(x)=m(meR)有兩個正實數(shù)根不，X2,求證：∣Λ?-x,|<生+"+1.

e

【解答】解：(1)f'(x)=(x2+x-?)ex,T(O)=-I,/(0)=0,

故曲線y=∕(x)在原點處的切線方程為x+y=O.

(2)①當(dāng)X=O時，awR；

②當(dāng)x>0時，問題等價于q,(x-l)e'+'恒成立.

X

設(shè)g(x)=+—?則g?x)=xex-??

Xx~

/(x)=XeX-=在(0,+00)上單調(diào)遞增，且g'(1)=O

Jr

.??g(x)在((M)遞減,在(l,+∞)遞增.

.?.g(x)在(O,Zo)的最小值為g(1)=e；

.,.④e

③當(dāng)X<O時.，問題等價T-α.1—l)e'+g恒成立.

X

設(shè)Λ(x)=(x-l)βx+—,貝!j∕√(x)=xex—"gVO.

XX"

〃(%)=在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且X→F時，∕z(x)→O.

.,.a..0,

綜.上所述：怎心e.

(3)依(2)得α=e時，(/一幻犬>百一&,

曲線y=∕(x)在原點處的切線方程為無+y=0

設(shè)φ(x)=(X2-χ)ex+X,(x>0)

φ?x)=(x2+%-l)ex+1,φ,,(x)=(x2÷3x)ex,

令9〃(X)=0,解得了=-3,或X=0.

.?.”(不)在(—0,-3),(0,+∞)遞增，在(一3,0)遞減.

"(0)=0,.??x>0時，^,(x)>0,夕(尤)遞增，而0(0)=0,

，當(dāng)x>O時，0(x)>O,

設(shè)y=分別與y=r,y=e(x-1)交點的橫坐標(biāo)為冗3，%，

m.

x=Tn，x=—+1.

34e

則X<X<X<x,.?,∣X-XJ<∣A-XI=—+÷1，(證畢)

3124134e

6.已知函數(shù)/(x)=(x-l)∕zt(x+1),曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為y=kx+b(k,beR).

(1)求攵，b的值；

(2)證明：f(x)..kx+h；

⑶若函數(shù)g(x)=/(X)+zn(∕n∈R)有兩個零點芭，x,,證明-Aj,,1-機(jī)-也.

Inl

【解答】⑴解:函數(shù)Fa)的定義域為(T+oo),

Y—1

r(X)=ln(x+1)+------,

x+1

.?.f(1)=∕∏2,

1.曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為y=ln2(x-l)即y=xln2-ln2,

：.k—ln2,b=-Iril；

(2)證明：令尸(X)=/(x)-Xln2+Inl=(X-1)妨(X+1)-xln2+ln2,

比一［

則F'(x)=加(x+D+--------M2,

x+1

r_112

令φ{(diào)x)=ln(x÷1)÷--------lnλ,則(f>{x)=----+---------->0,

x+1X÷1(x+1)"

.?.F'(x)單調(diào)遞增，又尸'(1)=0,

.?.當(dāng)XW(Tl)時,F(x)<0,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)Xe(I,+8)時，尸'(x)>0,函數(shù)尸(X)單調(diào)遞增，

???∕(X)”,,R="(I)=0，

F(x)..0,

f(x)?.W幾2-1∏2，

(3)證明：g(x)=∕(x)+皿機(jī)∈R)的兩個零點xl,x2,即為/(%)=Tn的兩根，不妨設(shè)王<工2,

由題知，曲線y=∕(x)在(1,0)處的切線方程為y=x歷2-/〃2,

令〃(X)=A?2-/〃2,即/z(x)+m=0即%(X)=Tn的根為.'，則W，

//12

由(2)知，/(x2)..A(X2)

,

/.h(x2)=f(x2)..h(x2),

/I(X)單調(diào)遞增,

設(shè)曲線y=/(x)在(0,0)處的切線方程為y=r(x),

/'(O)=T,

.,.f(x)=-X,

,

設(shè)方程f(x)+m=0即7(x)=-m的根為xl,則芭'=加，

令T(X)=/(x)T(x),

由(2)同理可得T(X)..0,即/(x)..f(x),

/(x1)..Λ(x1)

/.Λ(X∕)=∕(X1)..A(Λ?),

又/(x)單調(diào)遞減，

:.x/<xl,

?'?1"2—?jI=x?—x∣,,_Xj=I_/%―/2,

7.已知函數(shù)/(x)=(加x-l)(奴-l)(a>0),設(shè)曲線y=∕(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y=g(x).

