版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
第29講割線法證明零點差大于某值,切線法證明零點差小于某值
1—v--
1.已知函數(shù)/(x)=LL(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
ex
(1)求函數(shù)/(幻的零點/,以及曲線y=∕(x)在x=/處的切線方程;
(2)設(shè)方程/(x)=∕%(加>0)有兩個實數(shù)根%,x,,求證:I內(nèi)一x2|<2-6(1+,).
2e
I-Y2
【解答】解:(1)由/(χ)=La=o,得x=±ι,
ex
X2—2x—1
.??函數(shù)的零點A=±1,f?x)=-------------,1(7)=2e,/(-1)=0.
Oe
7
曲線y=∕(幻在X=T處的切線方程為y=2e(x+l),⑴=一一,f(1)二。,
e
,曲線y=∕(%)在χ=l處的切線方程為y=——(?-l):
e
(2)證明:/(χ)?v^~2r~1,
ex
當(dāng)xe(-oo,l-V5)U:(l+0,”)時,∕,(x)>0;當(dāng)x∈(l-及,1+夜)時,∕,(x)<0.
.?.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(TO,I-√2),(1+√2,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(1-√Σ,1+應(yīng)).
由(1)知,當(dāng)x<T或x>l時,/(x)<0;當(dāng)一1CXel時,/(x)>0.
下面證明:當(dāng)x∈(-l,l)時,2e(x+l)>/(x).
γ?~—1Y—1
當(dāng)x∈(-l,l)時,2e(x+1)>/(x)<=>2e(x+1)+-->0OeN+—>0.
ex2
易知,g(x)=eN+U在X£[-1,1]上單調(diào)遞增,
而g(-l)=0,
.?.g(x)>g(-l)=O對Vx∈(-1,1)恒成立,
當(dāng)XW(-1,1)01,2e(x+1)>/(x).
(y=2e(x+l)mιm1
HH付X-------1.ILX=------1?
[y=m2e12e
不妨設(shè)Jtl<x2,PlO-1<xl<1-?∕2<x2<1,
jγi
??χ↑-XMX-WI=?-χ↑=??-(―-1)?
22e
耍證IXl-A1<2—機(jī)(1H----)f只要證X—(------1)?2—7∏(1H----),即證X2,,1—〃7.
2e22eIe
1-X,
乂τ7?m-------,
*
I-Y2
???只要證x299l一一?,即-1)?(二一(%+1)),,O.
f
.?x2∈(1-√2,l),即證*一(9+1)..0.
令φ(x)=ex-(x+1),φf(x)=ex-1.
當(dāng)XW(I-0,0)時,d(x)vθ,O(X)為單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)工£(0,1)時,φ,(x)>O,e(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
/.φ(x)..d°)=O,
e"—(々+1)?.。,
?,?IXy—x>|<2—6(1H----)?
2e
2.已知函數(shù)/(x)=(e-x)?2x(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)/(幻的零點,以及曲線y=∕(x)在其零點處的切線方程;
(2)若方程f(x)="7(mHO)有兩個實數(shù)根M,X,求證:IA-%1Ve-I.
9le-1
【解答】解:(1)由/(x)=(e-x)∕nx=O,得X=1,或x=e,所以/(%)的零點為1,e;
因為/'(X)=S—∕nr-l,所以/'(1)=e-l,f'(e)=-1.
X
因為/(I)=f(e)=0,所以曲線線y=∕(%)在X=I處的切線方程為y=(e-l)(x-1),在X=e處的切線
方程為y=-x+e…4分
(2)證明:因為1(X)=g-/nr-l,所以〃(X)=-I-=<0,所以t(x)=g-/Hr-I單調(diào)遞減.令
XXXX
g(x)=(e—I)(X—1),h(x)=-x+e,
下面證/(%)?g(x),即(e-x)加?,(e-I)(X-1),
記∕n(x)=(e-l)(x-1)--x)ltυc,則m,(x)=lnx--+e,加'(x)=2+]>O,
XXX
所以加(X)單調(diào)遞增,且*(1)=0,故Ana)在(0,1)單調(diào)遞減,在(l,+∞)單調(diào)遞增.