(1)求g(x)的解析式;

(2)證明：對定義域內(nèi)任意工，都有/(x)..g(x);

(3)當(dāng)a=l時，關(guān)于X的方程∕>(x)="?有兩個不等的實數(shù)根%,為，證明：∣x,|<皿1+—$—)+e-l.

e-1

【解答】解：(1)f,(x)=Cilnx-??:.ff(e)=a--,

Xe

又/(e)=0,.?.g(x)=(4——)(x-e)；

e

(2)證明：令尸(X)=/(x)-g(x)=/(X)-((e)(x-e),

.?.F?x)=f'{x)-f'(e)=H〃x-1-a+J在(0,”)上單調(diào)遞增，且尸(e)=0,

Xe

.?.當(dāng)O<x<e時，F(xiàn)(x)<0,F(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>e時，廣(x)>0,尸(X)單調(diào)遞增，

.?.F(x)..F(e)=O恒成立,

.?./(x)..g(x)恒成立.

(3)證明：當(dāng)α=l時，f(x)={lnx-l)(x-1),則/>'(x)=∕mc-L

X

顯然,'(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，而/(I)=-l<0,f'(e)=1一―>0,

,

???存在aW(Le),使f(x0)=O，

.?.當(dāng)x∈(0,x0)時，Γ(x)<O,/(幻單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈C?,+8)時，∕,(x)>O,/(%)單調(diào)遞增，

令/(x)=O,解得％=1或e,

由(1)(2)可知y=∕(x)在(e,0)處的切線方程為g(x)=(l-3(X-e),

e

且/(x)..g(x)恒成立，同理可得y=/(χ)在(Lo)處的切線方程為/z(X)=-x+1,

令H(x)=f(x)-MX)=(lnx-l)(x-l)-(-x+1)=(X-1)∕MV,

當(dāng)x>l時，>0,Inx>01當(dāng)O<%vl時，x-?<0,∕nrvθ,

.?.H(x)?.。恒成立.

設(shè)函數(shù)y=/(X)在兩個零點處的切線方程與直線y="的交點的橫坐標(biāo)分別為匯和公L

r

不妨設(shè)％＜工2，則與＞χ',x2＜x2f

,

令g(x)=〃(X)=機(jī)，解得Λ2'=f以+e,x1=l-∕nt

e-1

.[X_XKl/，_%JI=(I------)+g—I，ι?iil*..

2e-1

8.己知函數(shù)/(x)=(x+l)(d—1).

⑴求f(x)在點(-1,/(T))處的切線方程；

(2)若方程/'(X)=/?有兩個實數(shù)根芭，X,,且X∣<X),證明：X2_Ap,]+"+￡+!+.

3e—1e-1

【解答】解:(1)f,(x)=(x+2)ex-l,則r(-l)=1-lJ(-l)=O,

e

由點斜式可得切線方程為y=-(xl)；

e+

(2)證明：由(1)知/(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程為y=?(x+l),

設(shè)5(x)=—(x+l),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-—(x+1)=(x+l)(ex-?),則

eee

F(X)=(X+2)e'--,F"(X)=(X+3)，，

e

.?尸(X)在(-00,-3)上單調(diào)遞減，在(-3,+∞)上單調(diào)遞增，

又尸(-3)=_4<O,HmF(x)=F(-l)=O，

eeλ→-√3°e

歹。)在(-00,-1)匕單調(diào)遞減，在(一l,+∞)上單調(diào)遞增，

.?.F(x)..F(-l)=O,SP∕(X).,S(Λ:)=-(x+l),當(dāng)且僅當(dāng)X=T時取等號,

,方程?~-(x+l)=?的根x；.

e?-e

又6=S(Xr)=f(X])..S(x∣)，

由S(X)在R上單調(diào)遞減，所以不,xl,

另一方面，f(x)在點(l,2e-2)處的切線方程為y=(3e-l)x-e-l,

設(shè)Z(X)=(3e-?)x-e-?,構(gòu)造函數(shù)G(X)=f(x)-r(x)=(x+l)(e*-1)-(3e-l)x+e,+1=(x+↑)ex-3ex+e,則

Gz(x)=(X+2)ex-3e,G"(x)=(X+3)ex,

.?G,M在(-∞,-3)上單調(diào)遞減，在(-3,+∞)上單調(diào)遞增，

又G,(-3)=--?--3e<0,IimG'(x)=—3e,G'。)=0，

e-γ→-<°

.?.G(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

.?.G(x)..G(1)=0,BPf(x)..t(x)=(3e-l)x-e-l,當(dāng)且僅當(dāng)X=-I時取等號，

+l+b

■方程f(x)=(3e-l)x-e-1=6的根為石=~,又b=r(x,.)=f(x,)..t(x2),t(x)在A上單調(diào)遞增，

3e-l

???12,,?21，

1b+e+?eb0πzrl.r

..%2—%,，XIr—F=1H-------------1--------，即彳Wi止.

3e—1e-1

9.已知函數(shù)f(x)=(X+l)(ex-1).

(1)求/(x)在點(-1,/(T))處的切線方程;

(2)已知/(x)..ac在R上恒成立，求4的值.

(3)若方程/(x)=力有兩個實數(shù)根x∣,x2,且為<%2，證明：X2-邳,6+1+-^-.

e-1

【解答】解：(1)函數(shù)∕α)=α+i)(eT),貝IJr(X)=(牛+2)∕-ι,

所以r(T)=L,/(-1)=0,

e

所以在點(-1,/(-I))處的切線方程為y=((x+1)；

(2)令∕ι(x)=f(x)-ax=(x+?)ex-(x÷?)-ɑr,

則hf(x)=(x÷2)ex-?-cι,

令m{x)=(x+2)ex,則加(X)=(X+3)ex,

x

所以m(x)=(x+2)e在(-∞,一3)單調(diào)遞減FLm(x)<0，m(x)在(一3,+□o)單調(diào)遞增,

又現(xiàn)0)=2,即〃'(0)=l-α且〃(O)=0,

故Kx)只能在X=O處取得最小值，

若α=l,此時”(x)=(x+2)∕-2,在(YO,0)上”(x)<0,故〃(幻單調(diào)遞減,

在(0,田)上〃(x)>0,故人(無)單調(diào)遞增,

故Λ(x)..A(O)=O.滿足題意；

若a>1,m(x)=(X+2)e*=α+1有解X。，Xo>O,

Λ(x)在(0,?)上單調(diào)遞減，LJΛ(X)..Λ(O)矛盾；

若α<1,m{x)=(x+2)e*=α+1有解X0,-3<?<O>

∕z(x)在(X。，0)上單調(diào)遞減,與〃(x).M(O)矛盾;

綜上所述，a=??,

(3)證明:f?x)=[x+2)ex

所以f'(x)在(-∞,-3)單調(diào)遞減且f'(x)<O,

∕,(x)在(-3,小》)單調(diào)遞增，故/'(X)=O最多一根,

又因為f'(-1)=(-1+2)e-∣-l<0,∕,(O)=(O+2)eo-l=l>O,

設(shè)F(X)=O的解為/,因為八一1).尸(0)<0,故fe(-l,0),

所以/(x)在(-∞J)上單調(diào)遞減，/(x)在(f,+∞)上單調(diào)遞增,

因為方程/(X)=6有兩個實數(shù)根％,X2,故。>f{t},

1-P

結(jié)合(1)(2)有f(x)..；-----(x+l)?/(x)..xι?ιR上恒成立,

e

XD

設(shè)/?=L_￡(+的解為χ3,

則x3,,Xj,設(shè)3=%的解為X4則x4..x2f

故Xj=--------1>—b>所以/—X1,,/-??=l+bd-------，?

?-ee-1

10.已知函數(shù)的幻=(x+b)(4-α),(?>0),在(一1,/(T))處的切線方程為(e-l)%+o+e-l=0?

(I)求4,b；

(H)若方程/(x)=m有兩個實數(shù)根不，x2,且不<%，證明：?f,,l+'"de).