所以"(1)=O?BP(e-x)bvc,y(e-l)(x-1),
同法可證f(x)99h(x),BP(e-x)lnx9,-x+e.
ftr
不妨設(shè)g(x3)=f(x↑)=/(x2)=(-4)=加,
因為g(x∣)>F(xJ=機(jī)=gQ?),且g(x)=(e-I)(X-I)為增函數(shù),所以石>%3,
?17
由8(不)=)=(。一1)(七一1)=w,得W=-----+1,
e-1
同理,x4>x2,x4=e-m
m,
所以——÷1=<X<x,<x=e-m
-114
,,m?、etn
所rr以lλl,IlXl-/l<e一根一(----Fl)=e—1--------
e—1e—l
所以,∣χ-A2|<0_]_衛(wèi),..12分
e-1
3.已知函數(shù)3(x)=(f-l)e%e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線y=∕(x)在點(O,F(O))處的切線方程:
(2)若方程/(x)=w(,*<0)有兩個不等的實數(shù)根X],X2,求證:∣x∣-%2∣<2+,x.
2
【解答】解:(1)∕γx)=(χ+2x-l)√,/(0)=-l,T(O)=T,
所以曲線y=f(x)在(O,/(O))處的切線方程為y=-工-1.
(2)證明:令/(x)<0,得TVXV1,
因為/(%)=皿加<0)有兩個不等的實數(shù)根不,x2,
所以/(一1+&)<加<0,
不妨設(shè)—1<七<-1+V2<W<1,
令g(x)=/(x)+%÷1=(x2-l)ev+X÷1=(x+l)[(x-l)ex+1],
令h(x)=(?-l)ex+1,
所以對任意X∈(-1,1),〃(%)..。,
所以g(x)=(x+l)∕z(X)..O,即/(x)...-x-l,
所以"2=f(xl)...-xl-1,
所以一百”m+1,
所以I玉一元21=馬一百V1+(m+1)=m+2.
4.已知函數(shù)/(x)=(x+b)(e*-Q)S>0)在點(-1,/(-1))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-l=O.
(1)求〃,b;
(2)設(shè)曲線y=∕(x)與戈軸負(fù)半軸的交點為點P,曲線在點尸處的切線方程為y=∕z(x),求證:對于任意
的實數(shù)X,都有/(%)..〃(幻;
(3)若關(guān)于X的方程/(x)=nz(∏2>0)有兩個實數(shù)根Λ,,X,且XVX2,證明:?-?,1÷—.
2Il-e
【解答】解:(1)將工=一1代入切線方程(6—1)工+0+6—1=0中,有y=O,
所以/(—1)=0,BPf(-l)=(b-l)(--a)=O,
e
Xff(x)=ex(x+b+l)-a,
所以?(-1)=——a=——―-=—1+—.
eee
若α=L則b=2-evθ,與b>0矛盾,
e
故α=Z?=1.
(2)證明:由(1)可知/(x)=Q+1)?*—1),
令/(x)=0,有X=T或X=0,
故曲線y=/(x)與X軸負(fù)半軸的唯一交點P為(-1,0).
曲線在點尸(-1,0)處的切線方程為y=∕z(x),
則∕z(x)=r(T)(X+1),
令F(x)=f(x)-h(x),
!JliJF(x)=/(x)-Γ(-l)(x÷l),
所以F(X)=f?x)-f'(-i)=ex(x+2)--,F(-l)=0.
e
當(dāng)XV-I時,
若4∈(-∞,-2],F'(x)<0,
若x∈(-2,-1),尸〃(X)=CΛ*+3)>0,尸'(%)在x∈(-2,T)時單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)<F(-l)=0.
故尸'(x)vθ,JF(X)在(-∞,-l)上單調(diào)遞減,
當(dāng)X>-1時,
由Fzr(x)=ex(x+3)>0知Fz(x)在工∈(T,+∞)時單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)>F(T)=O,戶(X)在(-l,+∞)上單調(diào)遞
增.
所以F(x)..F(-l)=0,即f(x)..h(x)成立.
(3)證明:Λ(%)=(?-l)(x+1)?設(shè)〃CX)=加的根為又「,
e
又h[x)單調(diào)遞減,且Mt=h(xl.)=f(xl)..h(xl),
所以xl.,,不,
設(shè)曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=/(X),有t(x)=x,
令T(X)=f(x)-t(x)=(x+l)(ex-D-X,
T'(x)=(x+2)∕-2,
當(dāng)用,—2時,Γ(x)=(x+2)er-2,,-2<0,
當(dāng)x>-2時,T"(x)=(x+3)ex>0,
故函數(shù)T'(x)在(-2,田)上單調(diào)遞增,
又T'(0)=0,
所以當(dāng)xe(-∞,0)時,T,(x)<O.當(dāng)XW(O,+∞)時,T'(x)>0,
所以函數(shù)T(X)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+OO)上單調(diào)遞增,
所以T(X)..T(O)=O,
即/(x)..f(x),
設(shè)f(x)=m的根為『,
則X,.=W,
又函數(shù)F(X)單調(diào)遞增,
故,W=?%.)=f(x2)..t(x2),
故X2...X2.