?-e

【解答】解：(I)在(一1,f(-l))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-l=O,可得

/(-1)=0,BP/(-l)=(-l+?)(e^l-α)=0.

又函數(shù)/(x)=(x+?)(er-a),(?>O),

fxh1

可得導(dǎo)數(shù)為f(x)=(x+b+l)e-af所以((—I)，一ɑ=T+?,

ee

若Q=L則。=2-ev0,與〃>0矛盾，

e

故α=A=l；

(H)證明：由(I)可知F(X)=(X+l)(e?-l),/(0)=0,/(-1)=0,

設(shè)/(x)在(-1,0)處的切線方程為A(x)=k(x+?)f

易得無=r(-i)=4-1,則∕z(x)=d-i)(x+i),

ee

令尸(X)=f(x)-Λ(x)，

即F(X)=(χ+1)(^'-1)-(?-l)(x+1),F'(x)=(x+2)e'

ee

當(dāng)%,-2時，Γ(x)=(x+2)e,--<--<0,

ee

當(dāng)x>—2時，

設(shè)G(X)=F'(x)=(x+2)ex-?,G'(x)=(x+3)e*>O,

e

故函數(shù)F,(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增，又尸(-1)=O,

所以當(dāng)XW(→Λ,-1)時，F(xiàn)'(x)<O,當(dāng)Xe(-1,+OO)時，F(xiàn),(x)>O,

所以函數(shù)F(X)在區(qū)間(-∞,-l)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增,

故尸(X)..尸(一1)=O,

/(Λ1)..Λ(X1),

設(shè)〃(X)=ZW的根為XJ,則Xj=-I+,

?-e

又函數(shù)G(X)單調(diào)遞減，故ZIa')=0(%)../I(X,),故xj,,x∣,

設(shè)y=f(x)在(0,0)處的切線方程為y=心)，易得心)=X,

令T(X)=f(x)-/(x)=(x+T)(ex-1)-X.Tv(X)=(X+2)e*-2,

當(dāng)X,-2時，r(X)=(X+2)e"-2<-2<0,

當(dāng)X>-2時，

設(shè)H(x)=Tv(X)=(X+2)ex-2,/Γ(x)=(x+3)ex>O,

故函數(shù)7'(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增，又Tv(O)=O,

所以當(dāng)x∈(-∞,0)時，Γ(x)<O,當(dāng)x∈(O,y)時，Ta)>0,

所以函數(shù)7。)在區(qū)間(ro,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(O,ZO)上單調(diào)遞增，

T(X)..T(O)=O,

/(x2)..∕(?),

,,

設(shè)KX)=m的根為x2,則x2=m,

又函數(shù)/(幻單調(diào)遞增，?r(χ√)=/(χ2)..r(χ2),故村?.￡，

又X；,,Xi，

∣∣,,me.m(↑-2e)

則lllX一耳，X-Xy=M-z(―I1H-------)x=IH--------------.

221—e1—e

11.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求曲線y=∕(x)在點(1,/(/))處的切線方程；

2

(2)若關(guān)于X的方程/(x)=4有兩個實根，設(shè)為x∣,x2(xl<x2),證明：x2-x1<?+2Λ+e^.

【解答】解：(1)f(χ)=lnx+lf則1(I)=T,又/(二)=-2/,

.,.切線方程為y+2e"=-(χ-e^2),即y=-χ-e~2:

(2)證明：先證明/(x)=X阮I(lǐng)…一1-"2,

?(x)=xlnx+x+e~2(x>O),貝IJg,(x)=lnx+2,

易知函數(shù)g(%)在(0,二)上遞減，在畫，+8)上遞增，

則g(x)..g(e~2)=0,即f(x)=xbvc..-x-e~2,

再證明f(x)=xlnx..x-l,令〃(X)=X∕nx-%+l(x>O),則〃(x)=/%,

易知函數(shù)A(x)在(0,1)上遞減,在。,+∞)上遞增，

則〃(X)../?(1)=0,BP/(x)=xlnx..x-?,

,f

如圖，設(shè)直線y=α與直線y=-x-e"^2,y=x-l相交點的橫坐標(biāo)分別為牛，x2

222

由。=一X-e~=/(x1)..-Xi-e~,得xr,,玉,當(dāng)且僅當(dāng)Ia=-e~時等號成立,

x-1,

由Q=X2,-I=/(x2)??2得工25%2，當(dāng)且僅當(dāng)a=O時等號成立，

Λ^2—內(nèi)<%—?i=a+1—(—ci—e~)=2α+1+e",即Y?iιE.