又X1;,xi>
5.已知函數(shù)/(x)=(χ2-x)e*
(1)求曲線y=/(x)在原點處的切線方程;
(2)若/(x)-Or+e..0恒成立,求實數(shù)。的取值范圍;
(3)若方程/(x)=m(meR)有兩個正實數(shù)根不,X2,求證:∣Λ?-x,|<生+"+1.
e
【解答】解:(1)f'(x)=(x2+x-?)ex,T(O)=-I,/(0)=0,
故曲線y=∕(x)在原點處的切線方程為x+y=O.
(2)①當(dāng)X=O時,awR;
②當(dāng)x>0時,問題等價于q,(x-l)e'+'恒成立.
X
設(shè)g(x)=+—?則g?x)=xex-??
Xx~
/(x)=XeX-=在(0,+00)上單調(diào)遞增,且g'(1)=O
Jr
.??g(x)在((M)遞減,在(l,+∞)遞增.
.?.g(x)在(O,Zo)的最小值為g(1)=e;
.,.④e
③當(dāng)X<O時.,問題等價T-α.1—l)e'+g恒成立.
X
設(shè)Λ(x)=(x-l)βx+—,貝!j∕√(x)=xex—"gVO.
XX"
〃(%)=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且X→F時,∕z(x)→O.
.,.a..0,
綜.上所述:怎心e.
(3)依(2)得α=e時,(/一幻犬>百一&,
曲線y=∕(x)在原點處的切線方程為無+y=0
設(shè)φ(x)=(X2-χ)ex+X,(x>0)
φ?x)=(x2+%-l)ex+1,φ,,(x)=(x2÷3x)ex,
令9〃(X)=0,解得了=-3,或X=0.
.?.”(不)在(—0,-3),(0,+∞)遞增,在(一3,0)遞減.
"(0)=0,.??x>0時,^,(x)>0,夕(尤)遞增,而0(0)=0,
,當(dāng)x>O時,0(x)>O,
設(shè)y=分別與y=r,y=e(x-1)交點的橫坐標(biāo)為冗3,%,
m.
x=Tn,x=—+1.
34e
則X<X<X<x,.?,∣X-XJ<∣A-XI=—+÷1,(證畢)
3124134e
6.已知函數(shù)/(x)=(x-l)∕zt(x+1),曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為y=kx+b(k,beR).
(1)求攵,b的值;
(2)證明:f(x)..kx+h;
⑶若函數(shù)g(x)=/(X)+zn(∕n∈R)有兩個零點芭,x,,證明-Aj,,1-機(jī)-也.
Inl
【解答】⑴解:函數(shù)Fa)的定義域為(T+oo),
Y—1
r(X)=ln(x+1)+------,
x+1
.?.f(1)=∕∏2,
1.曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為y=ln2(x-l)即y=xln2-ln2,
:.k—ln2,b=-Iril;
(2)證明:令尸(X)=/(x)-Xln2+Inl=(X-1)妨(X+1)-xln2+ln2,
比一[
則F'(x)=加(x+D+--------M2,
x+1
r_112
令φ{(diào)x)=ln(x÷1)÷--------lnλ,則(f>{x)=----+---------->0,
x+1X÷1(x+1)"
.?.F'(x)單調(diào)遞增,又尸'(1)=0,
.?.當(dāng)XW(Tl)時,F(x)<0,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減,
當(dāng)Xe(I,+8)時,尸'(x)>0,函數(shù)尸(X)單調(diào)遞增,
???∕(X)”,,R="(I)=0,
F(x)..0,
f(x)?.W幾2-1∏2,
(3)證明:g(x)=∕(x)+皿機(jī)∈R)的兩個零點xl,x2,即為/(%)=Tn的兩根,不妨設(shè)王<工2,
由題知,曲線y=∕(x)在(1,0)處的切線方程為y=x歷2-/〃2,
令〃(X)=A?2-/〃2,即/z(x)+m=0即%(X)=Tn的根為.',則W,
//12
由(2)知,/(x2)..A(X2)
,
/.h(x2)=f(x2)..h(x2),
/I(X)單調(diào)遞增,
設(shè)曲線y=/(x)在(0,0)處的切線方程為y=r(x),
/'(O)=T,
.,.f(x)=-X,
,
設(shè)方程f(x)+m=0即7(x)=-m的根為xl,則芭'=加,
令T(X)=/(x)T(x),
由(2)同理可得T(X)..0,即/(x)..f(x),
/(x1)..Λ(x1)
/.Λ(X∕)=∕(X1)..A(Λ?),
又/(x)單調(diào)遞減,
:.x/<xl,
?'?1"2—?jI=x?—x∣,,_Xj=I_/%―/2,
7.已知函數(shù)/(x)=(加x-l)(奴-l)(a>0),設(shè)曲線y=∕(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y=g(x).