12.已知函數(shù)/(x)=2SinX-X2?2πx-a.

(I)當(dāng)Q=O時，求/(X)零點處的切線方程；

?-π2

(II)若/(九)有兩個零點不，x(x<x^),求證：-----(x-X-2π)..a.

21π21

【解答】解：(I)當(dāng)α=0時，/(x)=2sin?-X2+2πx,定義域為R,則/'(X)=2cosx-2x+2τr,

/"(%)=-2sinX-2V0,

???y=r(x)在/?上為減函數(shù)，

?/'(0)=2+2乃>0,7'(4)=一24<0,

???由零點存在性定理可知，八工)在1∈(o,幻上必存在與,使得『a。)=。，

=

IL當(dāng)X∈(-00,A0)時，f?x)>O,即/(%)在X∈(-00,Xo)上單調(diào)遞增,

當(dāng)元∈(j?,+8)時,f,(x)<O,即/(幻在X∈Q?,4-00)上單調(diào)遞減,

???∕(x)M=/(/)，

故/(X)至多有兩個零點，

又?/(0)=0,/(2乃)=0,

故X=O,x=2乃是/(X)的兩個零點，

???由∕?'(0)=2+2萬，rQπ)=2-2π,易得兩切線方程為y=(2+2τr)X或y=(2—24)］一44+4/；

(Il)證明：由(I)易知1,X1<x0<x2,

設(shè)F(x)=(2+2π)x-2sinx+x2-2πx,F,(x)=2-2cosx+2x?Fff(%)=2sinx+2..0,

.?.y=尸，(%)在R上為增函數(shù)，

F(O)=O,

?..當(dāng)x∈(-oo,0)時，F(xiàn)r(x)<0,即產(chǎn)(X)在(一oo,0)」二為減函數(shù)，

當(dāng)XW(O,+co)時,F,(x)>0,即尸(X)在(0,+∞)上為增函數(shù),

.?.F(x)..F(O)=0,QP(2÷2∕τ)x..2sinX—工？+2πx,

12

設(shè)y=(2+2π)x與y=a的交點橫坐標(biāo)為當(dāng)，WJ(2+2π)xr.2sinxl-x1+2πxl=tz=(2+2π)x3,

?y=(2+2;T)X為增函數(shù)，

a

冬=-------，，X\；

3(2+2;F)'

同理設(shè)G(X)=(2-2π)(x-2π)-2sinx+x2-2πx,則G,(x)=2-4π-2cosx+2x,G"(x)=2SinX+2..0,

.?.y=G,(x)在R上為增函數(shù)，

又G(2τ)=0,

.?.當(dāng)x∈(-∞,2τr)時，G(X)V0,即G(X)在(Yo,2萬)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(2肛Zo)時，Gr(x)>0,即Ga)在(2肛+oo)上單調(diào)遞增，

G(x)..g(2;F)=0,即(2-2π)(x-2π)..2sinx-x2+2πx,

設(shè)y=(2-2π)(x-2τr)與y=α的交點橫坐標(biāo)為乙，則

2

(2-2TΓ)(X2-2^)..2sinx2-x2+2zrx2=a=(2-2π)(x4-2萬),

又y=(2—2;T)(X—2萬)為減函數(shù)，則x=--一+2π..x,

42-2π2

..4πaCaπ

故A—與，/一匹=Co、℃"、+2萬=;~~∕2π,

2(2—2zτ)(2+2zr)\—Ti

?-2

-----π--(X2-?i-2π)..a,得證.

π

13.已知函數(shù)/(x)=A7x-x",XWR.其中〃∈N.n..2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)曲線y=∕(x)與X軸正半軸的交點為P,曲線在點。處的切線方程為y=g(x),求證：對于任意的

正實數(shù)X，都有f(χ?,g(χ)；

(3)設(shè)〃=5,若關(guān)于X的方程/(x)=α(α為實數(shù))有兩個正實根玉，X2.求證：∣Λ2-ΛJ<2-T.