(1)求g(x)的解析式;
(2)證明:對定義域內(nèi)任意工,都有/(x)..g(x);
(3)當(dāng)a=l時,關(guān)于X的方程∕>(x)="?有兩個不等的實數(shù)根%,為,證明:∣x,|<皿1+—$—)+e-l.
e-1
【解答】解:(1)f,(x)=Cilnx-??:.ff(e)=a--,
Xe
又/(e)=0,.?.g(x)=(4——)(x-e);
e
(2)證明:令尸(X)=/(x)-g(x)=/(X)-((e)(x-e),
.?.F?x)=f'{x)-f'(e)=H〃x-1-a+J在(0,”)上單調(diào)遞增,且尸(e)=0,
Xe
.?.當(dāng)O<x<e時,F(xiàn)(x)<0,F(X)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>e時,廣(x)>0,尸(X)單調(diào)遞增,
.?.F(x)..F(e)=O恒成立,
.?./(x)..g(x)恒成立.
(3)證明:當(dāng)α=l時,f(x)={lnx-l)(x-1),則/>'(x)=∕mc-L
X
顯然,'(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,而/(I)=-l<0,f'(e)=1一―>0,
,
???存在aW(Le),使f(x0)=O,
.?.當(dāng)x∈(0,x0)時,Γ(x)<O,/(幻單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈C?,+8)時,∕,(x)>O,/(%)單調(diào)遞增,
令/(x)=O,解得%=1或e,
由(1)(2)可知y=∕(x)在(e,0)處的切線方程為g(x)=(l-3(X-e),
e
且/(x)..g(x)恒成立,同理可得y=/(χ)在(Lo)處的切線方程為/z(X)=-x+1,
令H(x)=f(x)-MX)=(lnx-l)(x-l)-(-x+1)=(X-1)∕MV,
當(dāng)x>l時,>0,Inx>01當(dāng)O<%vl時,x-?<0,∕nrvθ,
.?.H(x)?.。恒成立.
設(shè)函數(shù)y=/(X)在兩個零點處的切線方程與直線y="的交點的橫坐標(biāo)分別為匯和公L
r
不妨設(shè)%<工2,則與>χ',x2<x2f
,
令g(x)=〃(X)=機(jī),解得Λ2'=f以+e,x1=l-∕nt
e-1
.[X_XKl/,_%JI=(I------)+g—I,ι?iil*..
2e-1
8.己知函數(shù)/(x)=(x+l)(d—1).
⑴求f(x)在點(-1,/(T))處的切線方程;
(2)若方程/'(X)=/?有兩個實數(shù)根芭,X,,且X∣<X),證明:X2_Ap,]+"+£+!+.
3e—1e-1
【解答】解:(1)f,(x)=(x+2)ex-l,則r(-l)=1-lJ(-l)=O,
e
由點斜式可得切線方程為y=-(xl);
e+
(2)證明:由(1)知/(x)在點(-1,/(-1))處的切線方程為y=?(x+l),
設(shè)5(x)=—(x+l),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-—(x+1)=(x+l)(ex-?),則
eee
F(X)=(X+2)e'--,F"(X)=(X+3),,
e
.?尸(X)在(-00,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,+∞)上單調(diào)遞增,
又尸(-3)=_4<O,HmF(x)=F(-l)=O,
eeλ→-√3°e
歹。)在(-00,-1)匕單調(diào)遞減,在(一l,+∞)上單調(diào)遞增,
.?.F(x)..F(-l)=O,SP∕(X).,S(Λ:)=-(x+l),當(dāng)且僅當(dāng)X=T時取等號,
,方程?~-(x+l)=?的根x;.
e?-e
又6=S(Xr)=f(X])..S(x∣),
由S(X)在R上單調(diào)遞減,所以不,xl,
另一方面,f(x)在點(l,2e-2)處的切線方程為y=(3e-l)x-e-l,
設(shè)Z(X)=(3e-?)x-e-?,構(gòu)造函數(shù)G(X)=f(x)-r(x)=(x+l)(e*-1)-(3e-l)x+e,+1=(x+↑)ex-3ex+e,則
Gz(x)=(X+2)ex-3e,G"(x)=(X+3)ex,
.?G,M在(-∞,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,+∞)上單調(diào)遞增,
又G,(-3)=--?--3e<0,IimG'(x)=—3e,G'。)=0,
e-γ→-<°
.?.G(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
.?.G(x)..G(1)=0,BPf(x)..t(x)=(3e-l)x-e-l,當(dāng)且僅當(dāng)X=-I時取等號,
+l+b
■方程f(x)=(3e-l)x-e-1=6的根為石=~,又b=r(x,.)=f(x,)..t(x2),t(x)在A上單調(diào)遞增,
3e-l
???12,,?21,
1b+e+?eb0πzrl.r
..%2—%,,XIr—F=1H-------------1--------,即彳Wi止.
3e—1e-1
9.已知函數(shù)f(x)=(X+l)(ex-1).
(1)求/(x)在點(-1,/(T))處的切線方程;
(2)已知/(x)..ac在R上恒成立,求4的值.
(3)若方程/(x)=力有兩個實數(shù)根x∣,x2,且為<%2,證明:X2-邳,6+1+-^-.
e-1
【解答】解:(1)函數(shù)∕α)=α+i)(eT),貝IJr(X)=(牛+2)∕-ι,
所以r(T)=L,/(-1)=0,
e
所以在點(-1,/(-I))處的切線方程為y=((x+1);
(2)令∕ι(x)=f(x)-ax=(x+?)ex-(x÷?)-ɑr,
則hf(x)=(x÷2)ex-?-cι,
令m{x)=(x+2)ex,則加(X)=(X+3)ex,
x
所以m(x)=(x+2)e在(-∞,一3)單調(diào)遞減FLm(x)<0,m(x)在(一3,+□o)單調(diào)遞增,
又現(xiàn)0)=2,即〃'(0)=l-α且〃(O)=0,
故Kx)只能在X=O處取得最小值,
若α=l,此時”(x)=(x+2)∕-2,在(YO,0)上”(x)<0,故〃(幻單調(diào)遞減,
在(0,田)上〃(x)>0,故人(無)單調(diào)遞增,
故Λ(x)..A(O)=O.滿足題意;
若a>1,m(x)=(X+2)e*=α+1有解X。,Xo>O,
Λ(x)在(0,?)上單調(diào)遞減,LJΛ(X)..Λ(O)矛盾;
若α<1,m{x)=(x+2)e*=α+1有解X0,-3<?<O>
∕z(x)在(X。,0)上單調(diào)遞減,與〃(x).M(O)矛盾;
綜上所述,a=??,
(3)證明:f?x)=[x+2)ex
所以f'(x)在(-∞,-3)單調(diào)遞減且f'(x)<O,
∕,(x)在(-3,小》)單調(diào)遞增,故/'(X)=O最多一根,
又因為f'(-1)=(-1+2)e-∣-l<0,∕,(O)=(O+2)eo-l=l>O,
設(shè)F(X)=O的解為/,因為八一1).尸(0)<0,故fe(-l,0),
所以/(x)在(-∞J)上單調(diào)遞減,/(x)在(f,+∞)上單調(diào)遞增,
因為方程/(X)=6有兩個實數(shù)根%,X2,故。>f{t},
1-P
結(jié)合(1)(2)有f(x)..;-----(x+l)?/(x)..xι?ιR上恒成立,
e
XD
設(shè)/?=L_£(+的解為χ3,
則x3,,Xj,設(shè)3=%的解為X4則x4..x2f
故Xj=--------1>—b>所以/—X1,,/-??=l+bd-------,?
?-ee-1
10.已知函數(shù)的幻=(x+b)(4-α),(?>0),在(一1,/(T))處的切線方程為(e-l)%+o+e-l=0?
(I)求4,b;
(H)若方程/(x)=m有兩個實數(shù)根不,x2,且不<%,證明:?f,,l+'"de).
?-e
【解答】解:(I)在(一1,f(-l))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-l=O,可得
/(-1)=0,BP/(-l)=(-l+?)(e^l-α)=0.