【解答】解：(1)?f(x)=nx-xn,RΓMf?x)=n-nxn~'=n(l-xn^'),其中”eN,且〃..2.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)〃為奇數(shù)時，令V(X)=O,解得χ=l,或x=-l,

當(dāng)X變化時，/'(X),/(x)的變化情況如下表：

X(-00,-1)(-1,1)(l,+∞)

f,ω-+—

?(?)遞減遞增遞減

所以，/(x)在(-∞,T),(1,+00)匕單調(diào)遞減，在(-1,1)單調(diào)遞增；

②當(dāng)〃為偶數(shù)時，

當(dāng)尸(x)>0,即x<l時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)r(x)<0,即x>l時，函數(shù)F(X)單調(diào)遞減；

所以，F(xiàn)(X)在(-8,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；

I

2

(2)證明：設(shè)點尸的坐標(biāo)為(X1),0),則X(1=""T,f(x0)=n-n,

,

曲線y=∕(x)在點P處的切線方程為y=∕(?)(x-x0),

β∣?U)=∕,(?)U-?)>

,

令F(X)=/(x)-g(x),即F(x)=/(x)-∕(x0)(x-x0)，

則尸(X)=T(X)-尸5).

由于廣(X)=-n√ι+〃在(o,+oo)上單調(diào)遞減，故尸(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

又因為F'(x0)=O,所以當(dāng)xe(O,x0)時，F(xiàn),(x)>O,當(dāng)x∈(x°,+oo)時，F(xiàn)(X)<0,

所以F(X)在∈(0,x°)內(nèi)單調(diào)遞增，在(％,+∞)上單調(diào)遞減，

所以對應(yīng)任意的正實數(shù)X,都有F(X),,尸(Xo)=O,

即對于任意的正實數(shù)X，都有/(%)?g(x).

(3)證明：不妨設(shè)Λ?,,Λ2,

由(2)知g(x)=("-"2)(x-x0),設(shè)方程g(x)=α的根為Xy，

可得x2,=—幺τ+%0,由(H)知g(Λ?)??f(Λ?)=α=gO?),可得Λ2,,W-

n-n~

類似地，設(shè)曲線y=/(x)在原點處的切線方程為y=〃O),可得〃(X)=nr,

當(dāng)X∈(0,÷∞),f(x)-〃(X)=-xn<0,

即對于任意的x∈(0,+oo),/(x)<h(x),

設(shè)方程〃(x)=α的根為與，可得Xr=g,

n

因為〃(X)=/猶在(-00,+00)匕單調(diào)遞增，

SLh(xv)=a=f(xi)<A(x∣),因此xl,〈％，

由止匕可得：X2—XVX>-—Xy=------FXQ，

^I-H

因為幾.2,所以2"T=(l+l)"T..l+Cι=l+n-?=n1

I

故：2..n"^l=?.則IX2—再1<2+'一，

1-/J

所以當(dāng)”=5時，即有［9-王|<2—

14.已知函數(shù)F(X)=HX-x",xeR,其中"∈ΛΓ,且〃..2.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(H)設(shè)曲線y=∕(x)與X軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證：對于任意的

正實數(shù)X，都有f(x?,g(x)；

(III)若關(guān)于X的方程/(x)="(α為實數(shù))有兩個正實數(shù)根x∣,X,求證：∣x,-x∣+2.

2?-n

【解答】(本題滿分為14分)

解：(I)?f(x)=nx-xn,可得/'(X)="-ax"'="(l-x"T),其中〃eM,且〃..2.

下面分兩種情況討論：

(I)當(dāng)〃為奇數(shù)時，令T(x)=O,解得X=1,或x=7,當(dāng)X變化時，f?x),/(X)的變化情況如下表：

X(→κ,-l)(Tl)(l,+oo)

/'(X)—+—

/(X)/?x

所以，f(x)在(-∞,-l),(1,+8)上單調(diào)遞減，在(-1,1)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時，

當(dāng)r(x)>O,即XVl時,函數(shù)F(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)/(x)<0,即x>l時，函數(shù)F(X)單調(diào)遞減;

所以，f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增，在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減;

2

(∏)證明：設(shè)點尸的坐標(biāo)為(X0,0),則