又函數(shù)/(x)=(x+?)(er-a),(?>O),
fxh1
可得導(dǎo)數(shù)為f(x)=(x+b+l)e-af所以((—I),一ɑ=T+?,
ee
若Q=L則。=2-ev0,與〃>0矛盾,
e
故α=A=l;
(H)證明:由(I)可知F(X)=(X+l)(e?-l),/(0)=0,/(-1)=0,
設(shè)/(x)在(-1,0)處的切線方程為A(x)=k(x+?)f
易得無=r(-i)=4-1,則∕z(x)=d-i)(x+i),
ee
令尸(X)=f(x)-Λ(x),
即F(X)=(χ+1)(^'-1)-(?-l)(x+1),F'(x)=(x+2)e'
ee
當(dāng)%,-2時,Γ(x)=(x+2)e,--<--<0,
ee
當(dāng)x>—2時,
設(shè)G(X)=F'(x)=(x+2)ex-?,G'(x)=(x+3)e*>O,
e
故函數(shù)F,(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,又尸(-1)=O,
所以當(dāng)XW(→Λ,-1)時,F(xiàn)'(x)<O,當(dāng)Xe(-1,+OO)時,F(xiàn),(x)>O,
所以函數(shù)F(X)在區(qū)間(-∞,-l)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
故尸(X)..尸(一1)=O,
/(Λ1)..Λ(X1),
設(shè)〃(X)=ZW的根為XJ,則Xj=-I+,
?-e
又函數(shù)G(X)單調(diào)遞減,故ZIa')=0(%)../I(X,),故xj,,x∣,
設(shè)y=f(x)在(0,0)處的切線方程為y=心),易得心)=X,
令T(X)=f(x)-/(x)=(x+T)(ex-1)-X.Tv(X)=(X+2)e*-2,
當(dāng)X,-2時,r(X)=(X+2)e"-2<-2<0,
當(dāng)X>-2時,
設(shè)H(x)=Tv(X)=(X+2)ex-2,/Γ(x)=(x+3)ex>O,
故函數(shù)7'(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,又Tv(O)=O,
所以當(dāng)x∈(-∞,0)時,Γ(x)<O,當(dāng)x∈(O,y)時,Ta)>0,
所以函數(shù)7。)在區(qū)間(ro,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(O,ZO)上單調(diào)遞增,
T(X)..T(O)=O,
/(x2)..∕(?),
,,
設(shè)KX)=m的根為x2,則x2=m,
又函數(shù)/(幻單調(diào)遞增,?r(χ√)=/(χ2)..r(χ2),故村?.£,
又X;,,Xi,
∣∣,,me.m(↑-2e)
則lllX一耳,X-Xy=M-z(―I1H-------)x=IH--------------.
221—e1—e
11.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求曲線y=∕(x)在點(1,/(/))處的切線方程;
2
(2)若關(guān)于X的方程/(x)=4有兩個實根,設(shè)為x∣,x2(xl<x2),證明:x2-x1<?+2Λ+e^.
【解答】解:(1)f(χ)=lnx+lf則1(I)=T,又/(二)=-2/,
.,.切線方程為y+2e"=-(χ-e^2),即y=-χ-e~2:
(2)證明:先證明/(x)=X阮I(lǐng)…一1-"2,
?(x)=xlnx+x+e~2(x>O),貝IJg,(x)=lnx+2,
易知函數(shù)g(%)在(0,二)上遞減,在畫,+8)上遞增,
則g(x)..g(e~2)=0,即f(x)=xbvc..-x-e~2,
再證明f(x)=xlnx..x-l,令〃(X)=X∕nx-%+l(x>O),則〃(x)=/%,
易知函數(shù)A(x)在(0,1)上遞減,在。,+∞)上遞增,
則〃(X)../?(1)=0,BP/(x)=xlnx..x-?,
,f
如圖,設(shè)直線y=α與直線y=-x-e"^2,y=x-l相交點的橫坐標(biāo)分別為牛,x2
222
由。=一X-e~=/(x1)..-Xi-e~,得xr,,玉,當(dāng)且僅當(dāng)Ia=-e~時等號成立,
x-1,
由Q=X2,-I=/(x2)??2得工25%2,當(dāng)且僅當(dāng)a=O時等號成立,
Λ^2—內(nèi)<%—?i=a+1—(—ci—e~)=2α+1+e",即Y?iιE.
12.已知函數(shù)/(x)=2SinX-X2?2πx-a.
(I)當(dāng)Q=O時,求/(X)零點處的切線方程;
?-π2
(II)若/(九)有兩個零點不,x(x<x^),求證:-----(x-X-2π)..a.
21π21
【解答】解:(I)當(dāng)α=0時,/(x)=2sin?-X2+2πx,定義域為R,則/'(X)=2cosx-2x+2τr,
/"(%)=-2sinX-2V0,
???y=r(x)在/?上為減函數(shù),
?/'(0)=2+2乃>0,7'(4)=一24<0,
???由零點存在性定理可知,八工)在1∈(o,幻上必存在與,使得『a。)=。,
=
IL當(dāng)X∈(-00,A0)時,f?x)>O,即/(%)在X∈(-00,Xo)上單調(diào)遞增,
當(dāng)元∈(j?,+8)時,f,(x)<O,即/(幻在X∈Q?,4-00)上單調(diào)遞減,
???∕(x)M=/(/),
故/(X)至多有兩個零點,
又?/(0)=0,/(2乃)=0,
故X=O,x=2乃是/(X)的兩個零點,
???由∕?'(0)=2+2萬,rQπ)=2-2π,易得兩切線方程為y=(2+2τr)X或y=(2—24)]一44+4/;
(Il)證明:由(I)易知1,X1<x0<x2,
設(shè)F(x)=(2+2π)x-2sinx+x2-2πx,F,(x)=2-2cosx+2x?Fff(%)=2sinx+2..0,
.?.y=尸,(%)在R上為增函數(shù),
F(O)=O,
?..當(dāng)x∈(-oo,0)時,F(xiàn)r(x)<0,即產(chǎn)(X)在(一oo,0)」二為減函數(shù),
當(dāng)XW(O,+co)時,F,(x)>0,即尸(X)在(0,+∞)上為增函數(shù),
.?.F(x)..F(O)=0,QP(2÷2∕τ)x..2sinX—工?+2πx,
12
設(shè)y=(2+2π)x與y=a的交點橫坐標(biāo)為當(dāng),WJ(2+2π)xr.2sinxl-x1+2πxl=tz=(2+2π)x3,
?y=(2+2;T)X為增函數(shù),
a
冬=-------,,X\;
3(2+2;F)'
同理設(shè)G(X)=(2-2π)(x-2π)-2sinx+x2-2πx,則G,(x)=2-4π-2cosx+2x,G"(x)=2SinX+2..0,
.?.y=G,(x)在R上為增函數(shù),
又G(2τ)=0,
.?.當(dāng)x∈(-∞,2τr)時,G(X)V0,即G(X)在(Yo,2萬)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(2肛Zo)時,Gr(x)>0,即Ga)在(2肛+oo)上單調(diào)遞增,
G(x)..g(2;F)=0,即(2-2π)(x-2π)..2sinx-x2+2πx,
設(shè)y=(2-2π)(x-2τr)與y=α的交點橫坐標(biāo)為乙,則
2
(2-2TΓ)(X2-2^)..2sinx2-x2+2zrx2=a=(2-2π)(x4-2萬),
又y=(2—2;T)(X—2萬)為減函數(shù),則x=--一+2π..x,
42-2π2
..4πaCaπ
故A—與,/一匹=Co、℃"、+2萬=;~~∕2π,
2(2—2zτ)(2+2zr)\—Ti
?-2
-----π--(X2-?i-2π)..a,得證.
π
13.已知函數(shù)/(x)=A7x-x",XWR.其中〃∈N.n..2.
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)曲線y=∕(x)與X軸正半軸的交點為P,曲線在點。處的切線方程為y=g(x),求證:對于任意的
正實數(shù)X,都有f(χ?,g(χ);
(3)設(shè)〃=5,若關(guān)于X的方程/(x)=α(α為實數(shù))有兩個正實根玉,X2.求證:∣Λ2-ΛJ<2-T.
【解答】解:(1)?f(x)=nx-xn,RΓMf?x)=n-nxn~'=n(l-xn^'),其中”eN,且〃..2.
下面分兩種情況討論:
①當(dāng)〃為奇數(shù)時,令V(X)=O,解得χ=l,或x=-l,
當(dāng)X變化時,/'(X),/(x)的變化情況如下表:
X(-00,-1)(-1,1)(l,+∞)
f,ω-+—
?(?)遞減遞增遞減
所以,/(x)在(-∞,T),(1,+00)匕單調(diào)遞減,在(-1,1)單調(diào)遞增;
②當(dāng)〃為偶數(shù)時,
當(dāng)尸(x)>0,即x<l時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)r(x)<0,即x>l時,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減;
所以,F(xiàn)(X)在(-8,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
I
2
(2)證明:設(shè)點尸的坐標(biāo)為(X1),0),則X(1=""T,f(x0)=n-n,
,
曲線y=∕(x)在點P處的切線方程為y=∕(?)(x-x0),
β∣?U)=∕,(?)U-?)>
,
令F(X)=/(x)-g(x),即F(x)=/(x)-∕(x0)(x-x0),
則尸(X)=T(X)-尸5).
由于廣(X)=-n√ι+〃在(o,+oo)上單調(diào)遞減,故尸(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
又因為F'(x0)=O,所以當(dāng)xe(O,x0)時,F(xiàn),(x)>O,當(dāng)x∈(x°,+oo)時,F(xiàn)(X)<0,
所以F(X)在∈(0,x°)內(nèi)單調(diào)遞增,在(%,+∞)上單調(diào)遞減,
所以對應(yīng)任意的正實數(shù)X,都有F(X),,尸(Xo)=O,
即對于任意的正實數(shù)X,都有/(%)?g(x).
(3)證明:不妨設(shè)Λ?,,Λ2,
由(2)知g(x)=("-"2)(x-x0),設(shè)方程g(x)=α的根為Xy,
可得x2,=—幺τ+%0,由(H)知g(Λ?)??f(Λ?)=α=gO?),可得Λ2,,W-
n-n~
類似地,設(shè)曲線y=/(x)在原點處的切線方程為y=〃O),可得〃(X)=nr,
當(dāng)X∈(0,÷∞),f(x)-〃(X)=-xn<0,
即對于任意的x∈(0,+oo),/(x)<h(x),
設(shè)方程〃(x)=α的根為與,可得Xr=g,
n
因為〃(X)=/猶在(-00,+00)匕單調(diào)遞增,
SLh(xv)=a=f(xi)<A(x∣),因此xl,〈%,
由止匕可得:X2—XVX>-—Xy=------FXQ,
^I-H
因為幾.2,所以2"T=(l+l)"T..l+Cι=l+n-?=n1
I
故:2..n"^l=?.則IX2—再1<2+'一,
1-/J
所以當(dāng)”=5時,即有[9-王|<2—
14.已知函數(shù)F(X)=HX-x",xeR,其中"∈ΛΓ,且〃..2.
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(H)設(shè)曲線y=∕(x)與X軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證:對于任意的
正實數(shù)X,都有f(x?,g(x);
(III)若關(guān)于X的方程/(x)="(α為實數(shù))有兩個正實數(shù)根x∣,X,求證:∣x,-x∣+2.
2?-n
【解答】(本題滿分為14分)
解:(I)?f(x)=nx-xn,可得/'(X)="-ax"'="(l-x"T),其中〃eM,且〃..2.
下面分兩種情況討論:
(I)當(dāng)〃為奇數(shù)時,令T(x)=O,解得X=1,或x=7,當(dāng)X變化時,f?x),/(X)的變化情況如下表:
X(→κ,-l)(Tl)(l,+oo)
/'(X)—+—
/(X)/?x
所以,f(x)在(-∞,-l),(1,+8)上單調(diào)遞減,在(-1,1)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時,
當(dāng)r(x)>O,即XVl時,函數(shù)F(X)單調(diào)遞增;
當(dāng)/(x)<0,即x>l時,函數(shù)F(X)單調(diào)遞減;
所以,f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增,在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減;
2
(∏)證明:設(shè)點尸的坐標(biāo)為(X0,0),則
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 個人訂餐服務(wù)合同模板
- 房產(chǎn)質(zhì)押協(xié)議合同模板
- 散客境內(nèi)旅游合同模板
- 洗鞋店合同模板模板
- 訂立倉儲合同模板
- 規(guī)避兇宅合同模板
- 廣州小學(xué)建筑課程設(shè)計
- 廣州專業(yè)美術(shù)課程設(shè)計
- 道路通行合同模板
- 廣場地面施工方案
- 中學(xué)生守則和日常行為規(guī)范主題班會-大賽
- 心肺康復(fù)知識考核試題題庫及答案
- 二年級上冊心理健康教育-17學(xué)會觀察-(46)課件
- 《一年級日有所誦》(一年級)精編版課件
- 正大杯第十三屆全國大學(xué)生市場調(diào)查與分析大賽(試題97道含答案)
- 小學(xué)語文人教五年級上冊第六單元群文《讀懂父母的愛》ppt
- 小學(xué)語文人教五年級上冊第四單元少年中國說(節(jié)選)第二課時ppt
- 中藥飲片批生產(chǎn)記錄
- 2022年10月自考11749商務(wù)管理綜合應(yīng)用(試題)真題及答案
- 工筆畫古典中國風(fēng)通用PPT模板
- 作文立意專題講座
評論
0/150
提交評論